गणितीय भौतिकी: Difference between revisions
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{{ | [[File:StationaryStatesAnimation.gif|300px|thumb|right|गणितीय भौतिकी का एक उदाहरण: श्रोडिंगर के समीकरण का समाधान <!--क्वांटम यांत्रिकी में-->क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर (बाएं) के लिए उनके आयाम (दाएं) के साथ।]] | ||
'''गणितीय भौतिकी''', भौतिकी की समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय विधि के विकास को संदर्भित करता है। गणितीय भौतिकी दैनिकी क्षेत्र में " भौतिकी में समस्याओं के समाधान लिए गणित के अनुप्रयोग का, गणितीय विधियों के विकास और भौतिक सिद्धांतों के निर्माण" के रूप में परिभाषित करता है।<ref>Definition from the ''Journal of Mathematical Physics''. {{cite web |url=http://jmp.aip.org/jmp/staff.jsp |title=Archived copy |access-date=2006-10-03 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20061003233339/http://jmp.aip.org/jmp/staff.jsp |archive-date=2006-10-03 }}</ref> वैकल्पिक परिभाषा में वे गणित भी शामिल है जो भौतिकी से प्रेरित हैं (जिन्हें भौतिक गणित भी कहा जाता है)।<ref>{{Cite web |title=Physical mathematics and the future |url=https://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/PhysicalMathematicsAndFuture.pdf |access-date=2022-05-09 |website=www.physics.rutgers.edu}}</ref> | |||
== गुंजाइश == | |||
गणितीय भौतिकी की कई अलग-अलग शाखाएँ हैं, और ये स्थूल रूप से विशेष ऐतिहासिक काल के अनुरूप हैं। | |||
=== शास्त्रीय यांत्रिकी === | |||
न्यूटोनियन यांत्रिकी के कठोर, अमूर्त और उन्नत सुधार ने लैग्रैन्जियन यांत्रिकी और हैमिल्टन मैकेनिक्स को भी बाधाओं की उपस्थिति में अपनाया था। दोनों सूत्र विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में सन्निहित हैं और गतिशील विकास के दौरान समरूपता और संरक्षित मात्रा की धारणाओं के गहरे परस्पर क्रिया को समझने के लिए नेतृत्व करते हैं, जैसा कि नोएदर के प्रमेय के सबसे प्राथमिक सूत्रीकरण के भीतर सन्निहित है। इन दृष्टिकोणों और विचारों को भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में सांख्यिकीय यांत्रिकी, सातत्य यांत्रिकी, शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के रूप में विस्तारित किया गया है। इसके अलावा, उन्होंने विभेदक ज्यामिति में कई उदाहरण और विचार प्रदान किए हैं (उदाहरण के लिए सहानुभूति ज्यामिति और वेक्टर बंडल में कई धारणाएं)। | |||
=== आंशिक अंतर समीकरण === | |||
निम्नलिखित गणित, आंशिक अंतर समीकरण का सिद्धांत, परिवर्तनशील कलन, फूरियर विश्लेषण, संभावित सिद्धांत और वेक्टर विश्लेषण, गणितीय भौतिकी के साथ सबसे निकट से जुड़े हुए हैं। इन्हें 18वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से (उदाहरण के लिए, डी'अलेम्बर्ट, यूलर, और लैग्रेंज द्वारा) 1930 के दशक तक गहन रूप से विकसित किया गया था। इन विकासों के भौतिक अनुप्रयोगों में जल-गत्यात्मकता, आकाशीय यांत्रिकी, सातत्य यांत्रिकी, लोच सिद्धांत, ध्वनिकी, ऊष्मप्रवैगिकी, बिजली, चुंबकत्व और वायुगतिकी शामिल हैं। | |||
=== क्वांटम सिद्धांत === | |||
परमाणु स्पेक्ट्रा का सिद्धांत (और, बाद में, क्वांटम यांत्रिकी) रैखिक बीजगणित के गणितीय क्षेत्रों के कुछ हिस्सों, सक्रियक के वर्णक्रमीय सिद्धांत, सक्रियक बीजगणित और अधिक व्यापक रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण के साथ लगभग समवर्ती रूप से विकसित हुआ था । गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर सक्रियक शामिल हैं, और इसका परमाणु और आणविक भौतिकी से संबंध है। क्वांटम सूचना सिद्धांत एक और उप-विशेषता है। | |||
=== सापेक्षता और क्वांटम सापेक्षतावादी सिद्धांत === | |||
