अल्प सम्मुचय: Difference between revisions

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[[सामान्य टोपोलॉजी]] के [[गणित]] के क्षेत्र में, एक छोटा [[सबसेट]] (जिसे अल्प सेट या पहली श्रेणी का सेट भी कहा जाता है) एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] का एक उपसमुच्चय है जो नीचे दिए गए सटीक अर्थों में छोटा या [[नगण्य सेट]] है। एक सेट जो अल्प नहीं है, उसे गैर-अमीर या दूसरी श्रेणी का कहा जाता है। अन्य संबंधित शर्तों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें।
[[सामान्य टोपोलॉजी]] के [[गणित|गणितीय]] क्षेत्र में, एक '''अल्प [[सबसेट|समुच्चय]]''' (जिसे अल्प समुच्चय या पहली श्रेणी का समुच्चय भी कहा जाता है) एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] का एक सबसेट है जो नीचे दिए गए सटीक अर्थों में छोटा या [[नगण्य सेट|नगण्य]] है। एक समुच्चय जो अल्प नहीं है, उसे गैर-समृद्ध या दूसरी श्रेणी का कहा जाता है। अन्य संबंधित शर्तों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें।


एक निश्चित स्थान के अल्प उपसमुच्चय एक सिग्मा-आदर्श | σ-आदर्श उपसमुच्चय बनाते हैं; अर्थात्, अल्प समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अल्प होता है, और गणनीय समुच्चय का संघ (समुच्चय सिद्धांत) बहुत अल्प समुच्चय अल्प होता है।
एक निश्चित स्थान के न्यूनतम उपसमुच्चय एक σ-मानक उपसमुच्चय बनाते हैं; अर्थात्, छोटे समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय छोटा होता है, और कई छोटे समुच्चयों का संघ छोटा होता है।


[[बाहर की जगह]] और बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा के निर्माण में अल्प सेट महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के कई मौलिक परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।
[[बाहर की जगह|बेयर स्पेस]] और बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा के निर्माण में अल्प समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग [[कार्यात्मक विश्लेषण]] के कई मूलभूत परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
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हर जगह, <math>X</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।
हर जगह, <math>X</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।


का एक उपसमुच्चय <math>X</math> कहा जाता है{{visible anchor|meagre in}} <math>X,</math>एक{{visible anchor|meagre subset|text=meagre subset}} का <math>X,</math>या का{{visible anchor|first category}} में <math>X</math>अगर यह कहीं नहीं घने उपसमुच्चय का एक गणनीय संघ है <math>X</math> (जहाँ कहीं नहीं सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय होता है जिसके संवरण में खाली आंतरिक भाग होता है)।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=389}} क्वालीफायर में <math>X</math>यदि परिवेश स्थान निश्चित है और संदर्भ से समझा जाता है तो छोड़ा जा सकता है।
<math>X</math>के एक उपसमुच्चय को <math>X</math> में अल्प कहा जाता है, <math>X</math> का अल्प उपसमुच्चय, या <math>X</math> में पहली श्रेणी का, यदि यह X के कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय का एक गणनीय संघ है (जहाँ कहीं भी सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसका संवरण एक रिक्त आंतरिक भाग है ).{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=389}} क्वालिफायर "<math>X</math> में" छोड़ा जा सकता है यदि परिवेश स्थान तय हो और संदर्भ से समझा जाए।


एक उपसमुच्चय जो अल्प नहीं है <math>X</math> कहा जाता है{{visible anchor|nonmeagre in}} <math>X,</math>एक{{visible anchor|nonmeagre subset|text=nonmeagre subset}} का <math>X,</math>या का{{visible anchor|second category}} में <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=389}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है{{visible anchor|meagre|meagre space}}(क्रमश,{{visible anchor|nonmeagre|nonmeagre space}}) यदि यह स्वयं का एक अल्प (क्रमशः, गैर-मामूली) उपसमुच्चय है।
एक उपसमुच्चय जो <math>X</math> में कम नहीं है, <math>X</math> में गैर अल्प उपसमुच्चय है या <math>X</math>में दूसरी श्रेणी का है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=389}}


