द्विपद वितरण: Difference between revisions

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''n'' और ''p'' मापदंडों के साथ '''द्विपद वितरण''' ''n'' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] के रूप में प्रयोग किया जाता है तथा (प्रायिकता सिद्धांत) के क्रम में सफलताओं की संख्या का [[असतत संभाव्यता वितरण]] है, प्रत्येक हां-नहीं प्रश्न पूछ रहा है, और प्रत्येक अपने स्वयं के बूलियन-मूल्यवान फलन-मूल्यवान [[परिणाम (संभावना)]] के साथ: सफलता (संभावना के साथ ''p'') या विफलता (संभाव्यता के साथ) (<math>q=1-p</math>). एकल सफलता/विफलता प्रयोग को बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग भी कहा जाता है, और परिणामों के अनुक्रम को बर्नौली प्रक्रिया कहा जाता है; एकल परीक्षण के लिए, अर्थात, n = 1, द्विपद वितरण बर्नौली वितरण है। तथा द्विपद वितरण सांख्यिकीय महत्व के लोकप्रिय [[द्विपद परीक्षण]] का आधार है।<ref>{{Cite book|last=Westland|first=J. Christopher|title=Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession|publisher=Springer|year=2020|isbn=978-3-030-49091-1|location=Chicago, IL, USA|pages=53}}</ref>

द्विपद वितरण का उपयोग अधिकांशतः आकार ''n'' की जनसंख्या से प्रतिस्थापन के साथ खींचे गए आकार ''n'' के नमूने में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यदि नमूना प्रतिस्थापन के बिना किया जाता है, तब ड्रॉ स्वतंत्र नहीं होते हैं और इसलिए परिणामी वितरण एक हाइपरज्यामितीय होता है वितरण, द्विपद वितरण नहीं है। चूँकि, ''n'' से बहुत बड़े N के लिए, द्विपद वितरण एक अच्छा सन्निकटन बना हुआ है, और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

=== संभाव्यता द्रव्यमान फलन ===

सामान्यतः, यदि यादृच्छिक चर X पैरामीटर n ∈ <math>\mathbb{N}</math> प्राकृतिक संख्या के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है और ''p ∈ [0,1],'' हम ''X ~ B(n, p)'' लिखते हैं। n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में बिल्कुल k सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता संभाव्यता द्रव्यमान फलन द्वारा दी गई है:

''k'' = 0, 1, 2, ..., n , जहां के लिए

[[द्विपद गुणांक]] है, इसलिए इसका नाम द्विपद वितरण है। सूत्र को इस प्रकार समझा जा सकता है: k सफलताएँ प्रायिकता ''p^k'' के साथ होती हैं और ''n−k'' विफलताएँ संभाव्यता के साथ होती हैं <math>(1-p)^{n-k}</math>. चूँकि, k सफलताएँ n परीक्षणों के मध्य कहीं भी हो सकती हैं, और वहाँ हैं <math>\tbinom{n}{k}</math> n परीक्षणों के क्रम में k सफलताओं को वितरित करने के विभिन्न विधियों ।

द्विपद वितरण संभाव्यता के लिए संदर्भ सारणी बनाने में, सामान्यतः तालिका को ''n/2'' मानों तक भर दिया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ''k > n/2'' के लिए, प्रायिकता की गणना इसके पूरक के रूप में की जा सकती है

अभिव्यक्ति f(k, n, p) को k के फलन के रूप में देखते हुए, k मान है जो इसे अधिकतम करता है। यह k मान गणना करके पाया जा सकता है

और इसकी तुलना 1 से करें। सदैव पूर्णांक M होता है जो संतुष्ट करता है<ref>{{cite book |last=Feller |first=W. |title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |url=https://archive.org/details/introductiontopr01wfel |url-access=limited |year=1968 |publisher=Wiley |location=New York |edition=Third |page=[https://archive.org/details/introductiontopr01wfel/page/n167 151] (theorem in section VI.3) }}</ref>

