ऑपेराड: Difference between revisions

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की  प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

== अंतर्ज्ञान ==

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया <math>f\in P(n)</math>, <math>f_1\in P(k_1),\ldots,f_n\in P(k_n)</math>, फलन  

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया <math>k_1+\cdots+k_n</math> से तर्क <math>X</math>, हम उन्हें विभाजित करते हैं <math>n</math> ब्लॉक, पहले वाला <math>k_1</math>तर्क, दूसरा <math>k_2</math> तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें <math>f_1</math>पहले ब्लॉक के लिए, <math>f_2</math> दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान '''''X''''' से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |  

 

* अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं<math>n</math>-एरी ऑपरेशन ,

* सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन  

सममित ऑपेराड (अधिकांशतः ऑपरैड कहा जाता है) असममित ऑपेराड है <math>P</math> ऊपर के रूप में, एक साथ सममित समूह <math>S_n</math>पर <math>P(n)</math> के एक समान क्रिया के लिए <math>n\in\N</math>, द्वारा चिह्नित <math>*</math> और संतुष्ट करना है  

::(जहाँ <math>t'</math> दाहिने पक्ष की ओर के अवयव को संदर्भित करता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो समूह पर कार्य करता है <math>\{1, 2, \dots , k_1+\dots +k_n\}</math> इसे तोड़कर <math>n</math> ब्लॉक, आकार का पहला <math>k_1</math>, आकार का दूसरा <math>k_2</math>, के माध्यम से <math>n</math>वें आकार का ब्लॉक <math>k_n</math>, और फिर इन्हें परमिट करता है <math>n</math> द्वारा ब्लॉक करता है <math>t</math>, प्रत्येक ब्लॉक को जोड़े रखते) |

: और दिया <math>n</math> क्रमचय <math>s_i \in S_{k_i}</math>,

::( जहाँ <math>(s_1,\ldots,s_n)</math> के अवयव को दर्शाता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो इन ब्लॉकों में से पहले <math>s_1</math>परमिट करता है, दूसरा <math>s_2</math>द्वारा, इत्यादि, और उनके सभी क्रम को उपस्थित रखता है)।

ओपेरा की व्याख्या  <math>f:P\to Q</math> यहाँ पर अनुक्रम होते हैं के होते हैं

*ऑपेराड इसलिए [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे ओपेर द्वारा निरूपित किया जाता है .

अब तक ऑपेराड को सिर्फ समूह के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] सी में ऑपेराड को परिभाषित करना संभव है। ऐसे में प्रत्येक <math>P(n)</math> सी की ऑब्जेक्ट है, रचना <math>\circ</math> व्याख्या है <math>P(n)\otimes P(k_1)\otimes\cdots\otimes P(k_n) \to P(k_1+\cdots+k_n)</math> सी में (जहां <math>\otimes</math> मोनोइडल श्रेणी के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है), और सममित समूह तत्वों की क्रियाएं सी में समरूपता द्वारा दी जाती हैं।

कार्टेशियन प्रोडक्ट द्वारा दिए गए मोनोइडल प्रोडक्ट के साथ सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान|टोपोलॉजिकल स्पेस]] और निरंतर मैप की श्रेणी है। इस कथन में, टोपोलॉजिकल ऑपेराड स्पेस (समूह के विपरीत) के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है <math>\{ P(n) \}_{n \ge 0}</math>. ऑपेराड के संरचना मैप (सममित समूहों की रचना और क्रियाएं) को तब निरंतर माना जाता है। परिणाम को टोपोलॉजिकल ऑपेराड कहा जाता है। इसी मैप,ऑपेराड के आकारिकी की परिभाषा में, यह मान लेना आवश्यक होगा कि इसमें प्रकार  सम्मिलित मैप निरंतर हैं।

क्रमविनिमेय वलय R को  दिया गया है हम आर R से अत्यधिक मॉड्यूल की श्रेणी आर-मॉड पर विचार करते हैं। आर पर ऑपेराड को[[ मोनॉइड वस्तु | मोनॉइड ऑब्जेक्ट]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में आर-मॉड (यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट आर-मॉड ऑपेराड है।<ref name=Deligne />इसी प्रकार, सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब सममित समूह है।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट परिमित समूहों में ऑपेराड है।

== स्वयंसिद्धों को समझना ==

=== साहचर्य स्वयंसिद्ध ===

  साहचर्य का अर्थ है कि संक्रियाओं का संयोजन साहचर्य है

(कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि संक्रियाएँ स्वयं संक्रियाओं के रूप में साहचर्य हैं।

