क्लासेन फलन: Difference between revisions
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[[File:Mplwp Clausen.svg|thumbnail|क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ {{math|Cl{{sub|2}}(''θ'')}}]]गणित में | [[File:Mplwp Clausen.svg|thumbnail|क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ {{math|Cl{{sub|2}}(''θ'')}}]]गणित में {{harvs|txt|first=थॉमस|last=क्लाजेंन|authorlink=थॉमस क्लाजेंन (mathematician)|year=1832}} द्वारा प्रस्तुत '''क्लॉजेन फलन''' एकल चर का एक विशेष फलन है। इसे निश्चित समाकलन, [[त्रिकोणमितीय श्रृंखला]] और विभिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है। यह बहुगणित, प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन, पॉलीगामा फलन, [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन जेटा फलन]], डिरिचलेट एटा फलन और [[डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन|डिरिचलेट बीटा फलन]] के साथ जुड़ा हुआ है। | ||
क्रम 2 का | क्रम 2 का क्लॉजेन फलन - अनेक वर्गों में से समान होने के बाद भी इसे क्लॉजेन फलन के रूप में प्रदर्शित किया जाता है - समाकलन द्वारा दिया जाता है: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=-\int_0^\varphi \log\left|2\sin\frac{x}{2} \right|\, dx:</math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=-\int_0^\varphi \log\left|2\sin\frac{x}{2} \right|\, dx:</math> | ||
अंतराल <math>0 < \varphi < 2\pi\, </math> निरपेक्ष मान से कम [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान के चिह्न को छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फलन के द्वारा फूरियर श्रृंखला को भी प्रदर्शित किया जा सकता है: | |||
:<math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\varphi}{k^2} = \sin\varphi +\frac{\sin 2\varphi}{2^2}+\frac{\sin 3\varphi}{3^2}+\frac{\sin 4\varphi}{4^2}+ \cdots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(\varphi)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\varphi}{k^2} = \sin\varphi +\frac{\sin 2\varphi}{2^2}+\frac{\sin 3\varphi}{3^2}+\frac{\sin 4\varphi}{4^2}+ \cdots </math> | ||
विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों लघुगणक और बहुगणितीय समाकलन के कई वर्गों के परिणाम के संबंध में क्लॉजेन फलन, फलन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] के योग, [[केंद्रीय द्विपद गुणांक]] के प्रतिलोम से जुड़े योग, पॉलीगामा फलन के योग और डिरिचलेट L -श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं। | |||
== | ==मूल गुण== | ||
क्लॉजेन फलन (क्रम 2 के) में <math>\pi, \,</math>सभी (पूर्णांक) गुणकों में शून्य होते हैं यदि <math>k\in \mathbb{Z} \, </math> एक पूर्णांक है, तो <math>\sin k\pi=0</math> | |||
:<math>\operatorname{Cl}_2(m\pi) =0, \quad m= 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \cdots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(m\pi) =0, \quad m= 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \cdots </math> | ||
इसमें | इसमें अधिकतम <math>\theta = \frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math> है | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =1.01494160 \ldots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =1.01494160 \ldots </math> | ||
और | और न्यूनतम <math>\theta = -\frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math> पर है | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(-\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =-1.01494160 \ldots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(-\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =-1.01494160 \ldots </math> | ||
निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के | निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के परिणाम हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta+2m\pi) = \operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(\theta+2m\pi) = \operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(-\theta) = -\operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(-\theta) = -\operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | ||
देखना {{harvtxt| | देखना {{harvtxt|लू | पेरेज|1992}}. | ||
==सामान्य परिभाषा== | ==सामान्य परिभाषा== | ||
| Line 37: | Line 37: | ||
}} | }} | ||
सामान्यतः कोई दो व्यापक क्लॉजेन फलन को परिभाषित करता है: | |||
