डायगामा फंक्शन: Difference between revisions
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{{For|बार्न्स का दो चरों का गामा फलन|दोहरा गामा फ़ंक्शन}} | {{For|बार्न्स का दो चरों का गामा फलन|दोहरा गामा फ़ंक्शन}} | ||
[[File:Digamma.png|thumb|300px| | [[File:Digamma.png|thumb|300px|डायगामा फलन <math>\psi(z)</math>,<br>[[डोमेन रंग]] का उपयोग करके कल्पना की गई]] | ||
[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px| | [[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|डायगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं]]गणित में, डायगामा [[गामा फ़ंक्शन|फलन]] को गामा फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/> | ||
:<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math> | :<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math> | ||
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इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए। | इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए। | ||
डायगामा फलन को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] डायगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।। | |||
==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध== | ==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध== | ||
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:<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math> | :<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math> | ||
डायगामा फलन उनसे संबंधित होती है | |||
:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math> | :<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math> | ||
जहाँ {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए | जहाँ {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डायगामा फलन मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math> | ||
==अभिन्न प्रतिनिधित्व== | ==अभिन्न प्रतिनिधित्व== | ||
यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण | यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण डायगामा फलन में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref> | ||
:<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math> | :<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math> | ||
इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है: | इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है: | ||
| Line 66: | Line 66: | ||
यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | ||
नोट: | नोट: डायगामा फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान है. | ||
==श्रृंखला प्रतिनिधित्व== | ==श्रृंखला प्रतिनिधित्व == | ||
===श्रृंखला सूत्र=== | ===श्रृंखला सूत्र === | ||
गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, | गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डायगामा फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align} | ||
\psi(z + 1) | \psi(z + 1) | ||
&= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\ | &= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\ | ||
| Line 91: | Line 91: | ||
: <math>u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}.</math> | : <math>u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}.</math> | ||
श्रृंखला को एकाकार करने के लिए, | श्रृंखला को एकाकार करने के लिए, | ||
:<math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0,</math> | :<math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0,</math> | ||
अन्यथा श्रृंखला [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] से उच्च होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह | अन्यथा श्रृंखला [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] से उच्च होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह | ||
:<math>\sum_{k=1}^m a_k=0,</math> | :<math>\sum_{k=1}^m a_k=0,</math> | ||
| Line 105: | Line 105: | ||
&=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) \\ | &=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) \\ | ||
&=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k). | &=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k). | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
उच्च रैंक पॉलीगामा फलन के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है | उच्च रैंक पॉलीगामा फलन के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है | ||