उपसमुच्चय <math>A</math> का <math>X</math> कहा जाता है{{visible anchor|comeagre}} में <math>X,</math>या{{visible anchor|residual|residual subset|residual set}} में <math>X,</math>यदि इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] <math>X \setminus A</math> में अल्प है <math>X</math>. (उपसर्ग सह का यह प्रयोग अन्य शब्दों जैसे कि सहमितता में इसके उपयोग के अनुरूप है।)
एक टोपोलॉजिकल स्पेस को अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) कहा जाता है यदि यह स्वयं का अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) उपसमुच्चय है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=389}}
एक उपसमुच्चय कॉमएग्रे में होता है <math>X</math> अगर और केवल अगर यह सेट के एक गणनीय चौराहे (सेट सिद्धांत) के बराबर है, जिसका प्रत्येक इंटीरियर घना है <math>X.</math> नॉनमेग्रे और कॉमेग्रे की धारणाओं को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यदि अंतरिक्ष <math>X</math> अल्प है, प्रत्येक उपसमुच्चय अल्प और लघु दोनों है, और कोई अल्पांश समुच्चय नहीं है। यदि अंतरिक्ष <math>X</math> नॉनमेयर है, कोई भी सेट एक ही समय में छोटा और कम नहीं है, हर कॉमेग्रे सेट नॉनमेयर है, और ऐसे नॉनमेग्रे सेट हो सकते हैं जो कॉमेग्रे नहीं हैं, यानी नॉनमेग्रे कॉम्प्लिमेंट के साथ। नीचे उदाहरण अनुभाग देखें।


शब्दावली के एक अतिरिक्त बिंदु के रूप में, यदि एक उपसमुच्चय <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> से प्रेरित [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] दी गई है <math>X</math>, कोई इसके बारे में एक अल्प स्थान होने के बारे में बात कर सकता है, अर्थात् स्वयं का एक अल्प उपसमुच्चय (जब अपने आप में एक स्थलीय स्थान के रूप में माना जाता है)। इस मामले में <math>A</math> की अल्प उपसमष्टि भी कहा जा सकता है <math>X</math>, जिसका अर्थ है एक अल्प स्थान जब उप-स्थान टोपोलॉजी दिया जाता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह संपूर्ण स्थान में कम होने के समान नहीं है <math>X</math>. (दोनों के बीच संबंध के लिए नीचे दिए गए गुण और उदाहरण अनुभाग देखें।) इसी तरह, एक गैर-अंश उप-स्थान एक ऐसा सेट होगा जो अपने आप में गैर-अंश है, जो पूरे अंतरिक्ष में गैर-अंश के समान नहीं है। हालांकि जागरूक रहें कि [[टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान]] के संदर्भ में कुछ लेखक एक वेक्टर सबस्पेस का अर्थ करने के लिए मेग्रे/नॉनमीग्रे सबस्पेस वाक्यांश का उपयोग कर सकते हैं जो पूरे स्थान के सापेक्ष एक अल्प/नॉनमेग्रे सेट है।<ref>{{cite web |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |title=टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|url=https://books.google.com/books?id=5_1QAAAAMAAJ&q=%22meager+subspace%22&dq=%22meager+subspace%22 |publisher=Macmillan |date=1966}}</ref>
X का एक उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> में कोमेग्रे कहा जाता है, या <math>X</math> में अवशिष्ट कहा जाता है, यदि इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (सेट सिद्धांत]] <math>X \setminus A</math> सेट माइनस <math>A</math><math>X</math> में अल्प है। (उपसर्ग "co" का यह प्रयोग अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे " कोफिनिट"।) एक उपसमुच्चय <math>X</math> में कमग्रे है अगर और केवल अगर यह समुच्चय के एक गणनीय क्रॉस के बराबर है, जिसका प्रत्येक इंटीरियर में <math>X</math> घना है।
पहली श्रेणी और दूसरी श्रेणी के शब्द मूल रूप से रेने बेयर द्वारा 1899 की अपनी थीसिस में इस्तेमाल किए गए थे।<ref>{{cite journal |last1=Baire |first1=René |title=वास्तविक चर के कार्यों पर|journal=Annali di Mat. Pura ed Appl. |date=1899 |pages=1-123 |url=https://archive.org/details/surlesfonctions00bairgoog/page/n12/mode/2up |series=3}}, page 65</ref> अल्प शब्दावली 1948 में [[निकोलस बोरबाकी]] द्वारा पेश की गई थी।<ref>{{cite journal |last1=Oxtoby |first1=J. |title=बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1961 |volume=49 |issue=2 |pages=157–166 |doi=10.4064/fm-49-2-157-166 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm49113.pdf}}"Following Bourbaki [...], a topological space is called a Baire space if ..."</ref>{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}}


