गाउसीय कक्षीय: Difference between revisions

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गाऊसी आधार कार्य सामान्य रेडियल-कोणीय अपघटन का पालन करते हैं
गाऊसी आधार कार्य सामान्य रेडियल-कोणीय अपघटन का पालन करते हैं
: <math>\ \Phi(\mathbf{r}) = R_l(r) Y_{lm}(\theta,\phi)</math>,
: <math>\ \Phi(\mathbf{r}) = R_l(r) Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
कहाँ <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> एक [[गोलाकार हार्मोनिक्स]] है, <math>l</math> और <math>m</math> कोणीय गति और उसके हैं <math>z</math> घटक, और <math>r,\theta,\phi</math> गोलाकार निर्देशांक हैं।
जब <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> एक [[गोलाकार हार्मोनिक्स]] है तथा <math>l</math> और <math>m</math> कोणीय गति और उसके हैं व <math>z</math> घटक और <math>r,\theta,\phi</math> गोलाकार निर्देशांक हैं


जबकि स्लेटर ऑर्बिटल्स के लिए रेडियल भाग है
जबकि स्लेटर कक्षक के लिए रेडियल भाग है
: <math>\ R_l(r) = A(l,\alpha) r^l e^{-\alpha r}, </math>
: <math>\ R_l(r) = A(l,\alpha) r^l e^{-\alpha r}, </math>
<math>A(l,\alpha)</math> एक सामान्यीकरण स्थिरांक होने के नाते, गॉसियन आदिम के लिए रेडियल भाग है
<math>A(l,\alpha)</math> एक सामान्यीकरण स्थिरांक होने की जगह गॉसियन के लिए रेडियल भाग है
: <math>\ R_l(r) = B(l,\alpha) r^l e^{-\alpha r^2},</math>
: <math>\ R_l(r) = B(l,\alpha) r^l e^{-\alpha r^2},</math>
कहाँ <math>B(l,\alpha)</math> गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है।
कहाँ <math>B(l,\alpha)</math> गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है


सामान्यीकरण की स्थिति जो निर्धारित करती है <math>A(l,\alpha)</math> या <math>B(l,\alpha)</math> है
सामान्यीकरण की स्थिति जो निर्धारित करती है <math>A(l,\alpha)</math> या <math>B(l,\alpha)</math> है
:<math>\int _0 ^\infty \mathrm{d}r \, r^2 \left| R_l (r) \right|^2 = 1</math>
:<math>\int _0 ^\infty \mathrm{d}r \, r^2 \left| R_l (r) \right|^2 = 1</math>
जो आम तौर पर रूढ़िवादिता को थोपता नहीं है <math>l</math>.
जो अधिकतक रूढ़िवादिता को थोपता नहीं है


क्योंकि एक व्यक्तिगत आदिम गॉसियन फ़ंक्शन नाभिक के पास इलेक्ट्रॉनिक तरंग फ़ंक्शन के लिए एक खराब विवरण देता है, गॉसियन आधार सेट लगभग हमेशा अनुबंधित होते हैं:
क्योंकि एक व्यक्तिगत पहला गॉसियन कार्यक्रम नाभिक के पास विद्युतीय तरंग कार्यक्रम के लिए एक खराब विवरण देता है जिसमें गॉसियन आधार समूह लगभग हमेशा अनुबंधित होते हैं
:<math>\ R_l(r) = r^l \sum_{p=1}^P c_p  B(l,\alpha_p) \exp(-\alpha_p r^2)</math>,
:<math>\ R_l(r) = r^l \sum_{p=1}^P c_p  B(l,\alpha_p) \exp(-\alpha_p r^2)</math>,
कहाँ <math>c_p</math> प्रतिपादक के साथ आदिम के लिए संकुचन गुणांक है <math>\alpha_p</math>. गुणांक सामान्यीकृत आदिम के संबंध में दिए गए हैं, क्योंकि असामान्य आदिम के गुणांक परिमाण के कई आदेशों से भिन्न होंगे। एक्सपोनेंट्स परमाणु इकाइयों में रिपोर्ट किए जाते हैं। [http://basissetexchange.org/ Basissetexchange.org/ Basissetexchange.org/Basis Set Exchange portal] पर उपलब्ध विभिन्न मानदंडों के लिए अनुकूलित प्रकाशित गॉसियन आधार सेटों की एक बड़ी लाइब्रेरी है।
कहाँ <math>c_p</math> प्रतिपादक सर्वप्रथम संकुचन गुणांक है <math>\alpha_p</math>. गुणांक सामान्यीकृत के संबंध में दिए गए हैं क्योंकि असामान्य गुणांक परिमाण के कई आदेशों से भिन्न होंगे घातांक परमाणु इकाइयों में रिपोर्ट किए जाते हैं।  
 