:<math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k),</math> | :<math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k),</math> | ||
| Line 112: | Line 112: | ||
===[[टेलर श्रृंखला]]=== | ===[[टेलर श्रृंखला]]=== | ||
डायगामा में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है. | |||
:<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math> | :<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math> | ||
जिसके लिए अभिसरण होता है {{math|{{abs|''z''}} < 1}}. यहाँ, {{math|''ζ''(''n'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] है। यह श्रृंखला [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]] के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है। | जिसके लिए अभिसरण होता है {{math|{{abs|''z''}} < 1}}. यहाँ, {{math|''ζ''(''n'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] है। यह श्रृंखला [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]] के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है। | ||
===न्यूटन श्रृंखला=== | ===न्यूटन श्रृंखला === | ||
डायगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal | |||
| last = Blagouchine | first = Ia. V. | | last = Blagouchine | first = Ia. V. | ||
| arxiv = 1606.02044 | | arxiv = 1606.02044 | ||
| Line 126: | Line 126: | ||
| title = Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions | | title = Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions | ||
| volume = 18A | | volume = 18A | ||
| year = 2018| bibcode = 2016arXiv160602044B}}</ref> पढ़ता | | year = 2018| bibcode = 2016arXiv160602044B}}</ref> पढ़ता | ||
:<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math> | :<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math> | ||
जहाँ {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है | जहाँ {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है | ||
:<math> | :<math> | ||
\psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}- | \psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}- | ||
\frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1, | \frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1, | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" /> | जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" /> | ||
===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला=== | ===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला === | ||
इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले | इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डायगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''<sub>''n''</sub>}} है | ||
:<math> | :<math> | ||
\psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | \psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | ||
| Line 166: | Line 166: | ||
\psi(v)=\ln(v-1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | \psi(v)=\ln(v-1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | ||
\Re(v) >1, | \Re(v) >1, | ||
</math> | </math> | ||
[[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]] वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है:<ref name="blag2018" /> <math> | [[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]] वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है:<ref name="blag2018" /> <math> | ||
\psi(v)=\ln(v+a) + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\psi_{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad \Re(v)>-a, | \psi(v)=\ln(v+a) + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\psi_{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad \Re(v)>-a, | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ {{math|''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}} जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं | जहाँ {{math|''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}} जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं | ||
समीकरण | समीकरण | ||
: <math> | : <math> | ||
\frac{z(1+z)^a}{\ln(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(a) \,,\qquad |z|<1\,, | \frac{z(1+z)^a}{\ln(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(a) \,,\qquad |z|<1\,, | ||
</math> | </math> | ||
इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है | इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है | ||