:<math>\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}</math> | :<math>\operatorname{S}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^z}</math> | ||
:<math>\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}</math> | :<math>\operatorname{C}_z(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^z}</math> | ||
जो Re z >1 के साथ | जो Re z >1 के साथ सम्मिश्र z के लिए मान्य हैं। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता|विश्लेषण संबंधी निरंतरता]] के माध्यम से परिभाषा को सम्पूर्ण सम्मिश्र स्तर तक बढ़ाया जा सकता है। | ||
जब z को एक | जब z को एक ऋणात्मक पूर्णांक से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो 'मानक क्लॉजेन फलन ' को निम्नलिखित फूरियर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math> | ||
| Line 49: | Line 49: | ||
:<math>\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}</math> | :<math>\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}</math> | ||
:<math>\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}</math> | :<math>\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}</math> | ||
N.B. SL-प्रकार क्लॉजेन फलन में वैकल्पिक <math>\operatorname{Gl}_m(\theta)\, </math> अंकन होता है और कभी-कभी इन्हें ग्लैशर-क्लॉजेन फलन ([[जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर]] के बाद, इसलिए GL-अंकन) के रूप में जाना जाता है। | |||
==बर्नौली बहुपद से संबंध== | ==बर्नौली बहुपद से संबंध== | ||
SL-प्रकार क्लॉजेन फलन में<math>\, \theta\, </math> बहुपद हैं जो [[बर्नौली बहुपद]] से संबंधित हैं। यह संबंध बर्नौली बहुपदों के फूरियर श्रृंखला निरूपण से सम्बंधित है: | |||
:<math>B_{2n-1}(x)=\frac{2(-1)^n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.</math> | :<math>B_{2n-1}(x)=\frac{2(-1)^n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.</math> | ||
:<math>B_{2n}(x)=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2\pi kx}{k^{2n}}.</math> | :<math>B_{2n}(x)=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2\pi kx}{k^{2n}}.</math> | ||
उपरोक्त में <math>\, x= \theta/2\pi \, </math>समायोजित करने पर, और फिर पुनः पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से निम्नलिखित विवृत रूप (बहुपद) प्राप्त होती हैं: | |||
:<math>\operatorname{Sl}_{2m}(\theta) = \frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right),</math> | :<math>\operatorname{Sl}_{2m}(\theta) = \frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right),</math> | ||
:<math>\operatorname{Sl}_{2m-1}(\theta) = \frac{(-1)^{m}(2\pi)^{2m-1}}{2(2m-1)!} B_{2m-1}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right), </math> | :<math>\operatorname{Sl}_{2m-1}(\theta) = \frac{(-1)^{m}(2\pi)^{2m-1}}{2(2m-1)!} B_{2m-1}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right), </math> | ||
जहां बर्नौली बहुपद <math>\, B_n(x)\,</math> | जहां बर्नौली बहुपद <math>\, B_n(x)\,</math>को <math>\, B_n \equiv B_n(0)\, </math>संबंध के द्वारा: [[बर्नौली संख्या]]ओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>B_n(x)=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} B_jx^{n-j}.</math> | :<math>B_n(x)=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j} B_jx^{n-j}.</math> | ||
उपरोक्त से प्राप्त | उपरोक्त से निम्न स्पष्ट परिणाम प्राप्त किया गया हैं: | ||
:<math> \operatorname{Sl}_1(\theta)= \frac{\pi}{2}-\frac \theta 2, </math> | :<math> \operatorname{Sl}_1(\theta)= \frac{\pi}{2}-\frac \theta 2, </math> | ||
| Line 72: | Line 72: | ||
== | ==द्विगुणन सूत्र== | ||
<math> 0 < \theta < \pi </math> के लिय द्विगुणन सूत्र को समाकलन परिभाषा से सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम के लिए {{harvtxt|लू | पेरेज|1992}}. भी देखें - हालांकि कोई प्रमाण नहीं दिया गया है): | |||
:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta) = 2\operatorname{Cl}_2(\theta) - 2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta) = 2\operatorname{Cl}_2(\theta) - 2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) </math> | ||
कैटलन स्थिरांक को | कैटलन स्थिरांक को <math>K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>के द्वारा निरूपित करना, द्विगुणन सूत्र के परिणामों में निम्न संबंध हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_2 \left(\frac{3\pi} 4\right)=\frac K 2</math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_2 \left(\frac{3\pi} 4\right)=\frac K 2</math> | ||