सापेक्षता के विशेष और सामान्य सिद्धांतों के लिए एक अलग प्रकार के गणित की आवश्यकता होती है। यह समूह सिद्धांत था, जिसने क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और अंतर ज्यामिति दोनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। हालाँकि, यह धीरे-धीरे ब्रह्मांड विज्ञान के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत घटना के गणितीय विवरण में सांस्थिति और कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा पूरक था।इन भौतिक क्षेत्रों के गणितीय विवरण में, समजातीय बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत<ref>{{cite web|title=quantum field theory|url=https://ncatlab.org/nlab/show/quantum+field+theory|website=nLab}}</ref> में कुछ अवधारणाएँ भी महत्वपूर्ण हैं। | |||
== | === सांख्यिकीय यांत्रिकी === | ||
गणितीय भौतिकी | सांख्यिकीय यांत्रिकी एक अलग क्षेत्र बनाता है, जिसमें चरण संक्रमण का सिद्धांत शामिल है। यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी (या इसके क्वांटम संस्करण) पर निर्भर करता है और यह अधिक गणितीय एर्गोडिक सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत के कुछ हिस्सों से निकटता से संबंधित है। विशेष रूप से सांख्यिकीय भौतिकी में, साहचर्य और भौतिकी के बीच परस्पर क्रिया बढ़ रही है। | ||
== उपयोग == | |||
[[File:Mathematical Physics and other sciences v1.png|thumb|गणित और भौतिकी के बीच संबंध]] | |||
"गणितीय भौतिकी" शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेष स्वभाव का होता है। गणित के कुछ हिस्से जो शुरू में भौतिकी के विकास से उत्पन्न हुए थे, वास्तव में, गणितीय भौतिकी के हिस्से नहीं माने जाते हैं, जबकि अन्य निकट से संबंधित क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण और सहानुभूति ज्यामिति को आम तौर पर विशुद्ध रूप से गणितीय विषयों के रूप में देखा जाता है, जबकि गतिशील प्रणाली और हैमिल्टनियन यांत्रिकी गणितीय भौतिकी से संबंधित हैं। जॉन हेरापथ ने "प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों" पर अपने 1847 के पाठ के शीर्षक के लिए इस शब्द का इस्तेमाल किया, उस समय का दायरा "गर्मी, गैसीय लोच, गुरुत्वाकर्षण और प्रकृति की अन्य महान घटनाओं के कारण" था।<ref>John Herapath (1847) [https://catalog.hathitrust.org/Record/011557061?type%5B%5D=author&lookfor%5B%5D=John%20Herapath&ft=ft Mathematical Physics; or, the Mathematical Principles of Natural Philosophy, the causes of heat, gaseous elasticity, gravitation, and other great phenomena of nature], Whittaker and company via HathiTrust</ref> | |||
'''<big>गणितीय बनाम सैद्धांतिक भौतिकी</big>''' | |||
"गणितीय भौतिकी" शब्द का प्रयोग कभी-कभी गणितीय रूप से कठोर ढांचे के भीतर भौतिकी या विचार प्रयोगों में समस्याओं का अध्ययन और समाधान करने के उद्देश्य से अनुसंधान को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस अर्थ में, गणितीय भौतिकी एक बहुत व्यापक शैक्षणिक क्षेत्र को कवर करती है जो केवल कुछ गणितीय पहलू और भौतिकी सैद्धांतिक पहलू के सम्मिश्रण द्वारा प्रतिष्ठित है।हालांकि सैद्धांतिक भौतिकी से संबंधित है,<ref>Quote: " ... a negative definition of the theorist refers to his inability to make physical experiments, while a positive one... implies his encyclopaedic knowledge of physics combined with possessing enough mathematical armament. Depending on the ratio of these two components, the theorist may be nearer either to the experimentalist or to the mathematician. In the latter case, he is usually considered as a specialist in mathematical physics.", Ya. Frenkel, as related in A.T. Filippov, ''The Versatile Soliton'', pg 131. Birkhauser, 2000.</ref> इस अर्थ में गणितीय भौतिकी गणित में पाए जाने वाले समान प्रकार की गणितीय कठोरता पर जोर देती है। | |||