बेसिक समूह रूपांतरण पोर्टल पर उपलब्ध  
 
विभिन्न मानदंडों के लिए अनुकूलित प्रकाशित गॉसियन आधार के समूहों की एक बड़ी पुस्तकालय है।


=== कार्तीय निर्देशांक ===
=== कार्तीय निर्देशांक ===


कार्टेशियन निर्देशांक में, गॉसियन-प्रकार के ऑर्बिटल्स को घातीय कारकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> दिशाओं के साथ-साथ एक घातीय कारक <math>\alpha</math> कक्षीय की चौड़ाई को नियंत्रित करना। उचित सामान्यीकरण गुणांक के साथ कार्टेशियन गॉसियन-प्रकार कक्षीय के लिए अभिव्यक्ति है
कार्तीय निर्देशांक में गॉसियन-प्रकार के कक्षक को घातीय कारकों के संदर्भ में लिखा जा सकता है तथा <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z</math> दिशाओं के साथ-साथ एक घातीय कारक <math>\alpha</math> कक्षीय की चौड़ाई को नियंत्रित करता है तथा उचित सामान्यीकरण गुणांक के साथ कार्तीय गॉसियन-प्रकार कक्षीय के लिए अभिव्यक्ति है जो इस प्रकार है-


:<math>\Phi(x,y,z;\alpha,i,j,k)=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{3/4}\left[\frac{(8\alpha)^{i+j+k}i!j!k!}{(2i)!(2j)!(2k)!}\right]^{1/2}x^i y^j z^k e^{-\alpha(x^2+y^2+z^2)}</math>
:<math>\Phi(x,y,z;\alpha,i,j,k)=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{3/4}\left[\frac{(8\alpha)^{i+j+k}i!j!k!}{(2i)!(2j)!(2k)!}\right]^{1/2}x^i y^j z^k e^{-\alpha(x^2+y^2+z^2)}</math>
उपरोक्त अभिव्यक्ति में, <math>i</math>, <math>j</math>, और <math>k</math> पूर्णांक होना चाहिए। अगर <math>i+j+k=0</math>, तब कक्षीय में गोलाकार समरूपता होती है और इसे एक प्रकार का GTO माना जाता है। अगर <math>i+j+k=1</math>जीटीओ में एक अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता होती है और इसे पी-टाइप जीटीओ माना जाता है। कब <math>i+j+k=2</math>, छह संभावित GTO हैं जिनका निर्माण किया जा सकता है; यह किसी दिए गए कोणीय क्वांटम संख्या के लिए पाँच विहित d कक्षीय कार्यों से एक अधिक है। इसे संबोधित करने के लिए, दो डी-टाइप जीटीओ के एक रैखिक संयोजन का उपयोग कैनोनिकल डी फ़ंक्शन को पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। इसी तरह, 10 एफ-टाइप जीटीओ मौजूद हैं, लेकिन केवल 7 कैनोनिकल एफ ऑर्बिटल फ़ंक्शन हैं; यह पैटर्न उच्च कोणीय क्वांटम संख्या के लिए जारी है।<ref>{{cite book |last1=Cramer |first1=Christopher J. |title=Essentials of computational chemistry : theories and models |date=2004 |publisher=Wiley |location=Chichester, West Sussex, England |isbn=9780470091821 |pages=167 |edition=2nd}}</ref>
उपरोक्त अभिव्यक्ति में <math>i</math>, <math>j</math>, और <math>k</math> पूर्णांक होना चाहिए अगर <math>i+j+k=0</math> तब कक्षीय में गोलाकार समरूपता होती है और इसे एक प्रकार का जीटीओ माना जाता है। अगर <math>i+j+k=1</math> जीटीओ में एक अक्ष के साथ अक्षीय समरूपता होती है और इसे पी प्रकार का जीटीओ माना जाता है तब <math>i+j+k=2</math> छह संभावित जीटीओ हैं जिनका निर्माण किया जा सकता है यह किसी दिए गए कोणीय क्वांटम संख्या के लिए पाँच विहित d कक्षीय कार्यों से एक अधिक है इसे संबोधित करने के लिए दो डी प्रकार जीटीओ के एक रैखिक संयोजन का उपयोग विहित डी कार्यक्रम को पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है इसी तरह 10 एफ प्रकार जीटीओ एकत्र हैं लेकिन 7 विहित एफ कक्षक कार्यक्रम हैं यह सांकेतिक चिन्ह उच्च कोणीय क्वांटम संख्या के लिए जारी है।<ref>{{cite book |last1=Cramer |first1=Christopher J. |title=Essentials of computational chemistry : theories and models |date=2004 |publisher=Wiley |location=Chichester, West Sussex, England |isbn=9780470091821 |pages=167 |edition=2nd}}</ref>




== आणविक अभिन्न ==
== आणविक अभिन्न ==
ताकेता एट अल। (1966) ने गॉसियन आधार में मैट्रिक्स तत्वों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समीकरण प्रस्तुत किए।<ref>{{cite journal|last=Taketa|first=Hiroshi|author2=Huzinaga, Sigeru |author3=O-ohata, Kiyosi |title=आणविक इंटीग्रल के लिए गॉसियन-विस्तार के तरीके|journal=Journal of the Physical Society of Japan|year=1966|volume=21|issue=11|pages=2313–2324|doi=10.1143/JPSJ.21.2313|bibcode = 1966JPSJ...21.2313T }}</ref> तब से इन अभिन्नों के मूल्यांकन में तेजी लाने के लिए बहुत काम किया गया है जो कि कई क्वांटम रासायनिक गणनाओं का सबसे धीमा हिस्सा है। ज़िवकोविक और मक्सिक (1968) ने [[एकांतवासी]] गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग करने का सुझाव दिया,<ref>{{cite journal|last=Živković|first=T.|author2=Maksić, Z. B.|title=हर्मिट-गाऊसी फंक्शंस पर आणविक इंटीग्रल्स के लिए स्पष्ट सूत्र|journal=Journal of Chemical Physics|year=1968|volume=49|issue=7|pages=3083–3087|doi=10.1063/1.1670551 |bibcode = 1968JChPh..49.3083Z }}</ref> क्योंकि यह समीकरणों को सरल करता है। मैकमर्ची और डेविडसन (1978) ने पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की,<ref>{{cite journal|last=McMurchie|first=Larry E.|author2=Davidson, Ernest R.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर एक- और दो-इलेक्ट्रॉन अभिन्न|journal=Journal of Computational Physics|year=1978|volume=26|issue=2|pages=218–31|doi=10.1016/0021-9991(78)90092-X|bibcode = 1978JCoPh..26..218M |url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc1057442/}}</ref> जो गणनाओं की मात्रा को बहुत कम कर देता है। [[जॉन पोपल]] और हेहरे (1978) ने एक स्थानीय समन्वय पद्धति विकसित की।<ref>{{cite journal|last=Pople|first=J. A.|author2=Hehre, W. J.|title=अनुबंधित गॉसियन आधार कार्यों से जुड़े इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण इंटीग्रल की गणना।|journal=J. Comput. Phys.|year=1978|volume=27|issue=2|pages=161–168|doi=10.1016/0021-9991(78)90001-3|bibcode = 1978JCoPh..27..161P }}</ref> ओबरा और साइका ने 1985 में कुशल पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की,<ref>{{cite journal|last=Obara|first=S.|author2=Saika, A.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर आणविक अभिन्न का कुशल पुनरावर्ती संगणना|journal=J. Chem. Phys.|year=1986|volume=84|issue=7|pages=3963–74|doi=10.1063/1.450106|bibcode = 1986JChPh..84.3963O }}</ref> जिसके बाद अन्य महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंधों का विकास हुआ। गिल और पोपल (1990) ने एक 'प्रिज्म' एल्गोरिथम पेश किया जिसने 20 अलग-अलग गणना पथों के कुशल उपयोग की अनुमति दी।<ref>{{cite journal|last=Gill|first=Peter M. W.|author2=Pople, John A.|title=दो-इलेक्ट्रॉन इंटीग्रल के लिए प्रिज्म एल्गोरिथम|journal=International Journal of Quantum Chemistry|date=December 1991|volume=40|issue=6|pages=753–772|doi=10.1002/qua.560400605|url=http://rscweb.anu.edu.au/~pgill/papers/026PRISM.pdf|accessdate=17 June 2011}}</ref>