गैर अल्प और कॉमेग्रे की धारणाओं को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यदि स्थान <math>X</math> अल्प है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय अल्प और लघु दोनों है, और कोई भी अल्पांश समुच्चय नहीं है। यदि स्पेस <math>X</math> नॉनमेयर है, तो कोई भी सेट एक ही समय में कम और कम नहीं है, प्रत्येक कॉमेग्रे सेट नॉनमेयर है, और ऐसे गैर अल्प समुच्चय  हो सकते हैं जो कॉमेग्रे नहीं हैं, यानी गैर अल्प कॉम्प्लिमेंट के साथ। नीचे उदाहरण अनुभाग देखें।


शब्दावली के एक अतिरिक्त बिंदु के रूप में, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> के एक उपसमुच्चय <math>A</math> को <math>X</math> से प्रेरित [[सबस्पेस टोपोलॉजी]] दिया जाता है, तो कोई इसके बारे में बात कर सकता है कि यह एक अल्प स्थान है, अर्थात् स्वयं का एक अल्प उपसमुच्चय (जब एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है) इसका अपना अधिकार)। इस मामले में, <math>A</math> को <math>X</math> का अल्प उप-स्थान भी कहा जा सकता है, जिसका अर्थ उप-स्थान टोपोलॉजी दिए जाने पर अल्प स्थान है। महत्वपूर्ण रूप से, यह संपूर्ण स्थान <math>X</math> में अल्प होने के समान नहीं है। (दोनों के बीच संबंध के लिए नीचे गुण और उदाहरण अनुभाग देखें।) , जो पूरे स्पेस में गैर-अल्प होने के समान नहीं है। हालांकि जागरूक रहें कि [[टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान]] के संदर्भ में कुछ लेखक "अल्प/गैर-अल्प उप-स्थान" वाक्यांश का उपयोग एक वेक्टर उप-स्थान के अर्थ में कर सकते हैं जो पूरे स्थान के सापेक्ष एक अल्प/गैर-अल्प समुच्चय है।<ref>{{cite web |last1=Schaefer |first1=Helmut H. |title=टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|url=https://books.google.com/books?id=5_1QAAAAMAAJ&q=%22meager+subspace%22&dq=%22meager+subspace%22 |publisher=Macmillan |date=1966}}</ref>
पहली श्रेणी और दूसरी श्रेणी के शब्दों का मूल रूप से रेने बेयर ने अपने 1899 थीसिस में उपयोग किया था।<ref>{{cite journal |last1=Baire |first1=René |title=वास्तविक चर के कार्यों पर|journal=Annali di Mat. Pura ed Appl. |date=1899 |pages=1-123 |url=https://archive.org/details/surlesfonctions00bairgoog/page/n12/mode/2up |series=3}}, page 65</ref> 1948 में [[निकोलस बोरबाकी]] द्वारा अल्पावधि पेश की गई थी।<ref>{{cite journal |last1=Oxtoby |first1=J. |title=बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1961 |volume=49 |issue=2 |pages=157–166 |doi=10.4064/fm-49-2-157-166 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm49113.pdf}}"Following Bourbaki [...], a topological space is called a Baire space if ..."</ref>{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}}
== गुण ==
== गुण ==


कहीं नहीं का सघन उपसमुच्चय <math>X</math> अल्प है। नतीजतन, खाली इंटीरियर वाला कोई भी बंद उपसमुच्चय अल्प है। इस प्रकार का एक बंद नॉनमेग्रे सबसेट <math>X</math> गैर-खाली इंटीरियर होना चाहिए।
<math>X</math> का हर कहीं नहीं-सघन उपसमुच्चय अल्प है। नतीजतन, एक खाली इंटीरियर के साथ कोई भी बंद उपसमुच्चय अल्प है। इस प्रकार <math>X</math> के एक बंद गैर-मामूली उपसमुच्चय में एक गैर-खाली इंटीरियर होना चाहिए।


