अनंत: Difference between revisions
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[[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right| | [[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|[[अनंत दर्पण|विरोधी दर्पणों]] के बीच निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब के कारण ऐसा लगता है कि उनके भीतर असीम स्थान और पुनरावृत्ति है।]]'''अनंत''' वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
[[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | [[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | ||
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
{{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | {{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | ||
प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच | प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया है। | ||
=== प्रारंभिक | === प्रारंभिक ग्रीक === | ||
ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ||
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अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < ''x'' < 1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में ''a'' = 10 सेकंड और ''x'' = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < ''x'' < 1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में ''a'' = 10 सेकंड और ''x'' = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | ||
===प्रारंभिक भारतीय === | ===प्रारंभिक भारतीय === | ||
[[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | [[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | ||
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=== 17वीं शताब्दी === | === 17वीं शताब्दी === | ||
17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना | 17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना प्रारम्भकिया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> अंकन {{char|<math>\infty</math>}} का उपयोग किया और <math>{1\over \infty} | ||
</math> के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | </math> के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | ||
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}}</ref> हम <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का [[एक-बिंदु संघनन]] हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है।<ref>{{harvnb|Gemignani|1990|loc=p. 177}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य [[आयाम (गणित और भौतिकी)|आयामों]] के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|first1=Albrecht|last1=Beutelspacher|first2=Ute|last2=Rosenbaum|title=Projective Geometry / from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|page=27}}</ref> | }}</ref> हम <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का [[एक-बिंदु संघनन]] हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है।<ref>{{harvnb|Gemignani|1990|loc=p. 177}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य [[आयाम (गणित और भौतिकी)|आयामों]] के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|first1=Albrecht|last1=Beutelspacher|first2=Ute|last2=Rosenbaum|title=Projective Geometry / from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|page=27}}</ref> | ||
==== सम्मिश्र विश्लेषण ==== | ==== सम्मिश्र विश्लेषण ==== | ||
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, | [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, सम्मिश्र स्थान को एक गोले पर "लपेटा" जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप क्षेत्र का शीर्ष बिंदु होता है। इसे [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।]][[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में प्रतीक <math>\infty</math>, जिसे "अनंत" कहा जाता है, एक अहस्ताक्षरित अनंत [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है। <math>x \rightarrow \infty</math> का अर्थ है कि <math>|x|</math> का परिमाण <math>x</math> किसी भी निर्दिष्ट मान से अधिक हो जाता है। <math>\infty</math> लेबल वाले एक बिंदु को सम्मिश्र में एक स्थलीय स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे सम्मिश्र स्थान का एक-बिंदु संघनन