क्लोजर ऑपरेटर: Difference between revisions

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गणित में, एक [[सेट (गणित)]] ''S'' पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है <math>\operatorname{cl}: \mathcal{P}(S)\rightarrow \mathcal{P}(S)</math> S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है <math>X,Y\subseteq S</math>
गणित में, एक [[सेट (गणित)|सेट]] (समुच्चय) S पर एक '''क्लोजर ऑपरेटर''' फ़ंक्शन (फलन) <math>\operatorname{cl}: \mathcal{P}(S)\rightarrow \mathcal{P}(S)</math> के पावर सेट से स्वयं के लिए जो सभी सेट <math>X,Y\subseteq S</math> के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है।
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क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(''X'') के सेट के बाद से सेट एक्स का क्लोजर cl(''X'') ''X'' युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" <ref>{{Cite journal |last=Diatta |first=Jean |date=2009-11-14 |title=On critical sets of a finite Moore family |url=https://doi.org/10.1007/s11634-009-0053-8 |journal=Advances in Data Analysis and Classification |language=en |volume=3 |issue=3 |pages=291 |doi=10.1007/s11634-009-0053-8 |issn=1862-5355}}</ref> उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ भ्रम को रोकता है।
क्लोजर ऑपरेटर्स को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात, फॉर्म cl(''X'') के सेट के बाद से सेट X का क्लोजर cl(''X'') ''X'' युक्त सबसे छोटा बंद सेट है। "बंद सेट" के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर कहा जाता है। सिस्टम या "मूर परिवार" <ref>{{Cite journal |last=Diatta |first=Jean |date=2009-11-14 |title=On critical sets of a finite Moore family |url=https://doi.org/10.1007/s11634-009-0053-8 |journal=Advances in Data Analysis and Classification |language=en |volume=3 |issue=3 |pages=291 |doi=10.1007/s11634-009-0053-8 |issn=1862-5355}}</ref> उस पर एक क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को "हल ऑपरेटर्स" भी कहा जाता है, जो टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए "क्लोजर ऑपरेटरों" के साथ मिथक को रोकता है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
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सापेक्ष आंतरिक <math>\operatorname{ri}</math> क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि <math>C_1</math>, <math>\mathbb{R}^3</math> में एक घन है और <math>C_2</math> इसका एक फलक है, तो <math>C_2 \subset C_1</math>लेकिन <math>\operatorname{ri}(C_1) \ne \emptyset \ne \operatorname{ri}(C_2)</math>⁡ और <math>\operatorname{ri}(C_1) \cap \operatorname{ri}(C_2) = \emptyset</math> इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।<ref>{{cite book |last1=Rockafellar |first1=Ralph Tyrell |title=Convex Analysis |date=1970 |publisher=Princeton University Press |isbn=9781400873173 |page=44 |url=https://doi.org/10.1515/9781400873173}}</ref>
सापेक्ष आंतरिक <math>\operatorname{ri}</math> क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: यद्यपि यह वर्गसम है, यह नहीं बढ़ रहा है और यदि <math>C_1</math>, <math>\mathbb{R}^3</math> में एक घन है और <math>C_2</math> इसका एक फलक है, तो <math>C_2 \subset C_1</math>लेकिन <math>\operatorname{ri}(C_1) \ne \emptyset \ne \operatorname{ri}(C_2)</math>⁡ और <math>\operatorname{ri}(C_1) \cap \operatorname{ri}(C_2) = \emptyset</math> इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है।<ref>{{cite book |last1=Rockafellar |first1=Ralph Tyrell |title=Convex Analysis |date=1970 |publisher=Princeton University Press |isbn=9781400873173 |page=44 |url=https://doi.org/10.1515/9781400873173}}</ref>


टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए
टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर होते हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए।


: <math>\operatorname{cl}(X_1 \cup\dots\cup X_n) = \operatorname{cl}(X_1)\cup\dots\cup \operatorname{cl}(X_n)</math>
: <math>\operatorname{cl}(X_1 \cup\dots\cup X_n) = \operatorname{cl}(X_1)\cup\dots\cup \operatorname{cl}(X_n)</math>
सभी के लिए <math>n\in\N</math> (ध्यान दें कि <math>n=0</math> के लिए इससे <math>\operatorname{cl}(\varnothing)=\varnothing</math> प्राप्त होता है)
सभी के लिए <math>n\in\N</math> (ध्यान दें कि <math>n=0</math> के लिए इससे <math>\operatorname{cl}(\varnothing)=\varnothing</math> प्राप्त होता है)।


