लाई समूह: Difference between revisions
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{{confuse| | {{confuse|लाई प्रकार का समूह}}गणित में, '''लाई समूह''' (उच्चारण {{IPAc-en|l|iː}} {{respell|LEE}}) एक [[समूह (गणित)]] है जो अवलकनीय बहुविध भी है। [[विविध|बहुविध]] समष्टि है जो स्थानीय रूप से [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] जैसा दिखता है, जबकि समूह [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी संक्रिया]] की अमूर्त अवधारणा को अतिरिक्त गुणों के साथ परिभाषित करते हैं, इसे अमूर्त अर्थ में "परिवर्तन" के रूप में माना जाना चाहिए, उदाहरण के लिए गुणन और लेना व्युत्क्रम (विभाजन), या समकक्ष, जोड़ की अवधारणा और व्युत्क्रम (घटाव) लेना। इन दो विचारों के संयोजन से, [[निरंतर समूह]] प्राप्त होता है जहां गुणन बिंदु और उनके व्युत्क्रम निरंतर होते हैं। यदि व्युत्क्रमों का गुणन और लेना सुचारू (विभेदक) भी है, तो लाई समूह प्राप्त होता है। | ||
लाई समूह [[निरंतर समरूपता]] की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है ([[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष आयतीय समूह]] द्वारा दिया गया) <math>\text{SO}(3)</math>) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | लाई समूह [[निरंतर समरूपता]] की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है ([[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष आयतीय समूह]] द्वारा दिया गया) <math>\text{SO}(3)</math>) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
लाई समूह सबसे पहले [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] उपसमूहों <math>G</math>, <math>\text{GL}_n(\mathbb{R})</math> या <math>\text{GL}_{n}(\mathbb{C})</math> में निहित है।का अध्ययन करके पाए गए थे, <math>n\times n</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>. इन्हें अब [[शास्त्रीय समूह|चिरसम्मत समूह]] कहा जाता है, अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। लाई समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] 1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर [[परिवर्तन समूह|परिवर्तन समूहों]] के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को | लाई समूह सबसे पहले [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] उपसमूहों <math>G</math>, <math>\text{GL}_n(\mathbb{R})</math> या <math>\text{GL}_{n}(\mathbb{C})</math> में निहित है।का अध्ययन करके पाए गए थे, <math>n\times n</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह के समूह <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>. इन्हें अब [[शास्त्रीय समूह|चिरसम्मत समूह]] कहा जाता है, अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। लाई समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ [[सोफस झूठ|सोफस लाई]] 1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर [[परिवर्तन समूह|परिवर्तन समूहों]] के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को प्रारंभ करने के लिए लाई की मूल प्रेरणा अंतर समीकरणों की निरंतर समरूपता को प्रतिरूप करना था, ठीक उसी तरह जिस तरह से परिमित समूहों का उपयोग [[बीजगणितीय समीकरण]] के असतत समरूपता को प्रतिरूप करने के लिए [[गाल्वा सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास (हॉकिन्स, पृष्ठ 1) पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार, सोफस लाई ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह "1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान लाई की विलक्षण शोध गतिविधि थी" जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के | लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास (हॉकिन्स, पृष्ठ 1) पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार, सोफस लाई ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह "1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान लाई की विलक्षण शोध गतिविधि थी" जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के प्रारंभिक विचारों में से कुछ [[फेलिक्स क्लेन]] के निकट सहयोग से विकसित किए गए थे। अक्टूबर 1869 से 1872 तक हर दिन लाई क्लेन से मिले: बर्लिन में अक्टूबर 1869 के अंत से फरवरी 1870 के अंत तक, और बाद के दो वर्षों में पेरिस, गौटिंगेन और एर्लांगेन में (वही, पृष्ठ 2)। लाई ने कहा कि सभी प्रमुख परिणाम 1884 तक प्राप्त किए गए थे। लेकिन 1870 के दशक के दौरान उनके सभी पत्र (पहले नोट को छोड़कर) नॉर्वेजियन पत्रिकाओं में प्रकाशित हुए थे, जिसने पूरे यूरोप में काम की मान्यता को बाधित किया था (वही, पृष्ठ 76) )। 