अवकल समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:53, 28 August 2023

ऊष्मा समीकरण को हल करके बनाए गए पंप आवरण में ऊष्मा हस्तांतरण का दृश्य। आवरण में आंतरिक रूप से ऊष्मा उत्पन्न की जा रही है और सीमा पर ठंडा किया जा रहा है, जिससे एक स्थिर स्थिति तापमान वितरण प्रदान किया जा रहा है।

गणित में, अवकल समीकरण एक समीकरण है जो एक या एक से अधिक अज्ञात फलनों और उनके व्युत्पन्नों से संबंधित होता है।^[1] अनुप्रयोगों में, फलन प्रायः भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न परिवर्तन की अपनी दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अवकल समीकरण दोनों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस तरह के संबंध सामान्य हैं इसलिए अभियांत्रिकी, भौतिकी, अर्थशास्त्र और जीव विज्ञान सहित कई विषयों में अवकल समीकरण प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

मुख्य रूप से अवकल समीकरणों के अध्ययन में उनके समाधान (प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले फलनों का समूह) और उनके समाधान के गुणों का अध्ययन सम्मिलित है। स्पष्ट सूत्रों द्वारा केवल सबसे सरल अवकल समीकरणों को हल किया जा सकता है हालाँकि, किसी दिए गए अवकल समीकरण के समाधान के कई गुणों को उनकी सटीक गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है।

प्रायः जब समाधान के लिए एक संवृत रूप अभिव्यक्ति उपलब्ध नहीं होती है, तो कंप्यूटर का उपयोग करके समाधान को संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। गतिशील प्रणालियों का सिद्धांत अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के गुणात्मक विश्लेषण पर जोर देता है, जबकि सटीकता की एक निश्चित डिग्री के साथ समाधान निर्धारित करने के लिए कई संख्यात्मक तरीके विकसित किए गए हैं।

इतिहास

अवकल समीकरण सर्वप्रथम आइजैक न्यूटन और लीबनिज द्वारा कलन के आविष्कार के साथ अस्तित्व में आया। उनके 1671 के कार्य मेथडस फ्लक्सियोनम एट सेरीरम इनफिनिटरम के अध्याय 2 में,^[2] आइजैक न्यूटन ने तीन प्रकार के अवकल समीकरणों को सूचीबद्ध किया।

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

इन सभी स्थितियों में, $y$ , x (या x₁और x₂ का) का एक अज्ञात फलन है, और f एक दिया हुआ फलन है।

वह इन उदाहरणों और अन्य को अनंत श्रृंखला का उपयोग करके हल करता है और समाधानों की गैर-विशिष्टता पर चर्चा करता है।

जैकब बर्नौली ने 1695 में बरनौली अवकल समीकरण प्रस्तावित किया।^[3] यह प्ररूप का एक साधारण अवकल समीकरण है।

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

जिसके लिए अगले वर्ष लीबनिज ने इसे सरल करके समाधान प्राप्त किया।^[4]

ऐतिहासिक रूप से, एक कंपन तार की समस्या जैसे कि एक संगीत वाद्ययंत्र की समस्या का अध्ययन जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट, लियोनहार्ड यूलर, डेनियल बर्नौली और जोसेफ-लुई लैग्रेंज द्वारा किया गया था।^[5]^[6]^[7]^[8] 1746 में, डी'अलेम्बर्ट ने एक आयामी तरंग समीकरण की खोज की, और दस वर्षों के भीतर यूलर ने त्रि-आयामी तरंग समीकरण की खोज की।^[9]

यूलर-लैग्रेंज समीकरण को 1750 के दशक में यूलर और लैग्रेंज द्वारा टौटोक्रोन समस्या के अपने अध्ययन के संबंध में विकसित किया गया था। यह एक वक्र निर्धारित करने की समस्या है जिस पर एक भारित कण प्रारंभिक बिंदु से स्वतंत्र, निश्चित समय में एक निश्चित बिंदु पर गिर जाएगा। लैग्रेंज ने 1755 में इस समस्या को हल किया और इसका समाधान यूलर को भेजा। दोनों ने लैग्रेंज की पद्धति को और विकसित किया और इसे यांत्रिकी पर लागू किया, जिससे लैग्रेंजियन यांत्रिकी का निर्माण हुआ।

1822 में, जोसेफ फूरियर ने थ्योरी एनालिटिक डे ला चालुर (ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत) में ऊष्मा के प्रवाह पर अपना काम प्रकाशित किया,^[10] जिसमें उन्होंने न्यूटन के शीतलन के नियम पर अपने तर्क को आधारित किया, अर्थात्, दो आसन्न अणुओं के बीच ऊष्मा का प्रवाह उनके तापमान के अत्यंत छोटे अंतर के समानुपाती होता है। इस पुस्तक में ऊष्मा के प्रवाहकीय प्रसार के लिए फूरियर के अपने ताप समीकरण का प्रस्ताव था। यह आंशिक अवकल समीकरण अब गणितीय भौतिकी के प्रत्येक छात्र को पढ़ाया जाता है।

उदाहरण

चिरसम्मत यांत्रिकी में, किसी पिंड की गति को उसकी स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जाता है क्योंकि समय मान भिन्न होता है। न्यूटन के नियम समय के फलन के रूप में पिंड की अज्ञात स्थिति के लिए अवकल समीकरण के रूप में इन चरों (स्थिति, वेग, त्वरण और पिंड पर कार्यरत विभिन्न बल) को गतिशील रूप से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

कुछ स्थितियों में, यह अवकल समीकरण (जिसे गति का समीकरण कहा जाता है) को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है।

अवकल समीकरणों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की समस्या का मॉडलिंग करने का एक उदाहरण केवल गुरुत्वाकर्षण और वायु प्रतिरोध पर विचार करते हुए हवा के माध्यम से गिरने वाली गेंद के वेग का निर्धारण है। जमीन की ओर गेंद का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण है, जो वायु प्रतिरोध के कारण मंदी को घटाता है। गुरुत्वाकर्षण को स्थिर माना जाता है, और वायु प्रतिरोध को गेंद के वेग के समानुपाती के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि गेंद का त्वरण, जो उसके वेग का व्युत्पन्न है, वेग पर निर्भर करता है (और वेग समय पर निर्भर करता है)। समय के फलन के रूप में वेग का पता लगाने में एक अवकल समीकरण को हल करना और उसकी वैधता की पुष्टि करना सम्मिलित है।

प्रकार

अवकल समीकरणों को कई प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। समीकरण के गुणों का वर्णन करने के अलावा, अवकल समीकरणों के ये वर्ग समाधान के दृष्टिकोण के विकल्प को सूचित करने में सहायता कर सकते हैं। प्रायः इस्तेमाल किए जाने वाले भेदों में यह सम्मिलित है कि समीकरण सामान्य या आंशिक, रैखिक या गैर-रैखिक, और सजातीय या विषम है। यह सूची संपूर्ण से बहुत दूर है अवकल समीकरणों के कई अन्य गुण और उपवर्ग हैं जो विशिष्ट संदर्भों में बहुत उपयोगी हो सकते हैं।

सामान्य अवकल समीकरण

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE) एक समीकरण है जिसमें एक वास्तविक या जटिल चर $x$ , इसके व्युत्पन्न और $x$ के कुछ दिए गए फलनों का अज्ञात फलन होता है। अज्ञात फलन प्रायः एक चर (सामान्यतः $y$ ) द्वारा निरूपित किया जाता है, जो, इसलिए, $x$ पर निर्भर करता है। इस प्रकार $x$ को प्राय: समीकरण का स्वतंत्र चर कहा जाता है। शब्द "साधारण" का प्रयोग आंशिक अवकल समीकरण शब्द के विपरीत किया जाता है, जो एक से अधिक स्वतंत्र चर के संबंध में हो सकता है।