[[बीजगणित]] और [[तर्क]]शास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, यानी वे संतुष्ट हैं
[[बीजगणित]] और [[तर्क]]शास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, अर्थात वे संतुष्ट हैं।


: <math>\operatorname{cl}(X) = \bigcup\left\{\operatorname{cl}(Y) : Y\subseteq X \text{ and } Y \text{ finite} \right\}.</math>
: <math>\operatorname{cl}(X) = \bigcup\left\{\operatorname{cl}(Y) : Y\subseteq X \text{ and } Y \text{ finite} \right\}.</math>
[[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] के सिद्धांत में, जो [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में महत्वपूर्ण हैं, बंद करने वाले ऑपरेटरों की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो प्रतिस्थापित करती है <math>\subseteq</math> साथ <math>\leq</math>. (देखें {{section link||आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर}}.)
[[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] के सिद्धांत में, जो [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में महत्वपूर्ण हैं, बंद करने वाले ऑपरेटरों की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो प्रतिस्थापित करती है <math>\subseteq</math> साथ <math>\leq</math>. (देखें {{section link||आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर}}.)।


== टोपोलॉजी में क्लोजर ऑपरेटर ==
== टोपोलॉजी में क्लोजर ऑपरेटर ==
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संभवतया इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण वह कार्य है जो किसी दिए गए सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके रैखिक विस्तार से जोड़ता है। इसी प्रकार, वह फलन जो किसी दिए गए समूह के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके द्वारा उत्पन्न उपसमूह से जोड़ता है, और इसी प्रकार खेतों और अन्य सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए है।
संभवतया इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण वह कार्य है जो किसी दिए गए सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके रैखिक विस्तार से जोड़ता है। इसी प्रकार, वह फलन जो किसी दिए गए समूह के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके द्वारा उत्पन्न उपसमूह से जोड़ता है, और इसी प्रकार खेतों और अन्य सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए है।


एक सदिश स्थान में रैखिक अवधि और एक क्षेत्र में समान [[बीजगणितीय समापन]] दोनों विनिमय संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: यदि x, A और {y} के मिलन के समापन में है, लेकिन A के संवरण में नहीं है, तो y संवरण में है A और {x} के मिलन का। इस संपत्ति के साथ एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को मैट्रॉइड कहा जाता है। एक सदिश स्थान का [[आयाम (वेक्टर स्थान)|आयाम]], या एक क्षेत्र की उत्कृष्टता की डिग्री (इसके प्रमुख क्षेत्र पर) संबंधित मैट्रॉइड का रैंक है।
एक सदिश स्थान में रैखिक अवधि और एक क्षेत्र में समान [[बीजगणितीय समापन]] दोनों विनिमय संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: यदि x, A और {y} के मिलन के समापन में है, लेकिन A के संवरण में नहीं है, तो y संवरण में है A और {x} के मिलन का। इस संपत्ति के साथ एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को मैट्रॉइड कहा जाता है। एक सदिश स्थान का [[आयाम (वेक्टर स्थान)|आयाम]], या एक क्षेत्र की उत्कृष्टता की डिग्री (इसके प्रमुख क्षेत्र पर) संबंधित मैट्रॉइड का श्रेणी है।


फ़ंक्शन जो किसी दिए गए [[क्षेत्र (गणित)]] के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके बीजगणितीय बंद करने के लिए मैप करता है, वह भी एक अंतिम समापन ऑपरेटर है, और सामान्य तौर पर यह पहले बताए गए ऑपरेटर से अलग है। फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर्स जो इन दोनों ऑपरेटरों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें [[मॉडल सिद्धांत]] में dcl (निश्चित क्लोजर के लिए) और acl (बीजगणितीय क्लोजर के लिए) के रूप में अध्ययन किया जाता है।
फ़ंक्शन जो किसी दिए गए [[क्षेत्र (गणित)]] के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके बीजगणितीय बंद करने के लिए मैप करता है, वह भी एक अंतिम समापन ऑपरेटर है, और सामान्य तौर पर यह पहले बताए गए ऑपरेटर से अलग है। फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर्स जो इन दोनों ऑपरेटरों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें [[मॉडल सिद्धांत]] में dcl (निश्चित क्लोजर के लिए) और acl (बीजगणितीय क्लोजर के लिए) के रूप में अध्ययन किया जाता है।
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एन-डायमेंशनल [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं।
एन-डायमेंशनल [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और A इस गुण के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर एंटीमैट्रोइड्स के वृद्धि करते हैं।


बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A X A पर एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है।<ref>Clifford Bergman, ''Universal Algebra'', 2012,  
बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले क्लोजर ऑपरेटर के एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कुछ बीजगणित में A है और X A के जोड़े का एक सेट है, तो X को X से युक्त सबसे छोटा सर्वांगसम संबंध देने वाला ऑपरेटर A x A पर एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है।<ref>Clifford Bergman, ''Universal Algebra'', 2012,  
Section 2.4.</ref>
Section 2.4.</ref>
== तर्क में क्लोजर ऑपरेटर्स ==
== लॉजिक में क्लोजर ऑपरेटर्स ==
मान लीजिए कि आपके पास कुछ [[गणितीय तर्क]] हैं जिनमें कुछ नियम हैं जो आपको दिए गए सूत्रों से नए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। सभी संभावित सूत्रों के सेट F पर विचार करें, और P को F का पावर सेट होने दें, जिसे ⊆ द्वारा आदेशित किया गया है। सूत्रों के एक सेट एक्स के लिए, सीएल (एक्स) को एक्स से प्राप्त किए जा सकने वाले सभी सूत्रों का सेट होने दें। फिर सीएल पी पर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अधिक सटीक रूप से, हम निम्नानुसार सीएल प्राप्त कर सकते हैं। एक ऑपरेटर J को निरंतर कॉल करें, जैसे कि प्रत्येक [[निर्देशित सेट]] वर्ग T के लिए,
मान लीजिए कि आपके पास कुछ [[गणितीय तर्क]] हैं जिनमें कुछ नियम हैं जो आपको दिए गए सूत्रों से नए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। सभी संभावित सूत्रों के सेट F पर विचार करें, और P को F का पावर सेट होने दें, जिसे ⊆ द्वारा आदेशित किया गया है। सूत्रों के एक सेट ''X'' के लिए, cl(''X'') को ''X'' से प्राप्त किए जा सकने वाले सभी सूत्रों का सेट होने दें। फिर cl ''P'' पर एक क्लोजर ऑपरेटर है। अधिक सटीक रूप से, हम निम्नानुसार सीएल प्राप्त कर सकते हैं। एक ऑपरेटर J को निरंतर कॉल करें, जैसे कि प्रत्येक [[निर्देशित सेट]] वर्ग T के लिए,


: जे (लिम टी) = लिम जे (टी)।
: ''J''(lim ''T'')= lim ''J''(''T'')


यह निरंतरता की स्थिति जे के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय के आधार पर है। मोनोटोन तर्क के एक-चरण ऑपरेटर जे पर विचार करें। यह सूत्र के सेट J(X) के सूत्रों के किसी भी सेट X को जोड़ने वाला संकारक है जो या तो तार्किक स्वयंसिद्ध हैं या X में सूत्रों से एक अनुमान नियम द्वारा प्राप्त किए गए हैं या X में हैं। तब ऐसा संकारक निरंतर होता है और हम परिभाषित कर सकते हैं सीएल (एक्स) एक्स के बराबर या अधिक जे के लिए कम से कम निश्चित बिंदु के रूप में। इस तरह के दृष्टिकोण के अनुसार, टार्स्की, ब्राउन, सुस्ज़को और अन्य लेखकों ने क्लोजर ऑपरेटर सिद्धांत के आधार पर तर्क के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। इसके अलावा, प्रोग्रामिंग लॉजिक (लॉयड 1987 देखें) और [[फजी लॉजिक]] (गेरला 2000 देखें) में ऐसा विचार प्रस्तावित है।
यह निरंतरता की स्थिति जे के लिए एक निश्चित बिंदु प्रमेय के आधार पर है। मोनोटोन तर्क के एक-चरण ऑपरेटर जे पर विचार करें। यह सूत्र के सेट J(X) के सूत्रों के किसी भी सेट X को जोड़ने वाला संकारक है जो या तो तार्किक स्वयंसिद्ध हैं या X में सूत्रों से एक अनुमान नियम द्वारा प्राप्त किए गए हैं या X में हैं। तब ऐसा संकारक निरंतर होता है और हम परिभाषित कर सकते हैं cl(''X''), ''X'' के बराबर या अधिक जे के लिए कम से कम निश्चित बिंदु के रूप में। इस तरह के दृष्टिकोण के अनुसार, टार्स्की, ब्राउन, सुस्ज़को और अन्य लेखकों ने क्लोजर ऑपरेटर सिद्धांत के आधार पर तर्क के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। इसके अलावा, प्रोग्रामिंग लॉजिक (लॉयड 1987 देखें) और [[फजी लॉजिक]] (गेरला 2000 देखें) में ऐसा विचार प्रस्तावित है।


