घनत्व आव्यूह: Difference between revisions

[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, घनत्व मैट्रिक्स (या घनत्व ऑपरेटर) एक मैट्रिक्स है जो भौतिक प्रणाली की [[कितना राज्य]] का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी मापन के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। यह अधिक सामान्य राज्य वैक्टर या तरंगों का एक सामान्यीकरण है: जबकि वे केवल शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, घनत्व मैट्रिक्स भी 'मिश्रित राज्यों' का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी में मिश्रित राज्य उत्पन्न होते हैं: पहला जब सिस्टम की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं होती है, और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समेकन से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो क्वांटम उलझाव है दूसरे के साथ, उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना।

घनत्व मैट्रिसेस इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो मिश्रित राज्यों से निपटते हैं, जैसे [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]], खुली क्वांटम प्रणाली, [[क्वांटम असंगति]] और [[क्वांटम जानकारी]]।

घनत्व मैट्रिक्स एक [[रैखिक ऑपरेटर]] का प्रतिनिधित्व है जिसे घनत्व ऑपरेटर कहा जाता है। घनत्व मैट्रिक्स अंतर्निहित स्थान में [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की पसंद से घनत्व ऑपरेटर से प्राप्त किया जाता है। व्यवहार में, "घनत्व मैट्रिक्स" और "घनत्व ऑपरेटर" शब्द अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

ऑपरेटर भाषा में, एक सिस्टम के लिए एक घनत्व ऑपरेटर एक [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित, [[ट्रेस क्लास ऑपरेटर]] का [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] ऑपरेटर जो सिस्टम के [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] पर अभिनय करता है।<ref name=fano1957>{{cite journal |doi=10.1103/RevModPhys.29.74 |title=घनत्व मैट्रिक्स और ऑपरेटर तकनीकों द्वारा क्वांटम यांत्रिकी में राज्यों का विवरण|journal=Reviews of Modern Physics |volume=29 |issue=1 |pages=74–93 |year=1957 |last1=Fano |first1=U. |bibcode=1957RvMP...29...74F }}</ref><ref>{{Cite book|last=Holevo |first=Alexander S. |author-link=Alexander Holevo |title=क्वांटम थ्योरी की सांख्यिकीय संरचना|publisher=Springer |series=Lecture Notes in Physics |year=2001 |isbn=3-540-42082-7|oclc=318268606}}</ref><ref name=Hall2013pp419-440>{{cite book |doi=10.1007/978-1-4614-7116-5_19 |chapter=Systems and Subsystems, Multiple Particles |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|volume=267 |pages=419–440 |series=Graduate Texts in Mathematics |year=2013 |last1=Hall |first1=Brian C. |isbn=978-1-4614-7115-8 }}</ref> इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध अवस्था होती है <math>|\psi_j\rangle</math> संभावना के साथ तैयार किया गया है <math>p_j</math>, एक पहनावा के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी # प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की संभावना <math>m</math> प्रक्षेपण ऑपरेटरों का उपयोग करते समय <math>\Pi_m</math> द्वारा दिया गया है<ref name="mikeandike" />{{rp|99}}

जो घनत्व ऑपरेटर बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है

इस पहनावा की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व। यह जांचना आसान है कि यह ऑपरेटर सकारात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है, और इसका एक निशान है। इसके विपरीत, यह [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|</math> कुछ राज्यों के लिए <math>|\psi_j\rangle</math> और गुणांक <math>p_j</math> जो गैर-नकारात्मक हैं और एक के बराबर हैं।<ref name=davidson>{{cite book|last=Davidson|first=Ernest Roy|title=क्वांटम रसायन विज्ञान में कम घनत्व मैट्रिक्स|year=1976|publisher=[[Academic Press]], London}}</ref><ref name="mikeandike" />{{rp|102}} हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा दिखाया गया है।

घनत्व संचालकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा उलझी हुई अवस्थाओं पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। होने देना <math>|\Psi\rangle</math> समग्र हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक शुद्ध उलझी हुई अवस्था हो <math> \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2</math>. माप परिणाम प्राप्त करने की संभावना <math>m</math> प्रोजेक्टर को मापते समय <math>\Pi_m</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर <math>\mathcal{H}_1</math> द्वारा ही दिया जाता है<ref name="mikeandike" />{{rp|107}}

कहाँ <math> \operatorname{tr}_2 </math> हिल्बर्ट स्पेस पर [[आंशिक निशान]] को दर्शाता है <math>\mathcal{H}_2</math>. यह ऑपरेटर बनाता है

इन स्थानीय मापों की संभावनाओं की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण। इसे [[कम घनत्व मैट्रिक्स]] के रूप में जाना जाता है <math>|\Psi\rangle</math> सबसिस्टम 1 पर। यह जांचना आसान है कि इस ऑपरेटर में घनत्व ऑपरेटर के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व ऑपरेटरों को इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|</math> किसी राज्य के लिए <math>|\Psi\rangle </math>.