: <math> | : <math> | ||
\psi(v)= \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l) + \frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}, | \psi(v)= \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l) + \frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}, | ||
\qquad \Re(v)>-a, \quad r=1,2,3,\ldots | \qquad \Re(v)>-a, \quad r=1,2,3,\ldots | ||
</math> | </math> | ||
जहां बहुपद {{math|''N<sub>n,r</sub>''(''a'')}} निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं | जहां बहुपद {{math|''N<sub>n,r</sub>''(''a'')}} निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं | ||
: <math> | : <math> | ||
\frac{(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}=\sum_{n=0}^\infty N_{n,m}(a) z^n , \qquad |z|<1, | \frac{(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}=\sum_{n=0}^\infty N_{n,m}(a) z^n , \qquad |z|<1, | ||
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</math> | </math> | ||
और<math> | और <math> | ||
\psi(v)= \frac{1}{\tfrac{1}{2}r+v+a-1}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{r-2} (r-n-1)\ln(v+a+n) +\frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\}, | \psi(v)= \frac{1}{\tfrac{1}{2}r+v+a-1}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{r-2} (r-n-1)\ln(v+a+n) +\frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\}, | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>\Re(v)>-a</math> और <math>r=2,3,4,\ldots</math>. | जहाँ <math>\Re(v)>-a</math> और <math>r=2,3,4,\ldots</math>. | ||
==[[प्रतिबिंब सूत्र]]== | ==[[प्रतिबिंब सूत्र]]== | ||
डायगामा फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है: | |||
:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math> | :<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math> | ||
==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन== | ==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन == | ||
डायगामा फलन [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है | |||
:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math> | :<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math> | ||
इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है के लिए है | इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है के लिए है | ||
:<math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math> | :<math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math> | ||
जहाँ {{math|Δ}} [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है | जहाँ {{math|Δ}} [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है | ||
:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math> | :<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math> | ||
जहाँ {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | जहाँ {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | ||
अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है | अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है | ||
:<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math> | :<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math> | ||
के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है: | के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है: | ||
:<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>, | :<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>, | ||
जहाँ <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}} के लिए विचलन करती है और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। | जहाँ <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}} के लिए विचलन करती है और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। | ||
वास्तव में, {{mvar|ψ}} फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है | वास्तव में, {{mvar|ψ}} फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है | ||
:<math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math> | :<math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math> | ||
यह {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है: | यह {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है: | ||
: <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math> | : <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math> | ||
== | ==डायगामा फलन से जुड़े कुछ सीमित योग == | ||