''f(k, n, p) k < M'' के लिए मोनोटोन बढ़ रहा है और ''k > M'' के लिए मोनोटोन घट रहा है, उस स्थितियोंको छोड़कर जहां ''(n + 1)p'' पूर्णांक है। इस स्थितियों में, ऐसे दो मान हैं जिनके लिए f अधिकतम है: ''(n + 1)p'' और ''(n + 1)p − 1''। है तथा ''M'' सबसे संभावित परिणाम है (अर्थात, सबसे अधिक संभावना है, चूंकि यह अभी भी असंभव हो सकता है कुल मिलाकर) बरनौली परीक्षण और इसे [[मोड (सांख्यिकी)]] भी कहा जाता है।

मान लीजिए कि एक पक्षपाती सिक्का उछालने पर प्रायिकता 0.3 के साथ शीर्ष पर आता है। और 6 बार उछालने पर ठीक 4 सिर देखने की प्रायिकता है

=== संचयी वितरण फलन ===

संचयी वितरण फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

जहाँ <math>\lfloor k\rfloor</math> k के नीचे का तल है, अर्थात फर्श और छत k से कम या उसके सामान्तर फलन करता है।

जो कि F-वितरण | के संचयी वितरण फलन के समतुल्य है'''{{mvar|F}}-वितरण''':<ref>{{cite journal |last=Jowett |first=G. H. |year=1963 |title=The Relationship Between the Binomial and F Distributions |journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series D |volume=13 |issue=1 |pages=55–57 |doi=10.2307/2986663 |jstor=2986663 }}</ref>

संचयी वितरण फलन के लिए कुछ सवृत-फ़ॉर्म बाउंड या टेल बाउंड दिए गए हैं.

यदि ''X ~ B(n, p),'' अर्थात, X द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर है, n प्रयोगों की कुल संख्या है और p प्रत्येक प्रयोग के सफल परिणाम देने की संभावना है, तब X का अपेक्षित मान है:<ref>See [https://proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Binomial_Distribution Proof Wiki]</ref>

यह इस तथ्य के साथ-साथ अपेक्षित मूल्य की रैखिकता का अनुसरण करता है कि {{mvar|X}} {{mvar|n}} का योग है तथा समान बर्नौली यादृच्छिक चर, प्रत्येक अपेक्षित मूल्य {{mvar|p}} के साथ है| दूसरे शब्दों में, यदि <math>X_1, \ldots, X_n</math> पैरामीटर के {{mvar|p}} साथ समान (और स्वतंत्र) बर्नौली यादृच्छिक चर हैं , तब <math>X = X_1 + \cdots + X_n</math> और  

कहाँ <math>\textstyle \left\{{c\atop k}\right\}</math> [[दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या]]एँ हैं, और <math>n^{\underline{k}} = n(n-1)\cdots(n-k+1)</math> है <math>k</math> वें [[अवरोही और आरोही क्रम गुणित]] <math>n</math>.एक साधारण बंधन <ref>{{Citation |last1=D. Ahle |first1=Thomas |title=Sharp and Simple Bounds for the raw Moments of the Binomial and Poisson Distributions

|page=109306 |arxiv=2103.17027 }}</ref> प्वासों वितरण या उच्चतर क्षणों के माध्यम से द्विपद आघूर्णों को बाउंड करके अनुसरण करता है:

इससे पता चलता है कि यदि <math>c=O(\sqrt{np})</math>, तब <math>\operatorname {E}[X^c]</math> से अधिक से अधिक स्थिर कारक दूर है <math>\operatorname {E}[X]^c</math>

 

 

सामान्यतः द्विपद ''B(n,-p)'' वितरण का बहुलक <math>\lfloor (n+1)p\rfloor</math> (सांख्यिकी) सामान्तर होता है , जहाँ  <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> [[फर्श फलन]] है। चूँकि, जब ''(n + 1)p'' पूर्णांक होता है और ''p'' न तो ''0'' होता है और न ही ''1'', तो वितरण के दो विधियों होते हैं: ''(n + 1)p'' और ''(n + 1)p − 1''। जब ''p 0'' के सामान्तर होता है या ''1'' होता है , तो मोड क्रमशः ''0'' और ''n'' होगा। इन स्थितियों को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है:

प्रमाण: चलो

<math>p=0</math> के लिए केवल <math>f(0)</math> के साथ शून्येतर मान है <math>f(0)=1</math>. के लिए <math>p=1</math> हम देखतें है <math>f(n)=1</math> और <math>f(k)=0</math> के लिए <math>k\neq n</math>. इससे सिद्ध होता है कि बहुलक 0 है <math>p=0</math> और <math>n</math> के लिए <math>p=1</math>.

