ऑपेराड: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (5 intermediate revisions by 4 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Generalization of associativity properties}} | {{Short description|Generalization of associativity properties}} | ||
गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है। | गणित में, '''ऑपेराड''' एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है। | ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है। | ||
== | == अभ्यास == | ||
:माना X एक समूह है और <math>n\in\N</math> को परिभाषित करता है | :माना X एक समूह है और <math>n\in\N</math> को परिभाषित करता है | ||
:और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>, | :और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>, | ||
| Line 24: | Line 24: | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
असममित ऑपेराड | |||
असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं: | असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं: | ||
* अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं एन-एरी ऑपरेशन , | * अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं एन-एरी ऑपरेशन , | ||
* अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं, | * अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं, | ||
* सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन | * सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन | ||
:<math> | :<math> | ||
| Line 89: | Line 88: | ||
उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है। | उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है। | ||
== | == अभिगृहित को समझना == | ||
=== साहचर्य | === साहचर्य अभिगृहित === | ||
साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में | साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में अभिगृहित के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि ऑपेराड स्वयं ऑपेराड के रूप में साहचर्य हैं। नीचे साहचर्य ऑपेराड के साथ तुलना करें। | ||
ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है। | ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है। | ||
| Line 119: | Line 118: | ||
[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह व्यंजक <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है। | [[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह व्यंजक <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है। | ||
=== पहचान | === पहचान अभिगृहित === | ||
पहचान | पहचान अभिगृहित (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है: | ||
[[Image:OperadIdentityAxiom.svg|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से अंतर नहीं पड़ता है। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान | [[Image:OperadIdentityAxiom.svg|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से अंतर नहीं पड़ता है। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान अभिगृहित का परिणाम है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
'''आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है''' | |||
आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है ऊपर दिए गए अनुभव पर अनुभाग में दिए गए सबसे आकारिकी ऑपेराड हैं। किसी भी समूह के लिए <math>X</math>, हम <math>\mathcal{End}_X </math> सभी फलन से मिलकर <math>X^n\to X</math>आकारिकी ऑपेराड प्राप्त करते हैं। ये ऑपेराड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑपेराड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, ऑपेराड बीजगणित <math>\mathcal{O}</math> है <math>X</math> समूह द्वारा दिया जाता और ऑपेराड व्याख्या <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_X</math> है। सरल प्रकार से, इस प्रकार की व्याख्या के प्रत्येक संक्षेप संचालन को बदल देता है <math>\mathcal{O}(n)</math> ठोस