डायगामा फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे | |||
:<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math> | :<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\exp\dfrac{2\pi rki}{m} = m\ln \left(1-\exp\frac{2\pi ki}{m}\right), \qquad k\in\Z,\quad m\in\N,\ k\ne m.</math> | :<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\exp\dfrac{2\pi rki}{m} = m\ln \left(1-\exp\frac{2\pi ki}{m}\right), \qquad k\in\Z,\quad m\in\N,\ k\ne m.</math> | ||
: <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cos\dfrac{2\pi rk}{m} = m \ln \left(2\sin\frac{k\pi}{m}\right)+\gamma, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math> | : <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cos\dfrac{2\pi rk}{m} = m \ln \left(2\sin\frac{k\pi}{m}\right)+\gamma, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\frac{2\pi rk}{m} =\frac{\pi}{2} (2k-m), \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\frac{2\pi rk}{m} =\frac{\pi}{2} (2k-m), \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math> | ||
गॉस के कारण हैं।<ref>R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.</ref><ref>H.M. Srivastava and J. Choi. ''Series Associated with the Zeta and Related Functions'', Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.</ref> अधिक जटिल सूत्र, जैसे | गॉस के कारण हैं।<ref>R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.</ref><ref>H.M. Srivastava and J. Choi. ''Series Associated with the Zeta and Related Functions'', Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.</ref> अधिक जटिल सूत्र, जैसे | ||
: <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\cos\frac{(2r+1)k\pi }{m} = m\ln\left(\tan\frac{\pi k}{2m}\right) ,\qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math> | : <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\cos\frac{(2r+1)k\pi }{m} = m\ln\left(\tan\frac{\pi k}{2m}\right) ,\qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math> | ||
:<math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\sin\dfrac{(2r+1)k\pi }{m} = -\frac{\pi m}{2}, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math> | :<math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\sin\dfrac{(2r+1)k\pi }{m} = -\frac{\pi m}{2}, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1</math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cot\frac{\pi r}{m}= -\frac{\pi(m-1)(m-2)}{6}</math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cot\frac{\pi r}{m}= -\frac{\pi(m-1)(m-2)}{6}</math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \frac{r}{m}=-\frac{\gamma}{2}(m-1)-\frac{m}{2}\ln m -\frac{\pi}{2}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r}{m}\cdot\cot\frac{\pi r}{m} </math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \frac{r}{m}=-\frac{\gamma}{2}(m-1)-\frac{m}{2}\ln m -\frac{\pi}{2}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r}{m}\cdot\cot\frac{\pi r}{m} </math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}= -\frac{\pi}{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r \cdot\sin\dfrac{2\pi r}{m}}{\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} }, \qquad \ell\in\mathbb{Z} </math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}= -\frac{\pi}{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{r \cdot\sin\dfrac{2\pi r}{m}}{\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} }, \qquad \ell\in\mathbb{Z} </math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}=-(\gamma+\ln2m)\cot\frac{(2\ell+1)\pi}{2m} + \sin\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{\ln\sin\dfrac{\pi r}{m}} {\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} } , \qquad \ell\in\mathbb{Z}</math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\dfrac{(2\ell+1)\pi r}{m}=-(\gamma+\ln2m)\cot\frac{(2\ell+1)\pi}{2m} + \sin\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m}\sum_{r=1}^{m-1} \frac{\ln\sin\dfrac{\pi r}{m}} {\cos\dfrac{2\pi r}{m} -\cos\dfrac{(2\ell+1)\pi }{m} } , \qquad \ell\in\mathbb{Z}</math> | ||