1884 में युवा जर्मन गणितज्ञ, [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]], लाई के साथ निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत को उजागर करने के लिए व्यवस्थित ग्रंथ पर काम करने आए। इस प्रयास से 1888, 1890 और 1893 में प्रकाशित तीन-खंड थ्योरी डेर परिवर्तनसमूह का परिणाम निकला। शब्द समूह डी लाइ पहली बार फ्रेंच में 1893 में लाई के छात्र आर्थर ट्रेस की अभिधारणा में दिखाई दिया।<ref>{{cite journal|author=Arthur Tresse|year=1893|title=परिवर्तनों के निरंतर समूहों के विभेदक आक्रमणकारियों पर|url=https://zenodo.org/record/2273334|journal=Acta Mathematica|volume=18|pages=1–88|doi=10.1007/bf02418270|doi-access=free}}</ref> | ||
लाइ के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की [[ज्यामिति]] में उनकी रुचि सबसे पहले [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक[[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के सिद्धांत और [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी के अधिकांश कार्य प्रकाशित हुए, जिससे फ्रांस और जर्मनी में अत्यधिक रुचि पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की[[समरूपता]] के सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह उपलब्धि करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। लाइ और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और [[ऑर्थोगोनल बहुपद|आयतीय बहुपद]]के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। लाई के | लाइ के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की [[ज्यामिति]] में उनकी रुचि सबसे पहले [[कार्ल गुस्ताव जैकोबी]] के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक[[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के सिद्धांत और [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी के अधिकांश कार्य प्रकाशित हुए, जिससे फ्रांस और जर्मनी में अत्यधिक रुचि पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की[[समरूपता]] के सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह उपलब्धि करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। लाइ और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और [[ऑर्थोगोनल बहुपद|आयतीय बहुपद]]के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। लाई के प्रारंभिक काम में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों [[मॉड्यूलर रूप]] के सिद्धांत में विकसित [[असतत समूह]] के सिद्धांत को पूरक करने के लिए निरंतर समूहों के सिद्धांत का निर्माण करने का विचार था। लाई के मन में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था वह अवकल समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोज़ सिद्धांत और [[बहुपद समीकरण]] के प्रतिरूप पर, परिचालन अवधारणा समरूपता के अध्ययन से सामान्य अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम सिद्धांत की थी। हालाँकि, आशा है कि लाई थ्योरी [[साधारण अंतर समीकरण]] के पूरे क्षेत्र को एकजुट करेगी, पूरी नहीं हुई। ओडीई के लिए सममिति पद्धतियों का अध्ययन जारी है, लेकिन विषय पर हावी नहीं हैं। [[विभेदक गैलोज़ सिद्धांत]] है, लेकिन इसे अन्य लोगों द्वारा विकसित किया गया था, जैसे कि पिकार्ड और वेसिओट, और यह चतुष्कोणों का एक सिद्धांत प्रदान करता है, समाधान व्यक्त करने के लिए आवश्यक अनिश्चित अभिन्न। | ||
निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर [[बर्नहार्ड रीमैन]] के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को लाई द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया: समरूपता का विचार, जैसा कि गैलोज़ द्वारा समूह की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से उदाहरण दिया गया है, ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, प्वासों और जैकोबी द्वारा काम किया गया, और ज्यामिति की नई समझ जो प्लकर, मोबियस, [[ग्रासमैन]] और अन्य के कार्यों में उभरी, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई। | निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर [[बर्नहार्ड रीमैन]] के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को लाई द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया: समरूपता का विचार, जैसा कि गैलोज़ द्वारा समूह की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से उदाहरण दिया गया है, ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, प्वासों और जैकोबी द्वारा काम किया गया, और ज्यामिति की नई समझ जो प्लकर, मोबियस, [[ग्रासमैन]] और अन्य के कार्यों में उभरी, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई। | ||
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1900 में [[डेविड हिल्बर्ट]] ने पेरिस में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी। | 1900 में [[डेविड हिल्बर्ट]] ने पेरिस में [[गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस]] में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी। | ||
वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल अर्ध-सरल लाई समूहों के अलघुकरणीय निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाई के अपरिमेय समूहों (अर्थात् लाई बीजगणित) और उचित लाई समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाई G की सांस्थिति की जांच | वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल अर्ध-सरल लाई समूहों के अलघुकरणीय निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाई के अपरिमेय समूहों (अर्थात् लाई बीजगणित) और उचित लाई समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाई G की सांस्थिति की जांच प्रारंभ की{{sfnp|Borel|2001}} [[क्लाउड चेवेली]] द्वारा लघु प्रबंध में आधुनिक गणितीय भाषा में लाई समूहों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से फिर से काम किया गया था। | ||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
[[File:Circle as Lie group.svg|right|thumb|पूर्ण मान 1 के साथ सभी [[जटिल संख्या]]ओं का समुच्चय ([[जटिल विमान]] में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 के चक्र पर बिंदुओं के अनुरूप) जटिल गुणन के तहत एक लाई समूह है: [[घेरा]] समूह।]]लाई समूहमू सहजता विभेदीय बहुविध हैं और जैसे कि अधिक सामान्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] के मामले के विपरीत [[अंतर कलन]] का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। लाई समूहों के सिद्धांत में प्रमुख विचारों में से वैश्विक वस्तु, समूह को अपने स्थानीय या रेखीयकृत संस्करण के साथ बदलना है, जिसे लाई ने खुद को "अति सूक्ष्म समूह" कहा था और जो तब से इसके [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है। | [[File:Circle as Lie group.svg|right|thumb|पूर्ण मान 1 के साथ सभी [[जटिल संख्या]]ओं का समुच्चय ([[जटिल विमान]] में केंद्र 0 और त्रिज्या 1 के चक्र पर बिंदुओं के अनुरूप) जटिल गुणन के तहत एक लाई समूह है: [[घेरा]] समूह।]]लाई समूहमू सहजता विभेदीय बहुविध हैं और जैसे कि अधिक सामान्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] के मामले के विपरीत [[अंतर कलन]] का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। लाई समूहों के सिद्धांत में प्रमुख विचारों में से वैश्विक वस्तु, समूह को अपने स्थानीय या रेखीयकृत संस्करण के साथ बदलना है, जिसे लाई ने खुद को "अति सूक्ष्म समूह" कहा था और जो तब से इसके [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है। | ||
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(उदाहरण के लिए, का बंद उपसमूह <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>, अर्थात्, आव्यूह लाई समूह उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है।) | (उदाहरण के लिए, का बंद उपसमूह <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>, अर्थात्, आव्यूह लाई समूह उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है।) | ||