(1) अल्प समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अल्प होता है; (2) अल्प समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ अल्प होता है। इस प्रकार एक निश्चित स्थान के अल्प उपसमुच्चय एक सिग्मा-आदर्श | σ-आदर्श उपसमुच्चयों का निर्माण करते हैं, नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा। और, समतुल्य (1) के लिए, एक गैर-समुच्चय का कोई भी सुपरसेट nonmeagre है।
(1) किसी छोटे समुच्चय का कोई उपसमुच्चय छोटा होता है; (2) छोटे समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ छोटा होता है। इस प्रकार एक निश्चित स्थान के तुच्छ उपसमुच्चय, उपसमुच्चयों के σ-मानक का निर्माण करते हैं, जो नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा है। और, समतुल्य (1), गैर-लघु समुच्चय का कोई भी सुपरसेट गैर-अल्प है।


वास्तव में, (1) कॉमएग्रे सेट का कोई भी सुपरसेट कॉमएग्रे होता है; (2) कॉमेग्रे समुच्चयों का कोई भी गणनीय प्रतिच्छेदन कॉमएग्रे होता है।
वास्तव में, (1) सह अल्प समुच्चय का कोई सुपरसेट कॉमाग्रे है; (2) सह अल्प सेट का कोई भी गणनीय सह अल्प है।


मान लीजिए <math>A\subseteq Y\subseteq X,</math> कहाँ पे <math>Y</math> सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है <math>X.</math> सेट <math>A</math> में अल्प हो सकता है <math>X</math> में अल्प होने के बिना <math>Y.</math> हालाँकि निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं:{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}}
मान लीजिए <math>A\subseteq Y\subseteq X,</math> कहाँ पे <math>Y</math> सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है <math>X.</math> सेट <math>A</math> में अल्प हो सकता है <math>X</math> में अल्प होने के बिना <math>Y.</math> हालाँकि निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं:{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}}
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* यदि <math>Y</math> में खुला है <math>X,</math> फिर <math>A</math> में अल्प है <math>Y</math> अगर और केवल अगर <math>A</math> में अल्प है <math>X.</math>
* यदि <math>Y</math> में खुला है <math>X,</math> फिर <math>A</math> में अल्प है <math>Y</math> अगर और केवल अगर <math>A</math> में अल्प है <math>X.</math>
* यदि <math>Y</math> में घना है <math>X,</math> फिर <math>A</math> में अल्प है <math>Y</math> अगर और केवल अगर <math>A</math> में अल्प है <math>X.</math>
* यदि <math>Y</math> में घना है <math>X,</math> फिर <math>A</math> में अल्प है <math>Y</math> अगर और केवल अगर <math>A</math> में अल्प है <math>X.</math>
विशेष रूप से, का हर सबसेट <math>X</math> जो अपने आप में अल्प है वह अपने आप में अल्प है <math>X.</math> का हर उपसमुच्चय <math>X</math> वह गैर-मामूली है <math>X</math> अपने आप में तुच्छ है। और एक खुले सेट या घने सेट के लिए <math>X,</math> में अल्प होना <math>X</math> अपने आप में अल्प होने के बराबर है, और इसी तरह गैर-संपत्ति के लिए।
विशेष रूप से, का हर उपसमुच्चय <math>X</math> जो अपने आप में अल्प है वह अपने आप में अल्प है <math>X.</math> का हर उपसमुच्चय <math>X</math> वह गैर-अल्प है <math>X</math> अपने आप में तुच्छ है। और एक खुले सेट या घने समुच्चय के लिए <math>X,</math> में अल्प होना <math>X</math> अपने आप में अल्प होने के बराबर है, और इसी तरह गैर-संपत्ति के लिए।
 
कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें एक [[पृथक बिंदु]] होता है, गैर-अल्प होता है (क्योंकि पृथक बिंदु वाला कोई भी सेट कहीं भी घना नहीं हो सकता है)। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-खाली [[असतत स्थान]] गैर-महत्वपूर्ण है।
 
एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> गैर-अल्प है अगर और केवल अगर <math>X</math> में घने खुले समुच्चयों का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त है।{{sfn|Willard|2004|loc=Theorem 25.2}}


कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें एक [[पृथक बिंदु]] होता है, नॉनमग्रे होता है (क्योंकि पृथक बिंदु वाला कोई भी सेट कहीं भी घना नहीं हो सकता है)। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-खाली [[असतत स्थान]] गैर-महत्वपूर्ण है।
हर गैर-रिक्त बायर स्थान गैर-अल्प है। विशेष रूप से, बायर श्रेणी प्रमेय द्वारा, प्रत्येक गैर-रिक्त [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] और प्रत्येक गैर-रिक्त [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ]] स्थान गैर-अल्प है।


एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> नॉनमेग्रे है अगर और केवल अगर घने खुले सेट के प्रत्येक गणनीय चौराहे में <math>X</math> खाली नहीं है।{{sfn|Willard|2004|loc=Theorem 25.2}}
=== बानाच श्रेणी प्रमेय: {{sfn|Oxtoby|1980|p=62}} ===
प्रत्येक गैर-खाली बायर स्थान गैर-अंक है। विशेष रूप से, बायर श्रेणी प्रमेय द्वारा प्रत्येक गैर-खाली [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] और प्रत्येक गैर-खाली [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ]] स्थान गैर-अंश है।
किसी भी स्थलाकृतिक स्पेस <math>X,</math> में, अल्प खुले समुच्चयों के एक मनमाना संघ का मिलन एक अल्प समुच्चय है।


{{visible anchor|'''Banach category theorem:'''}}{{sfn|Oxtoby|1980|p=62}} किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>X,</math> अल्प खुले सेटों के एक मनमाने परिवार का मिलन एक अल्प सेट है।
=== अल्प उपसमुच्चय और लेबेस्ग्यू माप ===


=== अल्प उपसमुच्चय और Lebesgue माप ===
<math>\R</math> में अल्प समुच्चय के लिए आवश्यक नहीं है कि लेबेस्ग का माप शून्य हो, और पूर्ण माप भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंतराल में <math>[0,1]</math> [[मोटा कैंटर सेट]] घने कहीं भी बंद नहीं होते हैं और उन्हें मनमाने ढंग से <math>1.</math> के करीब एक माप के साथ बनाया जा सकता है। ऐसे समुच्चयों की एक गणनीय संख्या का मिलन 1 के करीब आने वाले माप के साथ होता है। माप 1 के साथ <math>[0,1]</math> <math>[0,1]</math> का अल्प उपसमुच्चय देता है।<ref>{{cite web |title=क्या कोई उपाय शून्य सेट है जो अल्प नहीं है?|url=https://mathoverflow.net/questions/43478 |website=MathOverflow}}</ref>


एक अल्प सेट में <math>\R</math> Lebesgue माप शून्य होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण माप भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंतराल में <math>[0,1]</math> [[मोटा कैंटर सेट]] घने कहीं भी बंद नहीं होते हैं और इन्हें मनमाने ढंग से करीब माप के साथ बनाया जा सकता है <math>1.</math> इस तरह के सेटों की एक गणनीय संख्या का संघ माप के साथ आ रहा है <math>1</math> का अल्प उपसमुच्चय देता है <math>[0,1]</math> उपाय के साथ <math>1.</math><ref>{{cite web |title=क्या कोई उपाय शून्य सेट है जो अल्प नहीं है?|url=https://mathoverflow.net/questions/43478 |website=MathOverflow}}</ref>
वास्तव में, माप शून्य के साथ गैर-अल्प समुच्चय हो सकते हैं। <math>[0,1]</math> में माप <math>1</math> के किसी भी अल्प सेट का पूरक (उदाहरण के लिए पिछले पैराग्राफ में एक) का माप <math>0</math> है और <math>[0,1],</math> में कम है, और इसलिए <math>[0,1]</math>में गैर-अल्प है <math>[0,1]</math> एक बेयर स्पेस है।
वास्तव में, माप शून्य के साथ गैर अल्प सेट हो सकता है। माप के किसी भी अल्प सेट का पूरक <math>1</math> में <math>[0,1]</math> (उदाहरण के लिए पिछले पैराग्राफ में एक) का माप है <math>0</math> और में आ गया है <math>[0,1],</math> और इसलिए गैर-मामूली में <math>[0,1]</math> जबसे <math>[0,1]</math> बेयर स्थान है।


यहाँ एक गैर-मामूली सेट का एक और उदाहरण दिया गया है <math>\R</math> उपाय के साथ <math>0</math>:
यहाँ माप <math>0</math> के साथ <math>\R</math> में एक गैर-अल्प समुच्चय का एक और उदाहरण है:
:<math>\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty} \left(r_{n}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+m}, r_{n}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+m}\right)</math>
:<math>\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{\infty} \left(r_{n}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+m}, r_{n}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+m}\right)</math>
कहाँ पे <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> एक अनुक्रम है जो परिमेय संख्याओं की गणना करता है।
जहाँ पे <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> एक अनुक्रम है जो परिमेय संख्याओं की गणना करता है।