होता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExtendedComplexPlane.html|title=Extended Complex Plane|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> जब यह किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी सम्मिश्र कई गुना या रीमैन सतह होता है, जिसे विस्तारित सम्मिश्र स्थान या [[रीमैन सतह|रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए समान अंकगणितीय संक्रियाओं को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस तरह का अनंत शून्य से विभाजन को सक्षम करता है, अर्थात किसी भी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या <math>z</math> के लिए <math>z/0 = \infty</math>। इस संदर्भ में, ध्रुवों पर <math>\infty</math> का मान लेते हुए रीमैन क्षेत्र में नक्शो के रूप में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फलनों]] पर विचार करना प्रायः उपयोगी होता है। अनंत पर बिंदु को सम्मिलित करने के लिए सम्मिश्र-मूल्यवान फलन का क्षेत्र बढ़ाया जा सकता है। ऐसे फलनों का महत्वपूर्ण उदाहरण मोबीस रूपांतरणों का समूह है (मोबीस रूपांतरण § अवलोकन देखें)। | ||
=== गैर-मानक विश्लेषण === | === गैर-मानक विश्लेषण === | ||
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर | [[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर अति सूक्ष्म (ε) और अनंत (ω)]]आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा अतिसूक्ष्म गणना के मूल सूत्रीकरण में अतिसूक्ष्म मात्राओं का उपयोग किया गया था। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, यह दिखाया गया था कि इस उपचार को विभिन्न तार्किक प्रणालियों के माध्यम से एक कठोर स्तर पर रखा जा सकता है, जिसमें सहज अति सूक्ष्म विश्लेषण और गैर-मानक विश्लेषण सम्मिलित हैं। उत्तरार्द्ध में, अतिसूक्ष्म व्युत्क्रमणीय होते हैं, और उनके व्युत्क्रम अनंत संख्याएँ होती हैं। इस अर्थ में अनंत एक अति वास्तविक क्षेत्र का हिस्सा है उनके बीच कैंटोरियन परिमितातीतों के साथ कोई समानता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि H इस अर्थ में एक अनंत संख्या है, तो H + H = 2H और H + 1 विशिष्ट अनंत संख्याएँ हैं। गैर-मानक गणना के लिए यह दृष्टिकोण {{harvtxt|केसलर |1986}} में पूरी तरह से विकसित था। | ||
=== समुच्चय सिद्धान्त === | === समुच्चय सिद्धान्त === | ||
{{Main| | {{Main|कार्डिनलिटी|क्रमसूचक संख्या}} | ||
[[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत | [[File:Infinity paradoxon - one-to-one correspondence between infinite set and proper subset.gif|thumb|अनंत समुच्चय और उसके उचित उपसमुच्चय के बीच प्रत्येक से अलग समतुल्यता]]"अनंत" का एक अलग रूप समुच्चय सिद्धान्त की क्रमवाचक संख्या और [[बुनियादी संख्या|गणनसंख्या]] अनंत हैं, जो पहले जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित की गई परिमितातीत (ट्रांसफ़िनिट) संख्याओं की प्रणाली है। इस प्रणाली में, पहला परिमितातीत गणनसंख्या एलेफ़-नल (<span style= font-family:'Cambria Math'; ><big>ℵ</big><sub>0</sub></span>) है, जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणनांक है। मात्रात्मक अनंत की यह आधुनिक गणितीय अवधारणा 19वीं शताब्दी के अंत में कैंटर, [[भगवान फ्रीज का शुक्र है|गोटलॉब फ्रेग]], [[रिचर्ड डेडेकिंड]] और अन्य लोगों द्वारा संग्रह या समुच्चय के विचार का उपयोग करके विकसित हुई थी।<ref name=":1" /> | ||
डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"। | डेडेकिंड का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से समुच्चय के आकार की तुलना करने के लिए प्रत्येक से अलग समतुल्यता के विचार को एक मानक के रूप में अपनाने और गैलीलियो (यूक्लिड से प्राप्त) के विचार को अस्वीकार करने के लिए था कि पूरे भाग के समान आकार नहीं हो सकते। (हालांकि, गैलीलियो के विरोधाभास को देखें जहां गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला है कि सकारात्मक पूर्णांकों की तुलना सकारात्मक [[वर्ग संख्या|वर्ग पूर्णांकों]] के उपसमुच्चय से नहीं की जा सकती है क्योंकि दोनों अनंत समुच्चय हैं।) एक अनंत समुच्चय को केवल उसी आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका आकार कम से कम उसके उचित भागों में से एक के समान है, अनंत की इस धारणा को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है। दाईं ओर आरेख उदाहरण देता है- बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में देखने वाली रेखाएं, निचली नीली रेखा के बाएं आधे हिस्से को उच्च नीली रेखा के लिए और पूरी निचली नीली रेखा (लाल समतुल्यता) के बदले में प्रत्येक के लिए अलग अलग तरीके (हरे समतुल्यता) में मैप किया जा सकता है, इसलिए पूरी निचली नीली रेखा और उसके बाएं आधे हिस्से में एक ही गणनांक है, अर्थात "आकार"। | ||
कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया- क्रमवाचक संख्याएँ और गणन संख्याएँ। क्रमवाचक संख्याएँ [[सुव्यवस्थित]] समुच्चयों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी निष्कर्ष पर की गई गिनती, जिसमें अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का सामान्यीकरण, जो धनात्मक [[पूर्णांकों]] से मानचित्र हैं, तथा क्रमवाचक संख्याओं से परिमितातीत अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर जाता हैं। क्रमवाचक संख्याएँ समुच्चय के आकार को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के क्रमवाचक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमवाचक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमवाचक अनंत धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों का गणनांक होता है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित संगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करती है।<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/अनंतताMind/IM.html|title=अनंतता|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{cite book | कैंटर ने दो प्रकार की अनंत संख्याओं को परिभाषित किया- क्रमवाचक संख्याएँ और गणन संख्याएँ। क्रमवाचक संख्याएँ [[सुव्यवस्थित]] समुच्चयों की विशेषता बताती हैं, या किसी भी निष्कर्ष पर की गई गिनती, जिसमें अनंत संख्या के बाद के अंक पहले ही गिने जा चुके हैं। परिमित और (साधारण) अनंत [[अनुक्रम|अनुक्रमों]] का सामान्यीकरण, जो धनात्मक [[पूर्णांकों]] से मानचित्र हैं, तथा क्रमवाचक संख्याओं से परिमितातीत अनुक्रमों तक मानचित्रण की ओर जाता हैं। क्रमवाचक संख्याएँ समुच्चय के आकार को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कितने सदस्य हैं, और उस आकार के क्रमवाचक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक निश्चित आकार की पहली क्रमवाचक संख्या चुनकर मानकीकृत किया जा सकता है। सबसे छोटी क्रमवाचक अनंत धनात्मक पूर्णांकों की होती है, और कोई भी समुच्चय जिसमें पूर्णांकों का गणनांक होता है, वह गणनीय रूप से अनंत होता है। यदि एक समुच्चय सकारात्मक पूर्णांकों के साथ प्रत्येक से अलग समतुल्यता में रखने के लिए बहुत बड़ा है, तो इसे [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] कहा जाता है। कैंटर के विचार प्रचलित थे और आधुनिक गणित संगत और सुसंगत सिद्धांत के भाग के रूप में वास्तविक अनंतता को स्वीकार करती है।<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/अनंतताMind/IM.html|title=अनंतता|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{cite book | ||
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</ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं। | </ref>{{page needed|date=June 2014}} कुछ विस्तारित संख्या प्रणालियाँ, जैसे कि अतिवास्तविक संख्याएँ, साधारण (परिमित) संख्याएँ और विभिन्न आकारों की अनंत संख्याएँ सम्मिलित करती हैं। | ||
==== सातत्य | ==== सातत्य का गणनांक ==== | ||
{{Main| | {{Main|सातत्य का गणनांक}} | ||
कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य | |||
कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य <math>\mathbf c</math> का गणनांक प्राकृतिक संख्या <math>{\aleph_0}</math> की तुलना में अधिक है अर्थात्, प्राकृतिक संख्या '''N''' की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएँ '''R''' हैं।{{math|}} {{math|}}. अर्थात्, कैंटर ने दिखाया कि <math>\mathbf{c}=2^{\aleph_0}>{\aleph_0}</math>.<ref>{{Cite journal| last = Dauben | |||
| first = Joseph | | first = Joseph | ||
| title = Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory | | title = Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory | ||
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| year = 1993 | | year = 1993 | ||
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}}</ref>{{see| | }}</ref>{{see|कैंटर का विकर्ण तर्क |और कैंटर का पहला अगणनीयता प्रमाण}} | ||
सातत्य परिकल्पना बताती है कि वास्तविक संख्या और प्राकृतिक संख्या | |||
सातत्य परिकल्पना बताती है कि वास्तविक संख्या और प्राकृतिक संख्या के गणनांक के बीच कोई गणन संख्या नहीं है, अर्थात,<math>\mathbf{c}=\aleph_1=\beth_1</math>.{{see|बेथ संख्या#बेथ एक}} | |||
इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, यहाँ तक कि स्वयंसिद्ध के चुनाव को भी मानते हुए।<ref>{{harvnb|Cohen|1963|p=1143}}</ref> | |||
[[कार्डिनल अंकगणित|गणनांक अंकगणित]] का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[वास्तविक संख्या रेखा]] में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी [[रेखा खंड|खंड]] में बिंदुओं की संख्या के बराबर है, बल्कि यह भी कि यह समतल पर बिंदुओं की संख्या के बराबर है। और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में। | |||
[[File:Peanocurve.svg|thumb|एक फ्रैक्टल निर्माण के पहले तीन चरण जिसकी सीमा [[जगह भरने वाला कर्व|स्थान-भरने वाले वक्र]] है, यह दर्शाता है कि एक-आयामी रेखा में उतने ही बिंदु हैं जितने कि एक द्वि-आयामी वर्ग में हैं।]]इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करने से स्पष्ट होता है, जो [[अंतराल]] (−{{sfrac|π|2}}, {{sfrac|π|2}}) और '''R''' के बीच प्रत्येक से अलग संगति प्रदान करता है। {{math|}}{{math|}}.{{see also|ग्रांड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास}} | |||
दूसरा परिणाम 1878 में कैंटर द्वारा सिद्ध किया गया था, लेकिन केवल 1890 में ही सहज रूप से स्पष्ट हो गया था, जब [[जोसेफ पीनो|ग्यूसेप पीआनो]] ने स्थान-भरने वाले वक्र, घुमावदार रेखाएं पेश कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या [[घनक्षेत्र|अतिविम]], या परिमित-आयामी स्थान को भरने के लिए पर्याप्त रूप से घूमती और मुड़ती हैं।<ref>{{harvnb|Sagan|1994|pp=10–12}}</ref> | |||
=== [[ज्यामिति]] === | === [[ज्यामिति]] === | ||
19वीं सदी के अंत तक, ज्यामिति में | 19वीं सदी के अंत तक, ज्यामिति में अनन्त की शायद ही कभी चर्चा की गई थी, उन प्रक्रियाओं के संदर्भ को छोड़कर जिन्हें बिना किसी सीमा के जारी रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[रेखा (ज्यामिति)|रेखा]] वह थी जिसे अब रेखा खंड कहा जाता है, इस प्रावधान के साथ कि कोई इसे जहाँ तक चाहे बढ़ा सकता है, लेकिन इसे असीम रूप से विस्तारित करने का सवाल ही नहीं था। इसी तरह, रेखा को प्रायः असीमित रूप से कई बिंदुओं से बना नहीं माना जाता था, लेकिन वह एक ऐसा स्थान था जहां एक बिंदु रखा जा सकता था। यहां तक कि अगर असीम रूप से कई संभावित स्थान हैं, तो रेखा पर केवल सीमित अंक ही रखे जा सकते हैं। इसकी एक गवाह अभिव्यक्ति है "बिंदु का स्थान जो कुछ गुण (एकवचन) को संतुष्ट करता है", जहां आधुनिक गणितज्ञ प्रायः उन बिंदुओं के समुच्चय को कहेंगे जिनके पास गुण (बहुवचन) है। | ||
वास्तविक | वास्तविक अनन्त को सम्मिलित करने वाली गणितीय अवधारणा के दुर्लभ अपवादों में से एक प्रक्षेपी ज्यामिति थी, जहाँ अनन्त पर बिंदुओं को [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थान]] में परिप्रेक्ष्य प्रभाव के मॉडलिंग के लिए जोड़ा जाता है जो समानांतर रेखाओं को "अनंत पर" प्रतिच्छेद करता है। गणितीय रूप से, अनंत पर बिंदुओं को कुछ विशेष स्थितियों पर विचार न करने की अनुमति देने का लाभ होता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी तल में, दो अलग-अलग रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि अनंत पर बिंदुओं के बिना, समानांतर रेखाओं के लिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं। इसलिए, चिरसम्मत ज्यामिति में समानांतर और गैर-समानांतर रेखाओं का अलग-अलग अध्ययन किया जाना चाहिए, जबकि प्रक्षेपी ज्यामिति में उन्हें अलग करने की आवश्यकता नहीं है। | ||
[[गणित की नींव]] के लिए [[समुच्चय सिद्धान्त]] के उपयोग से पहले, बिंदुओं और रेखाओं को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में देखा जाता था, और एक बिंदु को एक रेखा पर स्थित किया जा सकता था। गणित में | [[गणित की नींव]] के लिए [[समुच्चय सिद्धान्त|समुच्चय सिद्धांत]] के उपयोग से पहले, बिंदुओं और रेखाओं को अलग-अलग संस्थाओं के रूप में देखा जाता था, और एक बिंदु को एक रेखा पर स्थित किया जा सकता था। गणित में समुच्चय सिद्धांत के सार्वभौमिक उपयोग के साथ, दृष्टिकोण नाटकीय रूप से बदल गया है- रेखा को अब इसके बिंदुओं के समुच्चय के रूप में माना जाता है, और एक कहता है कि बिंदु रेखा पर स्थित होने के स्थान पर रेखा से संबंधित है (हालाँकि, बाद वाला वाक्यांश अभी भी उपयोग किया जाता है)। | ||
विशेष रूप से, आधुनिक गणित में, रेखाएँ अनंत समुच्चय होती हैं। | विशेष रूप से, आधुनिक गणित में, रेखाएँ अनंत समुच्चय होती हैं। | ||
=== अनंत आयाम === | === अनंत आयाम === | ||
चिरसम्मत ज् | |||