फिर लाई समूह को सांस्थितिक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो (1) स्थानीय रूप से समरूपी पहचान के पास अत्यधिक रैखिक लाई समूह के पास होता है और (2) में सबसे अधिक संख्या में कई जुड़े हुए घटक होते हैं। सांस्थितिक परिभाषा दिखाना सामान्य के बराबर तकनीकी है (और | फिर लाई समूह को सांस्थितिक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो (1) स्थानीय रूप से समरूपी पहचान के पास अत्यधिक रैखिक लाई समूह के पास होता है और (2) में सबसे अधिक संख्या में कई जुड़े हुए घटक होते हैं। सांस्थितिक परिभाषा दिखाना सामान्य के बराबर तकनीकी है (और प्रारंभिक पाठकों को निम्नलिखित को छोड़ देना चाहिए) लेकिन मोटे तौर पर निम्नानुसार किया जाता है: | ||
# सामान्य कई गुना अर्थों में लाई समूह G को देखते हुए, लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार (या लाई के तीसरे प्रमेय का संस्करण) निमज्जित लाई उपसमूह बनाता है <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> ऐसा है कि <math>G, G'</math> समान लाई बीजगणित साझा करें, इस प्रकार, वे स्थानीय रूप से समरूपी हैं। इसलिए, G उपरोक्त सांस्थितिक परिभाषा को संतुष्ट करता है। | # सामान्य कई गुना अर्थों में लाई समूह G को देखते हुए, लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार (या लाई के तीसरे प्रमेय का संस्करण) निमज्जित लाई उपसमूह बनाता है <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> ऐसा है कि <math>G, G'</math> समान लाई बीजगणित साझा करें, इस प्रकार, वे स्थानीय रूप से समरूपी हैं। इसलिए, G उपरोक्त सांस्थितिक परिभाषा को संतुष्ट करता है। | ||
# इसके विपरीत, G को सांस्थितिक समूह होने दें, जो उपरोक्त सांस्थितिक अर्थों में एक लाई समूह है और बेहद रैखिक लाई समूह का चयन करें <math>G'</math> वह G के लिए स्थानीय रूप से समरूपी है। फिर, बंद उपसमूह प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, <math>G'</math> एक [[वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना]] है और फिर, स्थानीय समरूपता के माध्यम से, G पहचान तत्व के पास कई गुना संरचना प्राप्त करता है। एक तो दिखाता है कि G पर समूह विधि औपचारिक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जा सकता है,<ref>This is the statement that a Lie group is a [[formal Lie group]]. For the latter concept, for now, see F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Lectures on Lie Groups and Representations of Locally Compact Groups].</ref> इसलिए समूह संचालन वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं और G स्वयं एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है। | # इसके विपरीत, G को सांस्थितिक समूह होने दें, जो उपरोक्त सांस्थितिक अर्थों में एक लाई समूह है और बेहद रैखिक लाई समूह का चयन करें <math>G'</math> वह G के लिए स्थानीय रूप से समरूपी है। फिर, बंद उपसमूह प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, <math>G'</math> एक [[वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना]] है और फिर, स्थानीय समरूपता के माध्यम से, G पहचान तत्व के पास कई गुना संरचना प्राप्त करता है। एक तो दिखाता है कि G पर समूह विधि औपचारिक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जा सकता है,<ref>This is the statement that a Lie group is a [[formal Lie group]]. For the latter concept, for now, see F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Lectures on Lie Groups and Representations of Locally Compact Groups].</ref> इसलिए समूह संचालन वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं और G स्वयं एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है। | ||
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=== आयाम एक और दो === | === आयाम एक और दो === | ||
आयाम एक के साथ केवल जुड़े हुए समूह ही वास्तविक रेखा हैं <math>\mathbb{R}</math> (समूह संचालन के अतिरिक्त होने के साथ) और पूर्ण के साथ सम्मिश्र संख्याओं का वृत्त समूह <math>S^1</math>(समूह संचालन गुणन के साथ)। <math>S^1</math>समूह को | आयाम एक के साथ केवल जुड़े हुए समूह ही वास्तविक रेखा हैं <math>\mathbb{R}</math> (समूह संचालन के अतिरिक्त होने के साथ) और पूर्ण के साथ सम्मिश्र संख्याओं का वृत्त समूह <math>S^1</math>(समूह संचालन गुणन के साथ)। <math>S^1</math>समूह को प्रायः के <math>U(1)</math> रूप में निरूपित किया जाता है , का समूह <math>1\times 1</math> एकात्मक आव्यूह। | ||
दो आयामों में, यदि हम केवल जुड़े हुए समूहों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो उन्हें उनके लाई बीजगणित द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। (समरूपता तक) आयाम दो के केवल दो लाई बीजगणित हैं। जुड़े बस जुड़े हुए लाई समूह हैं <math>\mathbb{R}^2</math> (समूह संचालन के साथ सदिश जोड़ रहा है) और एफ़िन समूह पहले आयाम में, पहले उदाहरणों के तहत पिछले उपखंड में वर्णित है। | दो आयामों में, यदि हम केवल जुड़े हुए समूहों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो उन्हें उनके लाई बीजगणित द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। (समरूपता तक) आयाम दो के केवल दो लाई बीजगणित हैं। जुड़े बस जुड़े हुए लाई समूह हैं <math>\mathbb{R}^2</math> (समूह संचालन के साथ सदिश जोड़ रहा है) और एफ़िन समूह पहले आयाम में, पहले उदाहरणों के तहत पिछले उपखंड में वर्णित है। | ||
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# लाई समूह की पहचान पर किसी भी स्पर्शरेखा सदिश को कई गुना के अन्य बिंदुओं पर स्थानांतरित करके बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र में बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि के तत्व v का बायाँ अपरिवर्तनीय विस्तार ''v''^<sub>''g''</sub> = ''L<sub>g</sub>''<sub>*</sub>''v'' द्वारा परिभाषित सदिश क्षेत्र है। यह [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टि]] ''T<sub>e</sub>G'' की पहचान करता है बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के समष्टि के साथ पहचान पर, और इसलिए पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि को लाइ बीजगणित में बनाता है, जिसे G का लाई बीजगणित कहा जाता है, जिसे सामान्यतः फ्रैक्टुर <math>\mathfrak{g}.</math> (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार <math>\mathfrak{g}</math> लाई कोष्ठक [v, w] = [v^, w^] द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है। | # लाई समूह की पहचान पर किसी भी स्पर्शरेखा सदिश को कई गुना के अन्य बिंदुओं पर स्थानांतरित करके बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र में बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि के तत्व v का बायाँ अपरिवर्तनीय विस्तार ''v''^<sub>''g''</sub> = ''L<sub>g</sub>''<sub>*</sub>''v'' द्वारा परिभाषित सदिश क्षेत्र है। यह [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टि]] ''T<sub>e</sub>G'' की पहचान करता है बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के समष्टि के साथ पहचान पर, और इसलिए पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि को लाइ बीजगणित में बनाता है, जिसे G का लाई बीजगणित कहा जाता है, जिसे सामान्यतः फ्रैक्टुर <math>\mathfrak{g}.</math> (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार <math>\mathfrak{g}</math> लाई कोष्ठक [v, w] = [v^, w^] द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है। | ||
यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> परिमित-आयामी है और इसका कई गुना G के समान आयाम है। G का लाई बीजगणित G को स्थानीय समरूपता तक निर्धारित करता है, जहां दो लाई समूहों को 'स्थानीय रूप से समरूप' कहा जाता है यदि वे पहचान तत्व के पास समान दिखते हैं। लाई समूहों के बारे में समस्याएं | यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> परिमित-आयामी है और इसका कई गुना G के समान आयाम है। G का लाई बीजगणित G को स्थानीय समरूपता तक निर्धारित करता है, जहां दो लाई समूहों को 'स्थानीय रूप से समरूप' कहा जाता है यदि वे पहचान तत्व के पास समान दिखते हैं। लाई समूहों के बारे में समस्याएं प्रायः लाई बीजगणित के लिए संबंधित समस्या को हल करके हल की जाती हैं, और समूहों के परिणाम सामान्यतः आसानी से अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण लाई समूहों को सामान्यतः संबंधित लाई बीजगणित को पहले वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया जाता है। | ||
हम ''T<sub>e</sub>'' पर लाई बीजगणित संरचना को भी परिभाषित कर सकते हैं बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के बजाय सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र का उपयोग करना। यह समान लाई बीजगणित की ओर जाता है, क्योंकि G पर व्युत्क्रम मानचित्र का उपयोग दाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के साथ बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा स्थान''T<sub>e</sub>'' पर -1 के रूप में कार्य करता है। | हम ''T<sub>e</sub>'' पर लाई बीजगणित संरचना को भी परिभाषित कर सकते हैं बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के बजाय सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र का उपयोग करना। यह समान लाई बीजगणित की ओर जाता है, क्योंकि G पर व्युत्क्रम मानचित्र का उपयोग दाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के साथ बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा स्थान''T<sub>e</sub>'' पर -1 के रूप में कार्य करता है। | ||
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=== चरघातांकी मानचित्र === | === चरघातांकी मानचित्र === | ||
{{Main| | {{Main|चरघातांकी मानचित्र (लाई सिद्धांत)}} | ||
{{see also| | {{see also|घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|सामान्य निर्देशांक}} | ||
लाई बीजगणित से [[घातीय नक्शा (झूठ सिद्धांत)|घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत)]] <math>\mathrm{M}(n;\mathbb C)</math> सामान्य रैखिक समूह का <math>\mathrm{GL}(n;\mathbb C)</math> प्रति <math>\mathrm{GL}(n;\mathbb C)</math> सामान्य शक्ति श्रृंखला द्वारा दिए गए आव्यूह घातांक द्वारा परिभाषित किया गया है: | लाई बीजगणित से [[घातीय नक्शा (झूठ सिद्धांत)|घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत)]] <math>\mathrm{M}(n;\mathbb C)</math> सामान्य रैखिक समूह का <math>\mathrm{GL}(n;\mathbb C)</math> प्रति <math>\mathrm{GL}(n;\mathbb C)</math> सामान्य शक्ति श्रृंखला द्वारा दिए गए आव्यूह घातांक द्वारा परिभाषित किया गया है: | ||
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{{main|लाई समूह का प्रतिनिधित्व}} | {{main|लाई समूह का प्रतिनिधित्व}} | ||
{{see also|कॉम्पैक्ट समूह # जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत|लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व}} | {{see also|कॉम्पैक्ट समूह # जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत|लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व}} | ||
लाई समूहों के अध्ययन का महत्वपूर्ण पहलू उनका निरूपण है, अर्थात जिस तरह से वे सदिश समष्टि पर (रैखिक रूप से) कार्य कर सकते हैं। भौतिकी में, लाई समूह | लाई समूहों के अध्ययन का महत्वपूर्ण पहलू उनका निरूपण है, अर्थात जिस तरह से वे सदिश समष्टि पर (रैखिक रूप से) कार्य कर सकते हैं। भौतिकी में, लाई समूह प्रायः भौतिक प्रणाली की समरूपता को कूटबद्ध करते हैं। प्रणाली का विश्लेषण करने में मदद करने के लिए जिस तरह से कोई इस समरूपता का उपयोग करता है वह प्रायः प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें, <math>\hat{H}\psi = E\psi</math>, मान लें कि प्रणाली में समरूपता के रूप में घूर्णन समूह SO(3) है, जिसका अर्थ हैमिल्टनियन संक्रिया है <math>\hat{H}</math> तरंग फलन <math>\psi</math> पर SO(3) की क्रिया के साथ संचार करता है। (इस तरह की प्रणाली का महत्वपूर्ण उदाहरण [[हाइड्रोजन परमाणु]] है, जिसमें एक एकल गोलाकार कक्षीय है।) इस धारणा का जरूरी अर्थ यह नहीं है कि समाधान <math>\psi</math> घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय कार्य हैं। बल्कि, इसका अर्थ है कि समाधानों का समष्टि <math>\hat{H}\psi = E\psi</math> घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है (प्रत्येक निश्चित मान के लिए <math>E</math>)। इसलिए, यह समष्टि SO(3) का प्रतिनिधित्व करता है। ये अभ्यावेदन को वर्गीकृत किया गया है और वर्गीकरण समस्या के पर्याप्त सरलीकरण की ओर ले जाता है, अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी आंशिक अंतर समीकरण को एक-आयामी साधारण अंतर समीकरण में परिवर्तित करता है। | ||
आनुषंगिक संक्षिप्त लाइ समूह K ( SO(3) के अभी-उल्लेखित मामले सहित) का मामला विशेष रूप से सुविधाजनक है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Part III</ref> उस स्थिति में, K का प्रत्येक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। अलघुकरणीय अभ्यावेदन, बदले में, हरमन वेइल द्वारा वर्गीकृत किए गए थे। वर्गीकरण प्रतिनिधित्व के "उच्चतम वजन" के संदर्भ में है। यह वर्गीकरण अर्धसरल लाई बीजगणित के निरूपण के वर्गीकरण से निकटता से संबंधित है। | आनुषंगिक संक्षिप्त लाइ समूह K ( SO(3) के अभी-उल्लेखित मामले सहित) का मामला विशेष रूप से सुविधाजनक है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Part III</ref> उस स्थिति में, K का प्रत्येक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। अलघुकरणीय अभ्यावेदन, बदले में, हरमन वेइल द्वारा वर्गीकृत किए गए थे। वर्गीकरण प्रतिनिधित्व के "उच्चतम वजन" के संदर्भ में है। यह वर्गीकरण अर्धसरल लाई बीजगणित के निरूपण के वर्गीकरण से निकटता से संबंधित है। | ||
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== अनंत-आयामी लाई समूह == | == अनंत-आयामी लाई समूह == | ||
लाई समूहों को | लाई समूहों को प्रायः परिमित-आयामी के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अनंत-आयामी होने के अलावा, ऐसे कई समूह हैं जो लाई समूहों के समान हैं। अनंत-आयामी लाई समूहों को परिभाषित करने का सबसे आसान तरीका उन्हें स्थानीय रूप से बनच रिक्त समष्टि (परिमित-आयामी मामले में यूक्लिडियन समष्टि के विपरीत) पर प्रतिरूप करना है, और इस मामले में बहुत से बुनियादी सिद्धांत परिमित-आयामी लाई समूह के समान हैं। हालांकि यह कई अनुप्रयोगों के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि अनंत-आयामी लाई समूहों के कई प्राकृतिक उदाहरण बनच बहुविध नहीं हैं। इसके बजाय किसी को अधिक सामान्य स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थितिक सदिश रिक्त समष्टि पर प्रतिरूपण किए गए लाई समूहों को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इस मामले में लाई बीजगणित और लाई समूह के बीच संबंध बल्कि सूक्ष्म हो जाता है, और परिमित-आयामी लाई समूहों के बारे में कई परिणाम अब पकड़ में नहीं आते हैं। | ||
साहित्य अपनी शब्दावली में पूरी तरह से समान नहीं है, क्योंकि वास्तव में अनंत-आयामी समूहों के कौन से गुण समूह को लाई समूह में उपसर्ग के लिए अर्हता प्राप्त करते हैं। मामलों के लाई बीजगणित पक्ष पर, चीजें सरल होती हैं क्योंकि लाई बीजगणित में उपसर्ग के लिए योग्यता मानदंड पूरी तरह से बीजगणितीय हैं। उदाहरण के लिए, अनंत-आयामी लाई बीजगणित में संबंधित लाई समूह हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। अर्थात्, लाई बीजगणित के अनुरूप समूह हो सकता है, लेकिन यह लाई समूह कहलाने के लिए पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है, या समूह और लाई बीजगणित के बीच का संबंध पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विफलता) पहचान के प्रतिवेश पर होने के लिए घातीय मानचित्र)। यह काफी अच्छा है जिसे सार्वभौमिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। | साहित्य अपनी शब्दावली में पूरी तरह से समान नहीं है, क्योंकि वास्तव में अनंत-आयामी समूहों के कौन से गुण समूह को लाई समूह में उपसर्ग के लिए अर्हता प्राप्त करते हैं। मामलों के लाई बीजगणित पक्ष पर, चीजें सरल होती हैं क्योंकि लाई बीजगणित में उपसर्ग के लिए योग्यता मानदंड पूरी तरह से बीजगणितीय हैं। उदाहरण के लिए, अनंत-आयामी लाई बीजगणित में संबंधित लाई समूह हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। अर्थात्, लाई बीजगणित के अनुरूप समूह हो सकता है, लेकिन यह लाई समूह कहलाने के लिए पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है, या समूह और लाई बीजगणित के बीच का संबंध पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विफलता) पहचान के प्रतिवेश पर होने के लिए घातीय मानचित्र)। यह काफी अच्छा है जिसे सार्वभौमिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। | ||
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