रेखीय अवकल समीकरण वे अवकल समीकरण होते हैं जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में रेखीय होते हैं। उनका सिद्धांत अच्छी तरह से विकसित है, और कई स्थितियों में उनके समाधानों को अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

भौतिकी में पाए जाने वाले अधिकांश ओडीई रैखिक होते हैं। इसलिए, अधिकांश विशेष फलनों को रेखीय अवकल समीकरणों के हल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (देखें होलोनोमिक फलन)।

जैसा कि, सामान्य तौर पर, एक अवकल समीकरण के समाधान को एक संवृत रूप अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, कंप्यूटर पर अवकल समीकरणों को हल करने के लिए प्रायः संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जाता है।

आंशिक अवकल समीकरण

एक आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक अवकल समीकरण है जिसमें अज्ञात बहुभिन्नरूपी कार्य और उनके आंशिक व्युत्पन्न सम्मिलित हैं। (यह सामान्य अवकल समीकरणों के विपरीत है, जो एक चर और उनके व्युत्पन्न के फलनों से निपटते हैं।) पीडीई का उपयोग कई चर के फलनों से संबंधित समस्याओं को तैयार करने के लिए किया जाता है, और या तो संवृत रूप में हल किया जाता है, या एक प्रासंगिक कंप्यूटर नमूना बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

पीडीई का उपयोग प्रकृति में विभिन्न प्रकार की घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जैसे ध्वनि, ऊष्मा, स्थिर विद्युतिकी, विद्युत् गतिकी, द्रव प्रवाह, प्रत्यास्थता या क्वांटम यांत्रिकी। पीडीई के संदर्भ में इन अलग-अलग भौतिक घटनाओं को समान रूप से औपचारिक रूप दिया जा सकता है। जिस तरह साधारण अवकल समीकरण प्रायः एक-आयामी गतिशील प्रणालियों का मॉडल बनाते हैं, उसी तरह आंशिक अवकल समीकरण प्रायः बहुआयामी प्रणालियों का मॉडल करते हैं। प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण मॉडलिंग यादृच्छिकता के लिए आंशिक अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण करते हैं।

अरैखिक अवकल समीकरण

एक अरैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्न में रैखिक समीकरण नहीं है (फलन के तर्कों में रैखिकता या अरैखिकता पर विचार नहीं किया जाता है)। अरैखिक अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल करने की बहुत कम विधियाँ हैं। जो ज्ञात हैं वे विशेष रूप से विशेष समरूपता वाले समीकरण पर निर्भर करते हैं। अरैखिक अवकल समीकरण विस्तारित समय अंतराल पर बहुत जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं, जो अराजकता की विशेषता है। यहां तक कि अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए अस्तित्व, अद्वितीयता, और समाधानों की विस्तारशीलता के मौलिक प्रश्न, और अरैखिक पीडीई के लिए प्रारंभिक और सीमा मान समस्याओं की अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कठिन समस्याएं हैं और विशेष मामलों में उनके समाधान को गणितीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रगति माना जाता है। (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता)। हालांकि, यदि अवकल समीकरण एक सार्थक भौतिक प्रक्रिया का सही ढंग से तैयार किया गया प्रतिनिधित्व है, तो कोई यह अपेक्षा करता है कि इसका समाधान होगा।^[11]

रेखीय अवकल समीकरण प्रायः अरेखीय समीकरणों के अनुमान के रूप में प्रकट होते हैं। ये अनुमान केवल प्रतिबंधित शर्तों के तहत मान्य हैं। उदाहरण के लिए, सरल आवर्ती दोलक समीकरण अरैखिक लोलक समीकरण का एक अनुमान है जो छोटे आयाम दोलनों के लिए मान्य है (नीचे देखें)।

समीकरण की कोटि

अवकल समीकरणों को उनके क्रम द्वारा वर्णित किया जाता है, जो कि उच्चतम व्युत्पन्न वाले पद द्वारा निर्धारित होता है। एक समीकरण जिसमें केवल पहला व्युत्पन्न होता है, एक प्रथम कोटि अवकल समीकरण होता है, एक समीकरण जिसमें दूसरा व्युत्पन्न होता है, एक द्वितीय कोटि अवकल समीकरण होता है, और इसी तरह आगे भी।^[12]^[13] अवकल समीकरण जो प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करते हैं, उनमें लगभग हमेशा प्रथम और द्वितीय कोटि के व्युत्पन्न होते हैं, लेकिन कुछ अपवाद हैं, जैसे कि पतली फिल्म समीकरण, जो चतुर्थ कोटि आंशिक अवकल समीकरण है।

उदाहरण

उदाहरणों के पहले समूह में u, x का एक अज्ञात फलन है, और c और ω स्थिरांक हैं जिन्हें ज्ञात माना जाता है। साधारण और आंशिक अवकल समीकरणों के दो व्यापक वर्गीकरण में रैखिक और अरैखिक अवकल समीकरणों के बीच और सजातीय अवकल समीकरणों और विषमताओं के बीच अंतर करना सम्मिलित है।

विषम प्रथम-कोटि रेखीय स्थिरांक गुणांक साधारण अवकल समीकरण

{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक सामान्य अवकल समीकरण

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

सरल आवर्ती दोलक का वर्णन करने वाले सजातीय द्वितीय-कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक सामान्य अवकल समीकरण

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.

विषम प्रथम-कोटि अरेखीय सामान्य अवकल समीकरण

{\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.

द्वितीय-कोटि अरेखीय (साइन फलन के कारण) लंबाई L के लोलक की गति का वर्णन करने वाला सामान्य अवकल समीकरण

L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

उदाहरणों के अगले समूह में, अज्ञात फलन u दो चरों x और t या x और y पर निर्भर करता है।

सजातीय प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण

{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

दीर्घवृत्तीय प्रकार के सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक आंशिक अवकल समीकरण, लाप्लास समीकरण

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

सजातीय तृतीय-कोटि अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण

{\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.

समाधानों का अस्तित्व

अवकल समीकरणों को हल करना बीजगणितीय समीकरणों को हल करने जैसा नहीं है। न केवल उनके समाधान प्रायः अस्पष्ट होते हैं, बल्कि क्या समाधान अद्वितीय हैं या बिल्कुल मौजूद हैं, यह भी रुचि के उल्लेखनीय विषय हैं।

प्रथम कोटि के प्रारंभिक मान समस्याओं के लिए, पीआनो अस्तित्व प्रमेय परिस्थितियों का एक समुच्चय देता है जिसमें एक समाधान मौजूद होता है। xy-तल में, किसी बिंदु $(a,b)$ को देखते हुए, कुछ आयताकार क्षेत्र $Z$ परिभाषित करें, जैसे कि $Z=[l,m]\times [n,p]$ तथा $(a,b)$ के भीतरी भाग में है। यदि हमें एक अवकल समीकरण दिया जाता है ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ और शर्त यह है कि $y=b$ जब $x=a$ , तो स्थानीय रूप से इस समस्या का समाधान है यदि $g(x,y)$ और ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ दोनों $Z$ पर निरंतर हैं। यह समाधान कुछ अंतराल पर मौजूद है जिसका केंद्र $a$ है। समाधान अद्वितीय नहीं हो सकता।

(अन्य परिणामों के लिए सामान्य अवकल समीकरण देखें।)

हालाँकि, यह हमें केवल प्रथम क्रम के प्रारंभिक मान समस्याओं में मदद करता है। मान लीजिए कि हमारे पास nवें क्रम की एक रैखिक प्रारंभिक मान समस्या है

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

जैसे कि

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\ldots

किसी भी अशून्य के लिए $f_{n}(x)$ , यदि $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ तथा $g$ कुछ अंतराल पर निरंतर हैं जिसमें $x_{0}$ , $y$ अद्वितीय है और मौजूद है।^[14]

अवकल समीकरणों से संबंध

अवकल समीकरणों का सिद्धांत अवकल समीकरणों के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है, जिसमें निर्देशांक केवल असतत मान ग्रहण करते हैं, और संबंध में अज्ञात फलन या फलन के मान और पास के निर्देशांक पर मान सम्मिलित होते हैं। अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हलों की गणना करने या अवकल समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने की कई विधियों में संगत अवकल समीकरण के हल द्वारा अवकल समीकरण के हल का अनुमान लगाना सम्मिलित है।

अनुप्रयोग

अवकल समीकरणों का अध्ययन शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और अभियान्त्रिकी में एक विस्तृत क्षेत्र है। इन सभी विषयों का संबंध विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों के गुणों से है। शुद्ध गणित समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता पर ध्यान केंद्रित करता है, जबकि अनुप्रयुक्त गणित समाधानों के सन्निकटन के लिए विधियों के कठोर औचित्य पर जोर देता है। अवकल समीकरण लगभग हर भौतिक, तकनीकी या जैविक प्रक्रिया, खगोलीय गति से लेकर पुल डिजाइन, न्यूरॉन्स के बीच बातचीत के मॉडलिंग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अवकल समीकरण आवश्यक रूप से प्रत्यक्ष रूप से हल करने योग्य नहीं हो सकते हैं, अर्थात उनके पास संवृत रूप समाधान नहीं हैं। इसके बजाय, संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके समाधानों का अनुमान लगाया जा सकता है।

भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान के कई मूलभूत नियमों को अवकल समीकरणों के रूप में तैयार किया जा सकता है। जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में, अवकल समीकरणों का उपयोग जटिल प्रणालियों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है। अवकल समीकरणों का गणितीय सिद्धांत सबसे पहले उन विज्ञानों के साथ मिलकर विकसित हुआ जहाँ समीकरणों की उत्पत्ति हुई थी और जहाँ परिणामों का अनुप्रयोग पाया गया था। हालांकि, विविध समस्याएं, कभी-कभी काफी विशिष्ट वैज्ञानिक क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं, समान अवकल समीकरणों को जन्म दे सकती हैं। जब भी ऐसा होता है, समीकरणों के पीछे गणितीय सिद्धांत को विविध परिघटनाओं के पीछे एकीकृत सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, वातावरण में प्रकाश और ध्वनि के प्रसार और तालाब की सतह पर तरंगों के प्रसार पर विचार करें। उन सभी को एक ही दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो हमें प्रकाश और ध्वनि को तरंगों के रूप में सोचने की अनुमति देता है, जैसे कि पानी में परिचित तरंगें। ऊष्मा का संचालन, जिसका सिद्धांत जोसेफ फूरियर द्वारा विकसित किया गया था, दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, ऊष्मा समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह पता चला है कि कई प्रसार प्रक्रियाएं, जबकि अलग-अलग प्रतीत होती हैं, एक ही समीकरण द्वारा वर्णित की जाती हैं उदाहरण के लिए, वित्त में ब्लैक-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण से संबंधित है।

भिन्न-भिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में जितने अवकल समीकरणों को नाम प्राप्त हुआ है, वह इस विषय के महत्व का साक्षी है। नामांकित अवकल समीकरणों की सूची देखें।

सॉफ्टवेयर

कुछ सीएएस (CAS) सॉफ़्टवेयर अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। ये कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (सीएएस) सॉफ्टवेयर और उनके आदेश उल्लेखनीय हैं।

मेपल^[15]समाधान
गणित^[16] समाधान
मैक्सिमा^[17] ode2(समीकरण, y, x)
सेजमैथ^[18] समाधान
सिम्पी^[19] sympy.solvers.ode.dsolve(समीकरण)
Xcas^[20] desolve(y'=k*y,y)

यह भी देखें

सटीक अवकल समीकरण
कार्यात्मक अवकल समीकरण
प्रारंभिक अवस्था
अभिन्न समीकरण
साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ
आंशिक अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ
अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता पर पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय
पुनरावृत्ति संबंध, जिसे 'अवकल समीकरण' भी कहा जाता है
संक्षेप अवकल समीकरण
अवकल समीकरणों की प्रणाली

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012). मॉडलिंग अनुप्रयोगों के साथ विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[2] Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[3] Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum

[4] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Frasier, Craig (July 1983). "जॉन टी. कैनन और सिगलिया डोस्त्रोव्स्की द्वारा 1687 से 1742 तक गतिकी का विकास, कंपन सिद्धांत की समीक्षा" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 9 (1).

[6] Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग विवाद". Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.

[7] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Archived 2020-02-09 at the Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[8] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)

[Speiser-9] Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[10] Fourier, Joseph (1822). ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत (in français). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.

[11] Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). प्राथमिक विभेदक समीकरण और सीमा मूल्य समस्याएं (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 3.

[12] Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html

[13] Order and degree of a differential equation Archived 2016-04-01 at the Wayback Machine, accessed Dec 2015.

[14] Zill, Dennis G. (2001). डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.

[15] "dsolve - मेपल प्रोग्रामिंग सहायता". www.maplesoft.com. Retrieved 2020-05-09.

[16] "DSolve - वोल्फ्राम लैंग्वेज डॉक्यूमेंटेशन". www.wolfram.com. Retrieved 2020-06-28.

[17] Schelter, William F. Gaertner, Boris (ed.). "विभेदक समीकरण - प्रतीकात्मक समाधान". The Computer Algebra Program Maxima - a Tutorial (in Maxima documentation on SourceForge). Archived from the original on 2022-10-04.

[18] "मूल बीजगणित और कैलकुलस - सेज ट्यूटोरियल v9.0". doc.sagemath.org. Retrieved 2020-05-09.

[19] "स्तोत्र". SymPy 1.11 documentation. 2022-08-22. Archived from the original on 2022-09-26.

[20] "Xcas के साथ प्रतीकात्मक बीजगणित और गणित" (PDF).

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 {{Short description|Type of functional equation (mathematics)}}
-{{Distinguish|Difference equation}}
+{{Distinguish|अवकल समीकरण}}
 {{Differential equations}}
-[[File:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px|[[गर्मी]] समीकरण को हल करके बनाए गए एक पंप आवरण में गर्मी हस्तांतरण का दृश्य। आवरण में आंतरिक रूप से गर्मी उत्पन्न की जा रही है और सीमा पर ठंडा किया जा रहा है, जिससे एक स्थिर राज्य तापमान वितरण प्रदान किया जा रहा है।]]गणित में, अवकल समीकरण एक समीकरण है जो एक या एक से अधिक अज्ञात फलनों और उनके व्युत्पन्नों से संबंधित होता है।<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=मॉडलिंग अनुप्रयोगों के साथ विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=%22ordinary+differential%22|date=15 March 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2}}</ref> अनुप्रयोगों में, फलन प्रायः भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न परिवर्तन की अपनी दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अवकल समीकरण दोनों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस तरह के संबंध सामान्य हैं इसलिए [[अभियांत्रिकी]], भौतिकी, [[अर्थशास्त्र]] और जीव विज्ञान सहित कई विषयों में अवकल समीकरण प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
+[[File:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px| [[गर्मी|ऊष्मा]] समीकरण को हल करके बनाए गए पंप आवरण में ऊष्मा हस्तांतरण का दृश्य। आवरण में आंतरिक रूप से ऊष्मा उत्पन्न की जा रही है और सीमा पर ठंडा किया जा रहा है, जिससे एक स्थिर स्थिति तापमान वितरण प्रदान किया जा रहा है।]]गणित में, '''अवकल समीकरण''' एक समीकरण है जो एक या एक से अधिक अज्ञात फलनों और उनके व्युत्पन्नों से संबंधित होता है।<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=मॉडलिंग अनुप्रयोगों के साथ विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=%22ordinary+differential%22|date=15 March 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2}}</ref> अनुप्रयोगों में, फलन प्रायः भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, व्युत्पन्न परिवर्तन की अपनी दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अवकल समीकरण दोनों के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस तरह के संबंध सामान्य हैं इसलिए [[अभियांत्रिकी]], भौतिकी, [[अर्थशास्त्र]] और जीव विज्ञान सहित कई विषयों में अवकल समीकरण प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
 मुख्य रूप से अवकल समीकरणों के अध्ययन में उनके समाधान (प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले फलनों का समूह) और उनके समाधान के गुणों का अध्ययन सम्मिलित है। स्पष्ट सूत्रों द्वारा केवल सबसे सरल अवकल समीकरणों को हल किया जा सकता है हालाँकि, किसी दिए गए अवकल समीकरण के समाधान के कई गुणों को उनकी सटीक गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है।
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 === आंशिक अवकल समीकरण ===
 {{main|आंशिक अवकल समीकरण}}
-एक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) एक अंतर समीकरण है जिसमें अज्ञात बहुभिन्नरूपी कलन और उनके आंशिक डेरिवेटिव शामिल हैं। (यह सामान्य अंतर समीकरणों के विपरीत है, जो एक चर और उनके डेरिवेटिव के कार्यों से निपटते हैं।) पीडीई का उपयोग कई चर के कार्यों से संबंधित समस्याओं को तैयार करने के लिए किया जाता है, और या तो बंद रूप में हल किया जाता है, या एक प्रासंगिक कंप्यूटर बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। नमूना।
+एक आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक अवकल समीकरण है जिसमें अज्ञात बहुभिन्नरूपी कार्य और उनके आंशिक व्युत्पन्न सम्मिलित हैं। (यह सामान्य अवकल समीकरणों के विपरीत है, जो एक चर और उनके व्युत्पन्न के फलनों से निपटते हैं।) पीडीई का उपयोग कई चर के फलनों से संबंधित समस्याओं को तैयार करने के लिए किया जाता है, और या तो संवृत रूप में हल किया जाता है, या एक प्रासंगिक कंप्यूटर नमूना बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।
-पीडीई का उपयोग प्रकृति में [[ध्वनि]], गर्मी, [[इलेक्ट्रोस्टाटिक्स]], [[बिजली का गतिविज्ञान]], द्रव प्रवाह, [[लोच (भौतिकी)]], या [[क्वांटम यांत्रिकी]] जैसी विभिन्न प्रकार की घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। पीडीई के संदर्भ में समान रूप से अलग-अलग भौतिक घटनाओं को औपचारिक रूप से औपचारिक रूप दिया जा सकता है। जिस तरह साधारण अंतर समीकरण अक्सर एक-आयामी गतिशील प्रणालियों का मॉडल करते हैं, आंशिक अंतर समीकरण अक्सर बहुआयामी प्रणालियों का मॉडल करते हैं। [[स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण]] मॉडलिंग यादृच्छिकता के लिए आंशिक अंतर समीकरणों का सामान्यीकरण करते हैं।
+पीडीई का उपयोग प्रकृति में विभिन्न प्रकार की घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जैसे [[ध्वनि]], ऊष्मा, [[इलेक्ट्रोस्टाटिक्स|स्थिर विद्युतिकी]],   [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् गतिकी]], द्रव प्रवाह, [[लोच (भौतिकी)|प्रत्यास्थता]] या [[क्वांटम यांत्रिकी]]। पीडीई के संदर्भ में इन अलग-अलग भौतिक घटनाओं को समान रूप से औपचारिक रूप दिया जा सकता है। जिस तरह साधारण अवकल समीकरण प्रायः एक-आयामी गतिशील प्रणालियों का मॉडल बनाते हैं, उसी तरह आंशिक अवकल समीकरण प्रायः बहुआयामी प्रणालियों का मॉडल करते हैं। [[स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण|प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण]] मॉडलिंग यादृच्छिकता के लिए आंशिक अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण करते हैं।
-=== गैर रेखीय अंतर समीकरण ===
+=== अरैखिक अवकल समीकरण ===
-{{main|Non-linear differential equations}}
+{{main|अरैखिक अवकल समीकरण}}
-एक गैर-रैखिक अंतर समीकरण एक अंतर समीकरण है जो अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में रैखिक समीकरण नहीं है (फ़ंक्शन के तर्कों में रैखिकता या गैर-रैखिकता पर विचार नहीं किया जाता है)। अरैखिक अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल करने की बहुत कम विधियाँ हैं; जो ज्ञात हैं वे विशेष रूप से [[समरूपता]] वाले समीकरण पर निर्भर करते हैं। गैर-रैखिक अंतर समीकरण विस्तारित समय अंतराल पर बहुत जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं, [[अराजकता सिद्धांत]] की विशेषता। यहां तक कि अरैखिक अंतर समीकरणों के लिए अस्तित्व, अद्वितीयता, और समाधानों की विस्तारशीलता के मौलिक प्रश्न, और अरैखिक पीडीई के लिए प्रारंभिक और सीमा मूल्य समस्याओं की अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कठिन समस्याएं हैं और विशेष मामलों में उनके समाधान को गणितीय में एक महत्वपूर्ण प्रगति माना जाता है। सिद्धांत (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता)। हालांकि, अगर अंतर समीकरण एक सार्थक भौतिक प्रक्रिया का सही ढंग से तैयार किया गया प्रतिनिधित्व है, तो कोई उम्मीद करता है कि इसका समाधान होगा।<ref>{{cite book
+एक अरैखिक अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्न में रैखिक समीकरण नहीं है (फलन के तर्कों में रैखिकता या अरैखिकता पर विचार नहीं किया जाता है)। अरैखिक अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल करने की बहुत कम विधियाँ हैं। जो ज्ञात हैं वे विशेष रूप से विशेष [[समरूपता]] वाले समीकरण पर निर्भर करते हैं। अरैखिक अवकल समीकरण विस्तारित समय अंतराल पर बहुत जटिल व्यवहार प्रदर्शित कर सकते हैं, जो [[अराजकता सिद्धांत|अराजकता]] की विशेषता है।  यहां तक कि अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए अस्तित्व, अद्वितीयता, और समाधानों की विस्तारशीलता के मौलिक प्रश्न, और अरैखिक पीडीई के लिए प्रारंभिक और सीमा मान समस्याओं की अच्छी तरह से प्रस्तुत की गई कठिन समस्याएं हैं और विशेष मामलों में उनके समाधान को गणितीय सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रगति माना जाता है। (cf. नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता)। हालांकि, यदि अवकल समीकरण एक सार्थक भौतिक प्रक्रिया का सही ढंग से तैयार किया गया प्रतिनिधित्व है, तो कोई यह अपेक्षा करता है कि इसका समाधान होगा।<ref>{{cite book
   | last1 = Boyce
   | first1 = William E.
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   | pages = 3
   }}</ref>
-रेखीय अवकल समीकरण अक्सर अरैखिक समीकरणों के रेखीयकरण के रूप में दिखाई देते हैं। ये सन्निकटन प्रतिबंधित शर्तों के तहत ही मान्य हैं। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण गैर-रैखिक पेंडुलम समीकरण का एक अनुमान है जो छोटे आयाम दोलनों के लिए मान्य है (नीचे देखें)।
-==={{anchor|Second order}} समीकरण क्रम ===
+रेखीय अवकल समीकरण प्रायः अरेखीय समीकरणों के अनुमान के रूप में प्रकट होते हैं। ये अनुमान केवल प्रतिबंधित शर्तों के तहत मान्य हैं। उदाहरण के लिए, सरल आवर्ती दोलक समीकरण अरैखिक लोलक समीकरण का एक अनुमान है जो छोटे आयाम दोलनों के लिए मान्य है (नीचे देखें)।
-विभेदक समीकरणों को उनके क्रम द्वारा वर्णित किया जाता है, जो व्युत्पन्न # उच्च डेरिवेटिव वाले शब्द द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक समीकरण जिसमें केवल पहला डेरिवेटिव होता है, एक फर्स्ट-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन होता है, दूसरा डेरिवेटिव वाला एक समीकरण एक सेकेंड-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन होता है, और इसी तरह।<ref>[[Eric W Weisstein|Weisstein, Eric W]]. "Ordinary Differential Equation Order." From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html</ref><ref>[http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx Order and degree of a differential equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160401070512/http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx |date=2016-04-01 }}, accessed Dec 2015.</ref> विभेदक समीकरण जो प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करते हैं उनमें लगभग हमेशा पहले और दूसरे क्रम के डेरिवेटिव होते हैं, लेकिन कुछ अपवाद हैं, जैसे थिन-फिल्म समीकरण, जो चौथा क्रम आंशिक अंतर समीकरण है।
+===समीकरण की कोटि ===
+अवकल समीकरणों को उनके क्रम द्वारा वर्णित किया जाता है, जो कि उच्चतम व्युत्पन्न वाले पद द्वारा निर्धारित होता है। एक समीकरण जिसमें केवल पहला व्युत्पन्न होता है, एक प्रथम कोटि अवकल समीकरण होता है, एक समीकरण जिसमें दूसरा व्युत्पन्न होता है, एक द्वितीय कोटि अवकल समीकरण होता है, और इसी तरह आगे भी।<ref>[[Eric W Weisstein|Weisstein, Eric W]]. "Ordinary Differential Equation Order." From [[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html</ref><ref>[http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx Order and degree of a differential equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160401070512/http://www.kshitij-iitjee.com/Maths/Differential-Equations/order-and-degree-of-a-differential-equation.aspx |date=2016-04-01 }}, accessed Dec 2015.</ref> अवकल समीकरण जो प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन करते हैं, उनमें लगभग हमेशा प्रथम और द्वितीय कोटि के व्युत्पन्न होते हैं, लेकिन कुछ अपवाद हैं, जैसे कि पतली फिल्म समीकरण, जो चतुर्थ कोटि आंशिक अवकल समीकरण है।
 === उदाहरण ===
-उदाहरणों के पहले समूह में यू एक्स का एक अज्ञात कार्य है, और सी और ω स्थिरांक हैं जिन्हें ज्ञात माना जाता है। साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के दो व्यापक वर्गीकरण में रैखिक अंतर समीकरण और गैर-रैखिक अंतर समीकरण, और सजातीय अंतर समीकरण और विषम समीकरणों के बीच अंतर करना शामिल है।
+उदाहरणों के पहले समूह में ''u,'' ''x'' का एक अज्ञात फलन है, और ''c'' और ''ω'' स्थिरांक हैं जिन्हें ज्ञात माना जाता है। साधारण और आंशिक अवकल समीकरणों के दो व्यापक वर्गीकरण में रैखिक और अरैखिक अवकल समीकरणों के बीच और सजातीय अवकल समीकरणों और विषमताओं के बीच अंतर करना सम्मिलित है।
-* विषम प्रथम-क्रम रैखिक निरंतर गुणांक साधारण अंतर समीकरण:
+* विषम प्रथम-कोटि रेखीय स्थिरांक गुणांक साधारण अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>
-* सजातीय द्वितीय क्रम रैखिक साधारण अंतर समीकरण:
+* सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक सामान्य अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>
-* [[लयबद्ध दोलक]] का वर्णन करने वाला सजातीय दूसरा क्रम रैखिक निरंतर गुणांक साधारण अंतर समीकरण:
+* [[लयबद्ध दोलक|सरल आवर्ती दोलक]] का वर्णन करने वाले सजातीय द्वितीय-कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक सामान्य अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>
-* विषम प्रथम-क्रम अरैखिक साधारण अंतर समीकरण:
+* विषम प्रथम-कोटि अरेखीय सामान्य अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math>
-* दूसरा क्रम अरैखिक (साइन फ़ंक्शन के कारण) लंबाई L के [[लंगर]] की गति का वर्णन करने वाला साधारण अंतर समीकरण:
+* द्वितीय-कोटि अरेखीय (साइन फलन के कारण) लंबाई ''L'' के [[लंगर|लोलक]] की गति का वर्णन करने वाला सामान्य अवकल समीकरण
 :: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>
-उदाहरणों के अगले समूह में, अज्ञात फलन u दो चरों x और t या x और y पर निर्भर करता है।
+उदाहरणों के अगले समूह में, अज्ञात फलन ''u'' दो चरों ''x'' और ''t'' या ''x'' और ''y'' पर निर्भर करता है।
-* सजातीय प्रथम-क्रम रैखिक आंशिक अंतर समीकरण:
+* सजातीय प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>
-* सजातीय दूसरे क्रम रैखिक निरंतर गुणांक अण्डाकार प्रकार का आंशिक अंतर समीकरण, [[लाप्लास समीकरण]]:
+* दीर्घवृत्तीय प्रकार के सजातीय द्वितीय कोटि रैखिक स्थिरांक गुणांक आंशिक अवकल समीकरण, [[लाप्लास समीकरण]]
 :: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>
-* सजातीय तीसरे क्रम गैर रेखीय आंशिक अंतर समीकरण :
+* सजातीय तृतीय-कोटि अरैखिक आंशिक अवकल समीकरण
 :: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>
+== समाधानों का अस्तित्व ==