में <math>n</math> समूह एन-एरी ऑपरेशन <math>X</math> है। '''''O''''' पर ऑपेराड बीजगणित इस प्रकार '''''X''''' पर ठोस संचालन के साथ समूह '''''X''''' होता है जो ऑपेराड '''''O''''' द्वारा स्पष्ट प्रकार से निर्दिष्ट नियमों का पालन करता है। | आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है ऊपर दिए गए अनुभव पर अनुभाग में दिए गए सबसे आकारिकी ऑपेराड हैं। किसी भी समूह के लिए <math>X</math>, हम <math>\mathcal{End}_X </math> सभी फलन से मिलकर <math>X^n\to X</math>आकारिकी ऑपेराड प्राप्त करते हैं। ये ऑपेराड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑपेराड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, ऑपेराड बीजगणित <math>\mathcal{O}</math> है <math>X</math> समूह द्वारा दिया जाता और ऑपेराड व्याख्या <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_X</math> है। सरल प्रकार से, इस प्रकार की व्याख्या के प्रत्येक संक्षेप संचालन को बदल देता है <math>\mathcal{O}(n)</math> ठोस में <math>n</math> समूह एन-एरी ऑपरेशन <math>X</math> है। '''''O''''' पर ऑपेराड बीजगणित इस प्रकार '''''X''''' पर ठोस संचालन के साथ समूह '''''X''''' होता है जो ऑपेराड '''''O''''' द्वारा स्पष्ट प्रकार से निर्दिष्ट नियमों का पालन करता है। | ||
=== वेक्टर | === वेक्टर स्पेस में '''आकारिकी''' '''ऑपेराड''' और '''ऑपेराड बीजगणित''' === | ||
यदि के [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम के पर परिमित-विमीय सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह के पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में आकारिकी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस हो आकारिकी ऑपेराड <math>\mathcal{End}_V = \{ \mathcal{End}_V(n) \}</math>वी के होते हैं<ref>{{cite journal|last1=Markl|first1=Martin|year=2006|title=ऑपरेशंस और प्रोप|journal=Handbook of Algebra|volume=5|issue=1|pages=87–140|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|arxiv=math/0601129 |isbn=9780444531018|s2cid=3239126}} Example 2</ref> | यदि के [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम के पर परिमित-विमीय सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह के पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में आकारिकी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस हो आकारिकी ऑपेराड <math>\mathcal{End}_V = \{ \mathcal{End}_V(n) \}</math>वी के होते हैं<ref>{{cite journal|last1=Markl|first1=Martin|year=2006|title=ऑपरेशंस और प्रोप|journal=Handbook of Algebra|volume=5|issue=1|pages=87–140|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|arxiv=math/0601129 |isbn=9780444531018|s2cid=3239126}} Example 2</ref> | ||
# <math>\mathcal{End}_V(n)</math> = रैखिक मानचित्रों का स्थान <math>V^{\otimes n} \to V</math>, | # <math>\mathcal{End}_V(n)</math> = रैखिक मानचित्रों का स्थान <math>V^{\otimes n} \to V</math>, | ||
# (रचना) दिया गया <math>f\in\mathcal{End}_V(n)</math>, <math>g_1\in\mathcal{End}_V(k_1)</math>, ..., <math>g_n\in\mathcal{End}_V(k_n)</math>, उनकी रचना मानचित्र द्वारा दी गई है <math>V^{\otimes k_1} \otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_n} \ \overset{g_1 \otimes \cdots \otimes g_n}\longrightarrow \ V^{\otimes n} \ \overset{f}\to \ V</math>, | # (रचना) दिया गया <math>f\in\mathcal{End}_V(n)</math>, <math>g_1\in\mathcal{End}_V(k_1)</math>, ..., <math>g_n\in\mathcal{End}_V(k_n)</math>, उनकी रचना मानचित्र द्वारा दी गई है <math>V^{\otimes k_1} \otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_n} \ \overset{g_1 \otimes \cdots \otimes g_n}\longrightarrow \ V^{\otimes n} \ \overset{f}\to \ V</math>, | ||
# (पहचान) में पहचान अवयव <math>\mathcal{End}_V(1)</math> पहचान मानचित्र है <math>\operatorname{id}_V</math>, | # (पहचान) में पहचान अवयव <math>\mathcal{End}_V(1)</math> पहचान मानचित्र है <math>\operatorname{id}_V</math>, | ||
# (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> <math>V^{\otimes n}</math> में टेंसर के घटकों की अनुमति देकर <math>\mathcal{End}_V(n)</math> पर कार्य करता है। | # (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> <math>V^{\otimes n}</math> में टेंसर के घटकों की अनुमति देकर <math>\mathcal{End}_V(n)</math> पर कार्य करता है। | ||
यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, के-रैखिक ऑपेराड बीजगणितीय ओवर <math>\mathcal{O}</math> परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस वी ओवर के और ऑपेराड व्याख्या द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह वी पर ठोस बहुरेखीक ऑपरेशंस को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो <math>\mathcal{O}</math> के ऑपरेशंस की तरह व्यवहार करती है. (ऑपेराड्स और ऑपेराड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: रिंग आर पर मॉड्यूल एबेलियन समूह एम द्वारा रिंग <math>R \to \operatorname{End}(M)</math> समरूपता के साथ दिया जाता है) | | यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, के-रैखिक ऑपेराड बीजगणितीय ओवर <math>\mathcal{O}</math> परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस वी ओवर के और ऑपेराड व्याख्या द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह वी पर ठोस बहुरेखीक ऑपरेशंस को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो <math>\mathcal{O}</math> के ऑपरेशंस की तरह व्यवहार करती है. (ऑपेराड्स और ऑपेराड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: रिंग आर पर मॉड्यूल एबेलियन समूह एम द्वारा रिंग <math>R \to \operatorname{End}(M)</math> समरूपता के साथ दिया जाता है) | | ||
| Line 139: | Line 140: | ||
अनुप्रयोगों के आधार पर, उपरोक्त की विविधताएं संभव हैं: उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उनके बीच वेक्टर स्पेस और टेंसर प्रोडक्ट्स के विपरीत उनके बिच टोपोलॉजिकल स्पेस और कार्टेशियन प्रोडक्ट का उपयोग किया जाता है। | अनुप्रयोगों के आधार पर, उपरोक्त की विविधताएं संभव हैं: उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उनके बीच वेक्टर स्पेस और टेंसर प्रोडक्ट्स के विपरीत उनके बिच टोपोलॉजिकल स्पेस और कार्टेशियन प्रोडक्ट का उपयोग किया जाता है। | ||
=== थोड़ा कुछ | === थोड़ा कुछ ऑपेराड === | ||
[[Image:Composition in the little discs operad.svg|thumb|छोटे 2-डिस्क ऑपरैड में ऑपेरडिक रचना, पाठ में समझाया गया है।|300x300px]]छोटा 2-डिस्क ऑपेराड सामयिक ऑपेराड है जहां <math>P(n)</math> की [[यूनिट डिस्क]] के अंदर एन डिसजॉइंट [[डिस्क (गणित)]] की ऑर्डर की गई सूचियाँ सम्मिलित हैं <math>\R^2</math> मूल पर केन्द्रित है। सममित समूह छोटे डिस्क की सूची को क्रमपरिवर्तन करके ऐसे विन्यास पर कार्य करता है। छोटी डिस्क के लिए ऑपेराड रचना को साथ में दाईं ओर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां अवयव <math>\theta\in P(3)</math> अवयव <math>(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(2)\times P(3)\times P(4)</math> के साथ बना है और <math>\theta \circ (\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(9)</math> के विन्यास को सिकोड़ कर प्राप्त किया <math>\theta_i</math> और इसे i-th डिस्क में सम्मिलित किया जाता है <math>\theta</math>, <math>i=1,2,3</math> के लिए किया जाता है। | [[Image:Composition in the little discs operad.svg|thumb|छोटे 2-डिस्क ऑपरैड में ऑपेरडिक रचना, पाठ में समझाया गया है।|300x300px]]छोटा 2-डिस्क ऑपेराड सामयिक ऑपेराड है जहां <math>P(n)</math> की [[यूनिट डिस्क]] के अंदर एन डिसजॉइंट [[डिस्क (गणित)]] की ऑर्डर की गई सूचियाँ सम्मिलित हैं <math>\R^2</math> मूल पर केन्द्रित है। सममित समूह छोटे डिस्क की सूची को क्रमपरिवर्तन करके ऐसे विन्यास पर कार्य करता है। छोटी डिस्क के लिए ऑपेराड रचना को साथ में दाईं ओर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां अवयव <math>\theta\in P(3)</math> अवयव <math>(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(2)\times P(3)\times P(4)</math> के साथ बना है और <math>\theta \circ (\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(9)</math> के विन्यास को सिकोड़ कर प्राप्त किया <math>\theta_i</math> और इसे i-th डिस्क में सम्मिलित किया जाता है <math>\theta</math>, <math>i=1,2,3</math> के लिए किया जाता है। | ||