तब '''कब''' जब <math>(n+1)p-1</math> पूर्णांक है, तब <math>(n+1)p-1</math> और <math>(n+1)p</math> विधा है। उस स्थितियों में <math>(n+1)p-1\notin \Z</math>, सिर्फ तभी <math>\lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor</math> विधा है।<ref>See also {{cite web |first=André |last=Nicolas |title=Finding mode in Binomial distribution |work=[[Stack Exchange]] |date=January 7, 2019 |url=https://math.stackexchange.com/q/117940 }}</ref>

सामान्यतः, द्विपद वितरण के लिए माध्यिका ज्ञात करने के लिए कोई एकल सूत्र नहीं होता है, और यह गैर-अद्वितीय भी हो सकता है। चूँकि, अनेक विशेष परिणाम स्थापित किए गए हैं:

* यदि ''np'' पूर्णांक है, तब माध्य, माध्यिका और बहुलक संपाती हैं और ''np'' के सामान्तर हैं।<ref>{{cite journal|last=Neumann|first=P.|year=1966|title=Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung|journal=Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden|volume=19|pages=29–33|language=de}}</ref><ref>Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", [[The Mathematical Gazette]] 94, 331-332.</ref>

* किसी भी माध्यिका ''m'' को अंतराल ''⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉'' के अंदर होना चाहिए।<ref name="KaasBuhrman">{{cite journal|first1=R.|last1=Kaas|first2=J.M.|last2=Buhrman|title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions|journal=Statistica Neerlandica|year=1980|volume=34|issue=1|pages=13–18|doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}}</ref>

* माध्य अद्वितीय है और ''m'' = [[Rounding|राउंडिंग]] (''np)'' के सामान्तर है जब ''|m − np|'' ≤ मिनट ''{p, 1 − p}'' (स्थितियोंको छोड़कर जब ''p ={{sfrac|1|2}}'' और ''n'' विषम है)।<ref name="KaasBuhrman"/>

*जब ''p'' परिमेय संख्या है ''(p = 1/2'' और ''n'' विषम को छोड़कर) तब माध्य अद्वितीय होता है।<ref name="Nowakowski">{{Cite journal

* जब ''p = 1/2'' और ''n'' विषम हो, तब अंतराल में कोई भी संख्या ''m {{sfrac|1|2}}(n − 1) ≤ m ≤{{sfrac|1|2}}(n + 1)'' द्विपद वितरण की माध्यिका है। यदि ''p = 1/2'' और ''n'' सम है, तब ''m = n/2'' अद्वितीय माध्यिका है।

''k'' ≤ ''np'' के लिए, संचयी वितरण फलन <math>F(k;n,p) = \Pr(X \le k)</math> की निचली पूंछ के लिए होता है जिससे ऊपरी सीमाएं प्राप्त की जा सकती हैं , संभावना है कि अधिक से अधिक k सफलताएँ हैं। चूँकि <math>\Pr(X \ge k) = F(n-k;n,1-p) </math>, इन सीमाओं को ''k ≥ np'' के संचयी वितरण फलन की ऊपरी पूंछ के लिए सीमाओं के रूप में भी देखा जा सकता है।

जो चूंकि ज्यादा टाइट नहीं है। विशेष रूप से, ''p = 1'' के लिए, हमारे पास वह ''F(k;n,p) = 0'' (स्थिर ''k'' के लिए, ''n'' के साथ ''k < n'') है, किन्तु होफ़डिंग की सीमा धनात्मक स्थिरांक का मूल्यांकन करती है।

जहां D (''<u>a</u>''|| ''p'') कुल्बैक-लीब्लर डाइवर्जेंस है। ''a'' -सिक्का और ''p''-सिक्का (अर्थात बर्नौली (a) और बर्नौली (p) वितरण के मध्य) के मध्य सापेक्ष एन्ट्रॉपी (या कुल्बैक-लीब्लर डाइवर्जेंस) है: