भिन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 13:51, 31 August 2023

एक चौथाई (एक चौथाई) वाला केक निकाला गया। शेष तीन चौथाई को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया जाता है और 11/4 से लेबल किया जाता है।

एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: ${\tfrac {1}{2}}$ तथा ${\tfrac {17}{3}}$ ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में 3/4, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।

एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक घातांक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10⁻² सभी भिन्न 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित हर के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7, 7/1 के बराबर)।

भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।^[1] इस प्रकार भिन्न 3/4 अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।

हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही भिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को परिमेय संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ भागफल है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य भिन्न के रूप में)। हालांकि, शब्द भिन्न का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो परिमेय संख्या नहीं हैं। इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय भिन्न (बीजगणितीय व्यंजकों के भागफल), और व्यंजक शामिल हैं जिनमें अपरिमेय संख्या हैं, जैसे ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π अपरिमेय है)।

शब्दावली

एक भिन्न में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या भिन्न (लैटिन शब्द numerātor, काउंटर या नंबरर से है), और भागों का प्रकार 'हर' (लैटिन शब्द dēnōminātor,से है जो नाम या नामित करती है) है।^[2]^[3] एक उदाहरण के रूप में, भिन्न 8/5 आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में, भिन्न भाज्य से मेल खाती है, और हर भाजक से मेल खाता है।

अनौपचारिक रूप से, भिन्न और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं। भिन्न बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) 1/3), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में 4⁄9)।^[4] इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और भिन्न बार, सॉलिडस,^[5] या भिन्न स्लैश।^{[n 1]} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए भिन्नों को एन या अखरोट भिन्नों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन भिन्नों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के भिन्न और हर के साथ एक भिन्न एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।^[4] पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण भिन्न को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। 1/2) को एक केस भिन्न के रूप में जाना जाता था, जबकि भिन्न के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा भिन्न कहा जाता था।

अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि भिन्न 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, 2/5 तथा 3/5 दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से चौथाई / चौथाई या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।

जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, भिन्न के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, 3/1 तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब भिन्न 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

पूरे भिन्न को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक भिन्न के साथ कई भिन्नों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें भिन्न है 2/5 और दो पांचवें एक ही भिन्न है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है 1/5।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्नों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक भिन्न का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर भिन्न के रूप में पढ़कर, मूल अंक के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, 3/1 एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस भिन्नों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ भिन्न जो दस की घात यां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, 1/117 एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, 6/1000000 छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)।

भिन्नों के रूप

सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न

एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे a/b या ${\tfrac {a}{b}}$ ,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।^[9] अन्य भिन्नों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल ${\tfrac {1}{2}}$ , $-{\tfrac {8}{5}}$ , ${\tfrac {-8}{5}}$ , तथा ${\tfrac {8}{-5}}$ , इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल भिन्न से इस प्रकार के भिन्न को अलग करने के लिए किया गया था।^[10] सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या विषम हो सकते हैं (नीचे देखें)। यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य भिन्न नहीं हैं; हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य भिन्न का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है।

एक इकाई भिन्न 1 के एक भिन्न के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, ${\tfrac {1}{7}}$ )। यूनिट भिन्नों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है⁻¹, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है⁻², जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है²) या 1/4।
एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की घात है, उदा। ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$ ।

यूनिकोड में, प्रीकोम्ड भिन्न वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं।

सम और विषम भिन्न

सामान्य भिन्नों को या तो उचित या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जब भिन्न और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो भिन्न को उचित कहा जाता है यदि भिन्न हर से कम है, और अन्यथा विषम है।^[11]^[12] एक विषम भिन्न की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि भिन्न का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित भिन्न 1 से कम होना चाहिए।^[10]यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।^[13]^[14] सामान्य तौर पर, एक सामान्य भिन्न को एक उचित भिन्न कहा जाता है, यदि भिन्न का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि भिन्न −1 से अधिक है और 1 से कम है।^[15]^[16] यह एक विषम भिन्न, या कभी-कभी शीर्ष-भारी भिन्न कहा जाता है,^[17] यदि भिन्न का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित भिन्नों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि विषम भिन्नों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और 3/3।