| Line 149: | Line 150: | ||
=== स्विस-चिज ऑपेराड === | === स्विस-चिज ऑपेराड === | ||
''स्विस-चीज़ ऑपेराड'' दो-रंग का टोपोलॉजिकल ऑपेराड है, जो यूनिट एन-सेमीडिस्क और एन के अंदर डिसजॉइंट एन-क्रमपरिवर्तन डिस्क (गणित) के विन्यास के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। '-डायमेंशनल सेमीडिस्क, यूनिट सेमीडिस्क के आधार पर केंद्रित है और इसके भीतर अधिवेशन है। ऑपेराडिक रचना यूनिट डिस्क के अंदर छोटी डिस्क के ग्लूइंग विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में छोटी डिस्क और यूनिट सेमीडिस्क के अंदर छोटी डिस्क और विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में आती है। | ''स्विस-चीज़ ऑपेराड'' दो-रंग का टोपोलॉजिकल ऑपेराड है, जो यूनिट एन-सेमीडिस्क और एन के अंदर डिसजॉइंट एन-क्रमपरिवर्तन डिस्क (गणित) के विन्यास के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। '-डायमेंशनल सेमीडिस्क, यूनिट सेमीडिस्क के आधार पर केंद्रित है और इसके भीतर अधिवेशन है। ऑपेराडिक रचना यूनिट डिस्क के अंदर छोटी डिस्क के ग्लूइंग विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में छोटी डिस्क और यूनिट सेमीडिस्क के अंदर छोटी डिस्क और विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में आती है। | ||
| Line 157: | Line 155: | ||
=== साहचर्य | === साहचर्य ऑपेराड === | ||
ऑपेराड के उदाहरणों का अन्य वर्ग बीजगणितीय संरचनाओं की संरचनाओं पर अधिकार कर रहा है, जैसे साहचर्य बीजगणित, क्रमविनिमेय बीजगणित और लाई बीजगणित है। इनमें से प्रत्येक को बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न इन तीनों में से प्रत्येक में सूक्ष्म प्रकार से प्रस्तुत ऑपेराड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। | ऑपेराड के उदाहरणों का अन्य वर्ग बीजगणितीय संरचनाओं की संरचनाओं पर अधिकार कर रहा है, जैसे साहचर्य बीजगणित, क्रमविनिमेय बीजगणित और लाई बीजगणित है। इनमें से प्रत्येक को बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न इन तीनों में से प्रत्येक में सूक्ष्म प्रकार से प्रस्तुत ऑपेराड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। | ||
| Line 168: | Line 166: | ||
साहचर्य ऑपेराड पर बीजगणित सही प्रकार से अर्धसमूह होते हैं: एकल द्विआधारी साहचर्य ऑपेराड के साथ समूह होते हैं। साहचर्य ऑपेराड पर के-रैखिक बीजगणित वास्तव में साहचर्य बीजगणित हैं | | साहचर्य ऑपेराड पर बीजगणित सही प्रकार से अर्धसमूह होते हैं: एकल द्विआधारी साहचर्य ऑपेराड के साथ समूह होते हैं। साहचर्य ऑपेराड पर के-रैखिक बीजगणित वास्तव में साहचर्य बीजगणित हैं | | ||
=== टर्मिनल सममित | === टर्मिनल सममित ऑपेराड === | ||
टर्मिनल सममित ऑपेराड वह ऑपेराड है जिसमें प्रत्येक एन के लिए प्रत्येक एन-आरी ऑपरेशन होता है <math>S_n</math>नगण्य क्रिया है। इस ऑपेराड पर बीजगणित क्रमविनिमेय अर्धसमूह हैं; के-रेखीय बीजगणित क्रमविनिमेय साहचर्य के-बीजगणित हैं। | टर्मिनल सममित ऑपेराड वह ऑपेराड है जिसमें प्रत्येक एन के लिए प्रत्येक एन-आरी ऑपरेशन होता है <math>S_n</math>नगण्य क्रिया है। इस ऑपेराड पर बीजगणित क्रमविनिमेय अर्धसमूह हैं; के-रेखीय बीजगणित क्रमविनिमेय साहचर्य के-बीजगणित हैं। | ||
| Line 181: | Line 179: | ||
