डायगामा फंक्शन: Difference between revisions

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[[File:Digamma.png|thumb|300px|~~डिगामा~~ फलन <math>\psi(z)</math>, [[डोमेन रंग]] का उपयोग करके कल्पना की गई]]

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[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|~~डिगामा~~ के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं]]गणित में, डि[[गामा फ़ंक्शन|~~गामा~~ फलन]] को गामा फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/>

[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|डायगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं]]गणित में, डायगामा [[गामा फ़ंक्शन|फलन]] को गामा फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/>

:<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math>

यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]] और <math>(0,\infty)</math> पर जटिलता से अवतल है ,<ref>{{Cite journal |last1=Alzer |first1=Horst |last2=Jameson |first2=Graham |date=2017 |title=डिगामा फ़ंक्शन और संबंधित परिणामों के लिए एक हार्मोनिक माध्य असमानता|url=https://core.ac.uk/download/pdf/228202664.pdf |journal=Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova |volume=137 |pages=203–209|doi=10.4171/RSMUP/137-10 }}</ref> और यह [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] के रूप में व्यवहार करता है<ref>{{cite web |url=https://dlmf.nist.gov/5.11 |title=NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11.}}</ref>

:<math>\psi(z) \sim \ln{z} - \frac{1}{2z},</math>

इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए।

~~डिगामा~~ फलन को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] ~~डि[[गामा]]~~ का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।

डायगामा फलन को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] डायगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।

==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध==

गामा फलन समीकरण का पालन करता है

:<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z). \, </math>

Line 20:

:<math>\Gamma'(z+1)=z\Gamma'(z)+\Gamma(z) \, </math>

{{math|Γ(''z'' + 1)}} या समकक्ष {{math|''z''Γ(''z'')}} से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

:<math>\frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)}=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}+\frac{1}{z}</math>

Line 26:

:<math>\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}</math>

चूँकि [[हार्मोनिक संख्या]]एँ धनात्मक पूर्णांकों {{mvar|n}} के लिए परिभाषित की जाती हैं जैसा

:<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math>

~~डिगामा~~ फलन उनसे संबंधित होती है

डायगामा फलन उनसे संबंधित होती है

:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math>

जहाँ {{math|''H''0 {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए ~~डिगामा~~ फलन मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math>

जहाँ {{math|''H''0 {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डायगामा फलन मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math>

==अभिन्न प्रतिनिधित्व==

यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण ~~डिगामा~~ फलन में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>

यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण डायगामा फलन में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>

:<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math>

इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है:

:<math>\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt.</math>

इंटीग्रल यूलर की हार्मोनिक संख्या <math>H_z</math>, है अतः पिछला सूत्र भी लिखा जा सकता है

:<math>\psi(z + 1) = \psi(1) + H_z.</math>

एक परिणाम पुनरावृत्ति संबंध का निम्नलिखित सामान्यीकरण है:

Line 44:

डिरिचलेट के कारण अभिन्न प्रतिनिधित्व है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3"/> :<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}.</math>

<math>\psi</math> के स्पर्शोन्मुख विस्तार की प्रारंभिक रूप से देने के लिए गॉस के अभिन्न प्रतिनिधित्व में हेरफेर किया जा सकता है .<ref>Whittaker and Watson, 12.31.</ref>

:<math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \int_0^\infty \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{e^t - 1}\right)e^{-tz}\,dt.</math>

इस प्रकार से यह सूत्र गामा फलन के लिए बिनेट के पहले अभिन्न अंग का भी परिणाम है। इंटीग्रल को [[लाप्लास परिवर्तन]] के रूप में पहचाना जा सकता है।

गामा फलन के लिए बिनेट का दूसरा इंटीग्रल अलग सूत्र <math>\psi</math> देता है जो स्पर्शोन्मुख विस्तार के पहले कुछ पद भी देता है:<ref>Whittaker and Watson, 12.32, example.</ref>

