T-J मॉडल: Difference between revisions

Latest revision as of 17:51, 29 August 2023

2डी हबर्ड मॉडल। टी-जे मॉडल यू >> टी के लिए हबर्ड मॉडल है

ठोस-अवस्था भौतिकी में, T-J मॉडल पहली बार 1977 में जोज़ेफ स्पालेक द्वारा हबर्ड मॉडल से लिया गया मॉडल है।^[1] मोट इंसुलेटर (अवरोधक) के एंटीफेरोमैग्नेटिज्म (प्रतिलौह चुंबकत्व) गुणों की व्याख्या करने के लिए^[2] और इस सामग्री में इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण की बल के बारे में प्रायोगिक परिणामों को ध्यान में रखते हुए।^[3] मॉडल सामग्री को गांठों (साइटों) में परमाणुओं के साथ जालक मॉडल (भौतिकी) के रूप में मानता है, जैसे मूल हबर्ड मॉडल में और केवल एक या दो बाहरी इलेक्ट्रॉन उनके बीच चलते हैं (आंतरिक इलेक्ट्रॉनों पर विचार नहीं किया जाता है)। यह अंतर यह मानने में है कि इलेक्ट्रॉनों को मजबूत सहसंबद्ध सामग्री होने का अनुमान है | दृढ़ता से सहसंबद्ध, इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन पारस्परिक कूलम्ब के नियम के लिए बहुत अच्छा हैं, और इसलिए दूसरे इलेक्ट्रॉन द्वारा पहले से ही अधिकार कर ली गई जालक की स्थान पर पकड़ करने से बचने के लिए अधिक विवश हैं। आधारभूत हबर्ड मॉडल में, U के साथ संकेतित प्रतिकर्षण छोटा और अशक्त भी हो सकता है, और इलेक्ट्रॉन एक स्थान से दूसरी स्थान पर जाने के लिए स्वतंत्र होते हैं (उछाल, स्थानांतरण या सुरंग के रूप में t द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। t-j मॉडल में, U के स्थान पर, पैरामीटर j है, इसलिए अनुपात t/U नाम का फ़ंक्शन (गणित) है |

इलेक्ट्रॉनों के बीच मजबूत युग्मन की परिकल्पना में डोपिंग (अपमिश्रण) प्रतिलौह चुम्कत्व में उच्च तापमान अतिचालकता को समझाने के लिए संभावित मॉडल के रूप में इसका उपयोग किया जाता है।^[4]^[5]

हैमिल्टनियन

क्वांटम भौतिकी प्रणाली के मॉडल सामान्यतौर पर हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) संचालक (भौतिकी) पर आधारित होते हैं। ${\hat {H}}$ , उस प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप, गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा दोनों सहित होता है।

t-j हैमिल्टनियन से प्राप्त किया जा सकता है ${\hat {H}}$ स्क्रिफ्फर-वुल्फ परिवर्तन का उपयोग करते हुए हबर्ड मॉडल का, परिवर्तन जनरेटर के साथ t/U पर निर्भर करता है और इलेक्ट्रॉनों के लिए जालक की स्थान पर दोगुना अधिकार करने की संभावना को छोड़कर होता है,^[6] जिसके परिणामस्वरूप:^[7]

{\hat {H}}=-t\sum _{\langle ij\rangle ,\sigma }\left(c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+\mathrm {h.c.} \right)+{\frac {1}{2}}J\sum _{\langle ij\rangle }\left(\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}-{\frac {n_{i}n_{j}}{4}}\right)+O(t^{3}/U^{2})

जहां t में शब्द गतिज ऊर्जा से मेल खाता है और हबर्ड मॉडल में एक के बराबर है। दूसरा एक दूसरे क्रम में संभावित ऊर्जा का अनुमान है, क्योंकि यह हबर्ड मॉडल का अनुमान है जो सीमा U >> t में t की शक्ति में विकसित हुआ है। उच्च क्रम में शर्तें जोड़ी जा सकती हैं।^[1]

पैरामीटर हैं:

Σ⟨ij⟩ निकटतम-पास के स्थान i और j का योग है, सभी स्थानों के लिए, सामान्यतौर पर द्वि-आयामी वर्ग जालक पर,
c^†
_iσ, c
_iσ साइट i पर फ़र्मोनिक निर्माण और विनाश संचालक हैं,
σ स्पिन ध्रुवीकरण है,
t दृढ बंधन दूसरा परिमाणीकरण है,
j = 4t²/U, j प्रतिलौह चुंबकत्व विनिमय अन्योन्य क्रिया है|
U के स्थान पर कूलम्ब का नियम है, जिसे U >> T के लिए शर्त को पूरा करना चाहिए,
n_i= Σc†^†
_iσc
_iσ स्थान पर कण संख्या है और अधिकतम 1 हो सकता है, जिससे कि दुगनी अधिकार वर्जित हो (हबर्ड मॉडल में संभव है),
S_i और S_j स्पिन (भौतिकी) स्थान I और j पर गणितीय सूत्रीकरण है।
h. c. हर्मिटियन संलग्न के लिए खड़ा है|

यदि n_i= 1, जब मूल अवस्था में, प्रति जालक के स्थान (आधा भरने) में सिर्फ एक इलेक्ट्रॉन होता है, तो मॉडल क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल को कम कर देता है और मूल अवस्था एक ढांकता हुआ प्रतिलौह चुम्कत्व (मोट इंसुलेटर) को पुन: प्रस्तुत करता है।^[8] अगले-निकटतम-पास के स्थान और कणों की कुल संख्या के कार्य में मूल स्थिति निर्धारित करने की रासायनिक क्षमता को देखते हुए मॉडल को और बढ़ाया जा सकता है:^[9]^[10]

\hat{H} = t_{1} \sum_{⟨ i, j ⟩} (c_{i σ}^{†} c_{j σ} + h . c .) + t_{2} \sum_{⟨ ⟨}

