रैखिकता: Difference between revisions

Latest revision as of 16:32, 20 November 2022

रैखिकता एक गणितीय संबंध (फलन) का गुण है जिसे ग्राफ के द्वारा एक सरल रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का समानुपातता से गहन संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल रेखीय गति, विद्युत चालक में विभव और धारा का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और द्रव्यमान और भार का संबंध सम्मिलित हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल संबंध अरेखीय होते हैं।

एक से अधिक विमाओं में फलनों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ, योग और पर्पटीकरण के साथ संगत होने का फलन का गुण है, जिसे अध्यारोपण सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।

रैखिक शब्द लैटिन भाषा लिनारिस से प्राप्त शब्द है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।

गणित में

गणित में, रेखीय प्रतिचित्रण या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:^[1]

योज्यता: f(x + y) = f(x) + f(y).
डिग्री 1 का सजातीयता: f(αx) = α f(x) सभी α के लिए।

इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से वास्तविक संख्या नहीं है, परन्तु सामान्यतः यह किसी भी सदिश समष्टि का एक अवयव हो सकता है। रेखीय फलन की एक अन्य विशेष परिभाषा, जो रेखीय प्रतिचित्रण की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।

योगात्मकता अकेले परिमेय α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि $f(x+x)=f(x)+f(x)$ गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए $f(nx)=nf(x)$ का अर्थ है, और फिर $nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)$ का अर्थ $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक सतत फलन किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय होता है, अतः रैखिक होता है।

रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। रैखिक संकारकों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को अवकलनीय संकारक के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य संकारक, जैसे डेल और लाप्लासियान। जब अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे सामान्यतः समीकरण को छोटे-छोटे भागो में संक्षिप्त करके, उनमें से प्रत्येक भाग को हल करके, और हलों का योग करके हल किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो सदिश, सदिश रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), रैखिक रूपांतरण ('रेखीय प्रतिचित्रण' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।

रेखीय और अरैखिक समीकरणों के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।

रैखिक बहुपद

उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के बहुपद को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फलन का ग्राफ़ एक सरल रेखा है।^[2]

वास्तविकताओं पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:

$f(x)=mx+b\$

जहाँ m को प्रायः प्रवणता या अनुप्रवण (ग्रेडिएन्ट) कहा जाता है; b y-अंत: खंड, जो फलन के ग्राफ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु प्रदान करता है।

ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो योग या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर b = 0। इसलिए, यदि b ≠ 0, तो फलन को प्रायः सजातीय फलन कहा जाता है (अधिक व्यापकता सजातीय रूपांतरण में देखें)।

बूलियन फलन

रैखिक बूलियन फलन का हैस आरेख

बूलियन बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक $f$ फलन होता है जिसके लिए $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ उपस्थित होते हैं, ऐसा कि

f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})

, जहाँ

b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.

ध्यान दें कि यदि $a_{0}=1$ है, तो उपरोक्त फलन को रैखिक बीजगणित (अर्थात् रैखिक नहीं) में परिबद्ध माना जाता है।

एक बूलियन फलन रेखीय होता है यदि निम्न में से कोई एक फलन की सत्य तालिका के लिए हो:

प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का सत्य मान T है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या होती है, और प्रत्येक पंक्ति में जहाँ फलन F होता है, Ts की एक सम संख्या तर्कों के लिए नियत होती है। विशेष रूप से, f(F, F, ..., F) = F, और ये फलन बूलियन सदिश स्थान पर रैखिक प्रतिचित्रणों के संगत हैं।
प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का मान T है, फलन के तर्कों के लिए Ts की एक सम संख्या निर्दिष्ट है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का सत्य मान F है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या है। इस स्थिति में, f(F, F, ..., F) = T

इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा संक्रिया के सत्य मान में अंतर करता है या यह कभी भी अंतर नहीं करता है।

निषेध, तार्किक द्विप्रतिबंध, अनन्य या पुनरुक्ति और अन्तर्विरोध रैखिक फलन हैं।

भौतिकी

भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को संचालित करने वाले अवकल समीकरणों का गुण है; उदाहरण के लिए, मैक्सवेल समीकरण या विसरण समीकरण।^[3]

एक समांगी विभेदक समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि यदि दो फलन f और g समीकरण के हल हैं, तो कोई भी रैखिक संयोजन af + bg भी होता है।

यंत्रीकरण में, रैखिकता का अर्थ है कि एक इनपुट चर में दिया गया परिवर्तन माप उपकरण के आउटपुट में समान परिवर्तन देता है: यह वैज्ञानिक फलनों में अत्यधिक वांछनीय है। सामान्यतः, उपकरण एक निश्चित सीमा में रैखिक के करीब होते हैं, और उस सीमा के भीतर सबसे उपयोगी होते हैं। इसके विपरीत, मानव इंद्रियां अत्यधिक अरैखिक होती हैं: उदाहरण के लिए, मस्तिष्क पूरी तरह से आने वाले प्रकाश की उपेक्षा करता है जब तक कि यह फोटॉन की एक निश्चित पूर्ण सीमा से अधिक न हो।

इलेक्ट्रानिक्स

इलेक्ट्रानिक्स में, एक उपकरण का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक ट्रांजिस्टर, वह होता है जहां एक आउटपुट आश्रित चर (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर वर्तमान) एक इनपुट निर्भर चर (जैसे आधार वर्तमान) के सीधे आनुपातिक होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, सामान्यतः उच्च विमा (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक उच्च विश्वस्तता ऑडियो एम्पलीफायर है, जिसे अपने तरंग रूप को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य सामान्य रूप से रैखिक फिल्टर और रैखिक एम्पलीफायर हैं।

अधिकांश वैज्ञानिक और तकनीकी में, गणितीय, अनुप्रयोगों से भिन्न, किसी चीज़ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है परन्तु बिल्कुल सरल रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर मान्य हो सकती है - उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा प्रवर्धक एक छोटे संकेत को विकृत कर सकता है, परन्तु स्वीफलन होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीफलन परन्तु अपूर्ण रैखिकता); और यदि इनपुट एक निश्चित मान से अधिक हो जाता है तो यह बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।^[4]

समाकल रैखिकता

एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस. कोल्ट्स लिखते हैं:^[5]^[6]

सामान्य उपयोग में समाकल रैखिकता के लिए तीन बुनियादी परिभाषाएँ हैं: स्वतंत्र रैखिकता, शून्य-आधारित रैखिकता और टर्मिनल, या अंत-बिंदु, रैखिकता। प्रत्येक स्थिति में, रैखिकता परिभाषित करती है कि एक निर्दिष्ट ऑपरेटिंग रेंज में डिवाइस का वास्तविक प्रदर्शन कितनी अच्छी तरह एक सरल रेखा के करीब है। रैखिकता को सामान्यतः एक आदर्श सरल रेखा से विचलन, या गैर-रैखिकता के संदर्भ में मापा जाता है और इसे सामान्यतः पूर्ण पैमाने के प्रतिशत या पूर्ण पैमाने के पीपीएम (प्रति मिलियन भागों) में व्यक्त किया जाता है। सामान्यतः, सरल रेखा को डेटा के कम से कम वर्ग फिट करके प्राप्त किया जाता है। वास्तविक उपकरण के प्रदर्शन के सापेक्ष सरल रेखा की स्थिति के अनुसार तीन परिभाषाएँ भिन्न होती हैं। इसके अलावा, ये तीनों परिभाषाएँ किसी भी लाभ को नज़रअंदाज़ करती हैं, या उन त्रुटियों को दूर करती हैं जो वास्तविक डिवाइस के प्रदर्शन विशेषताओं में मौजूद हो सकती हैं।

सैन्य सामरिक संरचनाएं

सैन्य सामरिक संरचनाओं में, "रैखिक संरचनाओं" को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित पाइक के फालानक्स-जैसे संरचनाओं से शुरू किया गया था, धीरे-धीरे कम पाइकों द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर। वेलिंगटन की 'थिन रेड लाइन' के युग में इस तरह की संरचना उत्तरोत्तर पतली होती गई। अंततः इसे झड़प के आदेश से बदल दिया गया जब ब्रीच-लोडिंग हथियार के आविष्कार ने सैनिकों को किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी।

कला

रेखीय स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा "उत्कृष्ट" या पुनर्जागरण कला को बारोक से अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और प्रारंभिक सोलहवीं शताब्दी के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, राफेल या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के "चित्रकार" बैरोक चित्रकारों (पीटर पॉल रूबेन्स, रेम्ब्रांट, और वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से आकार बनाने के लिए रूपरेखा का उपयोग करते हैं।^[7] डिजिटल कला में कला में रैखिकता को भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हाइपरटेक्स्ट कथा अरेखीय कथा का एक उदाहरण हो सकती है, परन्तु ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संगीत