1966 ने गॉसियन आधार में आव्यूह तत्वों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक गणितीय समीकरण प्रस्तुत किए <ref>{{cite journal|last=Taketa|first=Hiroshi|author2=Huzinaga, Sigeru |author3=O-ohata, Kiyosi |title=आणविक इंटीग्रल के लिए गॉसियन-विस्तार के तरीके|journal=Journal of the Physical Society of Japan|year=1966|volume=21|issue=11|pages=2313–2324|doi=10.1143/JPSJ.21.2313|bibcode = 1966JPSJ...21.2313T }}</ref> तब से इन अभिन्नों के मूल्यांकन में तेजी लाने के लिए बहुत काम किया गया है जो कि कई क्वांटम रासायनिक गणनाओं का सबसे धीमा हिस्सा है ज़िवकोविक और मक्सिक ने 1968 में  [[एकांतवासी]] गॉसियन कार्यक्रम का उपयोग करने का सुझाव दिया <ref>{{cite journal|last=Živković|first=T.|author2=Maksić, Z. B.|title=हर्मिट-गाऊसी फंक्शंस पर आणविक इंटीग्रल्स के लिए स्पष्ट सूत्र|journal=Journal of Chemical Physics|year=1968|volume=49|issue=7|pages=3083–3087|doi=10.1063/1.1670551 |bibcode = 1968JChPh..49.3083Z }}</ref> क्योंकि यह समीकरणों को सरल करता है मैकमर्ची और डेविडसन वे 1978 में पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की <ref>{{cite journal|last=McMurchie|first=Larry E.|author2=Davidson, Ernest R.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर एक- और दो-इलेक्ट्रॉन अभिन्न|journal=Journal of Computational Physics|year=1978|volume=26|issue=2|pages=218–31|doi=10.1016/0021-9991(78)90092-X|bibcode = 1978JCoPh..26..218M |url=https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc1057442/}}</ref> जो गणनाओं की मात्रा को बहुत कम कर देता है [[जॉन पोपल]] और हेहरे ने 1978 में एक स्थानीय समन्वय पद्धति विकसित की <ref>{{cite journal|last=Pople|first=J. A.|author2=Hehre, W. J.|title=अनुबंधित गॉसियन आधार कार्यों से जुड़े इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण इंटीग्रल की गणना।|journal=J. Comput. Phys.|year=1978|volume=27|issue=2|pages=161–168|doi=10.1016/0021-9991(78)90001-3|bibcode = 1978JCoPh..27..161P }}</ref> ओबरा और साइका ने 1985 में कुशल पुनरावर्तन संबंधों की शुरुआत की <ref>{{cite journal|last=Obara|first=S.|author2=Saika, A.|title=कार्तीय गाऊसी कार्यों पर आणविक अभिन्न का कुशल पुनरावर्ती संगणना|journal=J. Chem. Phys.|year=1986|volume=84|issue=7|pages=3963–74|doi=10.1063/1.450106|bibcode = 1986JChPh..84.3963O }}</ref> जिसके बाद अन्य महत्वपूर्ण पुनरावृत्ति संबंधों का विकास हुआ गिल और पोपल ने 1990 में एक प्रिज्म प्रारूप पेश किया जिसने 20 अलग-अलग गणना पथों के कुशल उपयोग की अनुमति दी।<ref>{{cite journal|last=Gill|first=Peter M. W.|author2=Pople, John A.|title=दो-इलेक्ट्रॉन इंटीग्रल के लिए प्रिज्म एल्गोरिथम|journal=International Journal of Quantum Chemistry|date=December 1991|volume=40|issue=6|pages=753–772|doi=10.1002/qua.560400605|url=http://rscweb.anu.edu.au/~pgill/papers/026PRISM.pdf|accessdate=17 June 2011}}</ref>