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 {{DISPLAYTITLE:''t''-''J'' model}}
-[[File:2D-Hubbard-model.png|thumb|2डी हबर्ड मॉडल। टी-जे मॉडल यू >> टी के लिए हबर्ड मॉडल है]]ठोस-अवस्था भौतिकी में, ''t''-''J'' मॉडल पहली बार 1977 में जोज़ेफ स्पालेक द्वारा [[हबर्ड मॉडल]] से लिया गया मॉडल है।<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Chao |first1=K. A. |last2=Spałek |first2=J. |last3=Oleś |first3=A. M. |date=1978-10-01 |title=हबर्ड मॉडल का विहित गड़बड़ी विस्तार|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.18.3453 |journal=Physical Review B |volume=18 |issue=7 |pages=3453–3464 |doi=10.1103/PhysRevB.18.3453|bibcode=1978PhRvB..18.3453C }}</ref> [[मोट इंसुलेटर|मोट इंसुलेटर (अवरोधक)]] के [[एंटीफेरोमैग्नेटिज्म|एंटीफेरोमैग्नेटिज्म (प्रतिलौह चुंबकत्व)]] गुणों की व्याख्या करने के लिए<ref>{{Cite journal |last=Anderson |first=P. W. |date=1959-07-01 |title=सुपरएक्सचेंज इंटरैक्शन के सिद्धांत के लिए नया दृष्टिकोण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.115.2 |journal=Physical Review |volume=115 |issue=1 |pages=2–13 |doi=10.1103/PhysRev.115.2|bibcode=1959PhRv..115....2A }}</ref> और इस सामग्री में इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण की बल के बारे में प्रायोगिक परिणामों को ध्यान में रखते हुए।<ref>{{Cite journal |last=Nagaoka |first=Yosuke |date=1966-07-08 |title=फेरोमैग्नेटिज्म इन ए नैरो, ऑलमोस्ट हाफ-फिल्ड एस बैंड|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.147.392 |journal=Physical Review |volume=147 |issue=1 |pages=392–405 |doi=10.1103/PhysRev.147.392|bibcode=1966PhRv..147..392N }}</ref> मॉडल [[सामग्री]] को गांठों (साइटों) में परमाणुओं के साथ [[जाली मॉडल (भौतिकी)|जालक मॉडल (भौतिकी)]] के रूप में मानता है, जैसे मूल हबर्ड मॉडल में और केवल एक या दो बाहरी [[इलेक्ट्रॉन]] उनके बीच चलते हैं (आंतरिक इलेक्ट्रॉनों पर विचार नहीं किया जाता है)। यह अंतर यह मानने में है कि इलेक्ट्रॉनों को मजबूत सहसंबद्ध सामग्री होने का अनुमान है | दृढ़ता से सहसंबद्ध, इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन पारस्परिक कूलम्ब के नियम के लिए बहुत अच्छा हैं, और इसलिए दूसरे इलेक्ट्रॉन द्वारा पहले से ही अधिकार कर ली गई जालक की स्थान पर पकड़ करने से बचने के लिए अधिक विवश हैं। आधारभूत हबर्ड मॉडल में, ''U'' के साथ संकेतित प्रतिकर्षण छोटा और अशक्त भी हो सकता है, और इलेक्ट्रॉन एक स्थान से दूसरी स्थान पर जाने के लिए स्वतंत्र होते हैं (उछाल, स्थानांतरण या सुरंग के रूप में ''t'' द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। t-j मॉडल में, U के स्थान पर, पैरामीटर j है, इसलिए अनुपात t/U नाम का फ़ंक्शन (गणित) है |
+[[File:2D-Hubbard-model.png|thumb|2डी हबर्ड मॉडल। टी-जे मॉडल यू >> टी के लिए हबर्ड मॉडल है]]ठोस-अवस्था भौतिकी में, '''T'''-'''J''' '''मॉडल''' पहली बार 1977 में जोज़ेफ स्पालेक द्वारा [[हबर्ड मॉडल]] से लिया गया मॉडल है।<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Chao |first1=K. A. |last2=Spałek |first2=J. |last3=Oleś |first3=A. M. |date=1978-10-01 |title=हबर्ड मॉडल का विहित गड़बड़ी विस्तार|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.18.3453 |journal=Physical Review B |volume=18 |issue=7 |pages=3453–3464 |doi=10.1103/PhysRevB.18.3453|bibcode=1978PhRvB..18.3453C }}</ref> [[मोट इंसुलेटर|मोट इंसुलेटर (अवरोधक)]] के [[एंटीफेरोमैग्नेटिज्म|एंटीफेरोमैग्नेटिज्म (प्रतिलौह चुंबकत्व)]] गुणों की व्याख्या करने के लिए<ref>{{Cite journal |last=Anderson |first=P. W. |date=1959-07-01 |title=सुपरएक्सचेंज इंटरैक्शन के सिद्धांत के लिए नया दृष्टिकोण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.115.2 |journal=Physical Review |volume=115 |issue=1 |pages=2–13 |doi=10.1103/PhysRev.115.2|bibcode=1959PhRv..115....2A }}</ref> और इस सामग्री में इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण की बल के बारे में प्रायोगिक परिणामों को ध्यान में रखते हुए।<ref>{{Cite journal |last=Nagaoka |first=Yosuke |date=1966-07-08 |title=फेरोमैग्नेटिज्म इन ए नैरो, ऑलमोस्ट हाफ-फिल्ड एस बैंड|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.147.392 |journal=Physical Review |volume=147 |issue=1 |pages=392–405 |doi=10.1103/PhysRev.147.392|bibcode=1966PhRv..147..392N }}</ref> मॉडल [[सामग्री]] को गांठों (साइटों) में परमाणुओं के साथ [[जाली मॉडल (भौतिकी)|जालक मॉडल (भौतिकी)]] के रूप में मानता है, जैसे मूल हबर्ड मॉडल में और केवल एक या दो बाहरी [[इलेक्ट्रॉन]] उनके बीच चलते हैं (आंतरिक इलेक्ट्रॉनों पर विचार नहीं किया जाता है)। यह अंतर यह मानने में है कि इलेक्ट्रॉनों को मजबूत सहसंबद्ध सामग्री होने का अनुमान है | दृढ़ता से सहसंबद्ध, इसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन पारस्परिक कूलम्ब के नियम के लिए बहुत अच्छा हैं, और इसलिए दूसरे इलेक्ट्रॉन द्वारा पहले से ही अधिकार कर ली गई जालक की स्थान पर पकड़ करने से बचने के लिए अधिक विवश हैं। आधारभूत हबर्ड मॉडल में, ''U'' के साथ संकेतित प्रतिकर्षण छोटा और अशक्त भी हो सकता है, और इलेक्ट्रॉन एक स्थान से दूसरी स्थान पर जाने के लिए स्वतंत्र होते हैं (उछाल, स्थानांतरण या सुरंग के रूप में ''t'' द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। t-j मॉडल में, U के स्थान पर, पैरामीटर j है, इसलिए अनुपात t/U नाम का फ़ंक्शन (गणित) है |
 इलेक्ट्रॉनों के बीच मजबूत युग्मन की परिकल्पना में [[डोपिंग (सेमीकंडक्टर)|डोपिंग (अपमिश्रण)]] प्रतिलौह चुम्कत्व में उच्च तापमान अतिचालकता को समझाने के लिए संभावित मॉडल के रूप में इसका उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite journal |last=Spalek |first=Jozef |date=2007-06-28 |title=t-J model then and now: A personal perspective from the pioneering times |journal=Acta Physica Polonica A |volume=111 |issue=4 |page=409 |doi=10.12693/APhysPolA.111.409 |arxiv=0706.4236 |bibcode=2007AcPPA.111..409S |s2cid=53117123 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Rømer |first1=Astrid T. |last2=Maier |first2=Thomas A. |last3=Kreisel |first3=Andreas |last4=Eremin |first4=Ilya |last5=Hirschfeld |first5=P. J. |last6=Andersen |first6=Brian M. |date=2020-01-31 |title=कमजोर से मजबूत युग्मन के लिए द्वि-आयामी हबर्ड मॉडल में बाँधना|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.2.013108 |journal=Physical Review Research |volume=2 |issue=1 |pages=013108 |doi=10.1103/PhysRevResearch.2.013108|arxiv=1909.00627 |bibcode=2020PhRvR...2a3108R |s2cid=202540002 }}</ref>
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 == हैमिल्टनियन ==
-क्वांटम भौतिकी प्रणाली के मॉडल आमतौर पर [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] [[ऑपरेटर (भौतिकी)]] पर आधारित होते हैं। <math>\hat H</math>, उस प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप, [[गतिज ऊर्जा]] और [[संभावित ऊर्जा]] दोनों सहित।
+क्वांटम भौतिकी प्रणाली के मॉडल सामान्यतौर पर [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] [[ऑपरेटर (भौतिकी)|संचालक (भौतिकी)]] पर आधारित होते हैं। <math>\hat H</math>, उस प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप, [[गतिज ऊर्जा]] और [[संभावित ऊर्जा]] दोनों सहित होता है।
-टी-जे हैमिल्टनियन से प्राप्त किया जा सकता है <math>\hat H</math> Schrieffer–Wolff परिवर्तन का उपयोग करते हुए हबर्ड मॉडल का, परिवर्तन जनरेटर के साथ t/U पर निर्भर करता है और इलेक्ट्रॉनों के लिए जाली की साइट पर दोगुना कब्जा करने की संभावना को छोड़कर,<ref>This is due using a [[Projection (linear algebra)|projector quantum operator]] <math>\hat P</math> that project <math>\hat H_t</math> on the subspace where fermionic operators can not add an electron on a site already occupied (see next note)</ref> जिसके परिणामस्वरूप:<ref>{{Cite book |last=Eckle |first=Hans-Peter |title=क्वांटम पदार्थ के मॉडल|publisher=[[Oxford University Press]] |year=2019 |isbn=9780199678839 |chapter=8.8.1 From the Hubbard to the t–J model: non-half filled band case |chapter-url=http://physics.gu.se/~tfkhj/HubbardEckle.pdf}}</ref>
+t-j हैमिल्टनियन से प्राप्त किया जा सकता है <math>\hat H</math> स्क्रिफ्फर-वुल्फ परिवर्तन का उपयोग करते हुए हबर्ड मॉडल का, परिवर्तन जनरेटर के साथ t/U पर निर्भर करता है और इलेक्ट्रॉनों के लिए जालक की स्थान पर दोगुना अधिकार करने की संभावना को छोड़कर होता है,<ref>This is due using a [[Projection (linear algebra)|projector quantum operator]] <math>\hat P</math> that project <math>\hat H_t</math> on the subspace where fermionic operators can not add an electron on a site already occupied (see next note)</ref> जिसके परिणामस्वरूप:<ref>{{Cite book |last=Eckle |first=Hans-Peter |title=क्वांटम पदार्थ के मॉडल|publisher=[[Oxford University Press]] |year=2019 |isbn=9780199678839 |chapter=8.8.1 From the Hubbard to the t–J model: non-half filled band case |chapter-url=http://physics.gu.se/~tfkhj/HubbardEckle.pdf}}</ref>
 :<math>\hat H = -t\sum_{\langle ij\rangle,\sigma} \left( c_{i\sigma}^{\dagger} c_{j\sigma} + \mathrm{h.c.} \right)
 + \frac{1}{2}J\sum_{\langle ij\rangle}\left(\mathbf{S}_{i}\cdot \mathbf{S}_{j}-\frac{n_in_j}{4}\right) + O(t^3/U^2)</math>
-जहां टी में शब्द गतिज ऊर्जा से मेल खाता है और हबर्ड मॉडल में एक के बराबर है। दूसरा एक दूसरे क्रम में संभावित ऊर्जा का अनुमान है, क्योंकि यह हबर्ड मॉडल का एक अनुमान है जो सीमा U >> t में t की शक्ति में विकसित हुआ है। उच्च क्रम में शर्तें जोड़ी जा सकती हैं।<ref name=":0" />
+जहां t में शब्द गतिज ऊर्जा से मेल खाता है और हबर्ड मॉडल में एक के बराबर है। दूसरा एक दूसरे क्रम में संभावित ऊर्जा का अनुमान है, क्योंकि यह हबर्ड मॉडल का अनुमान है जो सीमा U >> t में t की शक्ति में विकसित हुआ है। उच्च क्रम में शर्तें जोड़ी जा सकती हैं।<ref name=":0" />
 पैरामीटर हैं:
