रैखिकता: Difference between revisions

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{{Refimprove|date=December 2007}}

रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |आनुपातिकता]] से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल [[ सीधा गति |रेखीय गति]], एक [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत कंडक्टर]] में [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] और [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |वजन]] का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं।

एक से अधिक आयामों में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है जोड़ और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) |स्केलिंग]] के साथ संगत होने के कार्य की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।

लीनियर शब्द [[ लैटिन |लैटिन]] लीनियरिस से आया है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।

गणित में, एक रेखीय नक्शा या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>

* [[ योजक नक्शा |योजक नक्शा]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.

* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य |सजातीय कार्य]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।

इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]] नहीं है, लेकिन सामान्य तौर पर यह किसी भी वेक्टर स्पेस का एक [[ तत्व (गणित) |तत्व]] हो सकता है। रेखीय फलन की एक और विशेष परिभाषा, जो रेखीय मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।

योगात्मकता अकेले [[ परिमेय संख्या |परिमेय]] α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए <math>f(nx)=n f(x)</math> का अर्थ है, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> का अर्थ <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math> है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक निरंतर कार्य किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय है, और इसलिए रैखिक है।

रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। लीनियर [[ ऑपरेटर (गणित) |ऑपरेटरों]] के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को [[ अंतर ऑपरेटर |डिफरेंशियल ऑपरेटर]] के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान |लाप्लासियान]]। जब एक अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उनमें से प्रत्येक टुकड़े को हल करके, और समाधानों का योग करके हल किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो वैक्टर, [[ वेक्टर (गणित) |वेक्टर]] रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन |रैखिक रूपांतरण]] ('रेखीय मानचित्र' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।

रेखीय और [[ रेखीय समीकरण |अरैखिक समीकरणों]] के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।

{{main|linear equation}}

उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref>

जहाँ m को प्रायः [[ ढलान |ढलान]] या [[ ढाल |ढाल]] कहा जाता है; b y-अवरोधन, जो फलन के ग्राफ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु देता है।

ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो जोड़ या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर {{nowrap|1=''b'' = 0}}। इसलिए, यदि {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, तो फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक व्यापकता एफ़िन रूपांतरण में देखें)।

=== बूलियन फ़ंक्शन ===

{{main article|Parity function}}

[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक फलन <math>f</math> होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसे मौजूद होते हैं

:<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, कहाँ पे <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math>

ध्यान दें कि अगर <math>a_0 = 1</math>, उपरोक्त फ़ंक्शन को रैखिक बीजगणित (अर्थात रैखिक नहीं) में एफ़िन माना जाता है।

एक बूलियन फ़ंक्शन रैखिक होता है यदि निम्न में से एक फ़ंक्शन की सत्य तालिका के लिए होता है:

# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क, तर्कों को निर्दिष्ट T की एक विषम संख्या है, और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क एक सम संख्या है Ts के तर्कों को सौंपा गया। विशेष रूप से, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = F}}, और ये फ़ंक्शन बूलियन वेक्टर स्थान पर रैखिक मानचित्रों के अनुरूप हैं।

# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का मान T होता है, फ़ंक्शन के तर्कों को असाइन किए गए T की एक सम संख्या होती है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान F है, तर्कों को असाइन किए गए T की एक विषम संख्या है। इस मामले में, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = T}}.

इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा ऑपरेशन के सत्य मूल्य में अंतर करता है या इससे कभी कोई फर्क नहीं पड़ता है।

[[ नकार ]]ात्मक, [[ तार्किक द्विकंडीशनल ]], अनन्य या, [[ तनातनी (तर्क) ]], और विरोधाभास रैखिक कार्य हैं।

भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों की एक संपत्ति है; उदाहरण के लिए, [[ मैक्सवेल समीकरण ]] या [[ प्रसार समीकरण ]]।<ref>{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}</ref>

उपकरण में, रैखिकता का अर्थ है कि एक इनपुट चर में दिया गया परिवर्तन माप उपकरण के आउटपुट में समान परिवर्तन देता है: यह वैज्ञानिक कार्य में अत्यधिक वांछनीय है। सामान्य तौर पर, उपकरण एक निश्चित सीमा पर रैखिक के करीब होते हैं, और उस सीमा के भीतर सबसे उपयोगी होते हैं। इसके विपरीत, मानव इंद्रियां अत्यधिक गैर-रैखिक हैं: उदाहरण के लिए, मस्तिष्क आने वाली रोशनी को पूरी तरह से अनदेखा करता है जब तक कि यह फोटॉन की एक निश्चित [[ पूर्ण सीमा ]] से अधिक न हो।

इलेक्ट्रॉनिक्स में, एक डिवाइस का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक [[ ट्रांजिस्टर ]], जहां एक आउटपुट आश्रित चर (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर विद्युत प्रवाह) सीधे इनपुट [[ निर्भर चर ]] (जैसे आधार वर्तमान) के लिए आनुपातिकता (गणित) होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, आमतौर पर उच्च आयाम (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक [[ उच्च निष्ठा ]] [[ ऑडियो एंप्लिफायर ]] है, जिसे अपने तरंग को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य [[ रैखिक फिल्टर ]] हैं, और सामान्य रूप से [[ रैखिक एम्पलीफायर ]] हैं।

अधिकांश [[ विज्ञान ]] और प्रौद्योगिकी में, गणितीय अनुप्रयोगों से अलग, कुछ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है लेकिन बिल्कुल सीधी रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर ही मान्य हो सकती है- उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा एम्पलीफायर एक छोटे सिग्नल को विकृत कर सकता है, लेकिन स्वीकार्य होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीकार्य लेकिन अपूर्ण रैखिकता); और अगर इनपुट एक निश्चित मूल्य से अधिक है तो बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।<ref name=Whitaker>{{cite book|last=Whitaker|first=Jerry C.|title=आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-0973-1|url=https://books.google.com/books?id=G5UHVIqEWdQC&pg=SA11-PA1}}</ref>

एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस। कोल्ट्स लिखते हैं:<ref>{{cite web |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |publisher=analogZONE |date=2005 |url=http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204065155/http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-date=February 4, 2012 |access-date=September 24, 2014}}</ref><ref>{{cite journal |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |journal=Foreign Electronic Measurement Technology |year=2005 |volume=24 |issue=5 |pages=30–31 |url=http://caod.oriprobe.com/articles/9294129/Understanding_Linearity_and_Monotonicity.htm |access-date=September 25, 2014}}</ref>

<blockquote>सामान्य उपयोग में अभिन्न रैखिकता के लिए तीन बुनियादी परिभाषाएं हैं: स्वतंत्र रैखिकता, शून्य-आधारित रैखिकता, और टर्मिनल, या अंत-बिंदु, रैखिकता। प्रत्येक मामले में, रैखिकता परिभाषित करती है कि एक निर्दिष्ट ऑपरेटिंग रेंज में डिवाइस का वास्तविक प्रदर्शन कितनी अच्छी तरह एक सीधी रेखा का अनुमान लगाता है। रैखिकता को आमतौर पर एक आदर्श सीधी रेखा से विचलन, या गैर-रैखिकता के संदर्भ में मापा जाता है और इसे आम तौर पर [[ पूर्ण पैमाने ]] के प्रतिशत के रूप में या पूर्ण पैमाने के पीपीएम (प्रति मिलियन भाग) में व्यक्त किया जाता है। आम तौर पर, डेटा के कम से कम वर्ग फिट करने के द्वारा सीधी रेखा प्राप्त की जाती है। तीन परिभाषाएँ वास्तविक डिवाइस के प्रदर्शन के सापेक्ष सीधी रेखा की स्थिति में भिन्न होती हैं। साथ ही, ये तीनों परिभाषाएं किसी भी लाभ, या ऑफसेट त्रुटियों को अनदेखा करती हैं जो वास्तविक डिवाइस की प्रदर्शन विशेषताओं में मौजूद हो सकती हैं।

 

<br /></blockquote>

[[ गठन (सैन्य) ]] में, रैखिक संरचनाओं को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) ]] के फालानक्स जैसी संरचनाओं से शुरू किया गया था, जो उत्तरोत्तर कम पाइक द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर था। वेलिंगटन की 'द थिन रेड लाइन (1854 की लड़ाई)' के युग में चरम सीमा तक इस तरह का गठन उत्तरोत्तर पतला होता गया। इसे अंततः [[ छोटी लड़ाई लड़नेवाला ]] द्वारा बदल दिया गया जब [[ ब्रीच-लोडिंग हथियार ]] | ब्रीच-लोडिंग [[ राइफल ]] के आविष्कार ने सैनिकों को छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी, जो किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित थे।

लीनियर स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा [[ बरोक ]] से क्लासिक, या [[ पुनर्जागरण कला ]] को अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और सोलहवीं शताब्दी की शुरुआत के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, [[ रफएल ]] या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के चित्रकारी बारोक चित्रकारों ([[ पीटर पॉल रूबेन्स ]], [[ Rembrandt ]], और डिएगो वेलाज़क्वेज़ | वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से उपयोग करते हैं [[ आकार ]] बनाने के लिए रूपरेखा।<ref>{{cite book |title=कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या|url=https://archive.org/details/princarth00wlff |last=Wölfflin |first=Heinrich |editor-last=Hottinger |editor-first=M.D. |publisher=Dover |location=New York |year=1950 |pages=[https://archive.org/details/princarth00wlff/page/18 18–72]|isbn=9780486202761 }}</ref> कला में रैखिकता को [[ डिजिटल कला ]] में भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ हाइपरटेक्स्ट फिक्शन ]] [[ अरेखीय कथा ]] का एक उदाहरण हो सकता है, लेकिन ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संगीत में रैखिक पहलू उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) ]] या [[ मधुर ]], [[ एक साथ (संगीत) ]] या अंतराल (संगीत) पहलू के विपरीत।

*[[ र्रैखिक गति देने वाला ]]

*[[ रैखिक तत्व ]]

*[[ रैखिक पैर ]]

*[[ रैखिक प्रणाली ]]

*[[ रैखिक प्रोग्रामिंग ]]

*[[ रैखिक अंतर समीकरण ]]

*[[ बिलिनियर फॉर्म ]]

*[[ बहुरेखीय रूप ]]

*[[ रैखिक मोटर ]]

*[[ रेखिक आंतरिक ]]