विविक्त गणित: Difference between revisions

Latest revision as of 16:28, 24 August 2023

इस तरह के रेखांकन असतत गणित द्वारा अध्ययन की गई वस्तुओं में से हैं, उनके दिलचस्प गणितीय गुणों के लिए, वास्तविक दुनिया की समस्याओं के मॉडल के रूप में उनकी उपयोगिता, और कंप्यूटर एल्गोरिदम विकसित करने में उनके महत्व।

विविक्त गणित(डिस्क्रीट मैथ) गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जिसे निरंतर के बजाय परिवर्तनशील माना जा सकता हैI असतत यानि अनिरन्तर गणित में अध्ययन की गई वस्तुओं में पूर्णांक, रेखांकन और तर्क शामिल हैं।^[1]^[2]^[3]^[4] इसके विपरीत असतत गणित निरंतर गणित जैसे वास्तविक संख्या, कैलकुलस या यूक्लिडियन ज्यामिति विषयों को बाहर करता है।असतत वस्तुओं को अक्सर पूर्णांक द्वारा गणना की जा सकती हैI अधिक औपचारिक रूप से असतत गणित को गणित की शाखा के रूप में चित्रित किया गया है।^[5] हालांकि असतत या अनिरन्तर गणित शब्द की कोई सटीक परिभाषा नहीं है।^[6]

असतत या अनिरन्तर गणित में अध्ययन किये गए तथ्यों का सेट परिमित या अनंत हो सकता है। परिमित गणित शब्द कभी -कभी असतत गणित के क्षेत्र के कुछ हिस्सों पर लागू होता है जो परिमित सेटों से संबंधित होता हैI विशेष रूप से उन क्षेत्रों में जो व्यवसाय के लिए प्रासंगिक हैं।

असतत गणित में अनुसंधान बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में आंशिक रूप से डिजिटल कंप्यूटरों के विकास के कारण बढ़ा जो असतत चरणों में काम करता है और असतत बिट्स में डेटा स्टोर करता है। असतत गणित से अवधारणाएं और सूचनाए कंप्यूटर विज्ञान की शाखाओं में वस्तुओं और समस्याओं का अध्ययन करने और उनका वर्णन करने में उपयोगी हैंI जैसे कि सॉफ्टवेयर विकसित करने के लिए कंप्यूटर एल्गोरिदम, प्रोग्रामिंग भाषाएं, क्रिप्टोग्राफी, स्वचालित प्रमेय जैसे विषयों को प्राथमिकता दी गयीI इसके विपरीत कंप्यूटर कार्यान्वयन की असतत गणित से लेकर वास्तविक दुनिया के विचारों को लागू करने में महत्वपूर्ण रही हैI

यद्यपि असतत गणित में अध्ययन की मुख्य वस्तुएं असतत वस्तुएं हैंI निरंतर गणित से अक्सर विश्लेषणात्मक तरीकों को नियोजित किया जाता है।

विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रम में असतत गणित विषय 1980 के दशक में प्रकाश में आयाI शुरू में कंप्यूटर विज्ञान समर्थित पाठ्यक्रम के रूप में विषय योजनाहीन था I इसके बाद पाठ्यक्रम एसीएम और एमएए द्वारा एक पाठ्यक्रम में प्रयासों के साथ संयोजन के रूप में विकसित हुआ है जो मूल रूप से प्रथम वर्ष के छात्रों में गणितीय परिपक्वता विकसित करने के लिए बनाया गया थाI इसलिए वर्तमान परिप्रेक्ष्य में देखा जाए तो कुछ विश्वविद्यालयों में गणित प्रमुख जरूरी विषय के तौर पर हैI ^[7]^[8] वहीं दूसरी ओर हाई स्कूल स्तर पर असतत गणित पाठ्यक्रम की पाठ्यपुस्तकें भी दिखाई दी हैं।^[9] इस स्तर पर असतत गणित को कभी -कभी एक प्रारंभिक पाठ्यक्रम के रूप में देखा जाता हैI ^[10]

असतत गणित में उत्कृष्ट पत्रों के लिए फुलकर्सन पुरस्कार से सम्मानित किया जाता है।

भव्य चुनौतियां, अतीत और वर्तमान

File:Four Colour Map Example.svg

ग्राफ सिद्धांत में बहुत शोध यह साबित करने के प्रयासों से प्रेरित था कि सभी नक्शे, जैसे कि एक, केवल चार रंगों का उपयोग करके रंगीन किया जा सकता है ताकि एक ही रंग के कोई भी क्षेत्र एक किनारे साझा न करें।केनेथ एपेल और वोल्फगैंग हैकेन ने 1976 में यह साबित किया।^[11]

असतत या अनिरंतर गणित के इतिहास में कई चुनौतीपूर्ण समस्याएं शामिल हैंI जिनका उद्देश्य क्षेत्रफल के क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित करना थाI असतत गणित में ग्राफ सिद्धांत में चार रंग प्रमेय की थ्योरी को साबित करने के लिए काफी शोध किये गए I सर्वप्रथम1852 में (केनेथ एपेल और वोल्फगैंग हैकेन द्वारा पर्याप्त कंप्यूटर सहायता का उपयोग करके^[11]इस थ्योरी की चर्चा हुई थी लेकिन 1976 तक यह विषय प्रमाणित नहीं हो सका थाI

दूरसंचार उद्योग ने भी असतत या अनिरंतर गणित में विशेष रूप से ग्राफ सिद्धांत और सूचना सिद्धांत में गति को प्रेरित किया हैI अनिरन्तर गणित के सन्दर्भ में जो तर्क प्रस्तुत किये गए हैं वे औपचारिक सत्यापन सुरक्षा एवं आलोचनात्मक प्रणाली के लिए विकसित किये गए सॉफ्टवेयर डेवलपमेंट के लिए जरुरी प्रक्रिया साबित हुई है.

कम्प्यूटेशनल ज्यामितीय आधुनिक वीडियो गेम एवं कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन टूल में संयोजित कंप्यूटर ग्राफ़िक्स का महत्वपूर्ण हिस्सा रहा है.

असतत गणित के कई क्षेत्र विशेष रूप से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, ग्राफ सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स से संबंधित समस्याओं को संबोधित करने में महत्वपूर्ण साबित हुआ है ।^[12]

वर्तमान में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में पी = एनपी समस्या चुनौतीपूर्ण साबित हुई हैI जिसमें वर्ग पी और एनपी के बीच संबंध स्थापित है। क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट ने छह अन्य गणितीय समस्याओं के सही प्रमाण के लिए $1 मिलियन USD पुरस्कार की पेशकश की है।^[13]

असतत गणित में विषय

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान

File:Sorting quicksort anim.gif

जटिलता एल्गोरिदम द्वारा लिए गए समय का अध्ययन करती है, जैसे कि इस छँटाई दिनचर्या।

File:SimplexRangeSearching.svg

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व के लिए कंप्यूटर एल्गोरिदम को लागू करता है।

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कंप्यूटिंग के लिए प्रासंगिक असतत या अनिरन्तर गणित के क्षेत्र शामिल हैंI यह ग्राफ सिद्धांत और गणितीय तर्क पर भारी पड़ता हैI सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के भीतर शामिल एल्गोरिदम और डेटा संरचनाओं का एक अध्ययन है। कम्प्यूटिबिलिटी अध्ययन जिसकी सैद्धांतिक रूप से गणना की जाती हैI जिसका तर्क के साथ घनिष्ठ संबंध हैI जबकि सैद्धांतिक कंप्यूटर की जटिलता गणना द्वारा लिए गए समय, स्थान और अन्य संसाधनों का अध्ययन करती है।ऑटोमेटा सिद्धांत और औपचारिक भाषा सिद्धांत कम्प्यूटिबिलिटी से निकटता से संबंधित हैं। पेट्री नेट और प्रक्रिया बीजगणित (प्रोसेस एल्जेब्रा) का उपयोग मॉडल कंप्यूटर सिस्टम के लिए किया जाता हैI असतत या अनिरन्तर गणित के तरीकों का उपयोग वीएलएसआई इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का विश्लेषण करने में किया जाता है। कम्प्यूटेशनल ज्यामितीय समस्याओं और ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व के लिए एल्गोरिदम को लागू किया जाता हैI सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न निरंतर कम्प्यूटेशनल विषयों का अध्ययन किया जाता है।

सूचना सिद्धांत

File:WikipediaBinary.svg

बाइनरी में यहां दिए गए विकिपीडिया शब्द के लिए ASCII कोड, सूचना सिद्धांत में शब्द का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका प्रदान करते हैं, साथ ही साथ सूचना-प्रसंस्करण एल्गोरिदम के लिए भी।

सूचना सिद्धांत में सूचना का परिमाणीकरण शामिल हैI कोडिंग सिद्धांत निकटता से संबंधित है जिसका उपयोग कुशल और विश्वसनीय डेटा ट्रांसमिशन और भंडारण विधियों को डिजाइन करने के लिए किया जाता हैI

सूचना सिद्धांत में निरंतर विषय जैसे: एनालॉग सिग्नल, एनालॉग कोडिंग, एनालॉग एन्क्रिप्शन जैसे विषय शामिल हैं

तर्क

तर्क वैध तर्क और अनुमान के सिद्धांतों के साथ -साथ स्थिरता, ध्वनि और पूर्णता के सिद्धांतों का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए तर्क की अधिकांश प्रणालियों में (लेकिन अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं) पेयर्स का नियम ((P → Q) → P) → P) एक प्रमेय है। शास्त्रीय तर्क के लिए इसे एक सत्य तालिका के साथ आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। गणितीय प्रमाण का अध्ययन तर्क में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैI इसमें स्वचालित प्रमेय साबित करने और सॉफ्टवेयर के औपचारिक सत्यापन के लिए एक अनुप्रयोग हैI

तार्किक सूत्र असतत संरचनाएं हैं जो परिमित वृक्ष का एक प्रारूप बनाते हैं I तार्किक सूत्रों के सत्य मूल्य आमतौर पर एक परिमित सेट बनाते हैं जो आम तौर पर दो मूल्यों सही और गलत तक सीमित होते हैंI तर्क भी निरंतर-मूल्यवान हो सकता हैI इस थ्योरी के अंतर्गत पेड़ों के अनंत प्रमाण या अनंत व्युत्पत्ति जैसी अवधारणाओं का भी अध्ययन किया गया हैI^[14]

सेट सिद्धांत

सेट थ्योरी गणित की वह शाखा है जो सेट का अध्ययन करती हैI जो नीला, सफेद, लाल या अनंत सभी प्रमुख संख्याओं के सेट का वस्तुओं का संग्रह हैI आंशिक रूप से आदेशित सेट और अन्य संबंधों के साथ सेट के कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग देखने को मिलते हैंI

असतत गणित में काउंटेबल सेट मुख्य फोकस है।गणित की एक शाखा के रूप में सेट सिद्धांत की शुरुआत आमतौर पर जॉर्ज कैंटर के काम द्वारा विभिन्न प्रकार के अनंत सेट के बीच अंतर करती हैI जो त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अध्ययन से प्रेरित हैI अनंत सेट के सिद्धांत का विकास असतत गणित के दायरे से बाहर है। वास्तव में वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के समान परम्परगत निरन्तर गणित का विस्तृत उपयोग होता हैI

कॉम्बिनेटरिक्स

कॉम्बीनेटरिक्स उस तरीके से अध्ययन करता है जिसमें असतत संरचनाओं को संयुक्त या व्यवस्थित किया जा सकता है।

कुछ कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट्स की संख्या की गिनती पर ध्यान केंद्रित करता हैI उदहारण के लिए ऐनुमेराटीव कॉम्बिनेटरिक्स संयोजनों और विभाजन की गिनती के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है।

विश्लेषणात्मक कॉम्बीनेटरिक्स जटिल विश्लेषण और संभावना सिद्धांत से उपकरणों का उपयोग करके कॉम्बीनेटरियल संरचनाओं की गणना (यानी, संख्या का निर्धारण) करता है। एन्यूमरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स के विपरीत जो स्पष्ट कॉम्बिनेटरियल फॉर्मूलों का उपयोग करता है एवं परिणामों का वर्णन करने के लिए कार्यों को उत्पन्न करता हैI विश्लेषणात्मक कॉम्बिनेटरिक्स का उद्देश्य एसिम्प्टोटिक सूत्र प्राप्त करना है।

टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स को कॉम्बिनेटरिक्स में टोपोलॉजी, बीजीयिक टोपोलॉजी, कॉम्बीनेटरियल टोपोलॉजी जैसी तकनीक का प्रयोग करती हैI

डिजाइन सिद्धांत कॉम्बिनेटरियल डिजाइनों का एक अध्ययन है जो कुछ गुणों के साथ सबसेट के संग्रह में शामिल हैंI विभाजन सिद्धांत पूर्णांक विभाजन से संबंधित विभिन्न गणना और स्पर्शोन्मुख समस्याओं का अध्ययन करता हैI यह क्यू-सीरीज़, विशेष कार्यों और ऑर्थोगोनल बहुपदों से निकटता से संबंधित है। मूल रूप से संख्या सिद्धांत और विश्लेषण का हिस्सा एवं विभाजन सिद्धांत को कॉम्बिनेटरिक्स या स्वतंत्र क्षेत्र का हिस्सा माना जाता है।

कॉम्बीनेटरिक्स थ्योरी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों का अध्ययन हैI

ग्राफ सिद्धांत

File:TruncatedTetrahedron.gif

ग्राफ सिद्धांत के समूह सिद्धांत के करीबी लिंक हैं।यह छंटनी टेट्राहेड्रोन ग्राफ वैकल्पिक समूह ए से संबंधित है₄।

ग्राफ सिद्धांत ग्राफ़ और नेटवर्क का अध्ययन अक्सर कॉम्बिनेटरिक्स का हिस्सा माना जाता हैI^[15] असतत या अनिरन्तर गणित में रेखांकन विषय प्रमुख अध्ययन में से एक है। वे प्राकृतिक और मानव निर्मित दोनों संरचनाओं के सबसे सर्वव्यापी मॉडल में से हैं। वे ग्राफ सिद्धांत के कई सारे संबंधो को एकीकृत कर सकते हैं एवं भौतिक, जैविक और सामाजिक प्रणालियों में गतिशीलता को प्रतिरूपित कर सकते हैं I कंप्यूटर विज्ञान में रेखांकन संचार डेटा संगठन, कम्प्यूटेशनल उपकरणों, संगणना का प्रवाह, आदि के नेटवर्क का प्रतिनिधित्व कर सकते हैंI गणित ज्यामितीय और टोपोलॉजी के कुछ भागों में उपयोगी होते हैंI बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत में समूह सिद्धांत घनिष्ठ रूप से संबंधित होते हैंI टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत में टोपोलॉजी और रेखांकन में करीबी संबंध हैI हालांकि,अधिकांश भाग के लिए ग्राफ सिद्धांत में अनुसंधान असतत,अनिरन्तर या परिवर्तनशील गणित के क्षेत्र के अंतर्गत आता है।

संख्या सिद्धांत

File:Ulam 1.png

नंबरों का उलम सर्पिल, काले पिक्सेल के साथ प्रमुख संख्या दिखाते हैं।यह आरेख प्राइम नंबरों के वितरण में पैटर्न पर संकेत देता है।

संख्या सिद्धांत सामान्य रूप से संख्याओं के गुणों विशेष रूप से पूर्णांकसे संबंधित हैI इसमें क्रिप्टोग्राफी और क्रिप्टेनालिसिस के लिए विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित, डायोफेंटाइन समीकरणों, रैखिक और द्विघात बधाई, प्रमुख संख्या और आदिमता परीक्षण के संबंध में अप्रयोग हैंI ।संख्या सिद्धांत के अन्य असतत पहलुओं में संख्याओं की ज्यामिति शामिल है।विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में, निरंतर गणित की तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।असतत वस्तुओं से परे जाने वाले विषयों में ट्रान्सेंडैंटल नंबर, डायोफेंटाइन सन्निकटन, पी-एडिक विश्लेषण और फ़ंक्शन फ़ील्ड शामिल हैं।

बीजगणितीय संरचनाएं

बीजगणितीय संरचनाएं असतत उदाहरणों और निरंतर उदाहरण दोनों के रूप में होती हैं।असतत बीजगणित में शामिल हैं: बूलियन बीजगणित लॉजिक गेट्स और प्रोग्रामिंग में उपयोग किया जाता हैI डेटाबेस में उपयोग किए जाने वाले संबंधपरक बीजगणित समूहों, छल्ले और क्षेत्रों के असतत और परिमित संस्करण बीजगणितीय कोडिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैंI असतत सेमीग्रुप और मोनोइड औपचारिक भाषाओं के सिद्धांत में दिखाई देते हैं।

निरंतर गणित के असतत एनालॉग्स

निरंतर गणित में कई अवधारणाएं और सिद्धांत हैं जिनमें असतत संस्करण हैं जैसे कि असतत कैलकुलस, असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म, असतत ज्यामिति, असतत लॉगरिदम, असतत अंतर ज्यामिति, असतत बाहरी पथरी, असतत मोर्स सिद्धांत, असतत अनुकूलन, असतत संभावना सिद्धांत, असतत संभावना, असततवितरण, अंतर समीकरण, असतत डायनेमिक सिस्टम, और शापले -टोकमैन लेम्मा#संभाव्यता और माप सिद्धांत |

आमतौर पर असतत गणित में पूर्णांक के अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन को एक अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम डेटा स्रोत से एक परिमित अनुक्रम या असतत गतिशील प्रणाली से अनंत अनुक्रम की गणना कि जा सकती है I इस तरह के असतत फ़ंक्शन को एक सूची द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता हैI इसके सामान्य शब्द के लिए एक सूत्र द्वारा या इसे पुनरावृत्ति संबंध या अंतर समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप दिया जा सकता है। अंतर समीकरण अंतर समीकरणों के समान हैं लेकिन आसन्न शर्तों के बीच अंतर लेकर भेदभाव को बदलें उनका उपयोग अंतर समीकरणों को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है I अंतर समीकरणों से संबंधित कई प्रश्नों और विधियों में अंतर समीकरणों के लिए समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए जहां निरंतर कार्यों या एनालॉग संकेतों का अध्ययन करने के लिए हार्मोनिक विश्लेषण में अभिन्न रूपांतरण होते हैं वहां असतत कार्यों या डिजिटल संकेतों के लिए असतत रूपांतरण होते हैं। साथ ही असतत मीट्रिक रिक्त स्थान अधिक सामान्य असतत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, परिमित मीट्रिक स्थान, परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान निहित होते हैं।

असतत ज्यामिति

असतत ज्यामिति और कॉम्बिनेटरियल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के असतत संग्रह के संयोजन गुणों के बारे में हैं।असतत ज्यामिति में एक लंबे समय से चली आ रही विषय विमान की टाइलिंग है। बीजगणितीय ज्यामिति में एक वक्र की अवधारणा को उस क्षेत्र पर एफिन रिक्त स्थान के मॉडल होने के लिए परिमित क्षेत्रों पर बहुपद रिंगों के स्पेक्ट्रा को ले जाकर ज्यामिति को असतत करने के लिए बढ़ाया जा सकता हैI यद्यपि जिस स्थान पर वक्र दिखाई देते हैं उसमें एक परिमित संख्या में अंक होते हैंI निरंतर सेटिंग्स में वक्रों के एनालॉग्स के रूप में वक्र बिंदुओं के इतने सेट नहीं होते हैंI उदाहरण के लिए, फॉर्म के प्रत्येक बिंदु $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ के लिये $K$ एक क्षेत्र का या तो अध्ययन किया जा सकता है $\operatorname {Spec} K[x]/(x-c)\cong \operatorname {Spec} K$ , एक बिंदु, या स्पेक्ट्रम के रूप में $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ (एक्स-सी) पर स्थानीय रिंग में इसके चारों ओर एक बिंदुबीज निहित होता है I गणितीय किस्मों में स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की अच्छी तरह से परिभाषित की जाने वाली धारणा होती है जिसे ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है जो परिमित सेटिंग्स में भी कैलकुलस की कई विशेषताएं लागू होती है।

असतत मॉडलिंग

व्यवहारिक गणित में असतत मॉडलिंग निरंतर मॉडलिंग का असतत एनालॉग है।असतत मॉडलिंग में असतत सूत्र डेटा के लिए फिट हैं।मॉडलिंग के इस रूप में एक सामान्य विधि पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना है।विवेकाधीन निरंतर मॉडल और समीकरणों को असतत समकक्षों में स्थानांतरित करने की प्रक्रिया की चिंता करता हैI अक्सर अनुमानों का उपयोग करके गणना को आसान बनाने के उद्देश्यों के लिए संख्यात्मक विश्लेषण महत्वपूर्ण भूमिका निभाता हैI

यह भी देखें

असतत गणित की रूपरेखा
Cyberchase, एक शो जो बच्चों को असतत गणित सिखाता है

संदर्भ

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↑ Franklin, James (2017). "Discrete and continuous: a fundamental dichotomy in mathematics". Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18. Retrieved 30 June 2021.
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अग्रिम पठन

Norman L. Biggs (2002-12-19). Discrete Mathematics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850717-8.
John Dwyer (2010). An Introduction to Discrete Mathematics for Business & Computing. ISBN 978-1-907934-00-1.
Susanna S. Epp (2010-08-04). Discrete Mathematics With Applications. Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-39132-6.
Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics.
Ralph P. Grimaldi (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
Donald E. Knuth (2011-03-03). The Art of Computer Programming, Volumes 1-4a Boxed Set. Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-321-75104-1.
Jiří Matoušek; Jaroslav Nešetřil (1998). Discrete Mathematics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850208-1.
Obrenic, Bojana (2003-01-29). Practice Problems in Discrete Mathematics. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045803-2.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (2000). Hand Book of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC PressI Llc. ISBN 978-0-8493-0149-0.
Kenneth H. Rosen (2007). Discrete Mathematics: And Its Applications. McGraw-Hill College. ISBN 978-0-07-288008-3.
Andrew Simpson (2002). Discrete Mathematics by Example. McGraw-Hill Incorporated. ISBN 978-0-07-709840-7.

बाहरी संबंध

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Discrete mathematics at the utk.edu Mathematics Archives, providing links to syllabi, tutorials, programs, etc.
Iowa Central: Electrical Technologies Program Discrete mathematics for Electrical engineering.

[1] Richard Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice Hall, 2008.

[2] Franklin, James (2017). "Discrete and continuous: a fundamental dichotomy in mathematics". Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18. Retrieved 30 June 2021.

[3] Weisstein, Eric W. "Discrete mathematics". MathWorld.

[4] "Discrete Structures: What is Discrete Math?". cse.buffalo.edu. Retrieved 16 November 2018.

[5] Biggs, Norman L. (2002), Discrete mathematics, Oxford Science Publications (2nd ed.), New York: The Clarendon Press Oxford University Press, p. 89, ISBN 9780198507178, MR 1078626, Discrete Mathematics is the branch of Mathematics in which we deal with questions involving finite or countably infinite sets.

[6] Brian Hopkins, Resources for Teaching Discrete Mathematics, Mathematical Association of America, 2008.

[LevasseurDoerr-7] Ken Levasseur; Al Doerr. Applied Discrete Structures. p. 8.

[Howson1988-8] Albert Geoffrey Howson, ed. (1988). Mathematics as a Service Subject. Cambridge University Press. pp. 77–78. ISBN 978-0-521-35395-3.

[Rosenstein-9] Joseph G. Rosenstein. Discrete Mathematics in the Schools. American Mathematical Soc. p. 323. ISBN 978-0-8218-8578-9.

[10] "UCSMP". uchicago.edu.

[4colors-11] 11.0 ^11.1 Wilson, Robin (2002). Four Colors Suffice. London: Penguin Books. ISBN 978-0-691-11533-7.

[12] Trevor R. Hodkinson; John A. N. Parnell (2007). Reconstruction the Tree of Life: Taxonomy And Systematics of Large And Species Rich Taxa. CRC PressINC. p. 97. ISBN 978-0-8493-9579-6.

[CMI_Millennium_Prize_Problems-13] "Millennium Prize Problems". 2000-05-24. Retrieved 2008-01-12.

[14] Brotherston, J.; Bornat, R.; Calcagno, C. (January 2008). "Cyclic proofs of program termination in separation logic". ACM SIGPLAN Notices. 43 (1): 101–112. CiteSeerX 10.1.1.111.1105. doi:10.1145/1328897.1328453.

[15] Graphs on Surfaces, Bojan Mohar and Carsten Thomassen, Johns Hopkins University press, 2001

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-असतत गणित (डिस्क्रीट मैथ) गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जिसे निरंतर के बजाय परिवर्तनशील माना जा सकता हैI  असतत यानि अनिरन्तर गणित में अध्ययन की गई वस्तुओं में पूर्णांक, रेखांकन और तर्क शामिल हैं।<ref>[[Richard Johnsonbaugh]], ''Discrete Mathematics'', Prentice Hall, 2008.</ref><ref>{{cite journal |last1=Franklin |first1=James |authorlink=James Franklin (philosopher) |date=2017 |title=Discrete and continuous: a fundamental dichotomy in mathematics |url=https://scholarship.claremont.edu/jhm/vol7/iss2/18/ |journal=Journal of Humanistic Mathematics |volume=7 |issue=2 |pages=355–378 |doi=10.5642/jhummath.201702.18 |access-date=30 June 2021}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Discrete mathematics |urlname=DiscreteMathematics}}</ref><ref>{{cite web |url=https://cse.buffalo.edu/~rapaport/191/S09/whatisdiscmath.html |title=Discrete Structures: What is Discrete Math? |website=cse.buffalo.edu |access-date=16 November 2018}}</ref> इसके विपरीत असतत गणित निरंतर गणित जैसे वास्तविक संख्या, कैलकुलस या यूक्लिडियन ज्यामिति विषयों को बाहर करता है।असतत वस्तुओं को अक्सर पूर्णांक द्वारा गणना की जा सकती हैI अधिक औपचारिक रूप से असतत गणित को गणित की शाखा के रूप में चित्रित किया गया है।<ref>{{citation
+'''विविक्त गणित'''(डिस्क्रीट मैथ) गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जिसे निरंतर के बजाय परिवर्तनशील माना जा सकता हैI  असतत यानि अनिरन्तर गणित में अध्ययन की गई वस्तुओं में पूर्णांक, रेखांकन और तर्क शामिल हैं।<ref>[[Richard Johnsonbaugh]], ''Discrete Mathematics'', Prentice Hall, 2008.</ref><ref>{{cite journal |last1=Franklin |first1=James |authorlink=James Franklin (philosopher) |date=2017 |title=Discrete and continuous: a fundamental dichotomy in mathematics |url=https://scholarship.claremont.edu/jhm/vol7/iss2/18/ |journal=Journal of Humanistic Mathematics |volume=7 |issue=2 |pages=355–378 |doi=10.5642/jhummath.201702.18 |access-date=30 June 2021}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Discrete mathematics |urlname=DiscreteMathematics}}</ref><ref>{{cite web |url=https://cse.buffalo.edu/~rapaport/191/S09/whatisdiscmath.html |title=Discrete Structures: What is Discrete Math? |website=cse.buffalo.edu |access-date=16 November 2018}}</ref> इसके विपरीत असतत गणित निरंतर गणित जैसे वास्तविक संख्या, कैलकुलस या यूक्लिडियन ज्यामिति विषयों को बाहर करता है।असतत वस्तुओं को अक्सर पूर्णांक द्वारा गणना की जा सकती हैI अधिक औपचारिक रूप से असतत गणित को गणित की शाखा के रूप में चित्रित किया गया है।<ref>{{citation
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+=== सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान ===
 {{Main|Theoretical computer science}}
 [[File:Sorting quicksort anim.gif|right|thumb|210px|जटिलता एल्गोरिदम द्वारा लिए गए समय का अध्ययन करती है, जैसे कि इस छँटाई दिनचर्या।]]
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 [[File:SimplexRangeSearching.svg|left|thumb|150px|कम्प्यूटेशनल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व के लिए कंप्यूटर एल्गोरिदम को लागू करता है।]]
 सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कंप्यूटिंग के लिए प्रासंगिक असतत या अनिरन्तर गणित के क्षेत्र शामिल हैंI  यह ग्राफ सिद्धांत और गणितीय तर्क पर भारी पड़ता हैI सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के भीतर शामिल एल्गोरिदम और डेटा संरचनाओं का एक अध्ययन है। कम्प्यूटिबिलिटी अध्ययन जिसकी सैद्धांतिक रूप से गणना की जाती हैI जिसका तर्क के साथ घनिष्ठ संबंध हैI जबकि सैद्धांतिक कंप्यूटर की जटिलता गणना द्वारा लिए गए समय, स्थान और अन्य संसाधनों का अध्ययन करती है।ऑटोमेटा सिद्धांत और औपचारिक भाषा सिद्धांत कम्प्यूटिबिलिटी से निकटता से संबंधित हैं।  पेट्री नेट और प्रक्रिया बीजगणित (प्रोसेस एल्जेब्रा) का उपयोग मॉडल कंप्यूटर सिस्टम के लिए किया जाता हैI असतत या अनिरन्तर गणित के तरीकों का उपयोग वीएलएसआई इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का विश्लेषण करने में किया जाता है। कम्प्यूटेशनल ज्यामितीय समस्याओं और ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व के लिए एल्गोरिदम को लागू किया जाता हैI सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न निरंतर कम्प्यूटेशनल विषयों का अध्ययन किया जाता है।
 === सूचना सिद्धांत ===
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 सूचना सिद्धांत में निरंतर विषय जैसे: एनालॉग सिग्नल, एनालॉग कोडिंग, एनालॉग एन्क्रिप्शन जैसे विषय शामिल हैं
-=== तर्क ====
+=== तर्क ===
 {{Main|Mathematical logic}}
 तर्क वैध तर्क और अनुमान के सिद्धांतों के साथ -साथ स्थिरता, ध्वनि और पूर्णता के सिद्धांतों का अध्ययन किया जाता है। उदाहरण के लिए तर्क की अधिकांश प्रणालियों में (लेकिन अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं) पेयर्स का नियम ((P → Q) → P) → P) एक प्रमेय है। शास्त्रीय तर्क के लिए इसे एक सत्य तालिका के साथ आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। गणितीय प्रमाण का अध्ययन तर्क में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैI इसमें स्वचालित प्रमेय साबित करने और सॉफ्टवेयर के औपचारिक सत्यापन के लिए एक अनुप्रयोग हैI
 तार्किक सूत्र असतत संरचनाएं हैं जो परिमित वृक्ष का एक प्रारूप बनाते हैं I तार्किक सूत्रों के सत्य मूल्य आमतौर पर एक परिमित सेट बनाते हैं जो आम तौर पर दो मूल्यों सही और गलत तक सीमित होते हैंI  तर्क भी निरंतर-मूल्यवान हो सकता हैI इस थ्योरी के अंतर्गत पेड़ों के अनंत प्रमाण या अनंत व्युत्पत्ति जैसी अवधारणाओं का भी अध्ययन किया गया हैI<ref>{{cite journal | citeseerx = 10.1.1.111.1105 | title = Cyclic proofs of program termination in separation logic | first1 = J. | last1 = Brotherston | first2 = R. | last2 = Bornat | first3 = C. | last3 = Calcagno | journal = ACM SIGPLAN Notices | volume = 43 | issue = 1 |date=January 2008 | pages = 101–112 | doi = 10.1145/1328897.1328453 }}</ref>
 === सेट सिद्धांत ===
 {{Main|Set theory}}
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 असतत गणित में काउंटेबल सेट मुख्य फोकस है।गणित की एक शाखा के रूप में सेट सिद्धांत की शुरुआत आमतौर पर जॉर्ज कैंटर के काम द्वारा विभिन्न प्रकार के अनंत सेट के बीच अंतर करती हैI जो त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अध्ययन से प्रेरित हैI अनंत सेट के सिद्धांत का विकास असतत गणित के दायरे से बाहर है। वास्तव में वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के समान परम्परगत निरन्तर गणित का विस्तृत उपयोग होता हैI
-=== कॉम्बिनेटरिक्स ====
+=== कॉम्बिनेटरिक्स ===
 {{Main|Combinatorics}}
 कॉम्बीनेटरिक्स उस तरीके से अध्ययन करता है जिसमें असतत संरचनाओं को संयुक्त या व्यवस्थित किया जा सकता है।
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 निरंतर गणित में कई अवधारणाएं और सिद्धांत हैं जिनमें असतत संस्करण हैं जैसे कि असतत कैलकुलस, असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म, असतत ज्यामिति, असतत लॉगरिदम, असतत अंतर ज्यामिति, असतत बाहरी पथरी, असतत मोर्स सिद्धांत, असतत अनुकूलन, असतत संभावना सिद्धांत, असतत संभावना, असततवितरण, अंतर समीकरण, असतत डायनेमिक सिस्टम, और शापले -टोकमैन लेम्मा#संभाव्यता और माप सिद्धांत |
-==== परिमित अंतर, असतत विश्लेषण, और असतत कैलकुलस ==== का पथरी
+आमतौर पर असतत गणित में पूर्णांक के अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन को एक अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम डेटा स्रोत से एक परिमित अनुक्रम या असतत गतिशील प्रणाली से अनंत अनुक्रम की गणना कि जा सकती है I इस तरह के असतत फ़ंक्शन को एक सूची द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता हैI इसके सामान्य शब्द के लिए एक सूत्र द्वारा या इसे पुनरावृत्ति संबंध या अंतर समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप दिया जा सकता है। अंतर समीकरण अंतर समीकरणों के समान हैं लेकिन आसन्न शर्तों के बीच अंतर लेकर भेदभाव को बदलें उनका उपयोग अंतर समीकरणों को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है I अंतर समीकरणों से संबंधित कई प्रश्नों और विधियों में अंतर समीकरणों के लिए समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए जहां निरंतर कार्यों या एनालॉग संकेतों का अध्ययन करने के लिए हार्मोनिक विश्लेषण में अभिन्न रूपांतरण होते हैं वहां असतत कार्यों या डिजिटल संकेतों के लिए असतत रूपांतरण होते हैं। साथ ही असतत मीट्रिक रिक्त स्थान अधिक सामान्य असतत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, परिमित मीट्रिक स्थान, परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान निहित होते हैं।
-असतत कैलकुलस और परिमित अंतरों की पथरी में, पूर्णांक के अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन को आमतौर पर एक अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम डेटा स्रोत से एक परिमित अनुक्रम या असतत गतिशील प्रणाली से अनंत अनुक्रम हो सकता है। इस तरह के असतत फ़ंक्शन को एक सूची द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है (यदि इसका डोमेन परिमित है), या इसके सामान्य शब्द के लिए एक सूत्र द्वारा, या इसे पुनरावृत्ति संबंध या अंतर समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है। अंतर समीकरण अंतर समीकरणों के समान हैं, लेकिन आसन्न शर्तों के बीच अंतर लेकर भेदभाव को बदलें; उनका उपयोग अंतर समीकरणों को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है या (अधिक बार) अपने आप में अध्ययन किया जाता है। अंतर समीकरणों से संबंधित कई प्रश्नों और विधियों में अंतर समीकरणों के लिए समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, जहां निरंतर कार्यों या एनालॉग संकेतों का अध्ययन करने के लिए हार्मोनिक विश्लेषण में अभिन्न रूपांतरण होते हैं, वहां असतत कार्यों या डिजिटल संकेतों के लिए असतत रूपांतरण होते हैं। साथ ही असतत मीट्रिक रिक्त स्थान, अधिक सामान्य असतत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, परिमित मीट्रिक स्थान, परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं।
-समय स्केल कैलकुलस अंतर समीकरणों के साथ अंतर समीकरणों के सिद्धांत का एक एकीकरण है, जिसमें असतत और निरंतर डेटा के एक साथ मॉडलिंग की आवश्यकता वाले क्षेत्रों के लिए अनुप्रयोग हैं। ऐसी स्थिति को मॉडलिंग करने का एक और तरीका हाइब्रिड डायनेमिक सिस्टम की धारणा है।
 ==== असतत ज्यामिति ====
-असतत ज्यामिति और कॉम्बिनेटरियल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के असतत संग्रह के संयोजन गुणों के बारे में हैं।असतत ज्यामिति में एक लंबे समय से चली आ रही विषय विमान की टाइलिंग है।