+अवकल समीकरणों को हल करना [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय समीकरणों]] को हल करने जैसा नहीं है। न केवल उनके समाधान प्रायः अस्पष्ट होते हैं, बल्कि क्या समाधान अद्वितीय हैं या बिल्कुल मौजूद हैं, यह भी रुचि के उल्लेखनीय विषय हैं।
-== समाधान का अस्तित्व ==
+प्रथम कोटि के प्रारंभिक मान समस्याओं के लिए, पीआनो अस्तित्व प्रमेय परिस्थितियों का एक समुच्चय देता है जिसमें एक समाधान मौजूद होता है। xy-तल में, किसी बिंदु <math>(a,b)</math> को देखते हुए, कुछ आयताकार क्षेत्र <math>Z</math>परिभाषित करें, जैसे कि <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> तथा <math>(a,b)</math> के भीतरी भाग में है। यदि हमें एक अवकल समीकरण दिया जाता है <math>\frac{dy}{dx} = g(x,y)</math> और शर्त यह है कि <math>y=b</math> जब <math>x=a</math>, तो स्थानीय रूप से इस समस्या का समाधान है यदि <math>g(x,y)</math> और  <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> दोनों <math>Z</math> पर निरंतर हैं।  यह समाधान कुछ अंतराल पर मौजूद है जिसका केंद्र <math>a</math> है। समाधान अद्वितीय नहीं हो सकता।
-अवकल समीकरणों को हल करना [[बीजगणितीय समीकरण]]ों को हल करने जैसा नहीं है। न केवल उनके समाधान अक्सर अस्पष्ट होते हैं, बल्कि क्या समाधान अद्वितीय हैं या बिल्कुल मौजूद हैं, यह भी रुचि के उल्लेखनीय विषय हैं।
-पहले क्रम की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के लिए, पीआनो अस्तित्व प्रमेय परिस्थितियों का एक सेट देता है जिसमें एक समाधान मौजूद होता है। किसी भी बिंदु को देखते हुए <math>(a,b)</math> xy-तल में, कुछ आयताकार क्षेत्र परिभाषित करें <math>Z</math>, ऐसा है कि <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> तथा <math>(a,b)</math> के भीतरी भाग में है <math>Z</math>. अगर हमें एक अंतर समीकरण दिया जाता है <math>\frac{dy}{dx} = g(x,y)</math> और शर्त है कि <math>y=b</math> जब <math>x=a</math>, तो स्थानीय रूप से इस समस्या का समाधान है यदि <math>g(x,y)</math> तथा <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> दोनों लगातार चालू हैं <math>Z</math>. यह समाधान अपने केंद्र के साथ कुछ अंतराल पर मौजूद है <math>a</math>. समाधान अद्वितीय नहीं हो सकता। (अन्य परिणामों के लिए साधारण अंतर समीकरण देखें।)
+(अन्य परिणामों के लिए सामान्य अवकल समीकरण देखें।)
-हालाँकि, यह हमें केवल प्रथम क्रम के [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]]ओं में मदद करता है। मान लीजिए हमारे पास nवें क्रम की एक रैखिक प्रारंभिक मूल्य समस्या है:
+हालाँकि, यह हमें केवल प्रथम क्रम के [[प्रारंभिक मूल्य समस्या|प्रारंभिक मान समस्याओं]] में मदद करता है। मान लीजिए कि हमारे पास nवें क्रम की एक रैखिक प्रारंभिक मान समस्या है
 :<math>
 f_{n}(x)\frac{d^n y}{dx^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{d y}{dx} + f_{0}(x)y = g(x)
 </math>
-ऐसा है कि
+जैसे कि
 :<math>
 y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \ldots
 </math>
-किसी भी अशून्य के लिए <math>f_{n}(x)</math>, यदि <math>\{f_{0},f_{1},\ldots\}</math> तथा <math>g</math> कुछ अंतराल युक्त पर निरंतर हैं <math>x_{0}</math>, <math>y</math> अद्वितीय है और मौजूद है।<ref>{{cite book|last1=Zill|first1=Dennis G.|title=डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-37388-7|edition=5th|year=2001}}</ref>
+किसी भी अशून्य के लिए <math>f_{n}(x)</math>, यदि <math>\{f_{0},f_{1},\ldots\}</math> तथा <math>g</math> कुछ अंतराल पर निरंतर हैं जिसमें <math>x_{0}</math>, <math>y</math> अद्वितीय है और मौजूद है।<ref>{{cite book|last1=Zill|first1=Dennis G.|title=डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स|publisher=Brooks/Cole|isbn=0-534-37388-7|edition=5th|year=2001}}</ref>
 == संबंधित अवधारणाएं ==
-* एक [[देरी अंतर समीकरण]] (डीडीई) एक चर के एक समारोह के लिए एक समीकरण है, जिसे आमतौर पर समय कहा जाता है, जिसमें एक निश्चित समय पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पहले के समय में फ़ंक्शन के मूल्यों के संदर्भ में दिया जाता है।
+* [[देरी अंतर समीकरण|विलंबातर अवकल समीकरण]]  (DDE) एक एकल चर के फलन के लिए एक समीकरण है, जिसे प्रायः समय कहा जाता है, जिसमें एक निश्चित समय पर फलन के व्युत्पन्न को पहले के समय में फलन के मानोंं के संदर्भ में दिया जाता है।
-*पूर्णांक-अंतर समीकरण (आईडीई) एक समीकरण है जो अंतर समीकरण और [[अभिन्न समीकरण]] के पहलुओं को जोड़ता है।
+*एक पूर्णांक-अवकल समीकरण (IDE) एक समीकरण है जो एक अवकल समीकरण और एक [[अभिन्न समीकरण]] के पहलुओं को जोड़ता है।
-* एक [[स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण]]SDE) एक समीकरण है जिसमें अज्ञात मात्रा एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है और समीकरण में कुछ ज्ञात स्टोचैस्टिक प्रक्रियाएँ शामिल हैं, उदाहरण के लिए, प्रसार समीकरणों के मामले में [[वीनर प्रक्रिया]]।
+*एक [[स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण|प्रसंभाव्य आंशिक अवकल समीकरण]] (SDE) एक समीकरण है जिसमें अज्ञात मात्रा एक प्रसंभाव्य प्रक्रिया है और समीकरण में कुछ ज्ञात प्रसंभाव्य प्रक्रियाएँ सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, प्रसार समीकरणों की स्थिति में [[वीनर प्रक्रिया]]।
-*एक [[स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण]] समीकरण (एसपीडीई) एक समीकरण है जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में अनुप्रयोगों के साथ स्पेस-टाइम शोर प्रक्रियाओं को शामिल करने के लिए एसडीई को सामान्यीकृत करता है।
+*एक [[स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण|प्रसंभाव्य]] [[स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण|अवकल समीकरण]] (एसपीडीई) एक समीकरण है जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में अनुप्रयोगों के साथ समष्टि काल शोर प्रक्रियाओं को सम्मिलित करने के लिए एसडीई को सामान्यीकृत करता है।
-* एक अल्ट्रामेट्रिक [[स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स]]|[[छद्म अंतर समीकरण]] एक समीकरण है जिसमें अल्ट्रामेट्रिक नॉन-आर्किमिडीयन स्पेस में [[पी-एडिक नंबर]] होते हैं। गणितीय मॉडल जिनमें अल्ट्रामेट्रिक [[अभिन्न-विभेदक समीकरण]] शामिल हैं, विभेदक संचालकों के बजाय छद्म-विभेदक संचालकों का उपयोग करते हैं।
+*एक [[स्यूडो-डिफरेंशियल ऑपरेटर्स|अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण]] एक ऐसा समीकरण है जिसमें अल्ट्रामेट्रिक नॉन-आर्किमिडीयन स्थान में [[पी-एडिक नंबर|पी-एडिक संख्याएं]] होती हैं। गणितीय मॉडल जिनमें [[अभिन्न-विभेदक समीकरण|अल्ट्रामेट्रिक छद्म-विभेदक समीकरण]] सम्मिलित होते हैं, अवकल संचालकों के बजाय छद्म-विभेदक संचालकों का प्रयोग करते हैं।
-* अवकल बीजगणितीय समीकरण (DAE) एक अवकल समीकरण है जिसमें अवकल और बीजगणितीय शब्द निहित रूप में दिए गए हैं।
+*अवकल बीजगणितीय समीकरण (DAE) एक अवकल समीकरण है जिसमें अवकल और बीजगणितीय पद निहित रूप में दिए गए हैं।
-== अंतर समीकरणों से संबंध ==
+== अवकल समीकरणों से संबंध ==
-{{See also|Time scale calculus}}
+{{See also|समय पैमाने की गणना}}
-विभेदक समीकरणों का सिद्धांत [[अंतर समीकरण]]ों के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है, जिसमें निर्देशांक केवल असतत मान ग्रहण करते हैं, और संबंध में अज्ञात फ़ंक्शन या फ़ंक्शन के मान और पास के निर्देशांक पर मान शामिल होते हैं। अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हलों की गणना करने या अवकल समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने की कई विधियों में संगत अंतर समीकरण के हल द्वारा अवकल समीकरण के हल का सन्निकटन शामिल होता है।
+अवकल समीकरणों का सिद्धांत [[अंतर समीकरण|अवकल समीकरणों]] के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है, जिसमें निर्देशांक केवल असतत मान ग्रहण करते हैं, और संबंध में अज्ञात फलन या फलन के मान और पास के निर्देशांक पर मान सम्मिलित होते हैं। अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हलों की गणना करने या अवकल समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने की कई विधियों में संगत अवकल समीकरण के हल द्वारा अवकल समीकरण के हल का अनुमान लगाना सम्मिलित है।
 == अनुप्रयोग ==
-अवकल समीकरणों का अध्ययन [[शुद्ध गणित]] और अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में एक विस्तृत क्षेत्र है। इन सभी विषयों का संबंध विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों के गुणों से है। शुद्ध गणित समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता पर ध्यान केंद्रित करता है, जबकि अनुप्रयुक्त गणित समाधानों के सन्निकटन के तरीकों के कठोर औचित्य पर जोर देता है। डिफरेंशियल इक्वेशन लगभग हर भौतिक, तकनीकी या जैविक प्रक्रिया, खगोलीय गति से लेकर पुल डिजाइन, न्यूरॉन्स के बीच बातचीत के मॉडलिंग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभेदक समीकरण आवश्यक रूप से प्रत्यक्ष रूप से हल करने योग्य नहीं हो सकते हैं, अर्थात उनके पास बंद-रूप अभिव्यक्ति समाधान नहीं हैं। इसके बजाय, संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों का उपयोग करके समाधानों का अनुमान लगाया जा सकता है।
+अवकल समीकरणों का अध्ययन शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित, भौतिकी और अभियान्त्रिकी में एक विस्तृत क्षेत्र है। इन सभी विषयों का संबंध विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों के गुणों से है। शुद्ध गणित समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता पर ध्यान केंद्रित करता है, जबकि अनुप्रयुक्त गणित समाधानों के सन्निकटन के लिए विधियों के कठोर औचित्य पर जोर देता है। अवकल समीकरण लगभग हर भौतिक, तकनीकी या जैविक प्रक्रिया, खगोलीय गति से लेकर पुल डिजाइन, न्यूरॉन्स के बीच बातचीत के मॉडलिंग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अवकल समीकरण आवश्यक रूप से प्रत्यक्ष रूप से हल करने योग्य नहीं हो सकते हैं, अर्थात उनके पास संवृत रूप समाधान नहीं हैं। इसके बजाय, संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके समाधानों का अनुमान लगाया जा सकता है।
-भौतिक विज्ञान और [[रसायन विज्ञान]] के कई मूलभूत नियमों को अवकल समीकरणों के रूप में तैयार किया जा सकता है। जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में, जटिल प्रणालियों के व्यवहार को [[गणितीय मॉडलिंग]] के लिए अंतर समीकरणों का उपयोग किया जाता है। विभेदक समीकरणों का गणितीय सिद्धांत सबसे पहले उन विज्ञानों के साथ मिलकर विकसित हुआ जहाँ समीकरणों की उत्पत्ति हुई थी और जहाँ परिणामों का अनुप्रयोग पाया गया था। हालांकि, विविध समस्याएं, कभी-कभी काफी विशिष्ट वैज्ञानिक क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं, समान अंतर समीकरणों को जन्म दे सकती हैं। जब भी ऐसा होता है, समीकरणों के पीछे गणितीय सिद्धांत को विविध परिघटनाओं के पीछे एकीकृत सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, वातावरण में प्रकाश और ध्वनि के [[प्रसार]] और तालाब की सतह पर तरंगों के प्रसार पर विचार करें। उन सभी को उसी दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण, तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो हमें प्रकाश और ध्वनि को तरंगों के रूप में सोचने की अनुमति देता है, पानी में परिचित तरंगों की तरह। ऊष्मा का संचालन, जिसका सिद्धांत जोसेफ फूरियर द्वारा विकसित किया गया था, दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण, ऊष्मा समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह पता चला है कि कई प्रसार प्रक्रियाएं, जबकि अलग-अलग प्रतीत होती हैं, एक ही समीकरण द्वारा वर्णित हैं; वित्त में ब्लैक-स्कोल्स समीकरण, उदाहरण के लिए, ऊष्मा समीकरण से संबंधित है।
+भौतिक विज्ञान और [[रसायन विज्ञान]] के कई मूलभूत नियमों को अवकल समीकरणों के रूप में तैयार किया जा सकता है। जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में, अवकल समीकरणों का उपयोग जटिल प्रणालियों के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है। अवकल समीकरणों का गणितीय सिद्धांत सबसे पहले उन विज्ञानों के साथ मिलकर विकसित हुआ जहाँ समीकरणों की उत्पत्ति हुई थी और जहाँ परिणामों का अनुप्रयोग पाया गया था। हालांकि, विविध समस्याएं, कभी-कभी काफी विशिष्ट वैज्ञानिक क्षेत्रों में उत्पन्न होती हैं, समान अवकल समीकरणों को जन्म दे सकती हैं। जब भी ऐसा होता है, समीकरणों के पीछे गणितीय सिद्धांत को विविध परिघटनाओं के पीछे एकीकृत सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, वातावरण में प्रकाश और ध्वनि के प्रसार और तालाब की सतह पर तरंगों के प्रसार पर विचार करें। उन सभी को एक ही दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो हमें प्रकाश और ध्वनि को तरंगों के रूप में सोचने की अनुमति देता है, जैसे कि पानी में परिचित तरंगें। ऊष्मा का संचालन, जिसका सिद्धांत जोसेफ फूरियर द्वारा विकसित किया गया था, दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरण, ऊष्मा समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। यह पता चला है कि कई प्रसार प्रक्रियाएं, जबकि अलग-अलग प्रतीत होती हैं, एक ही समीकरण द्वारा वर्णित की जाती हैं उदाहरण के लिए, वित्त में ब्लैक-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण से संबंधित है।
-भिन्न-भिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में जितने अवकल समीकरणों को नाम मिला है, वह विषय के महत्व का साक्षी है। नामांकित अवकल समीकरणों की सूची देखें।
+भिन्न-भिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में जितने अवकल समीकरणों को नाम प्राप्त हुआ है, वह इस विषय के महत्व का साक्षी है। नामांकित अवकल समीकरणों की सूची देखें।
 == सॉफ्टवेयर ==
-कुछ कंप्यूटर बीजगणित सिस्टम सॉफ़्टवेयर अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। ये [[कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] सॉफ्टवेयर और उनके आदेश उल्लेखनीय हैं:
+कुछ सीएएस (CAS) सॉफ़्टवेयर अवकल समीकरणों को हल कर सकते हैं। ये [[कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] (सीएएस) सॉफ्टवेयर और उनके आदेश उल्लेखनीय हैं।
-* [[मेपल (सॉफ्टवेयर)]]:<ref>{{Cite web|title=dsolve - मेपल प्रोग्रामिंग सहायता|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|website=www.maplesoft.com|access-date=2020-05-09}}</ref> <code>dsolve</code>