=== बोरेल पदानुक्रम से संबंध ===
=== बोरेल पदानुक्रम से संबंध ===


जिस तरह कहीं नहीं घने उपसमुच्चय को बंद करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन हमेशा एक बंद कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय में समाहित होता है (अर्थात, इसका बंद होना), एक अल्प समुच्चय को Fσ समुच्चय नहीं होना चाहिए।<math>F_{\sigma}</math> सेट (बंद सेटों का गणनीय संघ), लेकिन हमेशा एक में समाहित होता है <math>F_{\sigma}</math> सेट कहीं नहीं घने सेट से बनाया गया है (प्रत्येक सेट को बंद करके)।
जिस तरह कहीं नहीं के घने उपसमुच्चय को बंद करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन हमेशा कहीं नहीं (यानी, इसके बंद होने) का एक बंद घना उपसमुच्चय होता है, विरल सेट को <math>F_{\sigma}</math> समुच्चय (बंद सेटों का गणनीय संघ) नहीं होना चाहिए। लेकिन हमेशा कहीं से भी घने सेट (हर सेट को बंद करना) से बना एक समुच्चय <math>F_{\sigma}</math> होता है।


वास्तव में, जिस तरह कहीं नहीं घने सेट के पूरक के लिए खुले होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन एक घने आंतरिक (टोपोलॉजी) है (घने खुले सेट होते हैं), कॉमग्रे सेट को Gδ सेट नहीं होना चाहिए |<math>G_{\delta}</math> सेट ([[खुला सेट]] सेट का गणनीय चौराहा), लेकिन इसमें घना होता है <math>G_{\delta}</math> सघन खुले समुच्चयों से निर्मित समुच्चय।
वास्तव में, जिस तरह कहीं नहीं घने समुच्चय के पूरक के लिए खुले होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन एक घने इंटीरियर (घने खुले समुच्चय होते हैं) है, सह अल्प समुच्चय के लिए <math>G_{\delta}</math> समुच्चय होना आवश्यक नहीं है (गणनीय प्रतिच्छेदन) [[खुला सेट]]), लेकिन घने खुले समुच्चय से बने घने <math>G_{\delta}</math> समुच्चय होते हैं।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


खाली सेट हर टोपोलॉजिकल स्पेस का एक छोटा सबसेट है।
रिक्त समुच्चय प्रत्येक सांस्थितिक स्थान का अल्प उपसमुच्चय होता है।
 
नॉनमेग्रे स्पेस में <math>X=[0,1]\cup([2,3]\cap\Q)</math> सेट <math>[2,3]\cap\Q</math> अल्प है। सेट <math>[0,1]</math> नॉनमेग्रे और कॉमएग्रे है।


नॉनमेग्रे स्पेस में <math>X=[0,2]</math> सेट <math>[0,1]</math> नगण्य है। लेकिन यह कॉमएग्रे नहीं है, इसके पूरक के रूप में <math>(1,2]</math> क्षुद्र भी है।
गैर अल्प स्पेस में <math>X=[0,1]\cup([2,3]\cap\Q)</math> समुच्चय <math>[2,3]\cap\Q</math> अल्प है। समुच्चय <math>[0,1]</math> गैर अल्प और सह अल्प है।


एक गणनीय T1 स्थान | टी<sub>1</sub> पृथक बिंदु के बिना स्थान अल्प है। तो यह किसी भी स्थान में दुर्लभ है जिसमें इसे उप-स्थान के रूप में शामिल किया गया है। उदाहरण के लिए, <math>\Q</math> दोनों की अल्प उपसमष्टि है <math>\R</math> (अर्थात, उप-स्थान टोपोलॉजी से प्रेरित होने के साथ अपने आप में अल्प <math>\R</math>) और का एक अल्प उपसमुच्चय <math>\R.</math>
गैर-अल्प स्पेस में <math>X=[0,2]</math> सेट <math>[0,1]</math> नगण्य है। लेकिन यह  सह अल्प नहीं है, इसके पूरक के रूप में <math>(1,2]</math> क्षुद्र भी है।
[[कैंटर सेट]] कहीं भी सघन नहीं है <math>\R</math> और इसलिए अल्प में <math>\R.</math> लेकिन यह अपने आप में गैर-मामूली है, क्योंकि यह एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।