संगीत में रैखिक प्रारूप उत्तराधिकार है, या तो अंतराल या माधुर्य, एक साथ या ऊर्ध्वाधर प्रारूप के विपरीत।

आँकड़ों में

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Edwards, Harold M. (1995). लीनियर अलजेब्रा. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.
↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8, Section 1.2
↑ Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, archived (PDF) from the original on 2022-10-09
↑ Whitaker, Jerry C. (2002). आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
↑ Kolts, Bertram S. (2005). "रैखिकता और एकरसता को समझना" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.
↑ Kolts, Bertram S. (2005). "रैखिकता और एकरसता को समझना". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.
↑ Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या. New York: Dover. pp. 18–72. ISBN 9780486202761.

बाहरी संबंध

The dictionary definition of रैखिकता at Wiktionary

[1] Edwards, Harold M. (1995). लीनियर अलजेब्रा. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.

[2] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8, Section 1.2

[3] Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943, archived (PDF) from the original on 2022-10-09

[Whitaker-4] Whitaker, Jerry C. (2002). आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.

[5] Kolts, Bertram S. (2005). "रैखिकता और एकरसता को समझना" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.

[6] Kolts, Bertram S. (2005). "रैखिकता और एकरसता को समझना". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.

[7] Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या. New York: Dover. pp. 18–72. ISBN 9780486202761.

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 {{Short description|Property of a mathematical relationship that can be represented as a straight line}}
-{{Redirect|Linear}}
+{{Redirect|रैखिक}}
-{{Distinguish|Lineage (disambiguation)}}
+{{Distinguish|वंश (बहुविकल्पी)}}
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+{{Refimprove|date=दिसंबर 2007}}
-रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |आनुपातिकता]] से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल [[ सीधा गति |रेखीय गति]], एक [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत कंडक्टर]] में [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] और [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |वजन]] का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं।
+रैखिकता एक गणितीय संबंध (''फलन'') का गुण है जिसे ग्राफ के द्वारा एक सरल रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |''समानुपातता'']] से गहन संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में [[ सीधा गति |सरल रेखीय गति]], [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत चालक]] में [[ वोल्टेज |विभव]] और [[ विद्युत प्रवाह |धारा]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |भार]] का संबंध सम्मिलित हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल संबंध ''अरेखीय'' होते हैं।
-एक से अधिक आयामों में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है जोड़ और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) |स्केलिंग]] के साथ संगत होने के कार्य की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।
+एक से अधिक विमाओं में फलनों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ, योग और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) |पर्पटीकरण]] के साथ संगत होने का फलन का गुण है, जिसे अध्यारोपण सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।
-लीनियर शब्द [[ लैटिन |लैटिन]] लीनियरिस से आया है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।
+रैखिक शब्द [[ लैटिन |लैटिन]] भाषा ''लिनारिस'' से प्राप्त शब्द है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।
 == गणित में ==
-गणित में, एक रेखीय नक्शा या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>
+गणित में, रेखीय प्रतिचित्रण या रैखिक फलन ''f''(''x'') एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>
-* [[ योजक नक्शा |योजक नक्शा]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.
+* [[ योजक नक्शा |योज्यता]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.
-* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य |सजातीय कार्य]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।
+* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य |सजातीयता]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।
-इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]] नहीं है, लेकिन सामान्य तौर पर यह किसी भी वेक्टर स्पेस का एक [[ तत्व (गणित) |तत्व]] हो सकता है। रेखीय फलन की एक और विशेष परिभाषा, जो रेखीय मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।
+इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, ''x'' आवश्यक रूप से [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]] नहीं है, परन्तु सामान्यतः यह किसी भी सदिश समष्टि का एक [[ तत्व (गणित) |अवयव]] हो सकता है। रेखीय फलन की एक अन्य विशेष परिभाषा, जो रेखीय प्रतिचित्रण की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।
-योगात्मकता अकेले [[ परिमेय संख्या |परिमेय]] α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए <math>f(nx)=n f(x)</math> का अर्थ है, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> का अर्थ <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math> है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक निरंतर कार्य किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय है, और इसलिए रैखिक है।
+योगात्मकता अकेले [[ परिमेय संख्या |परिमेय]] α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या ''n'' के लिए <math>f(nx)=n f(x)</math> का अर्थ है, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> का अर्थ <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math> है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक सतत फलन किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय होता है, अतः रैखिक होता है।
-रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। लीनियर [[ ऑपरेटर (गणित) |ऑपरेटरों]] के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को [[ अंतर ऑपरेटर |डिफरेंशियल ऑपरेटर]] के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान |लाप्लासियान]]। जब एक अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उनमें से प्रत्येक टुकड़े को हल करके, और समाधानों का योग करके हल किया जा सकता है।
+रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। रैखिक [[ ऑपरेटर (गणित) |संकारकों]] के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को [[ अंतर ऑपरेटर |अवकलनीय संकारक]] के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य संकारक, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान |लाप्लासियान]]। जब अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे सामान्यतः समीकरण को छोटे-छोटे भागो में संक्षिप्त करके, उनमें से प्रत्येक भाग को हल करके, और हलों का योग करके हल किया जा सकता है।
-रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो वैक्टर, [[ वेक्टर (गणित) |वेक्टर]] रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन |रैखिक रूपांतरण]] ('रेखीय मानचित्र' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।
+रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो सदिश, [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन |रैखिक रूपांतरण]] ('रेखीय प्रतिचित्रण' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।
-रेखीय और [[ रेखीय समीकरण |अरैखिक समीकरणों]] के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।
+रेखीय और [[ रेखीय समीकरण |अरैखिक समीकरणों]] के विवरण के लिए, ''रैखिक समीकरण'' देखें।
 === रैखिक बहुपद ===
-{{main|linear equation}}
+{{main|रेखीय समीकरण}}
-उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref>
+उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फलन का ग्राफ़ एक सरल रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref>
 वास्तविकताओं पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:
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 <math>f(x) = m x + b\ </math>
-जहाँ m को प्रायः [[ ढलान |ढलान]] या [[ ढाल |ढाल]] कहा जाता है; b y-अवरोधन, जो फलन के ग्राफ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु देता है।
+जहाँ ''m'' को प्रायः [[ ढलान |प्रवणता]] या [[ ढाल |अनुप्रवण (ग्रेडिएन्ट)]] कहा जाता है; ''b'' y-अंत: खंड, जो फलन के ग्राफ और ''y''-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु प्रदान करता है।
-ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो जोड़ या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर {{nowrap|1=''b'' = 0}}। इसलिए, यदि {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, तो फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक व्यापकता एफ़िन रूपांतरण में देखें)।
+ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो योग या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर {{nowrap|1=''b'' = 0}}। इसलिए, यदि {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, तो फलन को प्रायः '''सजातीय फलन''' कहा जाता है (अधिक व्यापकता सजातीय रूपांतरण में देखें)।
-=== बूलियन फ़ंक्शन ===
+=== बूलियन फलन ===
-{{main article|Parity function}}
+{{main article|समता फलन}}
-[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक फलन <math>f</math> होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसे मौजूद होते हैं
+[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|रैखिक बूलियन फलन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक <math>f</math> फलन होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> उपस्थित होते हैं, ऐसा कि
-:<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, कहाँ पे <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math>
+:<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, जहाँ <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math>
-ध्यान दें कि अगर <math>a_0 = 1</math>, उपरोक्त फ़ंक्शन को रैखिक बीजगणित (अर्थात रैखिक नहीं) में एफ़िन माना जाता है।
+ध्यान दें कि यदि <math>a_0 = 1</math> है, तो उपरोक्त फलन को रैखिक बीजगणित (अर्थात् रैखिक नहीं) में परिबद्ध माना जाता है।
-एक बूलियन फ़ंक्शन रैखिक होता है यदि निम्न में से एक फ़ंक्शन की सत्य तालिका के लिए होता है:
+एक बूलियन फलन रेखीय होता है यदि निम्न में से कोई एक फलन की सत्य तालिका के लिए हो:
-# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क, तर्कों को निर्दिष्ट T की एक विषम संख्या है, और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क एक सम संख्या है Ts के तर्कों को सौंपा गया। विशेष रूप से, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = F}}, और ये फ़ंक्शन बूलियन वेक्टर स्थान पर रैखिक मानचित्रों के अनुरूप हैं।
+# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का सत्य मान T है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या होती है, और प्रत्येक पंक्ति में जहाँ फलन F होता है, Ts की एक सम संख्या तर्कों के लिए नियत होती है। विशेष रूप से, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = F}}, और ये फलन बूलियन सदिश स्थान पर रैखिक प्रतिचित्रणों के संगत हैं।
-# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का मान T होता है, फ़ंक्शन के तर्कों को असाइन किए गए T की एक सम संख्या होती है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान F है, तर्कों को असाइन किए गए T की एक विषम संख्या है। इस मामले में, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = T}}.
+#प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का मान T है, फलन के तर्कों के लिए Ts की एक सम संख्या निर्दिष्ट है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का सत्य मान F है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या है। इस स्थिति में, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = T}}
-इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा ऑपरेशन के सत्य मूल्य में अंतर करता है या इससे कभी कोई फर्क नहीं पड़ता है।
+इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा संक्रिया के सत्य मान में अंतर करता है या यह कभी भी अंतर नहीं करता है।
-[[ नकार ]]ात्मक, [[ तार्किक द्विकंडीशनल ]], अनन्य या, [[ तनातनी (तर्क) ]], और विरोधाभास रैखिक कार्य हैं।
+[[ नकार |निषेध]], [[ तार्किक द्विकंडीशनल |तार्किक द्विप्रतिबंध]], [[ तनातनी (तर्क) |अनन्य]] या पुनरुक्ति और अन्तर्विरोध रैखिक फलन हैं।
 ==भौतिकी ==
-भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों की एक संपत्ति है; उदाहरण के लिए, [[ मैक्सवेल समीकरण ]] या [[ प्रसार समीकरण ]]।<ref>{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}</ref>
+भौतिकी में, ''रैखिकता'' कई प्रणालियों को संचालित करने वाले अवकल समीकरणों का गुण है; उदाहरण के लिए, [[ मैक्सवेल समीकरण |मैक्सवेल समीकरण]] या [[ प्रसार समीकरण |विसरण समीकरण]]।<ref>{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}</ref>
-एक समरूप अवकल समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि यदि दो फलन f और g समीकरण के हल हैं, तो कोई भी [[ रैखिक संयोजन ]] {{nowrap|''af'' + ''bg''}} भी है।
-उपकरण में, रैखिकता का अर्थ है कि एक इनपुट चर में दिया गया परिवर्तन माप उपकरण के आउटपुट में समान परिवर्तन देता है: यह वैज्ञानिक कार्य में अत्यधिक वांछनीय है। सामान्य तौर पर, उपकरण एक निश्चित सीमा पर रैखिक के करीब होते हैं, और उस सीमा के भीतर सबसे उपयोगी होते हैं। इसके विपरीत, मानव इंद्रियां अत्यधिक गैर-रैखिक हैं: उदाहरण के लिए, मस्तिष्क आने वाली रोशनी को पूरी तरह से अनदेखा करता है जब तक कि यह फोटॉन की एक निश्चित [[ पूर्ण सीमा ]] से अधिक न हो।
+एक समांगी विभेदक समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि यदि दो फलन ''f'' और ''g'' समीकरण के हल हैं, तो कोई भी [[ रैखिक संयोजन |रैखिक संयोजन]] {{nowrap|''af'' + ''bg''}} भी होता है।
-== [[ इलेक्ट्रानिक्स ]] ==
+यंत्रीकरण में, रैखिकता का अर्थ है कि एक इनपुट चर में दिया गया परिवर्तन माप उपकरण के आउटपुट में समान परिवर्तन देता है: यह वैज्ञानिक फलनों में अत्यधिक वांछनीय है। सामान्यतः, उपकरण एक निश्चित सीमा में रैखिक के करीब होते हैं, और उस सीमा के भीतर सबसे उपयोगी होते हैं। इसके विपरीत, मानव इंद्रियां अत्यधिक अरैखिक होती हैं: उदाहरण के लिए, मस्तिष्क पूरी तरह से आने वाले प्रकाश की उपेक्षा करता है जब तक कि यह फोटॉन की एक निश्चित [[ पूर्ण सीमा |पूर्ण सीमा]] से अधिक न हो।
-इलेक्ट्रॉनिक्स में, एक डिवाइस का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक [[ ट्रांजिस्टर ]], जहां एक आउटपुट आश्रित चर (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर विद्युत प्रवाह) सीधे इनपुट [[ निर्भर चर ]] (जैसे आधार वर्तमान) के लिए आनुपातिकता (गणित) होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, आमतौर पर उच्च आयाम (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक [[ उच्च निष्ठा ]] [[ ऑडियो एंप्लिफायर ]] है, जिसे अपने तरंग को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य [[ रैखिक फिल्टर ]] हैं, और सामान्य रूप से [[ रैखिक एम्पलीफायर ]] हैं।
-अधिकांश [[ विज्ञान ]] और प्रौद्योगिकी में, गणितीय अनुप्रयोगों से अलग, कुछ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है लेकिन बिल्कुल सीधी रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर ही मान्य हो सकती है- उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा एम्पलीफायर एक छोटे सिग्नल को विकृत कर सकता है, लेकिन स्वीकार्य होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीकार्य लेकिन अपूर्ण रैखिकता); और अगर इनपुट एक निश्चित मूल्य से अधिक है तो बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।<ref name=Whitaker>{{cite book|last=Whitaker|first=Jerry C.|title=आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-0973-1|url=https://books.google.com/books?id=G5UHVIqEWdQC&pg=SA11-PA1}}</ref>
+== इलेक्ट्रानिक्स ==
+[[ इलेक्ट्रानिक्स |इलेक्ट्रानिक्स]] में, एक उपकरण का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक [[ ट्रांजिस्टर |ट्रांजिस्टर]], वह होता है जहां एक आउटपुट [[ निर्भर चर |आश्रित चर]] (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर वर्तमान) एक इनपुट निर्भर चर (जैसे आधार वर्तमान) के सीधे आनुपातिक होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, सामान्यतः उच्च विमा (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक [[ उच्च निष्ठा |उच्च विश्वस्तता]] [[ ऑडियो एंप्लिफायर |ऑडियो एम्पलीफायर]] है, जिसे अपने तरंग रूप को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य सामान्य रूप से [[ रैखिक फिल्टर |रैखिक फिल्टर]] और [[ रैखिक एम्पलीफायर |रैखिक एम्पलीफायर]] हैं।
