शूटिंग विधि: Difference between revisions
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{{Short description|Method for solving boundary value problems}} | {{Short description|Method for solving boundary value problems}} | ||
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, शूटिंग विधि | [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, '''शूटिंग विधि''' [[सीमा मूल्य समस्या]] को [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] में कम करके समाधान करने की विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है। | ||
== गणितीय विवरण == | == गणितीय विवरण == | ||
मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को | मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को समाधान करना चाहता है<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y(t_1) = y_1. </math> | ||
मान | मान लीजियह <math> y(t; a) </math> प्रारंभिक-मूल्य समस्या को समाधान करें<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = a. </math> | ||
यदि <math> y(t_1; a) = y_1 </math>, तब <math> y(t; a) </math> सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है। | यदि <math> y(t_1; a) = y_1 </math>, तब <math> y(t; a) </math> सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है। | ||
शूटिंग विधि | शूटिंग विधि अनेकअलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को समाधान करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान <math> y(t; a) </math> नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं<math display="block"> F(a) = y(t_1; a) - y_1. | ||
</math>शूटिंग पैरामीटर <math> a </math> को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है। | </math>शूटिंग पैरामीटर <math> a </math> को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है। | ||
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== व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान == | == व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान == | ||
शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए | शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए सादृश्य है | ||
* स्थान पर | * स्थान पर अवस्था <math>y(t_0) = y_0</math> रखें , तब | ||
* | *परिवर्तन के कोण <math>a = y'(t_0)</math> को अलग-अलग करें | ||
*तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान <math>y(t_1) = y_1</math> तक न पहुंच जाए। | *तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान <math>y(t_1) = y_1</math> तक न पहुंच जाए। | ||
प्रत्येक शॉट के | प्रत्येक शॉट के मध्य, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक समीप लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है। | ||
==रेखीय शूटिंग विधि== | ==रेखीय शूटिंग विधि== | ||
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=== मानक सीमा मान समस्या === | === मानक सीमा मान समस्या === | ||
[[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|223x223px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को | [[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|223x223px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को वृत्त से चिह्नित किया गया है।]][[Image:Shooting method error.svg|thumb|215x215px|चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.]]स्टोअर और बुलिर्श<ref name="Stoer1980">Stoer, J. and Bulirsch, R. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980.</ref> (धारा 7.3.1) द्वारा सीमा मूल्य समस्या इस प्रकार दी गई है। | ||
<math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math> | <math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math> | ||
प्रारंभिक मूल्य समस्या | प्रारंभिक मूल्य समस्या | ||
<math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w'(0) = s</math> | <math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w'(0) = s</math> | ||
चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए | चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए समाधान किया गया था। F के प्लॉट का निरीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि −8 और −36 के पास मूल हैं। w(t;s) के कुछ प्रक्षेप पथ चित्र 1 में दिखाए गए हैं। | ||
स्टोअर और बुलिर्श<ref name = "Stoer1980"/> बताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय विधियों से पाया जा सकता है। | स्टोअर और बुलिर्श <ref name = "Stoer1980"/> बताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय विधियों से पाया जा सकता है। | ||
यह प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं। | |||
=== आइगेनवेल्यू समस्या === | === आइगेनवेल्यू समस्या === | ||
[[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|210x210px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि | [[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|210x210px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि वेवफलनउत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फलनकी मूल शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के मध्य कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा मध्य में है <math>0.495</math> और <math>0.500</math> (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।]]शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को समाधान करने के लिए भी किया जा सकता है। [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें <math display="block">-\frac{1}{2} \psi_n''(x) + \frac{1}{2} x^2 \psi_n(x) = E_n \psi_n(x).</math> क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सीमा स्थितियों के अधीन सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों <math>\psi_n(x)</math>और उनकी संबंधित ऊर्जाओं की खोज करता है। <math display="block">\psi_n(x \rightarrow +\infty) = \psi_n(x \rightarrow -\infty) = 0.</math>समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से समाधान करके <math>n = 0, 1, 2, \dots</math> के लिए ऊर्जा <math>E_n = n + 1/2</math> का पता लगाया जा सकता है, किंतु यह शूटिंग पद्धति का उत्कृष्ट उदाहरण भी है। इसे प्रयुक्त करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें: | ||
*यदि <math>\psi_n(x)</math> | *यदि <math>\psi_n(x)</math> ईजेनफंक्शन है, तो यह किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक <math>C</math> के लिए यह <math>C \psi_n(x)</math> है। | ||
*n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> की मूल n हैं जहां <math>\psi_n(x) = 0</math> है। | *n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> की मूल n हैं जहां <math>\psi_n(x) = 0</math> है। | ||
*सम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = \psi_n(-x)</math> मूल बिंदु पर सममित और शून्येतर है। | *सम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = \psi_n(-x)</math> मूल बिंदु पर सममित और शून्येतर है। | ||
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# कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं <math>E_n</math>. | # कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं <math>E_n</math>. | ||
# श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय [[परिमित अंतर विधि]] का उपयोग करें<math display="block">-\frac{1}{2} \frac{\psi^{i+1}_n - 2 \psi^i_n + \psi^{i-1}_n}{{\Delta x}^2} + \frac{1}{2} (x^i)^2 \psi^i_n = E_n \psi^i_n.</math> | # श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय [[परिमित अंतर विधि]] का उपयोग करें<math display="block">-\frac{1}{2} \frac{\psi^{i+1}_n - 2 \psi^i_n + \psi^{i-1}_n}{{\Delta x}^2} + \frac{1}{2} (x^i)^2 \psi^i_n = E_n \psi^i_n.</math> | ||
#*यदि n सम है, तो <math>\psi_0</math> को किसी इच्छित संख्या पर स्थित करें (मान लें कि <math>\psi^0_n = 1</math> - तरंगक्रिया को वैसे भी एकीकरण के | #*यदि n सम है, तो <math>\psi_0</math> को किसी इच्छित संख्या पर स्थित करें (मान लें कि <math>\psi^0_n = 1</math> - तरंगक्रिया को वैसे भी एकीकरण के पश्चात् सामान्य किया जा सकता है) और सममित गुण का उपयोग करें शेष सभी <math>\psi_n^i</math> खोजें। | ||
#*यदि n विषम है, तो <math>\psi^0_n = 0</math> को कुछ इच्छित संख्या पर स्थित करें (जैसे कि <math>\psi^1_n = 1</math>- वैसे भी एकीकरण के | #*यदि n विषम है, तो <math>\psi^0_n = 0</math> को कुछ इच्छित संख्या पर स्थित करें (जैसे कि <math>\psi^1_n = 1</math>- वैसे भी एकीकरण के पश्चात् तरंग फलन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी <math>\psi_n^i</math> खोजे | ||
#<math>\psi_n</math> की मूल को गिनें और ऊर्जा <math>E_n</math> के अनुमान को परिष्कृत करें। | #<math>\psi_n</math> की मूल को गिनें और ऊर्जा <math>E_n</math> के अनुमान को परिष्कृत करें। | ||
#*यदि n या उससे कम मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं। | #*यदि n या उससे कम मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं। | ||
Revision as of 15:09, 23 August 2023
संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके समाधान करने की विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।
गणितीय विवरण
मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को समाधान करना चाहता है
मान लीजियह प्रारंभिक-मूल्य समस्या को समाधान करें
यदि , तब सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।
शूटिंग विधि अनेकअलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को समाधान करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं
शूटिंग पैरामीटर को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।
की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि , का मूल है, तो