-*{{underset|⟨''ij''⟩|Σ}} निकटतम-पड़ोसी साइटों i और j का योग है, सभी साइटों के लिए, आमतौर पर द्वि-आयामी वर्ग जाली पर,
+*{{underset|⟨''ij''⟩|Σ}} निकटतम-पास के स्थान i और j का योग है, सभी स्थानों के लिए, सामान्यतौर पर द्वि-आयामी वर्ग जालक पर,
-*सी{{su|p=†|b=''iσ''}}, सी{{su|b=''iσ''}} साइट i पर फ़र्मोनिक निर्माण और विनाश संचालक हैं,
+*c{{su|p=†|b=''iσ''}}, c{{su|b=''iσ''}} साइट i पर फ़र्मोनिक निर्माण और विनाश संचालक हैं,
 *σ [[स्पिन ध्रुवीकरण]] है,
-*t टाइट बाइंडिंग#दूसरा परिमाणीकरण है,
+*t दृढ बंधन दूसरा परिमाणीकरण है,
-* जे एंटीफेरोमैग्नेटिक [[एक्सचेंज इंटरेक्शन]] है, जे = {{sfrac|4''t''<sup>2</sup>|''U''}},
+* j = {{sfrac|4''t''<sup>2</sup>|''U''}}, j प्रतिलौह चुंबकत्व [[एक्सचेंज इंटरेक्शन|विनिमय अन्योन्य क्रिया]] है|
-*यू ऑन-साइट कूलम्ब का कानून है, जिसे यू >> टी के लिए शर्त को पूरा करना चाहिए,
+*U के स्थान पर कूलम्ब का नियम है, जिसे U >> T के लिए शर्त को पूरा करना चाहिए,
-*एन<sub>i</sub>= {{underset|''σ''|Σ}}सी{{su|p=†|b=''iσ''}}सी{{su|b=''iσ''}} साइट पर कण संख्या है और अधिकतम 1 हो सकता है, ताकि डबल अधिभोग वर्जित हो (हबर्ड मॉडल में संभव है),
+*''n<sub>i</sub>''=  Σ''c''†{{su|p=†|b=''iσ''}}c{{su|b=''iσ''}} स्थान पर कण संख्या है और अधिकतम 1 हो सकता है, जिससे कि दुगनी अधिकार वर्जित हो (हबर्ड मॉडल में संभव है),
-*'एस'<sub>''i''</sub> और एस<sub>''j''</sub> स्पिन (भौतिकी) हैं # साइटों I और j पर गणितीय सूत्रीकरण,
+*''S<sub>i</sub>'' और S<sub>j</sub> स्पिन (भौतिकी) स्थान I और j पर गणितीय सूत्रीकरण है।
-*एच। सी। [[हर्मिटियन संलग्न]] के लिए खड़ा है,
+*h. c. [[हर्मिटियन संलग्न]] के लिए खड़ा है|
-अगर एन<sub>i</sub>= 1, जब जमीनी अवस्था में, प्रति जाली की साइट (आधा भरने) में सिर्फ एक इलेक्ट्रॉन होता है, तो मॉडल [[क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल]] को कम कर देता है और [[जमीनी राज्य]] एक [[ढांकता हुआ]] एंटीफेरोमैग्नेट्स (मोट इंसुलेटर) को पुन: पेश करता है।<ref>{{Cite journal |last1=Izyumov |first1=Yu. A. |last2=Chashchin |first2=N. I. |year=1998 |title=टीजे -वैरिएबल डेरिवेटिव के साथ समीकरणों के संदर्भ में मॉडल|url=https://pdfs.semanticscholar.org/a97c/cd510e016040ef2ba8a883189c178be655ae.pdf |journal=[[Condensed Matter Physics]] |volume=1 |issue=1 |pages=41–56|doi=10.5488/CMP.1.1.41 |bibcode=1998CMPh....1...41I |s2cid=11254082 }}</ref>
+यदि n<sub>i</sub>= 1, जब मूल अवस्था में, प्रति जालक के स्थान (आधा भरने) में सिर्फ एक इलेक्ट्रॉन होता है, तो मॉडल [[क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल]] को कम कर देता है और   [[जमीनी राज्य|मूल अवस्था]] एक [[ढांकता हुआ]] प्रतिलौह चुम्कत्व (मोट इंसुलेटर) को पुन: प्रस्तुत करता है।<ref>{{Cite journal |last1=Izyumov |first1=Yu. A. |last2=Chashchin |first2=N. I. |year=1998 |title=टीजे -वैरिएबल डेरिवेटिव के साथ समीकरणों के संदर्भ में मॉडल|url=https://pdfs.semanticscholar.org/a97c/cd510e016040ef2ba8a883189c178be655ae.pdf |journal=[[Condensed Matter Physics]] |volume=1 |issue=1 |pages=41–56|doi=10.5488/CMP.1.1.41 |bibcode=1998CMPh....1...41I |s2cid=11254082 }}</ref> अगले-निकटतम-पास के स्थान और कणों की कुल संख्या के कार्य में मूल  स्थिति निर्धारित करने की [[रासायनिक क्षमता]] को देखते हुए मॉडल को और बढ़ाया जा सकता है:<ref>{{cite journal|doi=10.1103/PhysRevB.57.10913 |first=Naoum |last=Karchev |title=Generalized ''CP''<sup>1</sup> model from the ''t''<sub>1</sub>-''t''<sub>2</sub>-''J'' model |journal=Phys. Rev. B |volume=57 |issue=17 |page=10913 |date=1998|arxiv=cond-mat/9706105 |bibcode=1998PhRvB..5710913K |s2cid=12865671 }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Yanagisawa |first=Takashi |date=2008-02-12 |title=Phase diagram of the''t''–''U''<sup>2</sup>Hamiltonian of the weak coupling Hubbard model |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/10/2/023014 |journal=New Journal of Physics |language=en |volume=10 |issue=2 |pages=023014 |doi=10.1088/1367-2630/10/2/023014 |arxiv=0803.1739 |bibcode=2008NJPh...10b3014Y |s2cid=55405863 |issn=1367-2630}}</ref>
-अगले-निकटतम-पड़ोसी साइटों और कणों की कुल संख्या के कार्य में जमीनी स्थिति निर्धारित करने की [[रासायनिक क्षमता]] को देखते हुए मॉडल को और बढ़ाया जा सकता है:<ref>{{cite journal|doi=10.1103/PhysRevB.57.10913 |first=Naoum |last=Karchev |title=Generalized ''CP''<sup>1</sup> model from the ''t''<sub>1</sub>-''t''<sub>2</sub>-''J'' model |journal=Phys. Rev. B |volume=57 |issue=17 |page=10913 |date=1998|arxiv=cond-mat/9706105 |bibcode=1998PhRvB..5710913K |s2cid=12865671 }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Yanagisawa |first=Takashi |date=2008-02-12 |title=Phase diagram of the''t''–''U''<sup>2</sup>Hamiltonian of the weak coupling Hubbard model |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/10/2/023014 |journal=New Journal of Physics |language=en |volume=10 |issue=2 |pages=023014 |doi=10.1088/1367-2630/10/2/023014 |arxiv=0803.1739 |bibcode=2008NJPh...10b3014Y |s2cid=55405863 |issn=1367-2630}}</ref>
 :<math>
 \mathcal{\hat H} = t_1 \sum\limits_{\langle i,j \rangle} \left( c_{i\sigma}^{\dagger} c_{j\sigma} + \mathrm{h.c.} \right) \ + \ t_2 \sum\limits_{\langle\langle i,j \rangle\rangle} \left( c_{i\sigma}^{\dagger} c_{j\sigma} + \mathrm{h.c.} \right) \ + \ J \sum\limits_{\langle i,j \rangle} \left( \mathbf{S}_{i} \cdot \mathbf{S}_{j} - \frac{ n_{i} n_{j} }{4}\right)   - \ \mu\sum\limits_{i} n_{i} , </math>
-जहां ⟨...⟩ और ⟨⟨...⟩⟩ होपिंग इंटीग्रल के लिए दो अलग-अलग मानों के साथ क्रमशः निकटतम और अगले-निकटतम पड़ोसियों को दर्शाता है (टी<sub>1</sub> और टी<sub>2</sub>) और μ रासायनिक क्षमता है।
+जहां ⟨...⟩ और ⟨⟨...⟩⟩ होपिंग समाकलित के लिए दो अलग-अलग मानों के साथ क्रमशः निकटतम और अगले-निकटतम पास को दर्शाता है (t<sub>1</sub> और t<sub>2</sub>) और μ रासायनिक क्षमता है।
 ==संदर्भ==
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 * {{cite journal|title=''t''-''J'' model then and now: A personal perspective from the pioneering times|first=Józef|last=Spałek|arxiv=0706.4236|journal=Acta Phys. Pol. A|volume=111|issue=4|pages=409–424|date=2007|doi=10.12693/APhysPolA.111.409|bibcode=2007AcPPA.111..409S|s2cid=53117123}}
 * {{Citation |last=Dr Mitchell |title=Electron interactions and the Hubbard model |url=https://www.youtube.com/watch?v=wtYQlELm3tk |language=en |access-date=2022-08-29}}
-[[Category: जालीदार मॉडल]]
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