== शुद्ध और मिश्रित अवस्थाएँ ==

एक शुद्ध क्वांटम अवस्था एक ऐसी अवस्था है जिसे अन्य क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण या [[उत्तल संयोजन]] के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।<ref name=Hall2013pp419-440 />घनत्व संचालकों की भाषा में शुद्ध अवस्थाओं के कई समकक्ष लक्षण हैं।<ref name=":0">{{cite book|last=Peres |first=Asher |author-link=Asher Peres |title=[[Quantum Theory: Concepts and Methods]] |year=1995 |publisher=Kluwer |isbn=978-0-7923-3632-7 |oclc=901395752}}</ref>{{rp|73}} एक घनत्व ऑपरेटर एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है अगर और केवल अगर:

* इसे स्टेट वेक्टर के [[बाहरी उत्पाद]] के रूप में लिखा जा सकता है <math>|\psi\rangle</math> खुद के साथ, यानी <math display="block"> \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.</math>

* यह एक [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] है, विशेष रूप से [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]] एक का।

* यह निःशेष है, अर्थात् <math display="block">\rho = \rho^2.</math>

* इसमें [[शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)]] एक है, अर्थात, <math display="block">\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.</math>

क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण और उनके [[ जितना अध्यारोपण ]] के बीच अंतर पर जोर देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो राज्य में होने के लिए तैयार है <math>| \psi_1 \rangle</math> या <math>| \psi_2 \rangle</math>, समान संभावना के साथ, इसे मिश्रित अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है

कहाँ <math>| \psi_1 \rangle</math> और <math>| \psi_2 \rangle</math> सादगी के लिए, ऑर्थोगोनल और आयाम 2 ग्रहण किया जाता है। दूसरी ओर, समान [[संभाव्यता आयाम]] वाले इन दो राज्यों की एक क्वांटम सुपरपोजिशन का परिणाम शुद्ध अवस्था में होता है <math>| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},</math> घनत्व मैट्रिक्स के साथ

:<math>|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.</math>

संभाव्य मिश्रण के विपरीत, यह सुपरपोजिशन [[क्वांटम हस्तक्षेप]] प्रदर्शित कर सकता है।<ref name="mikeandike" />{{rp|81}}

 

[[File:Bloch sphere.svg|thumb|[[बलोच क्षेत्र]] में एक कक्षा का प्रतिनिधित्व, इकाई क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु एक शुद्ध स्थिति के लिए खड़ा होता है। अन्य सभी घनत्व मेट्रिसेस इंटीरियर में बिंदुओं के अनुरूप हैं।]]ज्यामितीय रूप से, घनत्व संचालकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय है, और शुद्ध अवस्थाएँ उस समुच्चय के [[चरम बिंदु]] हैं। सबसे सरल मामला द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष का है, जिसे एक कक्षा के रूप में जाना जाता है। एक qubit के लिए एक मनमाना राज्य [[पॉल मैट्रिसेस]] के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक साथ पहचान मैट्रिक्स के लिए एक आधार प्रदान करता है <math>2 \times 2</math> स्व-संलग्न मेट्रिसेस:<ref name=":2" />{{Rp|126}}

के साथ अंक <math>r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1</math> शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि मिश्रित अवस्थाओं को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्टेट स्पेस के बलोच स्फीयर पिक्चर के रूप में जाना जाता है।

[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|गरमागरम प्रकाश बल्ब{{nbsp}}(1) पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉनों का उत्सर्जन करता है{{nbsp}}(2) मिक्स्ड स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स के साथ:<br />

<डिव वर्ग = केंद्र><math>\begin{bmatrix}

\end{bmatrix}</math><span style= vertical-align:bottom >.</span></div>{{paragraph}}

वर्टिकल प्लेन पोलराइज़र से गुजरने के बाद{{nbsp}}(3), शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत हैं{{nbsp}}(4) और प्योर स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स है:<br />

<डिव वर्ग = केंद्र><math>\begin{bmatrix}

</math><span style= vertical-align:bottom >.</span></div>]][[फोटॉन ध्रुवीकरण]] शुद्ध और मिश्रित अवस्थाओं का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन

ऑर्थोगोनल क्वांटम राज्यों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं परिपत्र ध्रुवीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>|\mathrm{R}\rangle</math> और <math>|\mathrm{L}\rangle</math> या दोनों का क्वांटम सुपरपोजिशन: यह किसी भी अवस्था में हो सकता है <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> (साथ <math>|\alpha|^2+|\beta|^2=1</math>), [[रैखिक ध्रुवीकरण]], परिपत्र ध्रुवीकरण, या [[अण्डाकार ध्रुवीकरण]] के अनुरूप। अब राज्य द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन पर विचार करें <math>|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math>. यदि हम इसे एक गोलाकार पोलराइज़र से गुजारते हैं जो या तो केवल अनुमति देता है <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश, या केवल <math>|\mathrm{L}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश, दोनों मामलों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन अवस्था में हैं <math>|\mathrm{R}\rangle</math> और दूसरा आधा राज्य में <math>|\mathrm{L}\rangle</math>, लेकिन यह सही नहीं है: अगर हम पास हो जाते हैं <math>(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math> एक [[रैखिक ध्रुवीकरण]] के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन अगर हम किसी भी स्थिति को पार करते हैं <math>|\mathrm{R}\rangle</math> या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।

अधुवित प्रकाश (जैसे कि [[गरमागरम प्रकाश बल्ब]] से प्रकाश) को किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> (रैखिक, गोलाकार या अण्डाकार ध्रुवीकरण)। ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता के नुकसान के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है, जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है; और इसे किसी [[ तरंग प्लेट ]] से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समेकन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदा। जी। प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकरण या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> संभाव्यता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण। यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण होता है तो वही व्यवहार होता है <math>| \mathrm{V}\rangle </math> या क्षैतिज ध्रुवीकरण <math>| \mathrm{H} \rangle </math> प्रायिकता 1/2 के साथ। ये दो पहनावा प्रयोगात्मक रूप से पूरी तरह से अप्रभेद्य हैं, और इसलिए उन्हें एक ही मिश्रित अवस्था माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए, घनत्व ऑपरेटर बराबर होता है<ref name=":0" />{{Rp|75}}

अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है, उदाहरण के लिए, इसे एक खुरदरी सतह के साथ एक [[द्विअर्थी क्रिस्टल]] के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के थोड़े अलग हिस्से अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना उलझी हुई अवस्थाओं का उपयोग कर रही है: एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाले दो फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है <math>(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}</math>. एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए व्यक्तिगत रूप से घनत्व मैट्रिक्स, संयुक्त घनत्व मैट्रिक्स के आंशिक ट्रेस को ले कर पाया जाता है, पूरी तरह से मिश्रित होता है।<ref name="mikeandike" />{{Rp|106}}

एक दिया गया घनत्व ऑपरेटर विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध राज्यों का कौन सा समूह इसे जन्म देता है; सामान्य तौर पर एक ही घनत्व मैट्रिक्स उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग पहनावा होते हैं।<ref>{{Cite journal|last=Kirkpatrick |first=K. A. |date=February 2006 |title=The Schrödinger-HJW Theorem |journal=[[Foundations of Physics Letters]] |volume=19 |issue=1 |pages=95–102 |doi=10.1007/s10702-006-1852-1 |issn=0894-9875 |arxiv=quant-ph/0305068|bibcode=2006FoPhL..19...95K |s2cid=15995449 }}</ref> इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता।<ref>{{Cite journal|last=Ochs|first=Wilhelm|date=1981-11-01|title=क्वांटम यांत्रिकी में राज्य की अवधारणा पर कुछ टिप्पणियाँ|url=https://doi.org/10.1007/BF00211375|journal=Erkenntnis|language=en|volume=16|issue=3|pages=339–356|doi=10.1007/BF00211375|s2cid=119980948|issn=1572-8420}}</ref> समतुल्य पहनावा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है: चलो <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math> एक पहनावा हो। फिर किसी जटिल मैट्रिक्स के लिए <math>U</math> ऐसा है कि <math>U^\dagger U = I</math> (एक [[आंशिक आइसोमेट्री]]), पहनावा <math>\{q_i,|\varphi_i\rangle\}</math> द्वारा परिभाषित

एक ही घनत्व ऑपरेटर को जन्म देगा, और सभी समतुल्य पहनावा इस रूप में हैं।

एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व संचालिका के पास अनंत रूप से क्वांटम अवस्था के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध अवस्थाएं होती हैं जो आंशिक ट्रेस लिए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं। होने देना

पहनावा द्वारा उत्पन्न घनत्व ऑपरेटर हो <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math>, राज्यों के साथ <math>|\psi_j\rangle</math> जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल हो। फिर सभी आंशिक आइसोमेट्री के लिए <math>U</math> हमारे पास वह है