:<math>2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)= 3\operatorname{Cl}_2 \left(\frac{2\pi} 3\right)</math> | :<math>2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)= 3\operatorname{Cl}_2 \left(\frac{2\pi} 3\right)</math> | ||
उच्च क्रम के | उच्च क्रम के क्लॉजेन फलन के लिए, ऊपर दिए गए सूत्र से द्विगुणन सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं; बस <math> \, \theta \, </math> को डमी वेरिएबल <math>x</math> से बदलें, और<math> \, [0, \theta] \, </math>अंतराल पर समाकलन करें यह प्रक्रिया को बार-बार लागू करने से निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_3(2\theta) = 4\operatorname{Cl}_3(\theta) + 4\operatorname{Cl}_3(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_3(2\theta) = 4\operatorname{Cl}_3(\theta) + 4\operatorname{Cl}_3(\pi-\theta) </math> | ||
| Line 87: | Line 87: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_5(2\theta) = 16\operatorname{Cl}_5(\theta) + 16 \operatorname{Cl}_5(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_5(2\theta) = 16\operatorname{Cl}_5(\theta) + 16 \operatorname{Cl}_5(\pi-\theta) </math> | ||
:<math>\operatorname{Cl}_6(2\theta) = 32\operatorname{Cl}_6(\theta) - 32 \operatorname{Cl}_6(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_6(2\theta) = 32\operatorname{Cl}_6(\theta) - 32 \operatorname{Cl}_6(\pi-\theta) </math> | ||
और अधिक सामान्यतः, | और अधिक सामान्यतः, <math>\, m, \; m \ge 1 </math> पर शामिल होने पर | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{m+1}(2\theta) = 2^m\left[\operatorname{Cl}_{m+1}(\theta) + (-1)^m \operatorname{Cl}_{m+1}(\pi-\theta) \right]</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{m+1}(2\theta) = 2^m\left[\operatorname{Cl}_{m+1}(\theta) + (-1)^m \operatorname{Cl}_{m+1}(\pi-\theta) \right]</math> | ||
<math>\, m \in \mathbb{Z} \ge 1\, </math> के लिय व्यापक द्विगुणन सूत्र का उपयोग कैटलन के स्थिरांक को शामिल करते हुए ऑर्डर 2 के क्लॉजेन फलन के परिणाम के विस्तार की अनुमति देता है। | |||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac \pi 2 \right) = 2^{2m-1} \left[\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] = \beta(2m)</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac \pi 2 \right) = 2^{2m-1} \left[\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] = \beta(2m)</math> | ||
जहाँ <math>\, \beta(x) \, </math> डिरिचलेट बीटा फलन है। | |||
== | ==द्विगुणन सूत्र का प्रमाण== | ||
समाकलन परिभाषा से, | |||
:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=-\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx</math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=-\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx</math> | ||
<math>\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}</math> प्राप्त करने के लिए साइन फलन के लिए द्विगुणन सूत्र लागू करें, | |||
:<math> | :<math> | ||
| Line 106: | Line 106: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
<math>x=2y, dx=2\, dy</math> दोनों समाकलन पर प्रतिस्थापन लागू करें: | |||
:<math> | :<math> | ||
| Line 114: | Line 114: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
उस अंतिम | उस अंतिम पूर्णांक पर संयोजन करें <math>y=\pi-x, \, x= \pi-y, \, dx = -dy</math>, और <math>\cos(x-y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y</math> त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें उसे दिखाने के लिए: | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 130: | Line 130: | ||
==सामान्य-क्रम | ==सामान्य-क्रम क्लॉजेन फलन के व्युत्पन्न== | ||
क्लॉजेन फलन, फूरियर श्रृंखला के विस्तार का प्रत्यक्ष अवकलन देता है: | |||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math> | ||
| Line 138: | Line 138: | ||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)</math> | ||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)</math> | ||