नीचे #एसोसिएटिव ओपेरा के साथ तुलना करें।

ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का मतलब है कि [[अभिव्यक्ति (गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन शामिल किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता उत्पादों को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।

उदाहरण के लिए, अगर <math>\theta</math> एक बाइनरी ऑपरेशन है, जिसे लिखा जाता है <math>\theta(a,b)</math> या <math>(ab)</math>. ताकि <math>\theta</math> सहयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

फिर जो आमतौर पर लिखा जाता है <math>((ab)c)</math> के रूप में स्पष्ट रूप से लिखा गया है <math>\theta \circ (\theta,1)</math> . यह भेजता है <math>(a,b,c)</math> को <math>(ab,c)</math> (आवेदन करना <math>\theta</math> पहले दो पर, और तीसरे पर पहचान), और फिर <math>\theta</math> बाईं ओर गुणा करता है <math>ab</math> द्वारा <math>c</math>.

एक पेड़ के रूप में चित्रित करने पर यह स्पष्ट हो जाता है:

हालाँकि, अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> एक प्राथमिक अस्पष्ट है:

इसका मतलब हो सकता है <math>\theta \circ ((\theta,1) \circ ((\theta,1),1))</math>, अगर आंतरिक रचनाएँ पहले की जाती हैं, या इसका मतलब हो सकता है <math>(\theta \circ (\theta,1)) \circ ((\theta,1),1)</math>,

यदि बाहरी रचनाएँ पहले की जाती हैं (संचालन दाएं से बाएं पढ़े जाते हैं)।

लिखना <math>x=\theta, y=(\theta,1), z=((\theta,1),1)</math>, यह है <math>x \circ (y \circ z)</math> बनाम <math>(x \circ y) \circ z</math>. यही है, पेड़ में लंबवत कोष्ठक गायब हैं:

[[File:OperadTreeCompose4.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन के लिए स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करता है।

एक एनोटेटेड अभिव्यक्ति के रूप में:

[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]यदि संचालन की निचली दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (नीचे की ओर एक कोष्ठक डालता है <math>ab\quad c\ \ d</math> पंक्ति; पहले बाहरी रचना करता है), निम्नलिखित परिणाम:

[[File:OperadTreeCompose6.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन उत्पन्न करने के लिए स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करता है:

[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का संक्रियात्मक अभिगृहीत यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।

=== पहचान स्वयंसिद्ध ===

पहचान स्वयंसिद्ध (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:

[[Image:OperadIdentityAxiom.svg|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से कोई फर्क नहीं पड़ता। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान स्वयंसिद्ध का एक परिणाम है।

=== एंडोमोर्फिज्म सेट और ऑपरैड बीजगणित === में संचालित होता है

=== वेक्टर रिक्त स्थान में एंडोमोर्फिज्म ऑपरैड और ऑपरैड अलजेब्रा ===

यदि k एक [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम k पर परिमित-विम सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह k पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके एक मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में एंडोमोर्फिज्म ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष हो एंडोमोर्फिज्म ऑपराड <math>\mathcal{End}_V = \{ \mathcal{End}_V(n) \}</math> वी के होते हैं<ref>{{cite journal|last1=Markl|first1=Martin|year=2006|title=ऑपरेशंस और प्रोप|journal=Handbook of Algebra|volume=5|issue=1|pages=87–140|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|arxiv=math/0601129 |isbn=9780444531018|s2cid=3239126}} Example 2</ref>

# (पहचान) में पहचान तत्व <math>\mathcal{End}_V(1)</math> पहचान मानचित्र है <math>\operatorname{id}_V</math>,

# (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> संचालित होता है <math>\mathcal{End}_V(n)</math> टेंसर के घटकों को अंदर की अनुमति देकर <math>V^{\otimes n}</math>.

अगर <math>\mathcal{O}</math> एक ऑपरैड है, एक के-रैखिक ऑपरैड अलजेब्रा ओवर <math>\mathcal{O}</math> एक परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस वी ओवर के और एक ऑपेरड मोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह V पर ठोस बहुरेखीय संक्रियाओं को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो कि के संक्रियाओं की तरह व्यवहार करती है <math>\mathcal{O}</math>. (ओपेराड्स और ऑपरैड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: एक अंगूठी आर पर एक मॉड्यूल एक एबेलियन समूह एम द्वारा एक अंगूठी होमोमोर्फिज्म के साथ दिया जाता है <math>R \to \operatorname{End}(M)</math>.)