रैखिकता: Difference between revisions

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{{Refimprove|date=December 2007}}

रैखिकता एक गणितीय संबंध (''फ़ंक्शन (गणित)'') की संपत्ति है जो एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) ]] के रूप में दर्शाए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ हो सकता है। रैखिकता '[[ आनुपातिकता (गणित) ]]'' से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में उदाहरणों में [[ सीधा गति ]], [[ विद्युत कंडक्टर ]] (ओम का नियम) में [[ वोल्टेज ]] और [[ विद्युत प्रवाह ]] का रैखिक संबंध और [[ द्रव्यमान ]] और [[ वजन ]] का संबंध शामिल है। इसके विपरीत, अधिक जटिल संबंध ''गैर-रैखिक'' होते हैं।

एक से अधिक आयामों (गणित) में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है अतिरिक्त और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) ]] के साथ संगत होने के एक फ़ंक्शन की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत भी कहा जाता है।

रेखीय शब्द [[ लैटिन ]] के ''लीनियरिस''' से आया है, जो एक रेखा से संबंधित या मिलता-जुलता है।

गणित में, एक रेखीय मानचित्र या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>

* [[ योजक नक्शा ]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.

* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य ]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।

इन गुणों को सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक [[ वास्तविक संख्या ]] नहीं है, लेकिन सामान्य रूप से किसी भी सदिश समष्टि का एक [[ तत्व (गणित) ]] हो सकता है। रैखिक फलन की एक अधिक विशेष परिभाषा# एक बहुपद फलन के रूप में, जो रैखिक मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाता है, प्राथमिक गणित में प्रयोग किया जाता है (नीचे देखें)।

केवल योगात्मकता का तात्पर्य [[ परिमेय संख्या ]] α के लिए समरूपता है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> तात्पर्य <math>f(nx)=n f(x)</math> गणितीय प्रेरण द्वारा किसी प्राकृत संख्या n के लिए, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> तात्पर्य <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math>. वास्तविक में परिमेय संख्याओं के सघन समुच्चय [[ का ]] तात्पर्य है कि कोई भी योगात्मक सतत फलन किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए समांगी है, और इसलिए रैखिक है।

रैखिकता की अवधारणा को रैखिक [[ ऑपरेटर (गणित) ]] तक बढ़ाया जा सकता है। लीनियर ऑपरेटरों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में [[ अंतर ऑपरेटर ]] के रूप में माना जाने वाला व्युत्पन्न, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान ]] शामिल हैं। जब एक अवकल समीकरण को रैखिक रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उन टुकड़ों में से प्रत्येक को हल करके और समाधानों को जोड़कर हल किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित [[ वेक्टर (गणित) ]], वेक्टर रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन ]] (जिसे 'रैखिक मानचित्र' भी कहा जाता है) और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित गणित की शाखा है।

रैखिक और अ[[ रेखीय समीकरण ]]ों के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।

{{main|linear equation}}

उपरोक्त परिभाषा के एक अलग उपयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद ]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref> वास्तविक पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:

:<math>f(x) = m x + b\ </math>

ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो योगात्मकता या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल यदि {{nowrap|1=''b'' = 0}}. इसलिए, अगर {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक सामान्यता एफ़िन परिवर्तन में देखें)।

[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) ]] में, एक रैखिक फलन एक फलन होता है <math>f</math> जिसके लिए मौजूद है <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसा है कि

:<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, कहाँ पे <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math>

ध्यान दें कि अगर <math>a_0 = 1</math>, उपरोक्त फ़ंक्शन को रैखिक बीजगणित (अर्थात रैखिक नहीं) में एफ़िन माना जाता है।

एक बूलियन फ़ंक्शन रैखिक होता है यदि निम्न में से एक फ़ंक्शन की सत्य तालिका के लिए होता है:

# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क, तर्कों को निर्दिष्ट T की एक विषम संख्या है, और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन सत्य मान है#शास्त्रीय तर्क एक सम संख्या है Ts के तर्कों को सौंपा गया। विशेष रूप से, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = F}}, और ये फ़ंक्शन बूलियन वेक्टर स्थान पर रैखिक मानचित्रों के अनुरूप हैं।

# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का मान T होता है, फ़ंक्शन के तर्कों को असाइन किए गए T की एक सम संख्या होती है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान F है, तर्कों को असाइन किए गए T की एक विषम संख्या है। इस मामले में, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = T}}.

इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा ऑपरेशन के सत्य मूल्य में अंतर करता है या इससे कभी कोई फर्क नहीं पड़ता है।

[[ नकार ]]ात्मक, [[ तार्किक द्विकंडीशनल ]], अनन्य या, [[ तनातनी (तर्क) ]], और विरोधाभास रैखिक कार्य हैं।

भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों की एक संपत्ति है; उदाहरण के लिए, [[ मैक्सवेल समीकरण ]] या [[ प्रसार समीकरण ]]।<ref>{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}</ref>

 

इलेक्ट्रॉनिक्स में, एक डिवाइस का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक [[ ट्रांजिस्टर ]], जहां एक आउटपुट आश्रित चर (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर विद्युत प्रवाह) सीधे इनपुट [[ निर्भर चर ]] (जैसे आधार वर्तमान) के लिए आनुपातिकता (गणित) होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, आमतौर पर उच्च आयाम (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक [[ उच्च निष्ठा ]] [[ ऑडियो एंप्लिफायर ]] है, जिसे अपने तरंग को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य [[ रैखिक फिल्टर ]] हैं, और सामान्य रूप से [[ रैखिक एम्पलीफायर ]] हैं।

अधिकांश [[ विज्ञान ]] और प्रौद्योगिकी में, गणितीय अनुप्रयोगों से अलग, कुछ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है लेकिन बिल्कुल सीधी रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर ही मान्य हो सकती है- उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा एम्पलीफायर एक छोटे सिग्नल को विकृत कर सकता है, लेकिन स्वीकार्य होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीकार्य लेकिन अपूर्ण रैखिकता); और अगर इनपुट एक निश्चित मूल्य से अधिक है तो बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।<ref name=Whitaker>{{cite book|last=Whitaker|first=Jerry C.|title=आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-0973-1|url=https://books.google.com/books?id=G5UHVIqEWdQC&pg=SA11-PA1}}</ref>

=== अभिन्न रैखिकता ===

एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस। कोल्ट्स लिखते हैं:<ref>{{cite web |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |publisher=analogZONE |date=2005 |url=http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204065155/http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-date=February 4, 2012 |access-date=September 24, 2014}}</ref><ref>{{cite journal |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |journal=Foreign Electronic Measurement Technology |year=2005 |volume=24 |issue=5 |pages=30–31 |url=http://caod.oriprobe.com/articles/9294129/Understanding_Linearity_and_Monotonicity.htm |access-date=September 25, 2014}}</ref>

<br /></blockquote>

[[ गठन (सैन्य) ]] में, रैखिक संरचनाओं को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) ]] के फालानक्स जैसी संरचनाओं से शुरू किया गया था, जो उत्तरोत्तर कम पाइक द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर था। वेलिंगटन की 'द थिन रेड लाइन (1854 की लड़ाई)' के युग में चरम सीमा तक इस तरह का गठन उत्तरोत्तर पतला होता गया। इसे अंततः [[ छोटी लड़ाई लड़नेवाला ]] द्वारा बदल दिया गया जब [[ ब्रीच-लोडिंग हथियार ]] | ब्रीच-लोडिंग [[ राइफल ]] के आविष्कार ने सैनिकों को छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी, जो किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित थे।

लीनियर स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा [[ बरोक ]] से क्लासिक, या [[ पुनर्जागरण कला ]] को अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और सोलहवीं शताब्दी की शुरुआत के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, [[ रफएल ]] या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के चित्रकारी बारोक चित्रकारों ([[ पीटर पॉल रूबेन्स ]], [[ Rembrandt ]], और डिएगो वेलाज़क्वेज़ | वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से उपयोग करते हैं [[ आकार ]] बनाने के लिए रूपरेखा।<ref>{{cite book |title=कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या|url=https://archive.org/details/princarth00wlff |last=Wölfflin |first=Heinrich |editor-last=Hottinger |editor-first=M.D. |publisher=Dover |location=New York |year=1950 |pages=[https://archive.org/details/princarth00wlff/page/18 18–72]|isbn=9780486202761 }}</ref> कला में रैखिकता को [[ डिजिटल कला ]] में भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ हाइपरटेक्स्ट फिक्शन ]] [[ अरेखीय कथा ]] का एक उदाहरण हो सकता है, लेकिन ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

संगीत में रैखिक पहलू उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) ]] या [[ मधुर ]], [[ एक साथ (संगीत) ]] या अंतराल (संगीत) पहलू के विपरीत।

*[[ र्रैखिक गति देने वाला ]]

*[[ रैखिक तत्व ]]

*[[ रैखिक पैर ]]

*[[ रैखिक प्रणाली ]]

*[[ रैखिक प्रोग्रामिंग ]]

*[[ रैखिक अंतर समीकरण ]]

*[[ बिलिनियर फॉर्म ]]

*[[ बहुरेखीय रूप ]]

*[[ रैखिक मोटर ]]

*[[ रेखिक आंतरिक ]]