+असतत ज्यामिति और कॉम्बिनेटरियल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के असतत संग्रह के संयोजन गुणों के बारे में हैं।असतत ज्यामिति में एक लंबे समय से चली आ रही विषय विमान की टाइलिंग है। बीजगणितीय ज्यामिति में एक वक्र की अवधारणा को उस क्षेत्र पर एफिन रिक्त स्थान के मॉडल होने के लिए परिमित क्षेत्रों पर बहुपद रिंगों के स्पेक्ट्रा को ले जाकर ज्यामिति को असतत करने के लिए बढ़ाया जा सकता हैI यद्यपि जिस स्थान पर वक्र दिखाई देते हैं उसमें एक परिमित संख्या में अंक होते हैंI निरंतर सेटिंग्स में वक्रों के एनालॉग्स के रूप में वक्र बिंदुओं के इतने सेट नहीं होते हैंI उदाहरण के लिए, फॉर्म के प्रत्येक बिंदु <math>V(x-c) \subset \operatorname{Spec} K[x] = \mathbb{A}^1</math> के लिये <math>K</math> एक क्षेत्र का या तो अध्ययन किया जा सकता है <math>\operatorname{Spec} K[x]/(x-c) \cong \operatorname{Spec} K</math>, एक बिंदु, या स्पेक्ट्रम के रूप में <math>\operatorname{Spec} K[x]_{(x-c)}</math> (एक्स-सी) पर स्थानीय रिंग में इसके चारों ओर एक बिंदुबीज निहित होता है I गणितीय किस्मों में स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की अच्छी तरह से परिभाषित की जाने वाली धारणा होती है जिसे ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है जो परिमित सेटिंग्स में भी कैलकुलस की कई विशेषताएं लागू होती है।
-बीजगणितीय ज्यामिति में, एक वक्र की अवधारणा को उस क्षेत्र पर एफिन रिक्त स्थान के मॉडल होने के लिए परिमित क्षेत्रों पर बहुपद रिंगों के स्पेक्ट्रा को ले जाकर ज्यामिति को असतत करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, और अन्य छल्ले के उप -भागों या स्पेक्ट्रा को वक्र प्रदान करते हैं जो झूठ बोलते हैं।वह स्थान।यद्यपि जिस स्थान पर वक्र दिखाई देते हैं, उसमें एक परिमित संख्या में अंक होते हैं, वक्र बिंदुओं के इतने सेट नहीं होते हैं कि निरंतर सेटिंग्स में वक्रों के एनालॉग्स के रूप में।उदाहरण के लिए, फॉर्म के प्रत्येक बिंदु <math>V(x-c) \subset \operatorname{Spec} K[x] = \mathbb{A}^1</math> के लिये <math>K</math> एक क्षेत्र का या तो अध्ययन किया जा सकता है <math>\operatorname{Spec} K[x]/(x-c) \cong \operatorname{Spec} K</math>, एक बिंदु, या स्पेक्ट्रम के रूप में <math>\operatorname{Spec} K[x]_{(x-c)}</math> (एक्स-सी) पर स्थानीय रिंग में, इसके चारों ओर एक पड़ोस के साथ एक बिंदु।बीजगणितीय किस्मों में भी स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा होती है जिसे ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है, जो परिमित सेटिंग्स में भी कैलकुलस की कई विशेषताएं लागू होती है।
 ==== असतत मॉडलिंग ====
-लागू गणित में, असतत मॉडलिंग निरंतर मॉडलिंग का असतत एनालॉग है।असतत मॉडलिंग में, असतत सूत्र डेटा के लिए फिट हैं।मॉडलिंग के इस रूप में एक सामान्य विधि पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना है।विवेकाधीन निरंतर मॉडल और समीकरणों को असतत समकक्षों में स्थानांतरित करने की प्रक्रिया की चिंता करता है, अक्सर अनुमानों का उपयोग करके गणना को आसान बनाने के उद्देश्यों के लिए।संख्यात्मक विश्लेषण एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रदान करता है।
+व्यवहारिक गणित में असतत मॉडलिंग निरंतर मॉडलिंग का असतत एनालॉग है।असतत मॉडलिंग में असतत सूत्र डेटा के लिए फिट हैं।मॉडलिंग के इस रूप में एक सामान्य विधि पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना है।विवेकाधीन निरंतर मॉडल और समीकरणों को असतत समकक्षों में स्थानांतरित करने की प्रक्रिया की चिंता करता हैI अक्सर अनुमानों का उपयोग करके गणना को आसान बनाने के उद्देश्यों के लिए संख्यात्मक विश्लेषण महत्वपूर्ण भूमिका निभाता हैI
 == यह भी देखें ==
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 *[http://archives.math.utk.edu/topics/discreteMath.html Discrete mathematics] at the utk.edu Mathematics Archives, providing links to syllabi, tutorials, programs, etc.
 *[http://www.iowacentral.edu/industrial_technology/electrical_technologies/index.asp Iowa Central: Electrical Technologies Program] Discrete mathematics for [[Electrical engineering]].
-{{Areas of mathematics}}
 {{Industrial and applied mathematics}}
 {{Authority control}}
 {{DEFAULTSORT:Discrete Mathematics}}
+[[Category:AC with 0 elements|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Articles with short description|Discrete Mathematics]]
+[[Category:CS1 maint|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Collapse templates|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Commons category link is the pagename|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Lua-based templates|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Machine Translated Page|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Discrete Mathematics]]
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+[[Category:Pages with empty portal template|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Pages with script errors|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Portal-inline template with redlinked portals|Discrete Mathematics]]
+[[Category:Portal templates with redlinked portals|Discrete Mathematics]]
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