व्युत्क्रम और अदृश्य हर

अंश का व्युत्क्रम अंश और हर के आदान-प्रदान के साथ एक और भिन्न है। उदाहरण के लिए ${\tfrac {3}{7}}$ का व्युत्क्रम ${\tfrac {7}{3}}$ है। एक भिन्न और इसके व्युत्क्रम का उत्पाद 1 है, इसलिए व्युत्क्रम एक भिन्न का गुणक व्युत्क्रम है। एक सम भिन्न का व्युत्क्रम विषम है, और एक विषम भिन्न का व्युत्क्रम 1 के बराबर नहीं है (यानी, भिन्न और हर समान नहीं हैं) एक सम भिन्न है।

जब एक भिन्न के अंश और हर समान होते हैं (उदाहरण के लिए, ${\tfrac {7}{7}}$ ), इसका मूल्य 1 है, और इसलिए भिन्न विषम है। इसका व्युत्क्रम समान है और इसलिए 1 और विषम के बराबर भी है।

किसी भी पूर्णांक को नंबर एक के साथ एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 17 को लिखा जा सकता है ${\tfrac {17}{1}}$ , जहां 1 को कभी -कभी अदृश्य हर के रूप में जाना जाता है। इसलिए, शून्य को छोड़कर प्रत्येक भिन्न या पूर्णांक में एक व्युत्क्रम होता है। उदाहरण के लिए 17 का व्युत्क्रम ${\tfrac {1}{17}}$ है ।

अनुपात

एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है। अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से

2 सफेद हैं,
6 लाल हैं, और
4 पीले हैं,

फिर लाल से सफेद से पीली कारों का अनुपात 6 से 2 से 4 है। पीली कारों के लिए सफेद कारों का अनुपात 4 से 2 है और इसे 4: 2 या 2: 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एक अनुपात को अक्सर एक भिन्न में परिवर्तित किया जाता है जब इसे पूरे अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, लॉट पर सभी कारों के लिए पीली कारों का अनुपात 4:12 या 1: 3 है। हम इन अनुपातों को एक भिन्न में बदल सकते हैं, और कह सकते हैं कि 4/12 कारों की या 1/3 बहुत से कारें पीले हैं। इसलिए, यदि किसी व्यक्ति ने बेतरतीब ढंग से एक कार को बहुत से चुना है, तो तीन मौका या संभावना में से एक है कि यह पीला होगा।

दशमलव भिन्न और प्रतिशत

एक दशमलव भिन्न एक ऐसा भिन्न है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक घात माना जाता है। दशमलव भिन्नों को आमतौर पर दशमलव अंक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित हर को दशमलव विभाजक के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि,चिह्न (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली (हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें) )। इस प्रकार, 0.75 के लिए भिन्न 75 है और निहित हर 10 से दूसरी घात है, अर्थात- 100, क्योंकि दशमलव के दाईं ओर दो अंक हैं। 1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है। 3.75 या तो एक विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, $3{\tfrac {75}{100}}$ ।

दशमलव भिन्नों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे 6.023×10⁻⁷, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता है, यहां 10⁻⁷ के हर एक का 10⁷ प्रतिनिधित्व करता है। विभाजित करना 10⁷भाग करने पर दशमलव बिंदु 7 स्थानों को बाईं ओर ले जाता है।

दशमलव विहर के दाईं ओर असीम रूप से कई अंकों के साथ दशमलव भिन्न एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, 1/3 = 0.333 ... अनंत श्रृंखला 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... का प्रतिनिधित्व करता है।

एक अन्य प्रकार का भिन्न प्रतिशत (लैटिन प्रतिशत प्रति सौ अर्थ, प्रतीक % द्वारा दर्शाया गया) है, जिसमें निहित हर हमेशा 100 होता है। इस प्रकार, 51% का अर्थ है 51/100। शून्य से 100 या उससे कम प्रतिशत का व्यवहार उसी तरह से किया जाता है, उदा- 311% 311/100 के बराबर है, और −27% −27/100 के बराबर है।

पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित हर ह�

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-[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक चौथाई (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न {{sfrac|1|4}} लेबल किया गया है ।
+[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक चौथाई (एक चौथाई) वाला केक निकाला गया। शेष तीन चौथाई को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया जाता है और {{nobr|{{sfrac|1/4 से लेबल किया जाता है।}}}}]]
-एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
+एक '''भिन्न''' (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। भिन्नों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
 सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, भिन्न और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। भिन्न कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, भिन्न में {{sfrac|3|4}}, भिन्न 3 इंगित करता है कि भिन्न 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।
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