:<math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi^2\left(\frac{r}{m}\right)= (m-1)\gamma^2 + m(2\gamma+\ln4m)\ln{m} -m(m-1)\ln^2 2 +\frac{\pi^2 (m^2-3m+2)}{12} +m\sum_{\ell=1}^{ m-1 } \ln^2 \sin\frac{\pi\ell}{m}</math> | :<math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi^2\left(\frac{r}{m}\right)= (m-1)\gamma^2 + m(2\gamma+\ln4m)\ln{m} -m(m-1)\ln^2 2 +\frac{\pi^2 (m^2-3m+2)}{12} +m\sum_{\ell=1}^{ m-1 } \ln^2 \sin\frac{\pi\ell}{m}</math> | ||
कुछ आधुनिक लेखकों के फलन के कारण हैं (उदाहरण के लिए ब्लागॉचिन (2014) में परिशिष्ट बी देखें)<ref name="iaroslav_07">{{cite journal|doi=10.1016/j.jnt.2014.08.009 |first=Iaroslav V. |last=Blagouchine |title=तर्कसंगत तर्कों और कुछ संबंधित योगों पर पहले सामान्यीकृत स्टिल्टजेस स्थिरांक के बंद-रूप मूल्यांकन के लिए एक प्रमेय|journal=Journal of Number Theory |volume=148 |pages=537–592 |date=2014 |arxiv=1401.3724}}</ref>). | कुछ आधुनिक लेखकों के फलन के कारण हैं (उदाहरण के लिए ब्लागॉचिन (2014) में परिशिष्ट बी देखें)<ref name="iaroslav_07">{{cite journal|doi=10.1016/j.jnt.2014.08.009 |first=Iaroslav V. |last=Blagouchine |title=तर्कसंगत तर्कों और कुछ संबंधित योगों पर पहले सामान्यीकृत स्टिल्टजेस स्थिरांक के बंद-रूप मूल्यांकन के लिए एक प्रमेय|journal=Journal of Number Theory |volume=148 |pages=537–592 |date=2014 |arxiv=1401.3724}}</ref>). | ||
हमारे समीप भी है <ref>{{cite book |title=जटिल कार्य सिद्धांत में शास्त्रीय विषय|pages=46}}</ref> | हमारे समीप भी है <ref>{{cite book |title=जटिल कार्य सिद्धांत में शास्त्रीय विषय|pages=46}}</ref> | ||
:<math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\gamma=\frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}\psi\left(1+\frac{n}{k}\right), k=2,3, ...</math> | :<math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\gamma=\frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}\psi\left(1+\frac{n}{k}\right), k=2,3, ...</math> | ||
==गॉस का | ==गॉस का डायगामा प्रमेय== | ||
धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|r}} और {{mvar|m}} ({{math|''r'' < ''m''}}), | धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|r}} और {{mvar|m}} ({{math|''r'' < ''m''}}), डायगामा फलन को यूलर के स्थिरांक और प्रारंभिक फलन की सीमित संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{cite journal|first1=Junesang|last1=Choi|first2=Djurdje|last2=Cvijovic|title=बहुविवाह के मान तर्कसंगत तर्कों पर कार्य करते हैं|journal=Journal of Physics A|year=2007|volume=40|pages=15019|doi=10.1088/1751-8113/40/50/007|number=50|bibcode=2007JPhA...4015019C |s2cid=118527596 }}</ref> | ||
:<math>\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right) </math> | :<math>\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right) </math> | ||
जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है। | जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है। | ||
==स्पर्शोन्मुख विस्तार== | ==स्पर्शोन्मुख विस्तार == | ||
डायगामा फलन में स्पर्शोन्मुख विस्तार होता है | |||
:<math>\psi(z) \sim \ln z + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-n)}{z^n} = \ln z - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_n}{nz^n},</math> | :<math>\psi(z) \sim \ln z + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-n)}{z^n} = \ln z - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_n}{nz^n},</math> | ||
जहाँ {{mvar|''B''<sub>''k''</sub>}} है kth [[बर्नौली संख्या]] और {{mvar|ζ}} रीमैन ज़ेटा फलन है। इस विस्तार की प्रथम कुछ नियम इस प्रकार से हैं: | जहाँ {{mvar|''B''<sub>''k''</sub>}} है kth [[बर्नौली संख्या]] और {{mvar|ζ}} रीमैन ज़ेटा फलन है। इस विस्तार की प्रथम कुछ नियम इस प्रकार से हैं: | ||
:<math>\psi(z) \approx \ln z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{12z^2} + \frac{1}{120z^4} - \frac{1}{252z^6} + \frac{1}{240z^8} - \frac{1}{132z^{10}} + \frac{691}{32760z^{12}} - \frac{1}{12z^{14}} + \cdots.</math> | :<math>\psi(z) \approx \ln z - \frac{1}{2z} - \frac{1}{12z^2} + \frac{1}{120z^4} - \frac{1}{252z^6} + \frac{1}{240z^8} - \frac{1}{132z^{10}} + \frac{691}{32760z^{12}} - \frac{1}{12z^{14}} + \cdots.</math> | ||
चूंकि अनंत योग किसी भी {{mvar|''z''}} के लिए अभिसरित नहीं होता है, जैसे-जैसे {{mvar|''z''}} बढ़ता है, कोई भी परिमित आंशिक योग तीव्र से स्पष्ट हो जाता है। | चूंकि अनंत योग किसी भी {{mvar|''z''}} के लिए अभिसरित नहीं होता है, जैसे-जैसे {{mvar|''z''}} बढ़ता है, कोई भी परिमित आंशिक योग तीव्र से स्पष्ट हो जाता है। | ||