दूसरी ओर, सैद्धांतिक भौतिकी अवलोकनों और प्रायोगिक भौतिकी के सम्बन्ध पर जोर देती है, जिसके लिए अक्सर सैद्धांतिक भौतिकविदों (और अधिक सामान्य अर्थों में गणितीय भौतिकविदों) को अनुमानी, सहज और अनुमानित तर्कों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।<ref>Quote: "Physical theory is something like a suit sewed for Nature. Good theory is like a good suit. ... Thus the theorist is like a tailor." Ya. Frenkel, as related in Filippov (2000), pg 131.</ref>गणितज्ञों द्वारा इस तरह के तर्कों को कठोर नहीं माना जाता है। | |||
ऐसे गणितीय भौतिक विज्ञानी मुख्य रूप से भौतिक सिद्धांतों का विस्तार और व्याख्या करते हैं। गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर के कारण, ये शोधकर्ता अक्सर उन प्रश्नों से निपटते हैं जिन्हें सैद्धांतिक भौतिकविदों ने पहले ही हल कर लिया है। हालांकि, वे कभी-कभी दिखा सकते हैं कि पिछला समाधान अधूरा, गलत या बहुत ही अनुभवहीन था। सांख्यिकीय यांत्रिकी से ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का अनुमान लगाने के प्रयासों के मुद्दे उदाहरण हैं। अन्य उदाहरण विशेष और सामान्य सापेक्षता (सग्नाक प्रभाव और आइंस्टीन समकालन) में समकालन प्रक्रियाओं से जुड़ी सूक्ष्मताओं से संबंधित हैं। | |||
भौतिक सिद्धांतों को गणितीय रूप से कठोर स्तर पर रखने के प्रयास ने न केवल विकसित भौतिकी बल्कि कुछ गणितीय क्षेत्रों के विकास को भी प्रभावित किया है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी का विकास और कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ पहलू कई मायनों में एक दूसरे के समानांतर हैं।क्वांटम यांत्रिकी, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के गणितीय अध्ययन ने ऑपरेटर बीजगणित में परिणाम प्रेरित किए हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के कठोर गणितीय सूत्रीकरण के प्रयास ने भी प्रतिनिधित्व सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में कुछ प्रगति की है। | |||
== प्रमुख गणितीय भौतिक विज्ञानी == | == प्रमुख गणितीय भौतिक विज्ञानी == | ||
=== न्यूटन से पहले === | === न्यूटन से पहले === | ||
प्रकृति के गणितीय विश्लेषण की एक परंपरा है जो प्राचीन यूनानियों | प्रकृति के गणितीय विश्लेषण की एक परंपरा है जो प्राचीन यूनानियों तक जाती है, उदाहरणों में यूक्लिड (ऑप्टिक्स), आर्किमिडीज (ऑन द इक्विलिब्रियम ऑफ प्लेन, ऑन फ्लोटिंग बॉडीज), और टॉलेमी (ऑप्टिक्स, हार्मोनिक्स) शामिल हैं।<ref>{{Cite book|last=Pellegrin|first=P.|title=Physics|work=Greek Thought: A Guide to Classical Knowledge|year=2000|editor-last=Brunschwig|editor-first=J.|pages=433–451|editor-last2=Lloyd|editor-first2=G. E. R.}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Berggren|first=J. L.|date=2008|title=The Archimedes codex|url=https://www.ams.org/notices/200808/tx080800943p.pdf|journal=Notices of the AMS|volume=55|issue=8|pages=943–947}}</ref> बाद में, इस्लामी और बीजान्टिन विद्वानों ने इन कार्यों पर निर्माण किया, और ये अंततः 12 वीं शताब्दी में और पुनर्जागरण के दौरान पश्चिम में पुन: प्रस्तुत किए गए या उपलब्ध हो गए थे। | ||
16वीं शताब्दी के पहले दशक में, शौकिया खगोलशास्त्री निकोलस कोपरनिकस ने सूर्यकेंद्रवाद का प्रस्ताव रखा, और 1543 में इस पर एक ग्रंथ प्रकाशित किया था। उन्होंने महाकाव्यों के टॉलेमिक विचार को बरकरार रखा, और केवल अधिचक्रिक कक्षाओं के सरल संग्रह का निर्माण करके खगोल विज्ञान को सरल बनाने की मांग की। अधिचक्र में वृत्तों पर वृत्त होते हैं।अरिस्टोटेलियन भौतिकी के अनुसार, वृत्त गति का सही रूप था, और अरस्तू के पांचवें तत्व की आंतरिक गति थी - अंग्रेजी शुद्ध हवा के लिए ग्रीक में ईथर के रूप में जाना जाने वाला सर्वोत्कृष्टता या सार्वभौमिक सार - जो कि सबल्यूनरी क्षेत्र से परे शुद्ध पदार्थ था, और इस प्रकार आकाशीय संस्थाओं की शुद्ध रचना थी। जर्मन जोहान्स केप्लर [1571-1630], टाइको ब्राहे के सहायक, ने कोपरनिकन कक्षाओं को दीर्घवृत्त में संशोधित किया, जो केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों के समीकरणों में औपचारिक रूप दिया गया। | |||
उत्साही परमाणुवादी, गैलीलियो गैलीली ने अपनी 1623 की पुस्तक द एसेयर में जोर देकर कहा कि "प्रकृति की पुस्तक गणित में लिखी गई है"।<ref>Peter Machamer [http://plato.stanford.edu/archives/spr2010/entries/galileo "Galileo Galilei"]—sec 1 "Brief biography", in Zalta EN, ed, ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Spring 2010 edn</ref> उनकी 1632 की पुस्तक, उनके दूरबीन प्रेक्षणों के बारे में, सूर्यकेंद्रवाद का समर्थन करती है।<ref name=Flew1984p129>Antony G Flew, ''Dictionary of Philosophy'', rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p [https://books.google.com/books?id=MmJHVU9Rv3YC&pg=PA129 129]</ref> प्रयोग शुरू करने के बाद, गैलीलियो ने तब खुद अरिस्टोटेलियन भौतिकी का खंडन करते हुए भू-केंद्रिक ब्रह्मांड विज्ञान का खंडन किया था। गैलीलियो की 1638 की पुस्तक डिस्कोर्स ऑन टू न्यू साइंसेज ने समान मुक्त पतन के नियम के साथ-साथ जड़त्वीय गति के सिद्धांतों की स्थापना की, जो आज के शास्त्रीय यांत्रिकी बनने की केंद्रीय अवधारणाओं को स्थापित करता है। <ref name=Flew1984p129/>जड़ता के गैलीलियन कानून के साथ-साथ गैलीलियन निश्चरता के सिद्धांत, जिसे गैलीलियन सापेक्षता भी कहा जाता है, किसी भी वस्तु के लिए जड़ता का अनुभव करने के लिए, केवल यह जानने के लिए अनुभवजन्य औचित्य है कि यह सापेक्ष आराम या सापेक्ष गति-आराम या गति दूसरे वस्तु के संबंध में है। | |||
रेने डेसकार्टेस ने प्रसिद्ध रूप से हेलियोसेंट्रिक कॉस्मोलॉजी की एक पूरी प्रणाली विकसित की, जो भंवर गति, कार्तीय भौतिकी के सिद्धांत पर आधारित थी, जिसकी व्यापक स्वीकृति ने अरस्तूवादी भौतिकी के निधन को जन्म दिया। डेसकार्टेस ने विज्ञान में गणितीय तर्क को औपचारिक रूप देने की मांग की, और 3 डी अंतरिक्ष में ज्यामितीय रूप से स्थानों की साजिश रचने और समय के प्रवाह के साथ उनकी प्रगति को चिह्नित करने के लिए कार्तीय निर्देशांक विकसित किए थे।<ref>Antony G Flew, ''Dictionary of Philosophy'', rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p [https://books.google.com/books?id=MmJHVU9Rv3YC&pg=PA89&dq=mathematical+reasoning 89]</ref> | |||
न्यूटन के एक पुराने समकालीन, क्रिस्टियान ह्यूजेंस, मापदंडों के एक समुच्चय द्वारा एक भौतिक समस्या को आदर्श बनाने वाले पहले व्यक्ति थे और सबसे पहले अप्राप्य भौतिक घटनाओं की एक यंत्रवत व्याख्या को पूरी तरह से गणितीय करने के लिए, और इन कारणों से ह्यूजेंस को पहला सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी और आधुनिक गणितीय भौतिकी के संस्थापक में से एक माना जाता है।<ref>Dijksterhuis, F. J. (2008). Stevin, Huygens and the Dutch republic. ''Nieuw archief voor wiskunde, 5,'' pp. 100-107. https://research.utwente.nl/files/6673130/Dijksterhuis_naw5-2008-09-2-100.pdf</ref><ref>Andreessen, C.D. (2005) ''Huygens: The Man Behind the Principle''. Cambridge University Press: 6</ref> | |||
न्यूटन के एक पुराने समकालीन, क्रिस्टियान ह्यूजेंस, मापदंडों के | |||
'''<big>न्यूटोनियन और पोस्ट न्यूटनियन</big>''' | |||