== पॉलीएटम सिस्टम ==
== पॉलीएटम सिस्टम ==
पॉलीएटम सिस्टम<ref>{{cite journal|first1=I.G.|last1=Csizmadia|first2=M.C.|last2=Harrison|first3=J.W.|last3=Moskowitz|first4=B.T.|last4=Sutcliffe|title=गॉसियन-प्रकार के कार्यों के साथ कार्बनिक अणुओं पर गैर-अनुभवजन्य एलसीएओ-एमओ-एससीएफ-सीआई गणना। परिचयात्मक समीक्षा और गणितीय औपचारिकता|journal=Theoretica Chimica Acta|volume=6|number=3|page=191|year=1966|doi=10.1007/BF02394698|s2cid=198176437 }}</ref> गॉसियन ऑर्बिटल्स का उपयोग करके प्रारंभिक गणनाओं के लिए पहला पैकेज था जिसे विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू किया गया था।<ref>A.C. Wahl, ''Chemistry by computer'', Scientific American, pages 54-70, April, 1970.</ref> यह एमआईटी में सहकारी कंप्यूटिंग प्रयोगशाला के संसाधनों का उपयोग करके जॉन क्लार्क स्लेटर | स्लेटर के ठोस राज्य और आण्विक सिद्धांत समूह (एसएसएमटीजी) में विकसित किया गया था।<!-- verification in acknowledgements in TCA paper--> गणितीय अवसंरचना और परिचालन सॉफ्टवेयर इमरे सिज़माडिया द्वारा विकसित किए गए थे,<ref>[https://books.google.com/books?id=3xCzIQDYOvoC&dq=Imre+Csizmadia+quantum&pg=PA248 ''Imre Csizmadia'', Professor Emeritus of Chemistry, University of Toronto, in Reviews in Computational Chemistry, vol.15, p.248]</ref> मैल्कम हैरिसन,<ref>[http://cs.nyu.edu/cs/review95/node12.html ''Malcolm C. Harrison'', Professor of Computer Science, New York University]</ref> जूल्स मॉस्कोविट्ज़<ref>[https://www.google.com/#hl=en&sugexp=ldymls&xhr=t&q=Jules+Moskowitz&cp=10&pf=p&sclient=psy&aq=0&aqi=&aql=&oq=Jules+Mosk&pbx=1&bav=on.1,or.&fp=5e2b21bd614e0a97 ''Jules W. Moskowitz'', Professor Emeritus of Chemistry, New York University]</ref> और ब्रायन सटक्लिफ।<ref>[http://www.chilton-computing.org.uk/acl/associates/users/sutcliffe.htm ''Brian T. Sutcliffe'', Professor of Chemistry, York University]</ref>
पॉलीएटम प्रणाली<ref>{{cite journal|first1=I.G.|last1=Csizmadia|first2=M.C.|last2=Harrison|first3=J.W.|last3=Moskowitz|first4=B.T.|last4=Sutcliffe|title=गॉसियन-प्रकार के कार्यों के साथ कार्बनिक अणुओं पर गैर-अनुभवजन्य एलसीएओ-एमओ-एससीएफ-सीआई गणना। परिचयात्मक समीक्षा और गणितीय औपचारिकता|journal=Theoretica Chimica Acta|volume=6|number=3|page=191|year=1966|doi=10.1007/BF02394698|s2cid=198176437 }}</ref> गॉसियन कक्षक का उपयोग करके प्रारंभिक गणनाओं के लिए पहला पैकेज था जिसे विभिन्न प्रकार के अणुओं पर लागू किया गया था <ref>A.C. Wahl, ''Chemistry by computer'', Scientific American, pages 54-70, April, 1970.</ref> यह एमआईटी में सहकारी गणितीय प्रयोगशाला के संसाधनों का उपयोग करके जॉन क्लार्क स्लेटर के ठोस राज्य और आण्विक सिद्धांत समूह एसएसएमटीजी में विकसित किया गया था<!-- verification in acknowledgements in TCA paper--> गणितीय अवसंरचना और परिचालन सॉफ्टवेयर इमरे सिजमाडिया द्वारा विकसित किए गए थे। <ref>[https://books.google.com/books?id=3xCzIQDYOvoC&dq=Imre+Csizmadia+quantum&pg=PA248 ''Imre Csizmadia'', Professor Emeritus of Chemistry, University of Toronto, in Reviews in Computational Chemistry, vol.15, p.248]</ref>
 
