3-गोला क्षेत्र

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हाइपरस्फीयर के समांतर (लाल), मेरिडियन का स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन (नीला) और हाइपरमेरिडियन (हरा)। क्योंकि यह प्रक्षेपण अनुरूप मानचित्र है, वक्र एक दूसरे को लंबवत रूप से (पीले बिंदुओं में) 4D के रूप में काटते हैं। सभी वक्र क्षेत्र हैं: वे वक्र जो प्रतिच्छेद करते हैं ⟨0,0,0,1⟩ की अनंत त्रिज्या (= सीधी रेखा) है। इस चित्र में, संपूर्ण 3D स्थान हाइपरस्फ़ेयर की सतह को मैप करता है, जबकि अगले चित्र में 3D स्पेस में बल्क हाइपरस्फ़ेयर की छाया सम्मिलित है।

File:Hypersphere.png

3-क्षेत्र का 3डी स्पेस में प्रत्यक्ष प्रक्षेपण और सतह ग्रिड के साथ कवर किया गया, 3डी क्षेत्रों (2-क्षेत्र) के ढेर के रूप में संरचना दिखा रहा है

गणित में, 3-क्षेत्र, ग्लोम या हाइपरस्फीयर एक क्षेत्र का एक उच्च-आयामी एनालॉग है। इसे 4-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से समतुल्य बिंदुओं के एक समुच्य के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। तीन आयामों में एक गेंद की सीमा एक सामान्य क्षेत्र (या 2-क्षेत्र, एक द्वि-आयामी सतह) के समान है, चार आयामों में एक गेंद की सीमा एक 3-क्षेत्र (तीन आयामों वाली वस्तु) है। एक 3-क्षेत्र 3-कई गुना और एक n-क्षेत्र का एक उदाहरण है।

परिभाषा

निर्देशांक में, केंद्र (C₀, C₁, C₂, C₃) और त्रिज्या r के साथ एक 3-क्षेत्र वास्तविक, 4-आयामी स्थान R⁴ में सभी बिंदुओं (x₀, x₁, x₂, x₃) का सेट है जैसे कि

$\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.$

त्रिज्या 1 के मूल बिंदु पर केंद्रित 3-क्षेत्र को इकाई 3-क्षेत्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः S³ निरूपित किया जाता है :

$S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.$

यह प्रायः ध्यान देने योग्य होता है R⁴ 2 सम्मिश्र संख्याओं वाले स्थान के रूप में (C²) या चतुष्कोण (H). इकाई 3-क्षेत्र इसके द्वारा दिया जाता है।

$S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}$

या

$S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.$

मानदंड के चतुष्कोणों के रूप में यह विवरण चतुष्कोणीय विभाजन वलय में छंदों के साथ 3-क्षेत्र की पहचान करता है। जिस प्रकार समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए इकाई क्षेत्र महत्वपूर्ण है, उसी प्रकार चतुर्धातुक गुणन में सम्मिलित 4-अंतरिक्ष के ध्रुवीय दृश्य में 3-क्षेत्र महत्वपूर्ण है। त्रि-क्षेत्र के इस विकास के विवरण के लिए चतुष्कोण का ध्रुवीय अपघटन देखें। 3-क्षेत्र का यह दृश्य दीर्घक्षेत्रीय अंतरिक्ष के अध्ययन का आधार है, जैसा कि जॉर्जेस लेमैत्रे द्वारा विकसित किया गया था।

गुण

प्राथमिक गुण

त्रिज्या r के 3-क्षेत्र का 3-विमीय पृष्ठीय आयतन है

$SV=2\pi ^{2}r^{3}\,$

जबकि 4-आयामी हाइपरवोल्यूम (3-क्षेत्र से घिरा 4-आयामी क्षेत्र की सामग्री) है

$H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.$

त्रि-आयामी