गणना के प्रथम मौलिक प्रमेय को लागु करके: | |||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_2(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left[ -\int_0^\theta \log \left| 2\sin \frac{x}{2}\right| \,dx \, \right] = - \log \left| 2\sin \frac{\theta}{2}\right| = \operatorname{Cl}_1(\theta) </math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_2(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left[ -\int_0^\theta \log \left| 2\sin \frac{x}{2}\right| \,dx \, \right] = - \log \left| 2\sin \frac{\theta}{2}\right| = \operatorname{Cl}_1(\theta) </math> | ||
==प्रतिलोम | ==प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन से संबंध== | ||
<math>0 < z < 1</math> द्वारा प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है | |||
:<math>\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math> | :<math>\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math> | ||
क्लॉजेन फलन के संदर्भ में इसका निम्नलिखित विवृत रूप है: | |||
:<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | :<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | ||
==प्रतिलोम | ==प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन संबंध का प्रमाण== | ||
प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन की समाकलन परिभाषा से, | |||
:<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta) = \int_0^{\tan \theta}\frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx</math> | :<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta) = \int_0^{\tan \theta}\frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx</math> | ||
भागों | भागों में समाकलन करना | ||
:<math>\int_0^{\tan \theta} \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx= \tan^{-1}x\log x \, \Bigg|_0^{\tan \theta} - \int_0^{\tan \theta} \frac{\log x}{1+x^2}\,dx=</math> | :<math>\int_0^{\tan \theta} \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx= \tan^{-1}x\log x \, \Bigg|_0^{\tan \theta} - \int_0^{\tan \theta} \frac{\log x}{1+x^2}\,dx=</math> | ||
:<math>\theta \log \tan \theta - \int_0^{\tan \theta}\frac{\log x}{1+x^2}\,dx</math> | :<math>\theta \log \tan \theta - \int_0^{\tan \theta}\frac{\log x}{1+x^2}\,dx</math> | ||
<math>x=\tan y,\, y=\tan^{-1}x,\, dy=\frac{dx}{1+x^2}\,</math> प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन लागू करें | |||
:<math>\theta \log \tan \theta - \int_0^\theta \log(\tan y)\,dy</math> | :<math>\theta \log \tan \theta - \int_0^\theta \log(\tan y)\,dy</math> | ||
<math>y=x/2,\, dy=dx/2\,</math> प्राप्त करने और उस अंतिम पूर्णांक के लिए परिवर्तन लागू करें: | |||
:<math> | :<math> | ||
| Line 176: | Line 176: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
अंत में, | अंत में, द्विगुणन सूत्र के प्रमाण के साथ, प्रतिस्थापन <math>x=(\pi-y)\, </math> उस अंतिम पूर्णांक को कम कर देता है | ||
:<math>\int_0^{2\theta}\log\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\,dx= \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) - \operatorname{Cl}_2(\pi) = \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | :<math>\int_0^{2\theta}\log\left(2\cos \frac{x}{2}\right)\,dx= \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) - \operatorname{Cl}_2(\pi) = \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | ||
| Line 184: | Line 184: | ||
==बार्न्स | ==बार्न्स G-फलन से संबंध== | ||
वास्तव में <math>0 < z < 1</math>, दूसरे क्रम के | वास्तव में <math>0 < z < 1</math>, दूसरे क्रम के क्लॉजेन फलन को [[बार्न्स जी-फ़ंक्शन|बार्न्स G-फलन]] और (यूलर) [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right) +2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math> | ||
| Line 192: | Line 192: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2}(2\pi z) = 2\pi \log \left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right) -2\pi \log \Gamma(z)+2\pi z \log \left( \frac{\pi}{ \sin \pi z } \right) </math> | ||
देखना {{harvtxt| | देखना {{harvtxt|एडमचिक|2003}}. | ||
==बहुगणित से संबंध== | ==बहुगणित से संबंध== | ||
क्लॉजेन फलन [[इकाई चक्र]] पर बहुगणित के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रदर्शित करते हैं: | |||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m}(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_{2m}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 1</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m}(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_{2m}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 1</math> | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \Re (\operatorname{Li}_{2m+1}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 0</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta) = \Re (\operatorname{Li}_{2m+1}(e^{i \theta})), \quad m\in\mathbb{Z} \ge 0</math> | ||
इसमें बहुगणित श्रृंखला की परिभाषा को लागु करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। | |||
:<math>\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^n} \quad \Longrightarrow \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\left(e^{i\theta}\right)^k}{k^n}= \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ik\theta}}{k^n}</math> | :<math>\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^n} \quad \Longrightarrow \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\left(e^{i\theta}\right)^k}{k^n}= \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{ik\theta}}{k^n}</math> | ||
| Line 206: | Line 206: | ||
:<math>e^{i\theta} = \cos \theta +i\sin \theta</math> | :<math>e^{i\theta} = \cos \theta +i\sin \theta</math> | ||
और | और डीमोइवर के प्रमेय द्वारा (डीमोइवर का सूत्र) | ||
:<math>(\cos \theta +i\sin \theta)^k= \cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^n}+ i \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^n}</math> | :<math>(\cos \theta +i\sin \theta)^k= \cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname{Li}_n\left(e^{i\theta}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta}{k^n}+ i \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta}{k^n}</math> | ||
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== | ==पॉलीगामा फलन से संबंध== | ||
क्लॉजेन फलन, पॉलीगामा फलन से एक दुसरे रूप से जुड़े हुए हैं। वास्तव क्लॉजेन फलन को साइन फलन और पॉलीगामा फलन के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है। ऐसा ही एक संबंध यहां दिखाया गया है, और नीचे सिद्ध किया गया है: | |||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \frac{1}{(2p)^{2m}(2m-1)!} \, \sum_{j=1}^{p} \sin\left(\tfrac{qj\pi}{p}\right)\, \left[\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j+p}{2p}\right)\right] </math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \frac{1}{(2p)^{2m}(2m-1)!} \, \sum_{j=1}^{p} \sin\left(\tfrac{qj\pi}{p}\right)\, \left[\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j}{2p}\right)+(-1)^q\psi_{2m-1}\left(\tfrac{j+p}{2p}\right)\right] </math> | ||
माना <math>\,p\,</math> और <math>\,q\,</math> धनात्मक पूर्णांक हों, जैसे कि <math>\,q/p\,</math> एक परिमेय संख्या है <math>\,0 < q/p < 1\, </math>, फिर, उच्च क्रम क्लॉजेन फलन (सम सूचकांक के) के लिए श्रृंखला परिभाषा के अनुसार: | |||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (kq\pi/p)}{k^{2m}} </math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left( \frac{q\pi}{p}\right)= \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (kq\pi/p)}{k^{2m}} </math> | ||
हमने इस योग को | हमने इस योग को P-भागों में विभाजित किया है, ताकि पहली श्रृंखला में सभी शामिल हों, और केवल वे पद <math>\,kp+1,\, </math> के सर्वांगसम हों, दूसरी श्रृंखला में अंतिम p-वें भाग तक <math>\,kp+2,\, </math>आदि के सर्वांगसम सभी पद शामिल हैं, जिनमें <math>\,kp+p\, </math> के सर्वांगसम सभी पद शामिल हैं। | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 241: | Line 241: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
साइन | साइन फलन के लिए अतिरिक्त सूत्र लागू करना, <math>\,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\, </math> अंश में ज्या पद बन जाता है: | ||
:<math>\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]=\sin\left(kq\pi+\frac{qj\pi}{p}\right)=\sin kq\pi \cos \frac{qj\pi}{p}+\cos kq\pi \sin\frac{qj\pi}{p}</math> | :<math>\sin \left[(kp+j)\frac{q\pi}{p}\right]=\sin\left(kq\pi+\frac{qj\pi}{p}\right)=\sin kq\pi \cos \frac{qj\pi}{p}+\cos kq\pi \sin\frac{qj\pi}{p}</math> | ||
:<math>\sin m\pi \equiv 0, \quad \, \cos m\pi \equiv (-1)^m \quad \Longleftrightarrow m=0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots </math> | :<math>\sin m\pi \equiv 0, \quad \, \cos m\pi \equiv (-1)^m \quad \Longleftrightarrow m=0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots </math> | ||