योग में यूलर-मैकलॉरिन फॉर्मूला प्रयुक्त करके विस्तार पाया जा सकता है<ref>{{cite journal| url=http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf|first1=José M.|last1= Bernardo|title= Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation|year=1976|journal=Applied Statistics|volume=25|pages=315–317|doi=10.2307/2347257|jstor=2347257}}</ref> | योग में यूलर-मैकलॉरिन फॉर्मूला प्रयुक्त करके विस्तार पाया जा सकता है<ref>{{cite journal| url=http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf|first1=José M.|last1= Bernardo|title= Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation|year=1976|journal=Applied Statistics|volume=25|pages=315–317|doi=10.2307/2347257|jstor=2347257}}</ref> | ||
:<math>\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{z + n}\right)</math> | :<math>\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{z + n}\right)</math> | ||
विस्तार को गामा फलन के लिए बिनेट के दूसरे अभिन्न सूत्र से आने वाले अभिन्न प्रतिनिधित्व से भी प्राप्त किया जा सकता है। विस्तार <math>t / (t^2 + z^2)</math> ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में और बर्नौली संख्याओं के अभिन्न प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित करने से उपरोक्त के समान ही स्पर्शोन्मुख श्रृंखला बनती है। इसके अतिरिक्त , श्रृंखला के केवल सीमित रूप से कई पदों का विस्तार करने से स्पष्ट त्रुटि पद के साथ सूत्र मिलता है: | विस्तार को गामा फलन के लिए बिनेट के दूसरे अभिन्न सूत्र से आने वाले अभिन्न प्रतिनिधित्व से भी प्राप्त किया जा सकता है। विस्तार <math>t / (t^2 + z^2)</math> ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में और बर्नौली संख्याओं के अभिन्न प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित करने से उपरोक्त के समान ही स्पर्शोन्मुख श्रृंखला बनती है। इसके अतिरिक्त , श्रृंखला के केवल सीमित रूप से कई पदों का विस्तार करने से स्पष्ट त्रुटि पद के साथ सूत्र मिलता है: | ||
:<math>\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} - \sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} + (-1)^{N+1}\frac{2}{z^{2N}} \int_0^\infty \frac{t^{2N+1}\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math> | :<math>\psi(z) = \ln z - \frac{1}{2z} - \sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} + (-1)^{N+1}\frac{2}{z^{2N}} \int_0^\infty \frac{t^{2N+1}\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math> | ||
==असमानताएं== | ==असमानताएं == | ||
कब {{math|''x'' > 0}}, फलन | कब {{math|''x'' > 0}}, फलन | ||
:<math>\ln x - \frac{1}{2x} - \psi(x)</math> | :<math>\ln x - \frac{1}{2x} - \psi(x)</math> | ||
पूर्ण रूप से एकरस और विशेष रूप से सकारात्मक है। यह गामा फलन के लिए बिनेट के पहले इंटीग्रल से आने वाले इंटीग्रल प्रतिनिधित्व पर प्रयुक्त मोनोटोन फ़ंक्शंस पर बर्नस्टीन के प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, उत्तलता असमानता <math>1 + t \le e^t</math>, द्वारा इस प्रतिनिधित्व में समाकलन <math>e^{-tz}/2</math>. द्वारा ऊपर से घिरा हुआ होता है | पूर्ण रूप से एकरस और विशेष रूप से सकारात्मक है। यह गामा फलन के लिए बिनेट के पहले इंटीग्रल से आने वाले इंटीग्रल प्रतिनिधित्व पर प्रयुक्त मोनोटोन फ़ंक्शंस पर बर्नस्टीन के प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, उत्तलता असमानता <math>1 + t \le e^t</math>, द्वारा इस प्रतिनिधित्व में समाकलन <math>e^{-tz}/2</math>. द्वारा ऊपर से घिरा हुआ होता है | ||
:<math>\frac{1}{x} - \ln x + \psi(x)</math>पूर्णतः एकरस भी है। यह इस प्रकार है कि, सभी {{math|''x'' > 0}}, के लिए अनुसरण करता है, | :<math>\frac{1}{x} - \ln x + \psi(x)</math>पूर्णतः एकरस भी है। यह इस प्रकार है कि, सभी {{math|''x'' > 0}}, के लिए अनुसरण करता है, | ||
:<math>\ln x - \frac{1}{x} \le \psi(x) \le \ln x - \frac{1}{2x}.</math> | :<math>\ln x - \frac{1}{x} \le \psi(x) \le \ln x - \frac{1}{2x}.</math> | ||
यह होर्स्ट अल्ज़र के एक प्रमेय को पुनः प्राप्त करता है।<ref>{{cite journal |jstor=2153660 |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1997-66-217/S0025-5718-97-00807-7/S0025-5718-97-00807-7.pdf|title=गामा और साई कार्यों के लिए कुछ असमानताओं पर|last1=Alzer |first1=Horst |journal=Mathematics of Computation |year=1997 |volume=66 |issue=217 |pages=373–389 |doi=10.1090/S0025-5718-97-00807-7 }}</ref> एल्ज़र ने यह भी प्रमाणित किया कि {{math|''s'' ∈ (0, 1)}} के लिए, | यह होर्स्ट अल्ज़र के एक प्रमेय को पुनः प्राप्त करता है।<ref>{{cite journal |jstor=2153660 |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1997-66-217/S0025-5718-97-00807-7/S0025-5718-97-00807-7.pdf|title=गामा और साई कार्यों के लिए कुछ असमानताओं पर|last1=Alzer |first1=Horst |journal=Mathematics of Computation |year=1997 |volume=66 |issue=217 |pages=373–389 |doi=10.1090/S0025-5718-97-00807-7 }}</ref> एल्ज़र ने यह भी प्रमाणित किया कि {{math|''s'' ∈ (0, 1)}} के लिए, | ||
:<math>\frac{1 - s}{x + s} < \psi(x + 1) - \psi(x + s),</math> | :<math>\frac{1 - s}{x + s} < \psi(x + 1) - \psi(x + s),</math> | ||
संबंधित सीमाएँ एलेज़ोविक, जिओर्डानो और पेकारिक द्वारा प्राप्त की गईं, जिन्होंने यह प्रमाणित किया {{math|''x'' > 0 }}, के लिए, | संबंधित सीमाएँ एलेज़ोविक, जिओर्डानो और पेकारिक द्वारा प्राप्त की गईं, जिन्होंने यह प्रमाणित किया {{math|''x'' > 0 }}, के लिए, | ||
:<math>\ln(x + \tfrac{1}{2}) - \frac{1}{x} < \psi(x) < \ln(x + e^{-\gamma}) - \frac{1}{x},</math> | :<math>\ln(x + \tfrac{1}{2}) - \frac{1}{x} < \psi(x) < \ln(x + e^{-\gamma}) - \frac{1}{x},</math> | ||
जहाँ <math>\gamma=-\psi(1)</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।<ref>{{cite journal |doi=10.7153/MIA-03-26|title=गौत्शी की असमानता में सर्वोत्तम सीमा|year=2000 |last1=Elezović |first1=Neven |last2=Giordano |first2=Carla |last3=Pečarić |first3=Josip |journal=Mathematical Inequalities & Applications |issue=2 |pages=239–252 |doi-access=free }}</ref> स्थिरांक (<math>0.5</math> और <math>e^{-\gamma}\approx0.56</math>) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव होती है।<ref>{{cite journal | arxiv=0902.2524 | doi=10.1515/anly-2014-0001 | title=पीएसआई फ़ंक्शन और हार्मोनिक संख्याओं के लिए तीव्र असमानताएं| year=2014 | last1=Guo | first1=Bai-Ni | last2=Qi | first2=Feng | journal=Analysis | volume=34 | issue=2 | s2cid=16909853 }}</ref> | जहाँ <math>\gamma=-\psi(1)</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।<ref>{{cite journal |doi=10.7153/MIA-03-26|title=गौत्शी की असमानता में सर्वोत्तम सीमा|year=2000 |last1=Elezović |first1=Neven |last2=Giordano |first2=Carla |last3=Pečarić |first3=Josip |journal=Mathematical Inequalities & Applications |issue=2 |pages=239–252 |doi-access=free }}</ref> स्थिरांक (<math>0.5</math> और <math>e^{-\gamma}\approx0.56</math>) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव होती है।<ref>{{cite journal | arxiv=0902.2524 | doi=10.1515/anly-2014-0001 | title=पीएसआई फ़ंक्शन और हार्मोनिक संख्याओं के लिए तीव्र असमानताएं| year=2014 | last1=Guo | first1=Bai-Ni | last2=Qi | first2=Feng | journal=Analysis | volume=34 | issue=2 | s2cid=16909853 }}</ref> | ||
इस प्रकार से [[माध्य मान प्रमेय]] गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि {{math|''x'' > ''c''}}, जहाँ {{math|''c'' ≈ 1.461}} | इस प्रकार से [[माध्य मान प्रमेय]] गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि {{math|''x'' > ''c''}}, जहाँ {{math|''c'' ≈ 1.461}} डायगामा फलन का अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक मूल है, और यदि {{math|''s'' > 0}}, तब | ||
:<math>\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).</math> | :<math>\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).</math> | ||
इसके अतिरिक्त , समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य {{math|''s'' {{=}} 1}} है .<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.jmaa.2013.05.045 |doi-access=free|title=Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities |year=2013 |last1=Laforgia |first1=Andrea |last2=Natalini |first2=Pierpaolo |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=407 |issue=2 |pages=495–504 }}</ref> | इसके अतिरिक्त , समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य {{math|''s'' {{=}} 1}} है .<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.jmaa.2013.05.045 |doi-access=free|title=Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities |year=2013 |last1=Laforgia |first1=Andrea |last2=Natalini |first2=Pierpaolo |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=407 |issue=2 |pages=495–504 }}</ref> | ||
शास्त्रीय गामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्रेरित होकर, होर्ज्ट अल्ज़र और ग्राहम जेमिसन ने अन्य संवाद के अतिरिक्त , | शास्त्रीय गामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्र | ||