=== परिणाम संचालक ===
=== परिणाम संचालक ===
1930 के आसपास, [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने तार्किक कटौती का एक सार सिद्धांत विकसित किया जो तार्किक गणना के कुछ गुणों को मॉडल करता है। गणितीय रूप से, उन्होंने जो वर्णन किया वह एक सेट (वाक्यों का सेट) पर केवल एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है। अमूर्त बीजगणितीय तर्क में, फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों का अभी भी नाम परिणाम ऑपरेटर के तहत अध्ययन किया जाता है, जिसे टार्स्की द्वारा गढ़ा गया था। समुच्चय S वाक्यों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, S सिद्धांत का उपसमुच्चय T, और सिद्धांत से अनुसरण करने वाले सभी वाक्यों का समुच्चय cl(T) है। आजकल यह शब्द बंद करने वाले ऑपरेटरों को संदर्भित कर सकता है, जिनकी आवश्यकता एकरूप नहीं है; फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों को तब कभी-कभी 'परिमित परिणाम ऑपरेटर' कहा जाता है।
1930 के आसपास, [[अल्फ्रेड टार्स्की]] ने तार्किक घटाव का एक सार सिद्धांत विकसित किया जो तार्किक संगणना के कुछ गुणों को प्रतिरूपित करता है। गणितीय रूप से, उन्होंने जो वर्णन किया वह एक सेट (वाक्यों का सेट) पर केवल एक परिमित क्लोजर ऑपरेटर है। भावात्मक बीजगणितीय तर्क में, फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों का अभी भी नाम परिणाम ऑपरेटर के तहत अध्ययन किया जाता है, जिसे टार्स्की द्वारा गढ़ा गया था। समुच्चय S वाक्यों के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, S सिद्धांत का उपसमुच्चय T, और सिद्धांत से अनुसरण करने वाले सभी वाक्यों का समुच्चय cl(T) है। आजकल यह शब्द बंद करने वाले ऑपरेटरों को संदर्भित कर सकता है, जिनकी आवश्यकता एकरूप नहीं है; फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटरों को तब कभी-कभी 'परिमित परिणाम ऑपरेटर' कहा जाता है।


== बंद सेट ==
== बंद सेट ==
S पर क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद सेट पावर सेट 'P'(S) का एक सबसेट C बनाते हैं। C में सेट का कोई भी चौराहा फिर से C में है। दूसरे शब्दों में, C 'P' (S) का पूर्ण मिलन-उपसमूह है। इसके विपरीत, यदि C ⊆ 'P'(S) मनमाना चौराहों के तहत बंद है, तो फ़ंक्शन जो S के प्रत्येक सबसेट X को सबसे छोटे सेट Y ∈ C से जोड़ता है, जैसे कि X ⊆ Y एक क्लोजर ऑपरेटर है।
S पर क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद सेट पावर सेट 'P'(S) का एक सबसेट C बनाते हैं। C में सेट का कोई भी चौराहा फिर से C में है। दूसरे शब्दों में, C 'P' (S) का पूर्ण मिलन-उपसमूह है। इसके विपरीत, यदि C ⊆ 'P'(S) मनमाना प्रतिच्छेदन के तहत बंद है, तो फ़ंक्शन जो S के प्रत्येक सबसेट X को सबसे छोटे सेट Y ∈ C से जोड़ता है, जैसे कि X ⊆ Y एक क्लोजर ऑपरेटर है।