 
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[ क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर प्रोग्राम ]]
* [[ क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर प्रोग्राम | क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर कार्यक्रम।]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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|last2=Hellsing | journal= Eur. J. Phys.|bibcode=2010EJPh...31...37P|s2cid=122528581
|last2=Hellsing | journal= Eur. J. Phys.|bibcode=2010EJPh...31...37P|s2cid=122528581
}}
}}
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Latest revision as of 10:57, 8 September 2023

अभिकलन रसायन विज्ञान और आणविक भौतिकी में गॉसियन कक्षक जिसे गॉसियन प्रकार कक्षक जीटीओ या गॉसियन के रूप में भी जाना जाता है जो अणुओं में आणविक कक्षीय के प्रतिनिधित्व के लिए परमाणु कक्षक के रैखिक संयोजन में परमाणु के रूप में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रमिक गणित हैं तथा कई गुण जो इन पर निर्भर करते हैं।[1]


औचित्य

विद्युतीय संरचना सिद्धांत में गॉसियन कक्षक का उपयोग भौतिक स्लेटर-प्रकार की कक्षा की जगह पहले एस फ्रांसिस लड़कों द्वारा 1950 में प्रस्तावित किया गया था[2] आणविक क्वांटम रासायनिक गणना में गॉसियन बेसिस समूह रसायन विज्ञान के उपयोग का मुख्य कारण गाऊसी उत्पाद की प्रमेय है जो गारंटी देता है कि दो अलग-अलग परमाणुओं पर केंद्रित दो जीटीओ का उत्पाद गौसियन का एक परिमित योग है तथा उन्हें जोड़ने वाली धुरी के साथ एक बिंदु इस तरीके से चार-केंद्र समाकलों को दो-केन्द्रीय समाकलों के परिमित योगों में घटाया जा सकता है और अगले चरण में एक-केन्द्र समाकलों के योगों को परिमित किया जा सकता है स्लेटर कक्षक की तुलना में परिमाण के 4-5 आदेशों की गति अधिकतर गॉसियन गणना में आवश्यक आधार पर कार्यों की बड़ी संख्या से जुड़ी अतिरिक्त लागत से अधिक होती है।

सुविधा के कारणों से कई क्वांटम रसायन विज्ञान कार्यक्रम कार्तीय गॉसियन के आधार पर काम करते हैं जब गोलाकार गॉसियन का अनुरोध किया जाता है तब कार्तीय आधार में अभिन्न मूल्यांकन बहुत आसान हो जाता है और गोलाकार कार्यों को केवल कार्तीय कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।[3][4]


गणितीय रूप

गाऊसी आधार कार्य सामान्य रेडियल-कोणीय अपघटन का पालन करते हैं

जब एक गोलाकार हार्मोनिक्स है तथा और कोणीय गति और उसके हैं व घटक और गोलाकार निर्देशांक हैं

जबकि स्लेटर कक्षक के लिए रेडियल भाग है

एक सामान्यीकरण स्थिरांक होने की जगह गॉसियन के लिए रेडियल भाग है

कहाँ गॉसियन के अनुरूप सामान्यीकरण स्थिरांक है

सामान्यीकरण की स्थिति जो निर्धारित करती है या