+* [[मेपल (सॉफ्टवेयर)|मेपल]]<ref>{{Cite web|title=dsolve - मेपल प्रोग्रामिंग सहायता|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|website=www.maplesoft.com|access-date=2020-05-09}}</ref><code>समाधान</code>
-* [[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]:<ref>{{Cite web|title=DSolve - वोल्फ्राम लैंग्वेज डॉक्यूमेंटेशन|url=https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolve.html|website=www.wolfram.com|access-date=2020-06-28}}</ref> <code>DSolve[]</code>
+* [[वोल्फ्राम मैथेमेटिका|गणित]]<ref>{{Cite web|title=DSolve - वोल्फ्राम लैंग्वेज डॉक्यूमेंटेशन|url=https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolve.html|website=www.wolfram.com|access-date=2020-06-28}}</ref> <code>समाधान</code>
-* [[मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर)]]:<ref>{{cite web |url=https://maxima.sourceforge.io/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/ODE0001.htm |website=The Computer Algebra Program Maxima - a Tutorial (in Maxima documentation on [[SourceForge]]) |title=विभेदक समीकरण - प्रतीकात्मक समाधान|first=William F. |last=Schelter |author-link=Bill Schelter |editor-first=Boris |editor-last=Gaertner |archive-url=https://web.archive.org/web/20221004221208/https://maxima.sourceforge.io/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/ODE0001.htm |archive-date=2022-10-04 |url-status=live }}</ref> <code>ode2(equation, y, x)</code>
+* [[मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर)|मैक्सिमा]]<ref>{{cite web |url=https://maxima.sourceforge.io/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/ODE0001.htm |website=The Computer Algebra Program Maxima - a Tutorial (in Maxima documentation on [[SourceForge]]) |title=विभेदक समीकरण - प्रतीकात्मक समाधान|first=William F. |last=Schelter |author-link=Bill Schelter |editor-first=Boris |editor-last=Gaertner |archive-url=https://web.archive.org/web/20221004221208/https://maxima.sourceforge.io/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/ODE0001.htm |archive-date=2022-10-04 |url-status=live }}</ref> <code>ode2(समीकरण, y, x)</code>
-* [[सेज मठ]]:<ref>{{Cite web|title=मूल बीजगणित और कैलकुलस - सेज ट्यूटोरियल v9.0|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|website=doc.sagemath.org|access-date=2020-05-09}}</ref> <code>desolve()</code>
+* [[सेज मठ|सेजमैथ]]<ref>{{Cite web|title=मूल बीजगणित और कैलकुलस - सेज ट्यूटोरियल v9.0|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|website=doc.sagemath.org|access-date=2020-05-09}}</ref> <code>समाधान</code>
-* [[सिम्पी]]:<ref>{{cite web |url=https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html |date=2022-08-22 |title=स्तोत्र|website=SymPy 1.11 documentation |archive-url=https://web.archive.org/web/20220926154502/https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html |archive-date=2022-09-26 |url-status=live }}</ref> <code>sympy.solvers.ode.dsolve(equation)</code>
+* [[सिम्पी]]<ref>{{cite web |url=https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html |date=2022-08-22 |title=स्तोत्र|website=SymPy 1.11 documentation |archive-url=https://web.archive.org/web/20220926154502/https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html |archive-date=2022-09-26 |url-status=live }}</ref> <code>sympy.solvers.ode.dsolve(समीकरण)</code>
-* [[Xcas]]:<ref>{{Cite web|title=Xcas के साथ प्रतीकात्मक बीजगणित और गणित|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf}}</ref> <code>desolve(y'=k*y,y)</code>
+* [[Xcas]]<ref>{{Cite web|title=Xcas के साथ प्रतीकात्मक बीजगणित और गणित|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf}}</ref> <code>desolve(y'=k*y,y)</code>
 == यह भी देखें ==
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-* [[सटीक अंतर समीकरण]]
+* [[सटीक अवकल समीकरण]]
-* [[कार्यात्मक अंतर समीकरण]]
+* [[कार्यात्मक अवकल समीकरण]]
-*[[आरंभिक दशा]]
+*[[प्रारंभिक अवस्था]]
 * [[अभिन्न समीकरण]]
-*[[साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके]]
+*[[साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ]]
-*[[आंशिक अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके]]
+*[[आंशिक अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ]]
-* पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय अस्तित्व और समाधानों की विशिष्टता पर
+*अस्तित्व और समाधान की विशिष्टता पर पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय
-*[[पुनरावृत्ति संबंध]], जिसे 'अंतर समीकरण' भी कहा जाता है
+*[[पुनरावृत्ति संबंध]], जिसे 'अवकल समीकरण' भी कहा जाता है
-* [[सार अंतर समीकरण]]
+* [[संक्षेप अवकल समीकरण]]
 *अवकल समीकरणों की प्रणाली
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 ==संदर्भ==
 {{reflist|30em}}
 ==अग्रिम पठन==
 *{{cite book |first1=P. |last1=Abbott |first2=H. |last2=Neill |title=Teach Yourself Calculus |year=2003 |pages=266–277 }}
@@ Line 189: / Line 186: @@
 *{{Cite book| last = Teschl| given = Gerald|author-link=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
 *{{cite book|author=Daniel Zwillinger|title=Handbook of Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=n7TiBQAAQBAJ&q=%22Handbook+of+Differential+Equations%22|date=12 May 2014|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4832-6396-0}}
 ==बाहरी संबंध==
 {{wikiquote}}
@@ Line 207: / Line 202: @@
 *[http://www.khanacademy.org/math/differential-equations Khan Academy Video playlist on differential equations ] Topics covered in a first year course in differential equations.
 *[https://web.archive.org/web/20130607120716/http://math.rareinfos.com/category/courses/solutions-differential-equations/homogeneous-linear-systems/ MathDiscuss Video playlist on differential equations ]
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 {{Differential equations topics}}
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+[[Category:विभेदक समीकरण| ]]

v t e गणितीय विश्लेषण में प्रमुख विषय
'पथरी' : एकीकरण भेदभाव अंतर समीकरण साधारण आंशिक स्टोचस्टिक कैलकुलस का मौलिक प्रमेय भिन्नता का पथरी वेक्टर कैलकुलस टेंसर कैलकुलस मैट्रिक्स कैलकुलस अभिन्न की सूची डेरिवेटिव की तालिका
वास्तविक विश्लेषण जटिल विश्लेषण हाइपरकम्प्लेक्स विश्लेषण (चतुर्भुज विश्लेषण) कार्यात्मक विश्लेषण फूरियर विश्लेषण सबसे कम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण हार्मोनिक विश्लेषण पी-एडिक विश्लेषण (पी-एडिक नंबर) माप सिद्धांत प्रतिनिधित्व सिद्धांत कार्य निरंतर कार्य विशेष कार्य सीमा श्रृंखला अनंतता
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