किसी दिए गए क्लोजर ऑपरेटर के सभी बंद सेटों को उत्पन्न करने के लिए एक सरल और तेज़ एल्गोरिथम है।<ref>Ganter, Algorithm 1</ref>
किसी दिए गए क्लोजर ऑपरेटर के सभी बंद सेटों को उत्पन्न करने के लिए एक सरल और स्थिर एल्गोरिथम (कलन विधि) है।<ref>Ganter, Algorithm 1</ref>
एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल है अगर और केवल अगर बंद सेट का सेट परिमित यूनियनों के तहत बंद हो जाता है, यानी, सी 'पी' (एस) का एक पूरा-पूरा सबलेटिस है। गैर-टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटरों के लिए भी, सी को जाली की संरचना के रूप में देखा जा सकता है। (दो समुच्चयों X,Y ⊆ 'P'(S) का योग cl(X <math>\cup</math> Y).) लेकिन तब C जाली 'P'(S) का एक उपवर्ग नहीं है।


एक सेट पर एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को देखते हुए, परिमित सेट के क्लोजर बंद सेट के सेट सी के बिल्कुल [[कॉम्पैक्ट तत्व]] हैं। इससे पता चलता है कि C एक बीजगणितीय पॉसेट है।
एक सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल है अगर और केवल अगर बंद सेट का सेट परिमित यूनियनों के तहत बंद हो जाता है, अर्थात, सी 'पी' (एस) का एक पूरा-पूरा सबलेटिस है। गैर-टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटरों के लिए भी, सी को जाली की संरचना के रूप में देखा जा सकता है। (दो समुच्चयों X,Y ⊆ 'P'(S) का योग cl(X <math>\cup</math> Y).) लेकिन तब C जाली 'P'(S) का एक उपवर्ग नहीं है।
चूँकि C भी एक जाली है, इसे अक्सर इस संदर्भ में बीजगणितीय जाली के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, यदि C एक बीजगणितीय पॉसेट है, तो क्लोजर ऑपरेटर परिमित है।
 
एक सेट पर एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को देखते हुए, परिमित सेट के क्लोजर बंद सेट के सेट सी के बिल्कुल [[कॉम्पैक्ट तत्व|कॉम्पैक्ट अवयव]] हैं। इससे पता चलता है कि C एक बीजगणितीय पॉसेट है।
 
चूँकि C भी एक जाली है, इसे प्रायः इस संदर्भ में बीजगणितीय जाली के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, यदि C एक बीजगणितीय पॉसेट है, तो क्लोजर ऑपरेटर परिमित है।


=== छद्म बंद सेट ===
=== छद्म बंद सेट ===
एक परिमित सेट S पर प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर अपने छद्म-बंद सेटों की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।<ref>Ganter, Section 3.2</ref>
एक परिमित सेट S पर प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर अपने छद्म-बंद सेटों की छवियों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।<ref>Ganter, Section 3.2</ref>
इन्हें पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: एक सेट छद्म-बंद है यदि यह बंद नहीं है और इसके प्रत्येक छद्म-बंद उचित उपसमुच्चय को बंद करना शामिल है। औपचारिक रूप से: ''P'' ⊆ ''S'' स्यूडो-क्लोज्ड है अगर और केवल अगर
* ''पी'' ≠ सीएल(''पी'') और
* अगर ''Q'' ⊂ ''P'' स्यूडो-क्लोज्ड है, तो cl(''Q'') ⊆ ''P''।


== आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट == पर क्लोजर ऑपरेटर
इन्हें पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: एक सेट छद्म-बंद है यदि यह बंद नहीं है और इसके प्रत्येक छद्म-बंद उचित उपसमुच्चय को बंद करना सम्मिलित है। औपचारिक रूप से: ''P'' ⊆ ''S'' स्यूडो-क्लोज्ड है अगर और केवल अगर
एक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) एक आंशिक ऑर्डर ≤ के साथ एक सेट है, यानी एक [[द्विआधारी संबंध]] जो रिफ्लेक्सिव है ({{nowrap|''a'' ≤ ''a''}}सकर्मक ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}} तात्पर्य {{nowrap|''a'' ≤ ''c''}}) और [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''a''}} मतलब ए = बी)। प्रत्येक घात समुच्चय 'P'(S) समावेशन ⊆ के साथ आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय है।
* ''P'' ≠ cl(''P'') और
* अगर ''Q'' ⊂ ''P'' स्यूडो-क्लोज्ड है, तो cl(''Q'') ⊆ ''P''।
 