इसी प्रकार, अफ्फिन संयोजनों, [[शंक्वाकार संयोजन|शंक्वाकार संयोजनों]] और [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] को उप-ऑपेराड के अनुरूप माना जा सकता है जहां सदिश <math>\vec{x}</math> के पदों का योग 1 है, सभी पद क्रमशः अऋणात्मक या दोनों हैं। रेखांकन प्रकार से, इनफिनिट अफ्फिन इनफिनिट हाइपरप्लेन, हाइपर-ऑक्टेंट इनफिनिट और सिम्प्लेक्स हैं। यह औपचारिकता करता है कि <math>\R^n</math> होने का क्या अर्थ है या मानक सिम्पलेक्स मॉडल स्पेस है, और इस प्रकार के टिप्पणियां जैसे कि प्रत्येक बाध्य [[उत्तल पॉलीटॉप]] सिंप्लेक्स की इमेज है। यहां सबऑपराड्स अत्यधिक प्रतिबंधित ऑपेराड और इस प्रकार अधिक सामान्य सिद्धांतों के अनुरूप हैं। | इसी प्रकार, अफ्फिन संयोजनों, [[शंक्वाकार संयोजन|शंक्वाकार संयोजनों]] और [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] को उप-ऑपेराड के अनुरूप माना जा सकता है जहां सदिश <math>\vec{x}</math> के पदों का योग 1 है, सभी पद क्रमशः अऋणात्मक या दोनों हैं। रेखांकन प्रकार से, इनफिनिट अफ्फिन इनफिनिट हाइपरप्लेन, हाइपर-ऑक्टेंट इनफिनिट और सिम्प्लेक्स हैं। यह औपचारिकता करता है कि <math>\R^n</math> होने का क्या अर्थ है या मानक सिम्पलेक्स मॉडल स्पेस है, और इस प्रकार के टिप्पणियां जैसे कि प्रत्येक बाध्य [[उत्तल पॉलीटॉप]] सिंप्लेक्स की इमेज है। यहां सबऑपराड्स अत्यधिक प्रतिबंधित ऑपेराड और इस प्रकार अधिक सामान्य सिद्धांतों के अनुरूप हैं। | ||
=== क्रमविनिमेय- | === क्रमविनिमेय-रिंग ऑपेराड और लाई ऑपेराड === | ||
क्रमविनिमेय-रिंग ऑपेराड है जिसका बीजगणितीय क्रमविनिमेय वलय है। यह <math>P(n)=\Z[x_1,\ldots,x_n]</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> उचित कदम के साथ और चर के लिए बहुपदों (पुनः क्रमांकित चर के साथ) को प्रतिस्थापित करके दी गई ऑपेरैडिक रचना है। समान ऑपरैड को परिभाषित किया जा सकता है जिसका बीजगणित कुछ निश्चित आधार क्षेत्र पर साहचर्य, क्रमविनिमेय बीजगणित हैं। इस ऑपरैड का कॉसज़ुल-डुअल लाइ ऑपरैड है (जिसका बीजगणित लाइबीजगणित है), और इसके विपरीत है। | क्रमविनिमेय-रिंग ऑपेराड है जिसका बीजगणितीय क्रमविनिमेय वलय है। यह <math>P(n)=\Z[x_1,\ldots,x_n]</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> उचित कदम के साथ और चर के लिए बहुपदों (पुनः क्रमांकित चर के साथ) को प्रतिस्थापित करके दी गई ऑपेरैडिक रचना है। समान ऑपरैड को परिभाषित किया जा सकता है जिसका बीजगणित कुछ निश्चित आधार क्षेत्र पर साहचर्य, क्रमविनिमेय बीजगणित हैं। इस ऑपरैड का कॉसज़ुल-डुअल लाइ ऑपरैड है (जिसका बीजगणित लाइबीजगणित है), और इसके विपरीत है। | ||
| Line 263: | Line 261: | ||
*{{nlab|id=operad}} | *{{nlab|id=operad}} | ||
*https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html | *https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html | ||
[[Category: | [[Category:All articles to be expanded]] | ||
[[Category:Articles to be expanded from December 2018]] | |||
[[Category:Articles using small message boxes]] | |||
[[Category:Articles with invalid date parameter in template]] | |||
[[Category:CS1 British English-language sources (en-gb)]] | |||
[[Category:CS1 English-language sources (en)]] | |||
[[Category:CS1 maint]] | |||
[[Category:Created On 01/03/2023]] | [[Category:Created On 01/03/2023]] | ||
[[Category:Lua-based templates]] | |||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Pages with broken file links]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Short description with empty Wikidata description]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready]] | |||
[[Category:Templates that add a tracking category]] | |||
[[Category:Templates that generate short descriptions]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:श्रेणी सिद्धांत]] | |||
[[Category:सार बीजगणित]] | |||
Latest revision as of 17:12, 29 August 2023
गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।
इतिहास
ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट[1][2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।[5][6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।
अभ्यास
- माना X एक समूह है और को परिभाषित करता है
- और ,
कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह