बानाच समष्टि: Difference between revisions

गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, '''बानाच समष्टि''' (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाच समष्टि [[मीट्रिक (गणित)]] मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।

बानाच समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाच समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाच ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}} बानाच समष्टि मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाच समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाच समष्टि होते हैं।

एक बानाच समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि [[नॉर्म्ड स्पेस|मानक समष्टि]] है और <math>(X, \| \cdot \|)</math> मानक समष्टि युग्म है<ref group="note">It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref> जिसमे <math>(X, \| \cdot \|)</math> [[सदिश स्थल|सदिश क्षेत्र]]   <math>X</math> पर <math>\mathbb{K}</math> (जहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है।<ref group="note">This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R</math> मानदंडों की तरह, यह मानक [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] और दूरी फलन<ref group="note" name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।<ref group="note">Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref>

सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> अनुक्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> बनाता है। {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-कॉची]]}}'''}} को {{nowrap|'''{{em|कॉची मे}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-कॉची}}'''}} में यदि प्रत्येक वास्तविक <math>r > 0,</math> वहाँ कुछ सूचकांक <math>N</math> सम्मिलित है जैसे कि

जब भी <math>m</math> और <math>n</math> से <math>N</math> अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक <math>d</math> को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म <math>(X, d)</math> पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक {{nowrap|<math>d</math>-[[कॉची अनुक्रम]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d)</math> के लिए <math>x \in X</math> सम्मिलित है जैसे कि

परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम <math>\| \cdot \|</math> मानक समष्टि का <math>(X, \| \cdot \|)</math> को एक पूर्ण मानक कहा जाता है यदि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बानाच समष्टि है।

==== L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल ====

सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित) सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक मानक समष्टि <math>X</math> एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि <math>X</math> प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला <math>X</math> में अभिसरित हो जाता है <ref>see Theorem&nbsp;1.3.9, p.&nbsp;20 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>

<math display="block">\sum_{n=1}^{\infty} \|v_n\| < \infty \quad \text{ implies that } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n\ \ \text{ converges in } \ \ X.</math>

=== सांस्थिति ===

<math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गोले <math>X</math> का एक उत्तल और परिबद्ध उपसमुच्चय है (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सुसंहत समष्टि]] गोले/प्रतिवेश (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि]] है।

<math display="block">x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> <math>s := 1</math> का उपयोग करते हुए दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X</math> के लिए उप-समुच्चय <math>S</math> [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] (क्रमशः, [[बंद सेट|संवृत समुच्चय]])  <math>X</math> में है यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद <math>x + S := \{x + s : s \in S\}</math> के लिए सही है। परिणामस्वरूप, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था|प्रतिवेश व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य प्रतिवेश के आधारों में सम्मिलित हैं:

जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> समूह के रूप में लिखा जा सकता है

कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां प्रत्येक <math>r_x</math> किसी पूर्णांक <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट |गणनीय समुच्चय]] होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि <math>X</math> {{em|[[वियोज्य समष्टि]]}} है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि <math>X</math> कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|गुणनफल समष्टि]] के लिए <math display="inline">\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) [[होमोमोर्फिज्म]] है।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाच समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाच समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि <math>\ell</math>² अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानक <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}</math>होमोमोर्फिज्म भी है।

===== सघन और उत्तल उपसमुच्चय =====

<math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल <math>\operatorname{co}(S)</math> संवृत {{em|not}} है और इस प्रकार भी सुसंहत {{em|not}} है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref>{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} हालाँकि, सभी बानाच समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल  <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> उप-समुच्चय सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से {{em|not}} प्रत्याभूति है कि <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> सुसंहत होगा जब भी <math>S</math> होगा; उदाहरण<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact" /> के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर <math>\ell^2(\N)</math> उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है

==== सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि ====

यह मानक-प्रेरित सांस्थिति <math>\left(X, \tau_d\right)</math> को [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संक्रिया को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि है; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानक या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] विवृत समुच्चय से मिलकर [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है।