:<math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math>

की परिभाषा से <math>\psi</math> और गामा फलन का अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है

:<math>\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_0^\infty t^{z-1} \ln (t) e^{-t}\,dt,</math>

साथ <math>\Re z > 0</math>.<ref>{{cite web | url=https://dlmf.nist.gov/5.9 | title=NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.9.}}</ref>

Line 58:

==अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व==

फलन <math>\psi(z)/\Gamma(z)</math> संपूर्ण फलन है,<ref name=MezoHoffman/> और इसे अनंत उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है

:<math>

Line 64:

\right)e^{\frac{z}{x_k}}.

</math>

यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

नोट: ~~डिगामा~~ फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान है.

नोट: डायगामा फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान है.

==श्रृंखला प्रतिनिधित्व==

==श्रृंखला प्रतिनिधित्व ==

===श्रृंखला सूत्र===

===श्रृंखला सूत्र ===

गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, ~~डिगामा~~ फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align}

गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डायगामा फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align}

\psi(z + 1)

&= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\

Line 83:

&= -\gamma + \sum_{n=0}^\infty \frac{z-1}{(n + 1)(n + z)}, \qquad z \neq 0, -1, -2, \ldots, \\

\end{align}</math>

====तर्कसंगत फलन के योग का मूल्यांकन====

उपरोक्त पहचान का उपयोग फॉर्म के योग का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है

: <math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)},</math>

जहाँ {{math|''p''(''n'')}} और {{math|''q''(''n'')}} के बहुपद {{mvar|n}} हैं .

जटिल क्षेत्र में {{mvar|un}} पर [[आंशिक अंश]] निष्पादित करना, उस स्थिति में जब {{math|''q''(''n'')}} की सभी जड़ें सरल जड़ें हों,

: <math>u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}.</math>

श्रृंखला को एकाकार करने के लिए,

:<math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0,</math>

अन्यथा श्रृंखला [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] से उच्च होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह

:<math>\sum_{k=1}^m a_k=0,</math>

Line 105:

&=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) \\

&=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k).

\end{align}</math>

उच्च रैंक पॉलीगामा फलन के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है

:<math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k),</math>

Line 112:

===[[टेलर श्रृंखला]]===

~~डिगामा~~ में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है.

डायगामा में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है.

:<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math>

जिसके लिए अभिसरण होता है {{math|{{abs|''z''}} < 1}}. यहाँ, {{math|''ζ''(''n'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] है। यह श्रृंखला [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]] के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है।

===न्यूटन श्रृंखला===

===न्यूटन श्रृंखला ===

~~डिगामा~~ के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal

डायगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal

| last = Blagouchine | first = Ia. V.

| arxiv = 1606.02044

Line 126:

| title = Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions

| volume = 18A

| year = 2018| bibcode = 2016arXiv160602044B}}</ref> पढ़ता

:<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math>

जहाँ {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है

:<math>

\psi(s+1) = -\gamma - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-

\frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1,

</math>

जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" />

===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला===

===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला ===

इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले ~~डिगामा~~ के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''''n''}} है

इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डायगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''''n''}} है

:<math>

\psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad

Line 150:

\Re (v) >0,

</math>

जहाँ {{math|(''v'')''n''}} गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है {{math|(''v'')''n'' {{=}}

''v''(''v''+1)(''v''+2) ... (''v''+''n''-1)}}, {{math|''G''''n''(''k'')}} उच्च क्रम के [[ग्रेगरी गुणांक]] हैं {{math|''G''''n''(1) {{=}} ''G''''n''}}, {{math|Γ}} गामा फलन है और {{math|ζ}} हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन है।<ref name="blag2016">{{cite journal

| last = Blagouchine | first = Ia. V.

| arxiv = 1408.3902

Line 166:

\psi(v)=\ln(v-1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad

\Re(v) >1,

</math>

[[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]] वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है:<ref name="blag2018" /> <math>

\psi(v)=\ln(v+a) + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\psi_{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad \Re(v)>-a,

</math>

जहाँ {{math|''ψn''(''a'')}} जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं

समीकरण

: <math>

\frac{z(1+z)^a}{\ln(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(a) \,,\qquad |z|<1\,,

</math>

इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है

: <math>

\psi(v)= \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l) + \frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}},

\qquad \Re(v)>-a, \quad r=1,2,3,\ldots

</math>

जहां बहुपद {{math|''Nn,r''(''a'')}} निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं

: <math>

\frac{(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}=\sum_{n=0}^\infty N_{n,m}(a) z^n , \qquad |z|<1,

</math>

जिससे {{math|''Nn,1''(''a'') {{=}} ''ψn''(''a'')}}.<ref name="blag2018" /> गामा फलन के लघुगणक के साथ समान अभिव्यक्तियों में ये सूत्र सम्मिलित होते हैं<ref name="blag2018" />: <math>

\psi(v)= \frac{1}{v+a-\tfrac12}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n \psi_{n+1}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},\qquad \Re(v)>-a,

</math>

और<math>

और <math>

\psi(v)= \frac{1}{\tfrac{1}{2}r+v+a-1}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{r-2} (r-n-1)\ln(v+a+n) +\frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},

</math>

जहाँ <math>\Re(v)>-a</math> और <math>r=2,3,4,\ldots</math>.

==[[प्रतिबिंब सूत्र]]==

~~डिगामा~~ फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:

डायगामा फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:

~~:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>~~

~~==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन==~~

~~डिगामा फलन [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है~~

:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\~~frac{1}{~~x}.</math>

:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>

~~इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है~~ ~~के लिए~~ है

==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन ==

डायगामा फलन [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है

:<math>\~~Delta [~~\psi](x)=\frac{1}{x}</math>

:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math>

~~जहाँ~~ {{math|Δ}} ~~[[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग~~ के ~~पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ~~ है

इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है के लिए है

:<math>\psi(n)=H_{n-1}~~-\gamma~~</math>

:<math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math>

जहाँ {{~~mvar~~|γ}} ~~यूलर-माशेरोनी स्थिरांक~~ है।

जहाँ {{math|Δ}} [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है

~~अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है~~

:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math>

जहाँ {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

~~:<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math>~~

अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है

~~के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है:~~

~~:<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>~~,

~~जहाँ <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}}~~ के ~~लिए विचलन करती~~ है ~~और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।~~

~~वास्तव में~~, {{~~mvar~~|ψ}} ~~फलन समीकरण का एकमात्र समाधान~~ है

:<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math>

के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है:

:<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>,

जहाँ <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}} के लिए विचलन करती है और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

~~:<math>F(x+1)=F(x)+\frac~~{~~1}{x}</math>~~

वास्तव में, {{mvar|ψ}} फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है

'''वह मोनोटोनिक फलन है {{math|'''[[Real number|R]]'''+}} और संतुष्ट करता है {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}}. यह तथ्य विशिष्टता की तुरंत पुष्टि करता है {~~{math~~|Γ}} फलन को इसकी पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध दिया गया है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है~~:'''~~

यह {{math|'''[[Real number|R]]'''+}} पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:

:<math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math>

यह {{math|'''[[Real number|R]]'''+}} पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:

: <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math>

==~~डिगामा~~ फलन से जुड़े कुछ सीमित योग ==

==डायगामा फलन से जुड़े कुछ सीमित योग ==

~~डिगामा~~ फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे

डायगामा फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे

:<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math>

:<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\exp\dfrac{2\pi rki}{m} = m\ln \left(1-\exp\frac{2\pi ki}{m}\right), \qquad k\in\Z,\quad m\in\N,\ k\ne m.</math>

: <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cos\dfrac{2\pi rk}{m} = m \ln \left(2\sin\frac{k\pi}{m}\right)+\gamma, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math>

:<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\frac{2\pi rk}{m} =\frac{\pi}{2} (2k-m), \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math>

गॉस के कारण हैं।<ref>R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.</ref><ref>H.M. Srivastava and J. Choi. ''Series Associated with the Zeta and Related Functions'', Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.</ref> अधिक जटिल सूत्र, जैसे

: <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\cos\frac{(2r+1)k\pi }{m} = m\ln\left(\tan\frac{\pi k}{2m}\right) ,\qquad k=1, 2,\ldots,

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-[[File:Digamma.png|thumb|300px|डिगामा फलन   <math>\psi(z)</math>,<br>[[डोमेन रंग]] का उपयोग करके कल्पना की गई]]
+[[File:Digamma.png|thumb|300px|डायगामा  फलन <math>\psi(z)</math>,<br>[[डोमेन रंग]] का उपयोग करके कल्पना की गई]]
-[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|डिगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन  करते हैं]]गणित में, डि[[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]]   को गामा फलन   के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/>
+[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|डायगामा  के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं]]गणित में, डायगामा  [[गामा फ़ंक्शन|फलन]] को गामा फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/>
 :<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math>
-यह पॉलीगामा  फलन   में से प्रथम होता  है। यह फलन कठोरता  से बढ़ रहा है और  [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]]  और <math>(0,\infty)</math> पर जटिलता   से अवतल है  ,<ref>{{Cite journal |last1=Alzer |first1=Horst |last2=Jameson |first2=Graham |date=2017 |title=डिगामा फ़ंक्शन और संबंधित परिणामों के लिए एक हार्मोनिक माध्य असमानता|url=https://core.ac.uk/download/pdf/228202664.pdf |journal=Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova |volume=137 |pages=203–209|doi=10.4171/RSMUP/137-10 }}</ref> और यह [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] के रूप में व्यवहार करता है<ref>{{cite web |url=https://dlmf.nist.gov/5.11 |title=NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11.}}</ref>
+यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]] और <math>(0,\infty)</math> पर जटिलता से अवतल है ,<ref>{{Cite journal |last1=Alzer |first1=Horst |last2=Jameson |first2=Graham |date=2017 |title=डिगामा फ़ंक्शन और संबंधित परिणामों के लिए एक हार्मोनिक माध्य असमानता|url=https://core.ac.uk/download/pdf/228202664.pdf |journal=Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova |volume=137 |pages=203–209|doi=10.4171/RSMUP/137-10 }}</ref> और यह [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] के रूप में व्यवहार करता है<ref>{{cite web |url=https://dlmf.nist.gov/5.11 |title=NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11.}}</ref>
 :<math>\psi(z) \sim \ln{z} - \frac{1}{2z},</math>
-इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च  तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए।
+इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए।
-डिगामा फलन   को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है  या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] डि[[गामा]] का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।
+डायगामा  फलन को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] डायगामा  का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।
 ==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध==
-गामा फलन   समीकरण का पालन करता है
+गामा फलन समीकरण का पालन करता है
 :<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z). \, </math>
@@ Line 20: / Line 20: @@
 :<math>\Gamma'(z+1)=z\Gamma'(z)+\Gamma(z) \, </math>
-{{math|Γ(''z'' + 1)}} या समकक्ष  {{math|''z''Γ(''z'')}}  से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
+{{math|Γ(''z'' + 1)}} या समकक्ष {{math|''z''Γ(''z'')}} से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
 :<math>\frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)}=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}+\frac{1}{z}</math>
@@ Line 26: / Line 26: @@
 :<math>\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}</math>
-चूँकि [[हार्मोनिक संख्या]]एँ धनात्मक पूर्णांकों  {{mvar|n}} के लिए परिभाषित की जाती हैं  जैसा
+चूँकि [[हार्मोनिक संख्या]]एँ धनात्मक पूर्णांकों {{mvar|n}} के लिए परिभाषित की जाती हैं जैसा
 :<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math>
-डिगामा फलन   उनसे संबंधित होती  है
+डायगामा  फलन उनसे संबंधित होती है
 :<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math>
-जहाँ  {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डिगामा फलन   मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math>
+जहाँ {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डायगामा  फलन मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math>
 ==अभिन्न प्रतिनिधित्व==
-यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण डिगामा फलन   में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>
+यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण डायगामा  फलन में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref>
 :<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math>
-इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता  देता है:
+इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है:
 :<math>\psi(z + 1) = -\gamma + \int_0^1 \left(\frac{1-t^z}{1-t}\right)\,dt.</math>
-इंटीग्रल यूलर की हार्मोनिक संख्या <math>H_z</math>, है  अतः पिछला सूत्र भी लिखा जा सकता है
+इंटीग्रल यूलर की हार्मोनिक संख्या <math>H_z</math>, है अतः पिछला सूत्र भी लिखा जा सकता है
 :<math>\psi(z + 1) = \psi(1) + H_z.</math>
 एक परिणाम पुनरावृत्ति संबंध का निम्नलिखित सामान्यीकरण है:
@@ Line 44: / Line 44: @@
 डिरिचलेट के कारण अभिन्न प्रतिनिधित्व है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3"/> :<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(e^{-t} - \frac{1}{(1 + t)^z}\right)\,\frac{dt}{t}.</math>
-<math>\psi</math> के स्पर्शोन्मुख विस्तार की प्रारंभिक रूप से   देने के लिए गॉस के अभिन्न प्रतिनिधित्व में हेरफेर किया जा सकता है .<ref>Whittaker and Watson, 12.31.</ref>
+<math>\psi</math> के स्पर्शोन्मुख विस्तार की प्रारंभिक रूप से देने के लिए गॉस के अभिन्न प्रतिनिधित्व में हेरफेर किया जा सकता है .<ref>Whittaker and Watson, 12.31.</ref>
 :<math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - \int_0^\infty \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{e^t - 1}\right)e^{-tz}\,dt.</math>
-इस प्रकार से यह सूत्र गामा फलन   के लिए बिनेट के पहले अभिन्न अंग का भी परिणाम है। इंटीग्रल को [[लाप्लास परिवर्तन]] के रूप में पहचाना जा सकता है।
+इस प्रकार से यह सूत्र गामा फलन के लिए बिनेट के पहले अभिन्न अंग का भी परिणाम है। इंटीग्रल को [[लाप्लास परिवर्तन]] के रूप में पहचाना जा सकता है।
-गामा फलन   के लिए बिनेट का दूसरा इंटीग्रल अलग सूत्र  <math>\psi</math> देता है  जो स्पर्शोन्मुख विस्तार के पहले कुछ पद भी देता है:<ref>Whittaker and Watson, 12.32, example.</ref>
+गामा फलन के लिए बिनेट का दूसरा इंटीग्रल अलग सूत्र <math>\psi</math> देता है जो स्पर्शोन्मुख विस्तार के पहले कुछ पद भी देता है:<ref>Whittaker and Watson, 12.32, example.</ref>
 :<math>\psi(z) = \log z - \frac{1}{2z} - 2\int_0^\infty \frac{t\,dt}{(t^2 + z^2)(e^{2\pi t} - 1)}.</math>
-की परिभाषा से <math>\psi</math> और गामा फलन   का अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है
+की परिभाषा से <math>\psi</math> और गामा फलन का अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है
 :<math>\psi(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_0^\infty  t^{z-1} \ln (t) e^{-t}\,dt,</math>
 साथ <math>\Re z > 0</math>.<ref>{{cite web | url=https://dlmf.nist.gov/5.9 | title=NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.9.}}</ref>
@@ Line 58: / Line 58: @@
 ==अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व==
-फलन  <math>\psi(z)/\Gamma(z)</math> संपूर्ण फलन  है,<ref name=MezoHoffman/> और इसे अनंत उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है
+फलन <math>\psi(z)/\Gamma(z)</math> संपूर्ण फलन है,<ref name=MezoHoffman/> और इसे अनंत उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है
 :<math>
@@ Line 64: / Line 64: @@
 \right)e^{\frac{z}{x_k}}.
 </math>
-यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th  शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
+यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
-नोट: डिगामा फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान  है.
+नोट: डायगामा  फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान है.
-==श्रृंखला प्रतिनिधित्व==