=== | इस युग में, कलन (कैलकुलस) में महत्वपूर्ण अवधारणाएं जैसे कि कलन (कैलकुलस) की मौलिक प्रमेय (स्कॉटिश गणितज्ञ जेम्स ग्रेगरी द्वारा 1668 में सिद्ध<ref name="geometriae">{{cite book| last=Gregory | first=James | title=Geometriae Pars Universalis | url=https://archive.org/details/gregory_universalis | publisher= Patavii: typis heredum Pauli Frambotti | year=1668 | location=[[Museo Galileo]] }}</ref>) और फ़र्मेट के प्रमेय (फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट द्वारा) का उपयोग करके विभेदन के माध्यम से कार्यों की एक्स्ट्रेमा और मिनिमा का पता लगाना पहले से ही लीबनिज़ और न्यूटन से पहले जाना जाता था।आइजैक न्यूटन (1642-1727) ने कलन (कैलकुलस) में कुछ अवधारणाएं विकसित कीं (हालांकि गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज ने भौतिकी के संदर्भ के बाहर समान अवधारणाएं विकसित कीं) और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए न्यूटन की विधि अपनाया था। वह गति के सिद्धांत के लिए कलन के अपने आवेदन में बेहद सफल रहे थे। 1687 में प्रकाशित उनके प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों में दिखाए गए न्यूटन के गति के सिद्धांत,<ref>{{citation|contribution=The Mathematical Principles of Natural Philosophy|title=Encyclopædia Britannica|place=London|contribution-url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/369153/The-Mathematical-Principles-of-Natural-Philosophy}}</ref> ने गति के तीन गैलिलियन नियमों के साथ-साथ न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को निरपेक्ष स्थान के ढांचे पर तैयार किया - न्यूटन द्वारा भौतिक रूप से वास्तविक इकाई के रूप में परिकल्पित यूक्लिडियन ज्यामितीय संरचना सभी दिशाओं में असीम रूप से फैली हुई है - निरपेक्ष समय को मानते हुए, निरपेक्ष गति के ज्ञान को निरपेक्ष स्थान के संबंध में वस्तु की गति को माना जाता है। गैलीलियन अपरिवर्तनीयता/सापेक्षता का सिद्धांत न्यूटन के गति के सिद्धांत में केवल निहित था। गति के केपलरियन खगोलीय नियमों के साथ-साथ गति के गैलीलियन स्थलीय नियमों को एक एकीकृत बल में कम करके, न्यूटन ने महान गणितीय कठोरता, लेकिन सैद्धांतिक शिथिलता के साथ हासिल की।<ref name="Lakatos1980">Imre Lakatos, auth, Worrall J & Currie G, eds, ''The Methodology of Scientific Research Programmes: Volume 1: Philosophical Papers'' (Cambridge: Cambridge University Press, 1980), pp [https://books.google.com/books?id=RRniFBI8Gi4C&pg=PA213 213–214], [https://books.google.com/books?id=RRniFBI8Gi4C&pg=PA220 220]</ref> | ||
18वीं शताब्दी में, स्विस डेनियल बर्नौली (1700-1782) ने द्रव गतिकी और कंपन स्ट्रिंग्स में योगदान दिया था। स्विस लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) ने परिवर्तनशील कलन, गतिकी, द्रव गतिकी और अन्य क्षेत्रों में विशेष कार्य किया था। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में काम के लिए इतालवी में जन्मे फ्रांसीसी, जोसेफ-लुई लैग्रेंज (1736-1813) भी उल्लेखनीय थे उन्होंने लैग्रैंगियन यांत्रिकी तैयार किया) और परिवर्तनशील तरीके पर काम किया था। हैमिल्टनियन गतिकी नामक विश्लेषणात्मक गतिकी के निर्माण में एक प्रमुख योगदान आयरिश भौतिक विज्ञानी, खगोलशास्त्री और गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन (1805-1865) द्वारा भी किया गया था। क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी सहित भौतिकी में आधुनिक सिद्धांतों के निर्माण में हैमिल्टनियन गतिकी ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। फ्रांसीसी गणितीय भौतिक विज्ञानी जोसेफ फूरियर (1768 - 1830) ने गर्मी समीकरण को हल करने के लिए फूरियर श्रृंखला की धारणा की शुरुआत की, जिससे अभिन्न परिवर्तनों के माध्यम से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक नए दृष्टिकोण को जन्म दिया गया था। | |||