=== आंशिक रूप से आदेशित सेटों पर क्लोजर ऑपरेटर ===
एक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट (पॉसेट) एक आंशिक ऑर्डर ≤ के साथ एक सेट है, अर्थात एक [[द्विआधारी संबंध]] जो रिफ्लेक्सिव है ({{nowrap|''a'' ≤ ''a''}}सकर्मक ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}} तात्पर्य {{nowrap|''a'' ≤ ''c''}}) और [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] ({{nowrap|''a'' ≤ ''b'' ≤ ''a''}} मतलब ए = बी)। प्रत्येक घात समुच्चय 'P'(S) समावेशन ⊆ के साथ आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय है।


एक फ़ंक्शन सीएल: पी → पी एक आंशिक क्रम पी से खुद को क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह पी में सभी तत्वों एक्स, वाई के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
एक फ़ंक्शन cl: ''P'' → ''P'' एक आंशिक क्रम ''P'' से खुद को क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है यदि यह ''P'' में सभी अवयवों ''x'', y के लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
:{| border="0"
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|-
|-
| ''x'' ≤ cl(''x'')
| ''x'' ≤ cl(''x'')
| (cl is ''extensive'')
| cl विस्तृत है
|-
|-
| ''x'' ≤ ''y'' implies cl(''x'') ≤ cl(''y'')&nbsp;&nbsp;
| ''x'' ≤ ''y'' implies cl(''x'') ≤ cl(''y'')&nbsp;&nbsp;
| (cl is [[increasing]])
| (cl में वृद्धि हो रही है)
|-
|-
| cl(cl(''x'')) = cl(''x'')
| cl(cl(''x'')) = cl(''x'')
| (cl is [[idempotent]])
| (cl वर्गसम है)
|}
|}
अधिक संक्षिप्त विकल्प उपलब्ध हैं: उपरोक्त परिभाषा एकल स्वयंसिद्ध के समतुल्य है
अधिक संक्षिप्त विकल्प उपलब्ध हैं: उपरोक्त परिभाषा एकल स्वयंसिद्ध के समतुल्य है


:x ≤ सीएल(वाई) अगर और केवल अगर सीएल(एक्स) ≤ सीएल(वाई)
:''x'' ≤ cl(''y'') अगर और केवल अगर cl(''x'') ≤ cl(''y'')


P में सभी x, y के लिए।
P में सभी x, y के लिए।


पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करके, कोई वैकल्पिक रूप से आईडी के रूप में व्यापकता संपत्ति लिख सकता है<sub>''P''</sub> ≤ सीएल, जहां आईडी पहचान कार्य है। एक स्व-नक्शा k जो बढ़ रहा है और उदासीन है, लेकिन व्यापकता संपत्ति के [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ आईडी<sub>''P''</sub> कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है,<ref>Giertz, p. 26</ref> आंतरिक ऑपरेटर<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी बंद।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के तौर पर, यदि A समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो B के घात पर स्व-नक्शा μ द्वारा दिया गया है<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∪ एक्स एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λ<sub>A</sub>(एक्स) = ए ∩ एक्स एक कर्नेल ऑपरेटर है। [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक [[छत समारोह]], जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा [[पूर्णांक]] प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है।
पॉसेट्स के बीच कार्यों पर बिंदुवार क्रम का उपयोग करते हुए, कोई वैकल्पिक रूप से व्यापकता गुण को id<sub>''P''</sub> ≤ cl के रूप में लिख सकता है, जहां id तत्समक फलन है। एक स्वयं मानचित्र k जो बढ़ रहा है और वर्गसम है, लेकिन व्यापकता गुण के दोहरे को संतुष्ट करता है, अर्थात k ≤ idP को कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है, <ref>Giertz, p. 26</ref> इंटीरियर ऑपरेटर,<ref>Erné, p. 2, uses closure (resp. interior) operation</ref> या दोहरी क्लोजर है।<ref>Blyth, p. 10</ref> उदाहरण के लिए, यदि A सेट B का उपसमुच्चय है, तो μA(X) = A ∪ X द्वारा दिए गए B के पावरसेट पर सेल्फ-मैप एक क्लोजर ऑपरेटर है, जबकि λA(X) = A ∩ X एक कर्नेल है ऑपरेटर।


फ़ंक्शन सीएल का एक [[fixpoint]], यानी पी का एक तत्व सी जो सीएल (सी) = सी को संतुष्ट करता है, को 'बंद तत्व' कहा जाता है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर उसके बंद तत्वों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि c एक बंद अवयव है, तो x ≤ c और cl(x) ≤ c तुल्य स्थितियाँ हैं।
वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक सीलिंग फ़ंक्शन, जो प्रत्येक वास्तविक x को x से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक प्रदान करता है, क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है।


प्रत्येक [[गाल्वा कनेक्शन]] (या अवशिष्ट मानचित्रण) एक क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है (जैसा कि उस लेख में बताया गया है)। वास्तव में, प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर एक उपयुक्त गैलोज़ कनेक्शन से इस तरह उत्पन्न होता है।<ref>Blyth, p. 10</ref> क्लोजर ऑपरेटर द्वारा गैलोज़ कनेक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। क्लोजर ऑपरेटर सीएल को जन्म देने वाला एक गैलोज कनेक्शन निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि ए सीएल के संबंध में बंद तत्वों का सेट है, तो सीएल: पी → ए, पी और ए के बीच गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है, साथ में ऊपरी आसन्न पी में ए की एम्बेडिंग है। इसके अलावा, पी में कुछ सबसेट के एम्बेडिंग के प्रत्येक निचले आसन्न एक क्लोजर ऑपरेटर है। क्लोजर ऑपरेटर एंबेडिंग के निचले जोड़ हैं। हालांकि, ध्यान दें कि प्रत्येक एम्बेडिंग में निचला आसन्न नहीं होता है।
फलन cl का नियत बिन्दु, अर्थात P का एक अवयव c जो cl(c) = c को संतुष्ट करता है, एक बंद अवयव कहलाता है। आंशिक रूप से आदेशित सेट पर एक क्लोजर ऑपरेटर उसके बंद अवयवों द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि c एक बंद अवयव है, तो x ≤ c और cl(x) ≤ c समतुल्य स्थितियाँ हैं।


किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P को एक [[श्रेणी सिद्धांत]] के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें x से y तक एक एकल आकारिकी है और यदि केवल x ≤ y है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P पर क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी P पर [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)]] के अलावा और कुछ नहीं हैं। समान रूप से, एक क्लोजर ऑपरेटर को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी पर एक एंडोफंक्टर के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अतिरिक्त idempotent और व्यापक है गुण।
प्रत्येक गैलोज़ कनेक्शन (या अवशिष्ट मानचित्रण) एक क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है (जैसा कि उस लेख में बताया गया है)। वास्तव में, प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटर एक उपयुक्त गैल्वा कनेक्शन से इस तरह उत्पन्न होता है।<ref>Blyth, p. 10</ref> क्लोजर ऑपरेटर द्वारा गैलोज़ कनेक्शन विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है। क्लोजर ऑपरेटर सीएल को जन्म देने वाला एक गैलोज कनेक्शन निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि A सीएल के संबंध में बंद अवयवों का सेट है, तो cl: ''P'' → ''A'', ''P'' और ''A'' के बीच गैलोइस कनेक्शन का निचला आसन्न है, साथ में ऊपरी आसन्न ''P'' में ''A'' की एम्बेडिंग है। इसके अलावा, ''P'' में कुछ सबसेट के एम्बेडिंग के प्रत्येक निचले आसन्न एक क्लोजर ऑपरेटर है। "क्लोजर ऑपरेटर एम्बेडिंग के निचले हिस्से हैं।" हालांकि, ध्यान दें कि प्रत्येक एम्बेडिंग में निचला आसन्न नहीं होता है।


यदि P एक [[पूर्ण जाली]] है, तो P का एक उपसमुच्चय A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद तत्वों का समूह है यदि और केवल यदि A, P पर एक 'मूर परिवार' है, अर्थात P का सबसे बड़ा तत्व A में है, और A के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का [[infimum]] (मिलना) फिर से A में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जाली है (लेकिन [[अंतिम]] (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का [[सत्ता स्थापित]] [[बूलियन बीजगणित]] होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर 'क्लोजर सिस्टम' कहा जाता है।
किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें x से y तक का एकल रूपवाद है और यदि केवल x ≤ y है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट P पर क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी P पर मोनाड्स के अलावा और कुछ नहीं हैं। समान रूप से, एक क्लोजर ऑपरेटर को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की श्रेणी पर एक एंडोफंक्टर के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अतिरिक्त वर्गसम और व्यापक गुण हैं।


P पर क्लोजर ऑपरेटर स्वयं को एक पूर्ण जाली बनाते हैं; क्लोजर ऑपरेटरों पर आदेश सीएल द्वारा परिभाषित किया गया है<sub>1</sub> ≤ सीएल<sub>2</sub> अगर सीएल<sub>1</sub>(एक्स) ≤ सीएल<sub>2</sub>(एक्स) पी में सभी एक्स के लिए।
यदि P एक पूर्ण जाली है, तो P का एक सबसेट A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद अवयवों का सेट है यदि और केवल अगर A, P पर एक मूर परिवार है, अर्थात P का सबसे बड़ा अवयव A में है, और न्यूनतम ए के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का (मिलना) फिर से ए में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से मिले अनुक्रम के साथ एक पूर्ण जाली है (लेकिन सुप्रीम (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का पॉवरसेट बूलियन बीजगणित होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर क्लोजर सिस्टम कहा जाता है।


== यह भी देखें ==
यदि P एक पूर्ण जालक है, तो P का एक सबसेट A, P पर कुछ क्लोजर ऑपरेटर के लिए बंद अवयवों का सेट है यदि और केवल अगर A, P पर एक मूर परिवार है, अर्थात P का सबसे बड़ा अवयव A में है, और न्यूनतम A के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय का (मिलना) फिर से A में है। ऐसा कोई भी सेट A अपने आप में P से विरासत में मिले आदेश के साथ एक पूर्ण जालक है (लेकिन सुप्रीम (जॉइन) ऑपरेशन P से भिन्न हो सकता है)। जब P एक सेट X का पॉवरसेट बूलियन बीजगणित होता है, तो P पर एक मूर परिवार को X पर क्लोजर सिस्टम कहा जाता है।


* {{annotated link|Čech closure operator}}
P पर बंद करने वाले संचालक स्वयं को एक पूर्ण जालक बनाते हैं; क्लोजर ऑपरेटरों पर अनुक्रम cl1 ≤ cl2 iff cl1(x) ≤ cl2(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जो P में सभी x के लिए है।
* {{annotated link|Closure (topology)}}
* {{annotated link|Galois connection}}
* {{annotated link|Interior algebra}}
* {{annotated link|Interior (topology)}}
* {{annotated link|Kuratowski closure axioms}}
* {{annotated link|Preclosure operator}}


== यह भी देखें ==


* {{annotated link|चेक क्लोजर ऑपरेटर}}
* क्लोजर (टोपोलॉजी)
* {{annotated link|गैलोइस कनेक्शन}}
* {{annotated link|आंतरिक बीजगणित}}
* {{annotated link|इंटीरियर (टोपोलॉजी)}}
* {{annotated link|कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स}}
* {{annotated link|प्रीक्लोजर ऑपरेटर}}
== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
{{reflist|3}}
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
* [[Garrett Birkhoff]]. 1967 (1940). ''Lattice Theory, 3rd ed''. American Mathematical Society.
* [[Garrett Birkhoff]]. 1967 (1940). ''Lattice Theory, 3rd ed''. American Mathematical Society.
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar (1981) [http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra] Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}} ''Free online edition''.
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar (1981) [http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra] Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}} ''Free online edition''.
* Brown, D.J. and Suszko, R. (1973) "Abstract Logics," [[Dissertationes Mathematicae]] 102- 9-42.
* Brown, D.J. and Suszko, R. (1973) "Abstract Logics," [[Dissertationes Mathematicae]] 102- 9-42.
* Castellini, G. (2003) ''Categorical closure operators''. Boston MA: Birkhaeuser.
* Castellini, G. (2003) ''Categorical closure operators''. Boston MA: Birkhaeuser.
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* {{wikicite|reference=T.S. Blyth, ''Lattices and Ordered Algebraic Structures'', Springer, 2005, {{ISBN|1-85233-905-5}}.|ref={{harvid|Blyth}}}}
* {{wikicite|reference=T.S. Blyth, ''Lattices and Ordered Algebraic Structures'', Springer, 2005, {{ISBN|1-85233-905-5}}.|ref={{harvid|Blyth}}}}
* M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, ''A primer on Galois connections'', in: Proceedings of the 19