+==श्रृंखला प्रतिनिधित्व ==
-===श्रृंखला सूत्र===
+===श्रृंखला सूत्र ===
-गामा फलन   के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डिगामा फलन   के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align}
+गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डायगामा  फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align}
 \psi(z + 1)
 &= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\
@@ Line 83: / Line 83: @@
 &= -\gamma + \sum_{n=0}^\infty \frac{z-1}{(n + 1)(n + z)}, \qquad z \neq 0, -1, -2, \ldots, \\
 \end{align}</math>
-====तर्कसंगत फलन   के योग का मूल्यांकन====
+====तर्कसंगत फलन के योग का मूल्यांकन====
 उपरोक्त पहचान का उपयोग फॉर्म के योग का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है
 : <math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{p(n)}{q(n)},</math>
-जहाँ  {{math|''p''(''n'')}} और {{math|''q''(''n'')}} के बहुपद {{mvar|n}} हैं .
+जहाँ {{math|''p''(''n'')}} और {{math|''q''(''n'')}} के बहुपद {{mvar|n}} हैं .
 जटिल क्षेत्र में {{mvar|u<sub>n</sub>}} पर [[आंशिक अंश]] निष्पादित करना, उस स्थिति में जब {{math|''q''(''n'')}} की सभी जड़ें सरल जड़ें हों,
 : <math>u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n+b_k}.</math>
 श्रृंखला को एकाकार करने के लिए,
 :<math>\lim_{n\to\infty} nu_n=0,</math>
-अन्यथा श्रृंखला [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] से उच्च  होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह
+अन्यथा श्रृंखला [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] से उच्च होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह
 :<math>\sum_{k=1}^m a_k=0,</math>
@@ Line 105: / Line 105: @@
 &=-\sum_{k=1}^m a_k\big(\psi(b_k)+\gamma\big) \\
 &=-\sum_{k=1}^m a_k\psi(b_k).
 \end{align}</math>
-उच्च रैंक पॉलीगामा फलन   के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है
+उच्च रैंक पॉलीगामा फलन के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है
 :<math>\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{(n+b_k)^{r_k}}=\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{r_k}}{(r_k-1)!}a_k\psi^{(r_k-1)}(b_k),</math>
@@ Line 112: / Line 112: @@
 ===[[टेलर श्रृंखला]]===
-डिगामा में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है.
+डायगामा  में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है.
 :<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math>
-जिसके लिए अभिसरण होता है {{math|{{abs|''z''}} < 1}}. यहाँ, {{math|''ζ''(''n'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]]   है। यह श्रृंखला [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]]   के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है।
+जिसके लिए अभिसरण होता है {{math|{{abs|''z''}} < 1}}. यहाँ, {{math|''ζ''(''n'')}} [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] है। यह श्रृंखला [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन]] के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है।
-===न्यूटन श्रृंखला===
+===न्यूटन श्रृंखला ===
-डिगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal
+डायगामा  के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal
   | last = Blagouchine | first = Ia. V.
   | arxiv = 1606.02044
@@ Line 126: / Line 126: @@
   | title = Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions
   | volume = 18A
   | year = 2018| bibcode = 2016arXiv160602044B}}</ref> पढ़ता
 :<math>\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s}{k}</math>
-जहाँ  {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है
+जहाँ {{math|<big><big>(</big></big>{{su|p=''s''|b=''k''}}<big><big>)</big></big>}} [[द्विपद गुणांक]] है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है
 :<math>
 \psi(s+1) = -\gamma -   \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-
 \frac{1}{m}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}\left\{\binom{s+m}{k+1}-\binom{s}{k+1}\right\},\qquad \Re(s)>-1,
 </math>
-जहाँ  {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" />
+जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" />
-===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला===
+===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला ===
-इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डिगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ  हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''<sub>''n''</sub>}} है
+इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डायगामा  के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''<sub>''n''</sub>}} है
 :<math>
 \psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad
@@ Line 150: / Line 150: @@
 \Re (v) >0,
 </math>
-जहाँ  {{math|(''v'')<sub>''n''</sub>}} गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है {{math|(''v'')<sub>''n''</sub> {{=}}
+जहाँ {{math|(''v'')<sub>''n''</sub>}} गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है {{math|(''v'')<sub>''n''</sub> {{=}}
-''v''(''v''+1)(''v''+2) ... (''v''+''n''-1)}}, {{math|''G''<sub>''n''</sub>(''k'')}} उच्च क्रम के [[ग्रेगरी गुणांक]] हैं {{math|''G''<sub>''n''</sub>(1) {{=}} ''G''<sub>''n''</sub>}}, {{math|&Gamma;}} गामा फलन   है और {{math|&zeta;}} हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन   है।<ref name="blag2016">{{cite journal
+''v''(''v''+1)(''v''+2) ... (''v''+''n''-1)}}, {{math|''G''<sub>''n''</sub>(''k'')}} उच्च क्रम के [[ग्रेगरी गुणांक]] हैं {{math|''G''<sub>''n''</sub>(1) {{=}} ''G''<sub>''n''</sub>}}, {{math|&Gamma;}} गामा फलन है और {{math|&zeta;}} हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन है।<ref name="blag2016">{{cite journal
   | last = Blagouchine | first = Ia. V.
   | arxiv = 1408.3902
@@ Line 166: / Line 166: @@
 \psi(v)=\ln(v-1) + \sum_{n=1}^\infty\frac{C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad
 \Re(v) >1,
 </math>
-[[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]] वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित  है:<ref name="blag2018" /> <math>
+[[दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद]] वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है:<ref name="blag2018" />  <math>
 \psi(v)=\ln(v+a) + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\psi_{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad \Re(v)>-a,
 </math>
-जहाँ  {{math|''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}} जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं
+जहाँ {{math|''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}} जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं
 समीकरण
 : <math>
 \frac{z(1+z)^a}{\ln(1+z)}= \sum_{n=0}^\infty z^n \psi_n(a) \,,\qquad |z|<1\,,
 </math>
 इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है
 : <math>
 \psi(v)= \frac{1}{r}\sum_{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l) + \frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}},
 \qquad \Re(v)>-a, \quad r=1,2,3,\ldots
 </math>
 जहां बहुपद {{math|''N<sub>n,r</sub>''(''a'')}} निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं
 : <math>
 \frac{(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}=\sum_{n=0}^\infty N_{n,m}(a) z^n , \qquad |z|<1,
 </math>
-जिससे  {{math|''N<sub>n,1</sub>''(''a'') {{=}} ''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}}.<ref name="blag2018" /> गामा फलन   के लघुगणक के साथ समान अभिव्यक्तियों में ये सूत्र सम्मिलित होते   हैं<ref name="blag2018" />: <math>
+जिससे {{math|''N<sub>n,1</sub>''(''a'') {{=}} ''ψ<sub>n</sub>''(''a'')}}.<ref name="blag2018" /> गामा फलन के लघुगणक के साथ समान अभिव्यक्तियों में ये सूत्र सम्मिलित होते हैं<ref name="blag2018" />: <math>
 \psi(v)= \frac{1}{v+a-\tfrac12}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n \psi_{n+1}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},\qquad \Re(v)>-a,
 </math>
-और<math>
+और <math>
 \psi(v)= \frac{1}{\tfrac{1}{2}r+v+a-1}\left\{\ln\Gamma(v+a) + v - \frac12\ln2\pi - \frac12 + \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{r-2} (r-n-1)\ln(v+a+n) +\frac{1}{r}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}(n-1)!\right\},
 </math>
-जहाँ  <math>\Re(v)>-a</math> और <math>r=2,3,4,\ldots</math>.
+जहाँ <math>\Re(v)>-a</math> और <math>r=2,3,4,\ldots</math>.
 ==[[प्रतिबिंब सूत्र]]==
-डिगामा फलन   गामा फलन   के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:
+डायगामा  फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:
-:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>
-==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन==
-डिगामा फलन   [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है
-:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math>
+:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math>
-इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है  के लिए है
+==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन ==
+डायगामा  फलन [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है
-:<math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math>
+:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math>
-जहाँ  {{math|Δ}} [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है
+इस प्रकार इसे दूरबीन {{math|1 / ''x''}}, कहा जा सकता है के लिए है
-:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math>
+:<math>\Delta [\psi](x)=\frac{1}{x}</math>
-जहाँ  {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
+जहाँ {{math|Δ}} [[फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर]] है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है
-अधिक सामान्यतः, किसी के समीप  होता है
+:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma</math>
+जहाँ {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
-:<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math>
+अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है
-के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है:
-:<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>,
-जहाँ  <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}} के लिए विचलन करती है  और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।
-वास्तव में, {{mvar|ψ}} फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है
+:<math>\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{z+k} \right). </math>
+के लिए <math> \mathrm{Re}(z)>0</math>. अन्य शृंखला विस्तार है:
+:<math> \psi(1+z)=\ln(z)+\frac{1}{2z}-\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \frac{B_{2j}}{2jz^{2j}} </math>,
+जहाँ <math>B_{2j}</math> बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी {{math|''z''}} के लिए विचलन करती है और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।
-:<math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math>
+वास्तव में, {{mvar|ψ}} फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है
-'''वह मोनोटोनिक फलन   है {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} और संतुष्ट करता है {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}}. यह तथ्य विशिष्टता की तुरंत पुष्टि करता है {{math|Γ}} फलन   को इसकी पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध दिया गया है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:'''
-यह {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}}  पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन   की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:
+:<math>F(x+1)=F(x)+\frac{1}{x}</math>
+यह {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} पर मोनोटोनिक है और {{math|''F''(1) {{=}} −''γ''}} को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए {{math|Γ}} फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:
 : <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math>
-==डिगामा फलन   से जुड़े कुछ सीमित योग ==
+==डायगामा  फलन से जुड़े कुछ सीमित योग ==
-डिगामा फलन   के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे
+डायगामा  फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे
 :<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math>
 :<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\exp\dfrac{2\pi rki}{m} = m\ln \left(1-\exp\frac{2\pi ki}{m}\right), \qquad k\in\Z,\quad m\in\N,\ k\ne m.</math>
 : <math>\sum_{r=1}^{m-1} \psi\left(\frac{r}{m}\right)\cdot\cos\dfrac{2\pi rk}{m} = m \ln \left(2\sin\frac{k\pi}{m}\right)+\gamma, \qquad k=1, 2,\ldots, m-1 </math>
 :<math>\sum_{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right) \cdot\sin\frac{2\pi rk}{m} =\frac{\pi}{2} (2k-m), \qquad  k=1, 2,\ldots, m-1 </math>
 गॉस के कारण हैं।<ref>R. Campbell. ''Les intégrales eulériennes et leurs applications'', Dunod, Paris, 1966.</ref><ref>H.M. Srivastava and J. Choi. ''Series Associated with the Zeta and Related Functions'', Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.</ref> अधिक जटिल सूत्र, जैसे
-: <math>\sum_{r=0}^{m-1} \psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot\cos\frac{(2r+1)k\pi }{m} = m\ln\left(\tan\frac{\pi k}{2m}\right) ,\qquad k=1, 2,\ldots,