सेट <math>([0,1]\cap\Q)\cup\{2\}</math> कहीं सघन नहीं है <math>\R</math>है, लेकिन इसमें अल्प है <math>\R</math>. यह अपने आप में गैर-मामूली है (चूंकि एक उप-स्थान के रूप में इसमें एक पृथक बिंदु होता है)।
पृथक बिंदु के बिना एक गणनीय T1 स्थान अल्प है। तो यह किसी भी स्थान में दुर्लभ है जिसमें इसे उप-स्थान के रूप में शामिल किया गया है। उदाहरण के लिए, <math>\Q</math>, <math>\R</math> का अल्प उपसमूह है (अर्थात, R से प्रेरित उपस्थान टोपोलॉजी के साथ अपने आप में अल्प) और <math>\R</math> का अल्प उपसमुच्चय है।


रेखा <math>\R\times\{0\}</math> विमान में अल्प है <math>\R^2.</math> लेकिन यह एक नॉनमीग्रे सबस्पेस है, यानी यह अपने आप में नॉनमीग्रे है।
[[कैंटर सेट]] कहीं भी सघन नहीं है <math>\R</math> और इसलिए अल्प में <math>\R.</math> लेकिन यह अपने आप में गैर-अल्प है, क्योंकि यह एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।


अंतरिक्ष <math>(\Q \times \Q) \cup (\R\times\{0\})</math> (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ <math>\R^2</math>) अल्प है। इसका अल्प उपसमुच्चय <math>\R\times\{0\}</math> अपने आप में तुच्छ है।
समुच्चय <math>([0,1]\cap\Q)\cup\{2\}</math> कहीं सघन नहीं है <math>\R</math>है, लेकिन इसमें अल्प है <math>\R</math>. यह अपने आप में गैर-अल्प है (चूंकि एक उप-स्थान के रूप में इसमें एक पृथक बिंदु होता है)।


एक उपसमुच्चय है <math>H</math> वास्तविक संख्याओं का <math>\R</math> जो हर गैर-खाली खुले सेट को दो गैर-कम सेट में विभाजित करता है। यानी हर गैर-खाली खुले सेट के लिए <math>U\subseteq \mathbb{R}</math>, सेट <math>U\cap H</math> तथा <math>U \setminus H</math> दोनों ग़ैरमामूली हैं।
रेखा <math>\R\times\{0\}</math> सतह में अल्प है <math>\R^2.</math> लेकिन यह एक गैर अल्प सबस्पेस है, यानी यह अपने आप में गैर अल्प है।


अंतरिक्ष में <math>C([0,1])</math> निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर <math>[0,1]</math> समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ, सेट <math>A</math> निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर <math>[0,1]</math> जिसका किसी बिंदु पर व्युत्पन्न अल्प है।<ref>{{cite journal|author=Banach, S.|title=कार्यों के कुछ सेटों के बेयर की श्रेणी के बारे में|journal=Studia Math.|volume=3|issue=1|year=1931|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|url=https://eudml.org/doc/217560|doi-access=free}}</ref>{{sfn|Willard|2004|loc=Theorem 25.5}} तब से <math>C([0,1])</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, यह गैर-मामूली है। तो का पूरक <math>A</math>, जिसमें निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कहीं नहीं अलग-अलग कार्य होते हैं <math>[0,1],</math> कॉमएग्रे और नॉनमेग्रे है। विशेष रूप से वह सेट खाली नहीं है। यह निरंतर कहीं नहीं भिन्न होने वाले कार्यों के अस्तित्व को दिखाने का एक तरीका है।
स्पेस <math>(\Q \times \Q) \cup (\R\times\{0\})</math> (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ <math>\R^2</math>) अल्प है। इसका अल्प उपसमुच्चय <math>\R\times\{0\}</math> अपने आप में कम नहीं है।


== बनच-मजूर खेल ==
एक उपसमुच्चय है <math>H</math> वास्तविक संख्याओं का <math>\R</math> जो हर गैर-खाली खुले समुच्चय को दो गैर-कम समुच्चय में विभाजित करता है। यानी हर गैर-खाली खुले समुच्चय के लिए <math>U\subseteq \mathbb{R}</math>, सेट <math>U\cap H</math> तथा <math>U \setminus H</math> दोनों गैर अल्प हैं।
 