+अधिकांश [[ विज्ञान |वैज्ञानिक]] और तकनीकी में, गणितीय, अनुप्रयोगों से भिन्न, किसी चीज़ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है परन्तु बिल्कुल सरल रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर मान्य हो सकती है - उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा प्रवर्धक एक छोटे संकेत को विकृत कर सकता है, परन्तु स्वीफलन होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीफलन परन्तु अपूर्ण रैखिकता); और यदि इनपुट एक निश्चित मान से अधिक हो जाता है तो यह बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।<ref name="Whitaker">{{cite book|last=Whitaker|first=Jerry C.|title=आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-0973-1|url=https://books.google.com/books?id=G5UHVIqEWdQC&pg=SA11-PA1}}</ref>
+=== समाकल रैखिकता ===
+{{main |अभिन्न रैखिकता}}
-=== अभिन्न रैखिकता ===
+एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस. कोल्ट्स लिखते हैं:<ref>{{cite web |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |publisher=analogZONE |date=2005 |url=http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204065155/http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-date=February 4, 2012 |access-date=September 24, 2014}}</ref><ref>{{cite journal |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |journal=Foreign Electronic Measurement Technology |year=2005 |volume=24 |issue=5 |pages=30–31 |url=http://caod.oriprobe.com/articles/9294129/Understanding_Linearity_and_Monotonicity.htm |access-date=September 25, 2014}}</ref>
-{{main |Integral linearity}}
+<blockquote>सामान्य उपयोग में समाकल रैखिकता के लिए तीन बुनियादी परिभाषाएँ हैं: स्वतंत्र रैखिकता, शून्य-आधारित रैखिकता और टर्मिनल, या अंत-बिंदु, रैखिकता। प्रत्येक स्थिति में, रैखिकता परिभाषित करती है कि एक निर्दिष्ट ऑपरेटिंग रेंज में डिवाइस का वास्तविक प्रदर्शन कितनी अच्छी तरह एक सरल रेखा के करीब है। रैखिकता को सामान्यतः एक आदर्श सरल रेखा से विचलन, या गैर-रैखिकता के संदर्भ में मापा जाता है और इसे सामान्यतः [[ पूर्ण पैमाने |पूर्ण पैमाने]] के प्रतिशत या पूर्ण पैमाने के पीपीएम (प्रति मिलियन भागों) में व्यक्त किया जाता है। सामान्यतः, सरल रेखा को डेटा के कम से कम वर्ग फिट करके प्राप्त किया जाता है। वास्तविक उपकरण के प्रदर्शन के सापेक्ष सरल रेखा की स्थिति के अनुसार तीन परिभाषाएँ भिन्न होती हैं। इसके अलावा, ये तीनों परिभाषाएँ किसी भी लाभ को नज़रअंदाज़ करती हैं, या उन त्रुटियों को दूर करती हैं जो वास्तविक डिवाइस के प्रदर्शन विशेषताओं में मौजूद हो सकती हैं।</blockquote>
-एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस। कोल्ट्स लिखते हैं:<ref>{{cite web |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |publisher=analogZONE |date=2005 |url=http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204065155/http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-date=February 4, 2012 |access-date=September 24, 2014}}</ref><ref>{{cite journal |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |journal=Foreign Electronic Measurement Technology |year=2005 |volume=24 |issue=5 |pages=30–31 |url=http://caod.oriprobe.com/articles/9294129/Understanding_Linearity_and_Monotonicity.htm |access-date=September 25, 2014}}</ref>
-<blockquote>सामान्य उपयोग में अभिन्न रैखिकता के लिए तीन बुनियादी परिभाषाएं हैं: स्वतंत्र रैखिकता, शून्य-आधारित रैखिकता, और टर्मिनल, या अंत-बिंदु, रैखिकता। प्रत्येक मामले में, रैखिकता परिभाषित करती है कि एक निर्दिष्ट ऑपरेटिंग रेंज में डिवाइस का वास्तविक प्रदर्शन कितनी अच्छी तरह एक सीधी रेखा का अनुमान लगाता है। रैखिकता को आमतौर पर एक आदर्श सीधी रेखा से विचलन, या गैर-रैखिकता के संदर्भ में मापा जाता है और इसे आम तौर पर [[ पूर्ण पैमाने ]] के प्रतिशत के रूप में या पूर्ण पैमाने के पीपीएम (प्रति मिलियन भाग) में व्यक्त किया जाता है। आम तौर पर, डेटा के कम से कम वर्ग फिट करने के द्वारा सीधी रेखा प्राप्त की जाती है। तीन परिभाषाएँ वास्तविक डिवाइस के प्रदर्शन के सापेक्ष सीधी रेखा की स्थिति में भिन्न होती हैं। साथ ही, ये तीनों परिभाषाएं किसी भी लाभ, या ऑफसेट त्रुटियों को अनदेखा करती हैं जो वास्तविक डिवाइस की प्रदर्शन विशेषताओं में मौजूद हो सकती हैं।
-<br /></blockquote>
 ==सैन्य सामरिक संरचनाएं ==
-[[ गठन (सैन्य) ]] में, रैखिक संरचनाओं को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) ]] के फालानक्स जैसी संरचनाओं से शुरू किया गया था, जो उत्तरोत्तर कम पाइक द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर था। वेलिंगटन की 'द थिन रेड लाइन (1854 की लड़ाई)' के युग में चरम सीमा तक इस तरह का गठन उत्तरोत्तर पतला होता गया। इसे अंततः [[ छोटी लड़ाई लड़नेवाला ]] द्वारा बदल दिया गया जब [[ ब्रीच-लोडिंग हथियार ]] | ब्रीच-लोडिंग [[ राइफल ]] के आविष्कार ने सैनिकों को छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी, जो किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित थे।
+[[ गठन (सैन्य) |सैन्य]] सामरिक संरचनाओं में, "रैखिक संरचनाओं" को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) |पाइक]] के फालानक्स-जैसे संरचनाओं से शुरू किया गया था, धीरे-धीरे कम पाइकों द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर। वेलिंगटन की 'थिन रेड लाइन' के युग में इस तरह की संरचना उत्तरोत्तर पतली होती गई। अंततः इसे झड़प के आदेश से बदल दिया गया जब [[ ब्रीच-लोडिंग हथियार |ब्रीच-लोडिंग हथियार]] के आविष्कार ने सैनिकों को किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी।
 == कला ==
-लीनियर स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा [[ बरोक ]] से क्लासिक, या [[ पुनर्जागरण कला ]] को अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और सोलहवीं शताब्दी की शुरुआत के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, [[ रफएल ]] या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के चित्रकारी बारोक चित्रकारों ([[ पीटर पॉल रूबेन्स ]], [[ Rembrandt ]], और डिएगो वेलाज़क्वेज़ | वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से उपयोग करते हैं [[ आकार ]] बनाने के लिए रूपरेखा।<ref>{{cite book |title=कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या|url=https://archive.org/details/princarth00wlff |last=Wölfflin |first=Heinrich |editor-last=Hottinger |editor-first=M.D. |publisher=Dover |location=New York |year=1950 |pages=[https://archive.org/details/princarth00wlff/page/18 18–72]|isbn=9780486202761 }}</ref> कला में रैखिकता को [[ डिजिटल कला ]] में भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ हाइपरटेक्स्ट फिक्शन ]] [[ अरेखीय कथा ]] का एक उदाहरण हो सकता है, लेकिन ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
+रेखीय स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा "उत्कृष्ट" या [[ पुनर्जागरण कला |पुनर्जागरण कला]] को [[ बरोक |बारोक]] से अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और प्रारंभिक सोलहवीं शताब्दी के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, [[ रफएल |राफेल]] या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के "चित्रकार" बैरोक चित्रकारों ([[ पीटर पॉल रूबेन्स |पीटर पॉल रूबेन्स]], [[ Rembrandt |रेम्ब्रांट]], और वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से [[ आकार |आकार]] बनाने के लिए रूपरेखा का उपयोग करते हैं।<ref>{{cite book |title=कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या|url=https://archive.org/details/princarth00wlff |last=Wölfflin |first=Heinrich |editor-last=Hottinger |editor-first=M.D. |publisher=Dover |location=New York |year=1950 |pages=[https://archive.org/details/princarth00wlff/page/18 18–72]|isbn=9780486202761 }}</ref> [[ डिजिटल कला |डिजिटल कला]] में कला में रैखिकता को भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ हाइपरटेक्स्ट फिक्शन |हाइपरटेक्स्ट]] कथा [[ अरेखीय कथा |अरेखीय]] कथा का एक उदाहरण हो सकती है, परन्तु ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
 ==संगीत==
-संगीत में रैखिक पहलू उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) ]] या [[ मधुर ]], [[ एक साथ (संगीत) ]] या अंतराल (संगीत) पहलू के विपरीत।
+संगीत में '''रैखिक''' प्रारूप उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) |अंतराल]] या [[ मधुर |माधुर्य]], [[ एक साथ (संगीत) |एक साथ]] या ऊर्ध्वाधर प्रारूप के विपरीत।
 == आँकड़ों में ==
 {{expand section|date=March 2013}}
-<!-- error bands etc.-->
 ==यह भी देखें==
-*[[ र्रैखिक गति देने वाला ]]
+*[[ र्रैखिक गति देने वाला |र्रैखिक गति देने वाला]]
-*[[ रैखिक तत्व ]]
+*[[ रैखिक तत्व |रैखिक तत्व]]
-*[[ रैखिक पैर ]]
+*[[ रैखिक पैर |रैखिक पैर]]
-*[[ रैखिक प्रणाली ]]
+*[[ रैखिक प्रणाली |रैखिक प्रणाली]]
-*[[ रैखिक प्रोग्रामिंग ]]
+*[[ रैखिक प्रोग्रामिंग |रैखिक प्रोग्रामिंग]]
-*[[ रैखिक अंतर समीकरण ]]
+*[[ रैखिक अंतर समीकरण |रैखिक अंतर समीकरण]]
-*[[ बिलिनियर फॉर्म ]]
+*[[ बिलिनियर फॉर्म |बिलिनियर फॉर्म]]
-*[[ बहुरेखीय रूप ]]
+*[[ बहुरेखीय रूप |बहुरेखीय रूप]]
-*[[ रैखिक मोटर ]]
+*[[ रैखिक मोटर |रैखिक मोटर]]
 *रैखिक A और रैखिक B स्क्रिप्ट।
-*[[ रेखिक आंतरिक ]]
+*[[ रेखिक आंतरिक |रेखिक आंतरिक]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 104: / Line 99: @@
 ==बाहरी संबंध==
 *{{wiktionary-inline}}
-[[Category: प्राथमिक बीजगणित]]
-[[Category: भौतिक घटना]]
-[[Category: व्यापक अवधारणा लेख]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles needing additional references]]
+[[Category:All articles to be expanded]]
+[[Category:Articles needing additional references from दिसंबर 2007]]
+[[Category:Articles to be expanded from March 2013]]
+[[Category:Articles using small message boxes]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
+[[Category:Articles with short description]]
 [[Category:Created On 10/11/2022]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Missing redirects]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:प्राथमिक बीजगणित]]
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