बनच-मजूर गेम के संदर्भ में अल्प सेट का एक उपयोगी वैकल्पिक लक्षण वर्णन है।
होने देना <math>Y</math> एक सामयिक स्थान हो, <math>\mathcal{W}</math> के सबसेट का परिवार हो <math>Y</math> जिसमें गैर-खाली आंतरिक भाग होते हैं जैसे कि प्रत्येक गैर-खाली खुले सेट का एक उपसमुच्चय होता है <math>\mathcal{W},</math> तथा <math>X</math> का कोई उपसमुच्चय हो <math>Y.</math> इसके बाद बनच-मजूर गेम है <math>MZ(X, Y, \mathcal{W}).</math> बनच-मज़ूर खेल में, दो खिलाड़ी, <math>P</math> तथा <math>Q,</math> वैकल्पिक रूप से क्रमिक रूप से छोटे तत्वों का चयन करें <math>\mathcal{W}</math> एक क्रम उत्पन्न करने के लिए <math>W_1 \supseteq W_2 \supseteq W_3 \supseteq \cdots.</math> खिलाड़ी <math>P</math> जीतता है अगर इस अनुक्रम के चौराहे में एक बिंदु होता है <math>X</math>; अन्यथा, खिलाड़ी <math>Q</math> जीतता है।


स्पेस में <math>C([0,1])</math> निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर <math>[0,1]</math> समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ, सेट <math>A</math> निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर <math>[0,1]</math> जिसका किसी बिंदु पर व्युत्पन्न अल्प है।<ref>{{cite journal|author=Banach, S.|title=कार्यों के कुछ सेटों के बेयर की श्रेणी के बारे में|journal=Studia Math.|volume=3|issue=1|year=1931|pages=174–179|doi=10.4064/sm-3-1-174-179|url=https://eudml.org/doc/217560|doi-access=free}}</ref>{{sfn|Willard|2004|loc=Theorem 25.5}} तब से <math>C([0,1])</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, यह गैर-अल्प है। तो का पूरक <math>A</math>, जिसमें निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कहीं नहीं अलग-अलग कार्य होते हैं <math>[0,1],</math> सह अल्प और गैर-अल्प है। विशेष रूप से वह समुच्चय खाली नहीं है। यह निरंतर कहीं नहीं भिन्न होने वाले कार्यों के अस्तित्व को दिखाने का एक तरीका है।


== बानाच-मजूर खेल ==


बनच-मजूर गेम के संदर्भ में अल्प समुच्चय का एक उपयोगी वैकल्पिक लक्षण वर्णन है। <math>Y</math> एक सामयिक स्थान हो, <math>\mathcal{W}</math> के सबसेट का परिवार हो <math>Y</math> जिसमें गैर-रिक्त आंतरिक भाग होते हैं जैसे कि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट का एक उपसमुच्चय होता है <math>\mathcal{W},</math> तथा <math>X</math> का कोई उपसमुच्चय हो <math>Y.</math> इसके बाद बानाच-मजूर खेल है <math>MZ(X, Y, \mathcal{W}).</math> बानाच-मजूर खेल में, दो खिलाड़ी, <math>P</math> तथा <math>Q,</math> वैकल्पिक रूप से क्रमिक रूप से छोटे तत्वों का चयन करें <math>\mathcal{W}</math> एक क्रम उत्पन्न करने के लिए <math>W_1 \supseteq W_2 \supseteq W_3 \supseteq \cdots.</math> खिलाड़ी <math>P</math> जीतता है अगर इस अनुक्रम के प्रतिच्छेदन में एक बिंदु होता है <math>X</math>; अन्यथा, खिलाड़ी <math>Q</math> जीतता है।
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Barrelled space}}
* {{annotated link|Barrelled space}} - टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस का प्रकार
* {{annotated link|Generic property}}, अवशिष्ट के अनुरूप के लिए
* {{annotated link|Generic property}}, अवशिष्ट के अनुरूप के लिए
* {{annotated link|Negligible set}}, अल्प के अनुरूप के लिए
* {{annotated link|Negligible set}}, अल्प के अनुरूप के लिए