संयोजन डिजाइन: Difference between revisions

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{{short description|Symmetric arrangement of finite sets}}
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संयोजन डिज़ाइन सिद्धांत गणित वह भाग है जो [[साहचर्य|परिमित]][[ सेट प्रणाली ]] के अस्तित्व, निर्माण और गुणों से संबंधित है, जिनकी व्यवस्था 'संतुलन' और/या 'समरूपता' की सामान्यीकृत अवधारणाओं को संतुष्ट करती है। इन अवधारणाओं को सटीक नहीं बनाया गया है ताकि एक ही छतरी के नीचे वस्तुओं की विस्तृत श्रृंखला के बारे में सोचा जा सकता है। कभी-कभी इसमें [[ब्लॉक डिजाइन]] के रूप में सेट चौराहे के संख्यात्मक आकार सम्मिलित हो सकते हैं, जबकि दूसरी बार इसमें [[सुडोकू]] ग्रिड के रूप में सरणी में प्रविष्टियों की स्थानिक व्यवस्था सम्मिलित हो सकती है।
'''संयोजन डिज़ाइन''' सिद्धांत गणित वह भाग है जो [[साहचर्य|परिमित]][[ सेट प्रणाली |  सेट की प्रणाली]] के अस्तित्व, निर्माण और गुणों से संबंधित है, जिनकी व्यवस्था 'संतुलन' और/या 'समरूपता' की सामान्यीकृत अवधारणाओं को संतुष्ट करती है। इन अवधारणाओं को सटीक नहीं बनाया गया है ताकि एक ही छत्र के नीचे वस्तुओं की विस्तृत श्रृंखला के बारे में सोचा जा सकता है। कभी-कभी इसमें [[ब्लॉक डिजाइन]] के रूप में सेट प्रतिच्छेदन के संख्यात्मक आकार सम्मिलित हो सकते हैं, जबकि दूसरी बार इसमें [[सुडोकू]] ग्रिड के रूप में सरणी में प्रविष्टियों की स्थानिक व्यवस्था सम्मिलित हो सकती है।
 
संयोजन डिज़ाइन सिद्धांत को प्रयोगों के डिज़ाइन के क्षेत्र में लागू किया जा सकता है। जैविक प्रयोगों के डिजाइन पर सांख्यिकीविद् [[रोनाल्ड फिशर]] के काम में संयोजी डिजाइनों के कुछ बुनियादी सिद्धांत उत्पन्न हुए थे। [[परिमित ज्यामिति]], [[टूर्नामेंट]], [[लॉटरी]], गणितीय रसायन विज्ञान, [[गणितीय जीव विज्ञान]], [[एल्गोरिथम डिजाइन]],[[ संगणक संजाल | संगणक नेटवर्किंग]], [[समूह परीक्षण]] और [[क्रिप्टोग्राफी]] सहित क्षेत्रों की विस्तृत श्रृंखला में आधुनिक अनुप्रयोग भी पाए जाते हैं।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg.1}}</ref>
 


संयोजन डिज़ाइन सिद्धांत को प्रयोगों के डिज़ाइन के क्षेत्र में लागू किया जा सकता है। जैविक प्रयोगों के डिजाइन पर सांख्यिकी [[रोनाल्ड फिशर]] के काम में संयोजी डिजाइनों के कुछ बुनियादी सिद्धांत उत्पन्न हुए थे। [[परिमित ज्यामिति]], [[टूर्नामेंट]], [[लॉटरी]], गणितीय रसायन विज्ञान, [[गणितीय जीव विज्ञान]], [[एल्गोरिथम डिजाइन]],[[ संगणक संजाल | संगणक नेटवर्किंग]], [[समूह परीक्षण]] और [[क्रिप्टोग्राफी]] सहित क्षेत्रों की विस्तृत श्रृंखला में आधुनिक अनुप्रयोग भी पाए जाते हैं।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg.1}}</ref>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
[[File:Fano plane.svg|thumb|[[फानो विमान|फानो समक्षेत्र]]]]लोगों की निश्चित संख्या ''n'' को देखते हुए, क्या उन्हें सेट करने के लिए असाइन करना संभव है ताकि प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक सेट में हो, लोगों की प्रत्येक जोड़ी एक साथ सेट में हो, हर दो सेट में ठीक एक व्यक्ति सामान्य हो, और किसी भी सेट में सभी, एक व्यक्ति, या वास्तव में व्यक्ति सम्मिलित नहीं हैं? उत्तर ''n'' पर निर्भर करता है।
[[File:Fano plane.svg|thumb|[[फानो विमान|फानो प्लेन]]]]लोगों की निश्चित संख्या ''n'' को देखते हुए, क्या उन्हें सेट करने के लिए असाइन करना संभव है ताकि प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक सेट में हो, लोगों की प्रत्येक जोड़ी एक साथ सेट में हो, हर दो सेट में ठीक एक व्यक्ति सामान्य हो, और किसी भी सेट में सभी, एक व्यक्ति, या वास्तव में व्यक्ति सम्मिलित नहीं हैं? उत्तर ''n'' पर निर्भर करता है।


इसका समाधान केवल तभी होता है जब ''n'' का रूप ''q''<sup>2</sup> + ''q'' + 1 हो। यदि ''q'' अभाज्य घात है तो समाधान का अस्तित्व सिद्ध करना आसान नहीं है। यह अनुमान लगाया जाता है कि ये एकमात्र समाधान हैं। यह आगे दिखाया गया है कि यदि 1 या 2 [[मॉड्यूल ऑपरेशन]] 4 के सर्वांगसम ''q'' के लिए समाधान मौजूद है, तो ''q'' दो [[वर्ग संख्या|वर्ग संख्याओ]] का योग है। यह अंतिम परिणाम, ब्रुक-रेज़र प्रमेय, [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रो]] पर आधारित रचनात्मक विधियों के संयोजन और [[द्विघात रूप|द्विघात रूपो]] के अनुप्रयोग द्वारा सिद्ध होता है।
इसका समाधान केवल तभी होता है जब ''n'' का रूप ''q''<sup>2</sup> + ''q'' + 1 हो। यदि ''q'' अभाज्य घात है तो समाधान का अस्तित्व सिद्ध करना आसान नहीं है। यह अनुमान लगाया जाता है कि ये एकमात्र समाधान हैं। यह आगे दिखाया गया है कि यदि 1 या 2 [[मॉड्यूल ऑपरेशन]] 4 के सर्वांगसम ''q'' के लिए समाधान उपस्थित है, तो ''q'' दो [[वर्ग संख्या|स्क्वायर संख्याओ]] का योग है। यह अंतिम परिणाम, ब्रुक-रेज़र प्रमेय, [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रो]] पर आधारित रचनात्मक विधियों के संयोजन और [[द्विघात रूप|द्विघात रूपो]] के अनुप्रयोग द्वारा सिद्ध होता है।


जब ऐसी संरचना मौजूद होती है, तो इसे परिमित प्रक्षेपी तल कहा जाता है; इस प्रकार दिखा रहा है कि कैसे परिमित ज्यामिति और कॉम्बिनेटरिक्स प्रतिच्छेद करते हैं। जब ''q'' = 2, प्रक्षेपी तल को फ़ानो तल कहा जाता है।
जब ऐसी संरचना उपस्थित होती है, तो इसे परिमित प्रक्षेपी तल कहा जाता है; इस प्रकार दिखा रहा है कि कैसे परिमित ज्यामिति और कॉम्बिनेटरिक्स प्रतिच्छेद करते हैं। जब ''q'' = 2, प्रक्षेपी तल को फ़ानो तल कहा जाता है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
संयोजन डिज़ाइन पुरातनता की तारीख है, [[लो शु स्क्वायर]] प्रारंभिक [[जादू वर्ग|स्थायित्व वर्ग]] है। भारत में वराहमिहिर की पुस्तक बृहत् संहिता में मिश्रित डिज़ाइन का सबसे पहला डेटा योग्य अनुप्रयोग पाया जाता है, जिसे स्थायित्व वर्ग का उपयोग करके 16 विभिन्न पदार्थों से चुने गए 4 पदार्थों का उपयोग करके इत्र बनाने के उद्देश्य से 587 ईस्वी के आसपास लिखा गया था।<ref name="Hayashi">{{cite book |last=Hayashi |first=Takao |chapter=Magic Squares in Indian Mathematics | title=[[Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures]] | date=2008 | edition=2 | pages=1252–1259| publisher=Springer | doi=10.1007/978-1-4020-4425-0_9778}}</ref>
संयोजन डिज़ाइन पुरातनता की तारीख है, [[लो शु स्क्वायर]] प्रारंभिक [[जादू वर्ग|स्थायित्व स्क्वायर]] है। भारत में वराहमिहिर की पुस्तक बृहत् संहिता में मिश्रित डिज़ाइन का सबसे पहला डेटा योग्य अनुप्रयोग पाया जाता है, जिसे स्थायित्व स्क्वायर का उपयोग करके 16 विभिन्न पदार्थों से चुने गए 4 पदार्थों का उपयोग करके इत्र बनाने के उद्देश्य से 587 ईस्वी के आसपास लिखा गया था।<ref name="Hayashi">{{cite book |last=Hayashi |first=Takao |chapter=Magic Squares in Indian Mathematics | title=[[Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures]] | date=2008 | edition=2 | pages=1252–1259| publisher=Springer | doi=10.1007/978-1-4020-4425-0_9778}}</ref>


18वीं शताब्दी से कॉम्बिनेटरिक्स के सामान्य विकास के साथ संयोजन डिज़ाइन उदाहरण के लिए 18वीं शताब्दी में [[लैटिन वर्ग]] और 19वीं शताब्दी में [[ स्टेनर प्रणाली |स्टेनर प्रणाली]] विकसित हुए थे। डिजाइन [[मनोरंजक गणित]] में, जैसे कि किर्कमैन की स्कूली छात्रा समस्या (1850), और व्यावहारिक समस्याओं में, जैसे कि [[राउंड-रॉबिन टूर्नामेंट]] का शेड्यूलिंग (समाधान 1880 के दशक में प्रकाशित) भी लोकप्रिय रहे हैं। 20वीं शताब्दी में प्रयोगों के लिए डिजाइन लागू किए गए थे, विशेष रूप से लैटिन वर्ग, परिमित ज्यामिति, और [[संघ योजना]]एं, जो बीजगणितीय सांख्यिकी के क्षेत्र को उत्पन्न करती हैं।
18वीं शताब्दी से कॉम्बिनेटरिक्स के सामान्य विकास के साथ संयोजन डिज़ाइन उदाहरण के लिए 18वीं शताब्दी में [[लैटिन वर्ग|लैटिन स्क्वायर]] और 19वीं शताब्दी में [[ स्टेनर प्रणाली |स्टेनर प्रणाली]] विकसित हुए थे। डिजाइन [[मनोरंजक गणित]] में, जैसे कि किर्कमैन की स्कूली छात्रा समस्या (1850), और व्यावहारिक समस्याओं में, जैसे कि [[राउंड-रॉबिन टूर्नामेंट]] का शेड्यूलिंग (समाधान 1880 के दशक में प्रकाशित) भी लोकप्रिय रहे हैं। 20वीं शताब्दी में प्रयोगों के लिए डिजाइन लागू किए गए थे, विशेष रूप से लैटिन स्क्वायर, परिमित ज्यामिति, और [[संघ योजना]]एं, जो बीजगणितीय सांख्यिकी के क्षेत्र को उत्पन्न करती हैं।


== मौलिक संयुक्त डिजाइन ==
== मौलिक संयुक्त डिजाइन ==


संयोजन डिज़ाइन के विषय का क्लासिकल कोर ब्लॉक डिज़ाइन के आसपास बनाया गया है। (पीबीडी)।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. IX}}</ref> अन्य संयोजक डिजाइन इन मौलिक लोगों के अध्ययन से संबंधित हैं या विकसित किए गए हैं।
संयोजन डिज़ाइन के विषय का क्लासिकल कोर ब्लॉक डिज़ाइन के आसपास बनाया गया है। (पीबीडी),<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. IX}}</ref> अन्य संयोजक डिजाइन इन मौलिक लोगों के अध्ययन से संबंधित हैं या विकसित किए गए हैं।


* एक संतुलित अधूरा ब्लॉक डिज़ाइन या BIBD (सामान्यतौर पर शॉर्ट ब्लॉक डिज़ाइन के लिए कहा जाता है) एक परिमित सेट 'X' के 'b' सबसेट (जिसे 'ब्लॉक' कहा जाता है) का संग्रह 'B' है। ''v'' तत्व, जैसे कि ''X'' का कोई भी तत्व ब्लॉक के समान संख्या ''r'' में समाहित है, प्रत्येक ब्लॉक में तत्वों की समान संख्या ''k'' है, और प्रत्येक जोड़ी अलग-अलग तत्व समान संख्या λ ब्लॉक में एक साथ दिखाई देते हैं। बीआईबीडी को ''2-डिज़ाइन'' के रूप में भी जाना जाता है और अक्सर इसे 2-(''v'',''k'',λ) डिज़ाइन के रूप में दर्शाया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, जब λ = 1 और ''b'' = ''v'', हमारे पास एक प्रोजेक्टिव प्लेन है: ''X'' प्लेन का पॉइंट सेट है और ब्लॉक लाइन हैं।
* '''बैलेंस्ड इन्कम्प्लीट ब्लॉक डिज़ाइन''' या बीआईबीडी (सामान्यतः शॉर्ट ब्लॉक डिज़ाइन के लिए कहा जाता है) एक परिमि<nowiki/>त स<nowiki/>े<nowiki/>ट <nowiki/>'<nowiki/>''X''' <nowiki/>क<nowiki/>े '''b''' सबसेट (जिसे 'ब्लॉक' कहा जाता है) का <nowiki/>स<nowiki/>ंग्र<nowiki/>ह ''''''B'''''' है। ''v'' तत्व, जैसे कि ''X'' का कोई भी तत्व ब्लॉक के समान संख्या ''r'' में समाहित है, प्रत्येक ब्लॉक में तत्वों की समान संख्या ''k'' है, और प्रत्येक जोड़ी अलग-अलग तत्व समान संख्या λ ब्लॉक में एक साथ दिखाई देते हैं। बीआईबीडी को ''2-डिज़ाइन'' के रूप में भी जाना जाता है और प्राय: इसे 2-(''v'',''k'',λ) डिज़ाइन के रूप में दर्शाया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, जब λ = 1 और ''b'' = ''v'', हमारे पास एक प्रोजेक्टिव प्लेन है: ''X'' प्लेन का पॉइंट सेट है और ब्लॉक लाइन हैं।
* एक सममित संतुलित अपूर्ण ब्लॉक डिज़ाइन या ब्लॉक डिज़ाइन#सममितीय बीआईबीडी एक बीआईबीडी है जिसमें ''v'' = ''b'' (अंकों की संख्या ब्लॉकों की संख्या के बराबर होती है)। वे बीआईबीडी के सबसे महत्वपूर्ण और अच्छी तरह से अध्ययन किए गए उपवर्ग हैं। प्रोजेक्टिव प्लेन, बाइप्लेन और हैडमार्ड 2-डिज़ाइन सभी SBIBD हैं। वे विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे फिशर की असमानता (''b'' ≥ ''v'') के चरम उदाहरण हैं।
* '''सिमेट्रिक''' '''बैलेंस्ड इन्कम्प्लीट''' '''ब्लॉक डिज़ाइन''' या ब्लॉक डिज़ाइन सममितीय बीआईबीडी एसबीआईबीडी है जिसमें ''v''  =  ''b'' (अंकों की संख्या ब्लॉकों की संख्या के बराबर होती है)। वे बीआईबीडी के सबसे महत्वपूर्ण और अच्छी तरह से अध्ययन किए गए उपस्क्वायर हैं। प्रोजेक्टिव प्लेन, बाइप्लेन और हैडमार्ड 2-डिज़ाइन सभी Sबीआईबीडी हैं। वे विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे फिशर की असमानता (''b'' ≥ ''v'') के चरम उदाहरण हैं।
* एक ब्लॉक डिज़ाइन#Resolvable 2-डिज़ाइन एक BIBD है जिसके ब्लॉक को सेट में विभाजित किया जा सकता है (जिसे ''समानांतर वर्ग'' कहा जाता है), जिनमें से प्रत्येक BIBD के पॉइंट सेट का विभाजन बनाता है। समांतर कक्षाओं के सेट को डिजाइन का ''रिज़ॉल्यूशन'' कहा जाता है। प्रसिद्ध [[15 छात्रा समस्या]] का समाधान ''v''  = 15, ''k''  =3 और λ = 1 के साथ BIBD का समाधान है।<ref>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|loc=pg. 40 Example 5.8}}</ref>
* एक ब्लॉक समाधेय डिज़ाइन एक बीआईबीडी है जिसके ब्लॉक को सेट में विभाजित किया जा सकता है (जिसे ''समानांतर स्क्वायर'' कहा जाता है), जिनमें से प्रत्येक बीआईबीडी के पॉइंट सेट का विभाजन बनाता है। समांतर कक्षाओं के सेट को डिजाइन का ''रिज़ॉल्यूशन'' कहा जाता है। प्रसिद्ध [[15 छात्रा समस्या]] का समाधान ''v''  = 15, ''k''  = 3 और λ = 1 के साथ बीआईबीडी का समाधान है।<ref>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|loc=pg. 40 Example 5.8}}</ref>
* एक [[लैटिन आयत]] एक ''r'' × ''n'' [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जिसकी प्रविष्टियां 1, 2, 3, ..., ''n'' (या 'का कोई अन्य सेट) के रूप में होती हैं। 'n'' अलग-अलग प्रतीक) जिसमें किसी भी पंक्ति या कॉलम में एक से अधिक बार कोई संख्या नहीं आती है जहां  ''r'' ≤ ''n'' है। एक ''n'' × ''n'' लैटिन आयत को लैटिन वर्ग कहा जाता है। अगर ''r'' < ''n'', तो लैटिन आयत बनाने के लिए ''n'' − ''r'' पंक्तियों को ''r'' × ''n'' लैटिन आयत में जोड़ना संभव है वर्ग, हॉल के विवाह प्रमेय का उपयोग करते हुए।<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc=pg. 52, Theorem 3.1}}</ref>
* एक [[लैटिन आयत|लैटिन रेक्टैंगगल]] एक ''r'' × ''n'' [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] है जिसकी प्रविष्टियां 1, 2, 3, ..., ''n'' (या 'का कोई अन्य सेट) के रूप में होती हैं। 'n'' अलग-अलग प्रतीक) जिसमें किसी भी पंक्ति या कॉलम में एक से अधिक बार कोई संख्या नहीं आती है जहां  ''r'' ≤ ''n'' है। एक ''n'' × ''n'' लैटिन आयत को लैटिन स्क्वायर कहा जाता है। अगर ''r'' < ''n'', तो लैटिन रेक्टैंगगल बनाने के लिए ''n'' − ''r'' पंक्तियों को ''r'' × ''n'' लैटिन रेक्टैंगगल में जोड़ना संभव है स्क्वायर, हॉल के मेरिज प्रमेय का उपयोग करते हुए।<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc=pg. 52, Theorem 3.1}}</ref>''
: ऑर्डर एन के दो लैटिन वर्गों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि दो वर्गों में संबंधित प्रविष्टियों वाले सभी आदेशित जोड़े के सेट में एन है<sup>2</sup> विशिष्ट सदस्य (सभी संभव क्रमित जोड़े होते हैं)। एक ही क्रम के लैटिन वर्गों का एक [[सबसेट]] [[ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग]]ों का एक सेट बनाता है | परस्पर ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग (एमओएलएस) यदि सेट में लैटिन वर्गों की प्रत्येक जोड़ी ओर्थोगोनल है। आदेश ''n'' के MOLS के सेट में अधिकतम ''n'' − 1 वर्ग हो सकते हैं। ''n'' − 1 MOLS ऑर्डर ''n'' का एक सेट ऑर्डर ''n'' (और इसके विपरीत) के प्रोजेक्टिव प्लेन के निर्माण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
: क्रम ''n'' के दो लैटिन ''स्क्वायर'' को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि दो स्क्वायरों में संबंधित प्रविष्टियों वाले सभी आदेशित जोड़े के सेट में ''n''<sup>2</sup> है विशिष्ट सदस्य (सभी संभव क्रमित जोड़े होते हैं)। एक ही क्रम के लैटिन स्क्वायरों का एक [[सबसेट]] [[ऑर्थोगोनल लैटिन वर्ग|ऑर्थोगोनल लैटिन स्क्वायर]] का सेट बनाता है | परस्पर ऑर्थोगोनल लैटिन स्क्वायर (एमओएलएस) यदि सेट में लैटिन स्क्वायर की प्रत्येक जोड़ी ओर्थोगोनल है। क्रम ''n'' के MOLS के सेट में अधिकतम ''n'' − 1 स्क्वायर हो सकते हैं। ''n'' − 1 MOLS क्रम ''n'' का सेट क्रम ''n'' (और इसके विपरीत) के प्रोजेक्टिव प्लेन के निर्माण के लिए उपयोग किया जा सकता है।


* A (''v'', ''k'', λ) अंतर सेट एक [[समूह (गणित)]] G का एक उपसमुच्चय D है जैसे कि G के समूह का क्रम ''v'' है, D की [[प्रमुखता]] ''के'' है, और जी के प्रत्येक गैर-पहचान तत्व को उत्पाद ''डी'' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<sub>1</sub>d<sub>2</sub><sup>−1</sup> D के अवयव बिल्कुल λ तरीके से (जब G को गुणक संक्रिया के साथ लिखा जाता है)।<ref>When the group '''G''' is an abelian group (or written additively) the defining property looks like d<sub>1</sub> –d<sub>2</sub> from which the term ''difference set'' comes from.</ref>
* (''v'', ''k'', λ) अंतर सेट एक [[समूह (गणित)]] G का उपसमुच्चय D है जैसे कि G के समूह का क्रम ''v'' है, D की [[प्रमुखता]] ''k'' है, और '''G''' के प्रत्येक अभिज्ञता तत्व को उत्पाद '''''D''''' को ''d''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub><sup>−1</sup> रूप में व्यक्त किया जा सकता है। '''D''' के अवयव बिल्कुल λ तरीके से (जब G को गुणक संक्रिया के साथ लिखा जाता है)।<ref>When the group '''G''' is an abelian group (or written additively) the defining property looks like d<sub>1</sub> –d<sub>2</sub> from which the term ''difference set'' comes from.</ref>
:यदि D एक अंतर सेट है, और G में ''g'' है, तो ''g'' D = {''gd'': ''d'' in D} भी एक अंतर सेट है, और इसे a कहा जाता है डी का अनुवाद। एक अंतर सेट डी के सभी अनुवादों का सेट ब्लॉक डिज़ाइन # सममित बीआईबीडी बनाता है। इस तरह के डिजाइन में 'वी' तत्व और 'वी' ब्लॉक होते हैं। डिज़ाइन के प्रत्येक ब्लॉक में ''k'' अंक होते हैं, प्रत्येक बिंदु ''k'' ब्लॉक में समाहित होता है। किसी भी दो ब्लॉक में बिल्कुल λ तत्व समान हैं और कोई भी दो बिंदु λ ब्लॉक में एक साथ दिखाई देते हैं। इस SBIBD को D का ''विकास'' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|loc=pg. 262, Theorem 1.6}}</ref>
:यदि '''D''' एक अंतर सेट है, और G में ''g'' है, तो ''g'' '''D''' = {''gd'': ''d'' in '''D'''} भी एक अंतर सेट है, और इसे a कहा जाता है '''D''' का अनुवाद। एक अंतर सेट डी के सभी अनुवादों का सेट ब्लॉक डिज़ाइन सममित बीआईबीडी बनाता है। इस तरह के डिजाइन में 'वी' तत्व और 'वी' ब्लॉक होते हैं। डिज़ाइन के प्रत्येक ब्लॉक में ''k'' अंक होते हैं, प्रत्येक बिंदु ''k'' ब्लॉक में समाहित होता है। किसी भी दो ब्लॉक में बिल्कुल λ तत्व समान हैं और कोई भी दो बिंदु λ ब्लॉक में एक साथ दिखाई देते हैं। इस Sबीआईबीडी को '''D''' का ''विकास'' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|loc=pg. 262, Theorem 1.6}}</ref>
: विशेष रूप से, यदि λ = 1, तो अंतर सेट एक प्रक्षेपी तल को जन्म देता है। समूह में निर्धारित (7,3,1) अंतर का एक उदाहरण <math>\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}</math> (एक एबेलियन समूह योगात्मक रूप से लिखा गया है) उपसमुच्चय {1,2,4} है। इस अंतर सेट का विकास फ़ानो विमान देता है।
: विशेष रूप से, यदि λ = 1, तो अंतर सेट प्रक्षेपी तल को जन्म देता है। समूह में निर्धारित (7,3,1) अंतर का एक उदाहरण <math>\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}</math> (एक एबेलियन समूह योगात्मक रूप से लिखा गया है) उपसमुच्चय {1,2,4} है। इस अंतर सेट का विकास फ़ानो विमान देता है।
: चूंकि प्रत्येक अंतर सेट एक एसबीआईबीडी देता है, पैरामीटर सेट को ब्रुक-रायसर-चावला प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए, लेकिन प्रत्येक एसबीआईबीडी एक अंतर सेट नहीं देता है।
: चूंकि प्रत्येक अंतर सेट एक एसबीआईबीडी देता है, पैरामीटर सेट को ब्रुक-रायसर-चावला प्रमेय को सैटिस्फाइ करना चाहिए, लेकिन प्रत्येक एसबीआईबीडी एक अंतर सेट नहीं देता है।


* ऑर्डर 'm' का एक हैडमार्ड मैट्रिक्स एक 'm'' × ''m'' मैट्रिक्स H है जिसकी प्रविष्टियाँ ±1 ऐसी हैं कि HH<sup>⊤</sup>  = m'I'<sub>''m''</sub>, जहां एच<sup>⊤</sup> H और I का स्थानान्तरण है<sub>''m''</sub> m × m पहचान मैट्रिक्स है। एक हैडमार्ड मैट्रिक्स को मानकीकृत रूप में रखा जा सकता है (अर्थात, समकक्ष हैडमार्ड मैट्रिक्स में परिवर्तित) जहां पहली पंक्ति और पहली कॉलम प्रविष्टियां सभी +1 हैं। यदि क्रम m > 2 है तो m, 4 का गुणक होना चाहिए।
* क्रम 'm' का हैडमार्ड आव्यूह एक ''m'' × ''m आव्यूह H है जिसकी प्रविष्टियाँ ±1 ऐसी हैं कि'' '''HH'''<sup>⊤</sup>  = ''m'''''I'''<sub>''m,''</sub> ''जहां '''H'''<sup>⊤</sup> H और I का स्थानान्तरण है।'' ''<sub> </sub>m × m पहचान आव्यूहहै। एक हैडमार्ड आव्यूह को मानकीकृत रूप में रखा जा सकता है (अर्थात, समकक्ष हैडमार्ड आव्यूह में परिवर्तित) जहां पहली पंक्ति और पहली कॉलम प्रविष्टियां सभी +1 हैं। यदि क्रम m > 2 है तो m, 4 का गुणक होना चाहिए।''


:मानकीकृत रूप में ऑर्डर 4a का हैडमार्ड मैट्रिक्स दिया गया है, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाएं और प्रत्येक -1 को 0 में बदलें। परिणामी 0–1 मैट्रिक्स 'M' एक सममित 2 − (4a − 1 का आपतन मैट्रिक्स है , 2a − 1, a − 1) डिज़ाइन जिसे 'हैडमार्ड 2-डिज़ाइन' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. 74, Theorem 4.5}}</ref> यह निर्माण प्रतिवर्ती है, और इन मापदंडों के साथ एक सममित 2-डिज़ाइन की घटना मैट्रिक्स का उपयोग ऑर्डर 4a के हैडमार्ड मैट्रिक्स बनाने के लिए किया जा सकता है। जब a = 2 हम एक Hadamard 2-डिज़ाइन के रूप में, अब तक परिचित, Fano विमान प्राप्त करते हैं।
:मानकीकृत रूप में क्रम 4''a'' का हैडमार्ड आव्यूह दिया गया है, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाएं और प्रत्येक -1 को 0 में बदलें। परिणामी 0–1 आव्यूह 'M' सममित का आपतन आव्यूह है, 2 − (4''a'' − 1, 2''a'' − 1, ''a'' − 1) डिज़ाइन जिसे 'हैडमार्ड 2-डिज़ाइन' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc=pg. 74, Theorem 4.5}}</ref> यह निर्माण प्रतिवर्ती है, और इन मापदंडों के साथ सममित 2-डिज़ाइन की आपतन आव्यूह का उपयोग क्रम 4a के हैडमार्ड आव्यूह बनाने के लिए किया जा सकता है। जब a = 2 हम हैडमार्ड 2-डिज़ाइन के रूप में, अब तक परिचित, फानो प्लेन प्राप्त करते हैं।


* {{anchor|pairwise balanced design}} एक जोड़ीदार संतुलित डिज़ाइन (या पीबीडी) एक सेट 'एक्स' है जो 'एक्स' के सबसेट के परिवार के साथ है (जिसका आकार समान नहीं है और इसमें दोहराव हो सकता है) जैसे कि अलग-अलग तत्वों की हर जोड़ी ''X'' बिल्कुल λ (एक सकारात्मक पूर्णांक) सबसेट में समाहित है। समुच्चय ''X'' को उपसमुच्चय में से एक होने की अनुमति है, और यदि सभी उपसमुच्चय ''X'' की प्रतियां हैं, तो PBD को ''तुच्छ'' कहा जाता है। ''X'' का आकार ''v'' है और परिवार में सबसेट की संख्या (बहुलता के साथ गिना जाता है) ''b'' है।
* पेरवाइज़ बैलेंस्ड डिज़ाइन (या पीबीडी) सेट '''X''<nowiki/>' है जो '<nowiki/>''X''<nowiki/>' के <nowiki/>सबसेट के परिवार के साथ है (जिसका आकार समान नहीं है और इसमें दोहराव हो सकता है) जैसे कि अलग-अलग तत्वों की हर जोड़ी ''X'' बिल्कुल λ ( धनात्मक पूर्णांक) सबसेट में समाहित है। समुच्चय ''X'' को उपसमुच्चय में से एक होने की अनुमति है, और यदि सभी उपसमुच्चय ''X'' की प्रतियां हैं, तो PBD को ''ट्रिवीअल'' कहा जाता है। ''X'' का आकार ''v'' है और परिवार में सबसेट की संख्या (बहुलता के साथ गिना जाता है) ''b'' है।
 
: फिशर की असमानता पीबीडी के लिए है:<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc = pg. 193, Theorem 8.20}}</ref> किसी भी गैर-तुच्छ पीबीडी के लिए, v ≤ b।
 
: यह परिणाम प्रसिद्ध डी ब्रुइज़न-एर्डोस प्रमेय (घटना ज्यामिति) को भी सामान्य करता है। एर्दोस-डी ब्रुइज़ प्रमेय: λ = 1 के साथ पीबीडी के लिए आकार 1 या आकार v, v≤ b का कोई ब्लॉक नहीं है, समानता के साथ अगर और केवल अगर पीबीडी एक प्रोजेक्टिव प्लेन या नियर-पेंसिल है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc= pg. 183, Theorem 8.5}}</ref>


: फिशर की असमानता पीबीडी के लिए है:<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc = pg. 193, Theorem 8.20}}</ref> किसी भी नान-ट्रिवीअल पीबीडी के लिए, ''v'' ≤ ''b है''।


: यह परिणाम प्रसिद्ध डी ब्रुइज़न-एर्डोस प्रमेय (आपतन ज्यामिति) को भी सामान्य करता है। एर्दोस-डी ब्रुइज़ प्रमेय: ''λ'' = 1 के साथ पीबीडी के लिए आकार 1 या आकार ''v'', ''v'' ≤ ''b'' का कोई ब्लॉक नहीं है, समानता के साथ अगर और केवल अगर पीबीडी एक प्रोजेक्टिव प्लेन या नियर-पेंसिल है।<ref>{{harvnb|Stinson|2003|loc= pg. 183, Theorem 8.5}}</ref>
== अन्य मिश्रित डिजाइन ==
== अन्य मिश्रित डिजाइन ==
संयोजन डिजाइन की पुस्तिका {{harv|Colbourn|Dinitz|2007}} में, दूसरों के बीच, 65 अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक ऊपर दिए गए के अलावा संयोजन डिजाइन के लिए समर्पित है। एक आंशिक सूची नीचे दी गई है:
संयोजन डिजाइन की पुस्तिका {{harv|Colbourn|Dinitz|2007}} में, दूसरों के बीच, 65 अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक ऊपर दिए गए के अलावा संयोजन डिजाइन के लिए समर्पित है। एक आंशिक सूची नीचे दी गई है:


* एसोसिएशन योजनाएं
* एसोसिएशन योजनाएं
* एक संतुलित त्रिगुट डिजाइन BTD(''V'', ''B''; ''ρ''<sub>1</sub>, आर<sub>2</sub>, आर; K, Λ) B [[ multiset ]]्स (ब्लॉक) में V तत्वों की एक व्यवस्था है, प्रत्येक कार्डिनैलिटी K (K ≤ V), संतोषजनक:
* एक बैलेंस्ड त्रिगुट डिजाइन BTD(''V'', ''B''; ''ρ''<sub>1</sub>, ''ρ''<sub>2</sub>, ''R''; ''K'', Λ) B [[ multiset |मल्टीसेट्स]] (ब्लॉक) में वी तत्वों की व्यवस्था है, प्रत्येक कार्डिनैलिटी ''K'' (''K'' ≤ ''V''), समाधान है:
# प्रत्येक तत्व R = ρ प्रकट होता है<sub>1</sub> + 2 पी<sub>2</sub> बार कुल मिलाकर, बहुलता के साथ बिल्कुल ρ में<sub>1</sub> ब्लॉक और बहुलता दो बिल्कुल ρ में<sub>2</sub> ब्लॉक।
# प्रत्येक तत्व ''R'' = ''ρ''<sub>1</sub> + 2''ρ''<sub>2</sub> एक के साथ वास्तव में,  ''ρ''<sub>1</sub> ब्लॉक और बहुलता दो बिल्कुल ''ρ''<sub>2</sub> ब्लॉक है।
# विशिष्ट तत्वों की प्रत्येक जोड़ी Λ बार प्रकट होती है (बहुलता के साथ गिना जाता है); यानी अगर म<sub>''vb''</sub> ब्लॉक b में तत्व v की बहुलता है, फिर अलग-अलग तत्वों v और w की प्रत्येक जोड़ी के लिए, <math>\sum_{b=1}^B m_{vb} m_{wb} = \Lambda</math>.
# विशिष्ट तत्वों की प्रत्येक जोड़ी Λ बार प्रकट होती है (बहुलता के साथ गिना जाता है); यानी अगर ''m<sub>vb</sub>'' ब्लॉक ''b'' में तत्व ''v'' की बहुलता है, फिर अलग-अलग तत्वों ''v'' और ''w'' की प्रत्येक जोड़ी के लिए, <math>\sum_{b=1}^B m_{vb} m_{wb} = \Lambda</math>.
: उदाहरण के लिए, केवल दो गैर-समरूपी BTD(4,8;2,3,8;4,6)s (ब्लॉक कॉलम हैं) में से एक है:<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 331, Example 2.2}}</ref>
: उदाहरण के लिए, केवल दो गैर-समरूपी BTD(4,8;2,3,8;4,6)s (ब्लॉक कॉलम हैं) में से एक है:<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 331, Example 2.2}}</ref>
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: एक बीटीडी (जहां प्रविष्टियां ब्लॉक में तत्वों की बहुलताएं हैं) की घटना मैट्रिक्स का उपयोग एक टर्नरी त्रुटि-सुधार कोड बनाने के लिए किया जा सकता है, जिस तरह से बाइनरी कोड बीआईबीडी के घटना मैट्रिक्स से बनते हैं।<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 331, Remark 2.8}}</ref>
: एक बीटीडी (जहां प्रविष्टियां ब्लॉक में तत्वों की बहुलताएं हैं) की आपतन  आव्यूह का उपयोग टर्नरी त्रुटि-सुधार कोड बनाने के लिए किया जा सकता है, जिस तरह से बाइनरी कोड बीआईबीडी के आपतन आव्यूह से बनते हैं।<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 331, Remark 2.8}}</ref>
* ए{{visible anchor|balanced tournament design}ऑर्डर का }''n'' (एक BTD(''n'')) एक 2''n''-सेट ''V'' के एक ''n'' में सभी अलग-अलग अनियंत्रित जोड़े की व्यवस्था है × (2''n'' − 1) सरणी ऐसी है कि
* बैलेंस्ड टूर्नामेंट डिजाइन ऑफ क्रम ''n'' (a BTD(''n'')) एक ''n'' × (2''n'' − 1) सरणी में 2''n''-''V'' के सभी अलग-अलग गैर-अव्यवस्थित जोड़ों की व्यवस्था है, सरणी ऐसी है कि
# ''V'' का प्रत्येक तत्व प्रत्येक कॉलम में ठीक एक बार दिखाई देता है, और
# ''V'' का प्रत्येक तत्व प्रत्येक कॉलम में ठीक एक बार दिखाई देता है, और
# प्रत्येक पंक्ति में ''V'' का प्रत्येक तत्व अधिक से अधिक दो बार प्रकट होता है।
# प्रत्येक पंक्ति में ''V'' का प्रत्येक तत्व अधिक से अधिक दो बार प्रतीत होता है।
: BTD(3) का एक उदाहरण इसके द्वारा दिया गया है
: BTD(3) का उदाहरण इसके द्वारा दिया गया है
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: BTD(n) के कॉलम 2n शीर्षों पर पूर्ण ग्राफ का 1-गुणनखंड प्रदान करते हैं, K<sub>2''n''</sub>.<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 333, Remark 3.3}}</ref>
: BTD(''n'') के कॉलम 2''n'' शीर्षों ''K''<sub>2''n''</sub> पर पूर्ण ग्राफ का 1-गुणनखंड प्रदान करते हैं।<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|loc=pg. 333, Remark 3.3}}</ref>
: बीटीडी (एन) एस का उपयोग राउंड-रॉबिन टूर्नामेंटों को शेड्यूल करने के लिए किया जा सकता है: पंक्तियां स्थानों का प्रतिनिधित्व करती हैं, कॉलम खेलने के दौर और प्रविष्टियां प्रतिस्पर्धी खिलाड़ी या टीम हैं।
: BTD(''n'')s का उपयोग राउंड-रॉबिन टूर्नामेंटों को शेड्यूल करने के लिए किया जा सकता है: पंक्तियां स्थानों का प्रतिनिधित्व करती हैं, कॉलम खेलने के दौर और प्रविष्टियां प्रतिस्पर्धी खिलाड़ी या टीम हैं।


* तुला कार्य
* तुला कार्य
* कोस्टास सरणियाँ
* कोस्टास सरणियाँ
* क्रमगुणित डिजाइन
* क्रमगुणित डिजाइन
* एक 'आवृत्ति वर्ग' ('एफ'-वर्ग) एक लैटिन वर्ग का एक उच्च क्रम सामान्यीकरण है। माना S = {s<sub>1</sub>,एस<sub>2</sub>, ..., एस<sub>''m''</sub>} अलग-अलग प्रतीकों का एक सेट हो और (λ<sub>1</sub>, एल<sub>2</sub>, ..., एल<sub>''m''</sub>) सकारात्मक पूर्णांकों का एक आवृत्ति वेक्टर। क्रम n का आवृत्ति वर्ग एक n × n सरणी है जिसमें प्रत्येक प्रतीक s है<sub>''i''</sub> λ होता है<sub>''i''</sub> बार, i = 1,2,...,m, प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में। क्रम n = λ<sub>1</sub>+ मि<sub>2</sub>+...+ एल<sub>''m''</sub>. एक एफ-स्क्वायर मानक रूप में होता है यदि पहली पंक्ति और कॉलम में एस की सभी घटनाएं होती हैं<sub>''i''</sub> एस से पहले<sub>''j''</sub> जब भी मैं < जे.
* एक 'आवृत्ति स्क्वायर'<nowiki/> (''''F''''-स्क्वायर) लैटिन स्क्वायर का उच्च क्रम सामान्यीकरण है। माना ''S'' = {''s''<sub>1</sub>,''s''<sub>2</sub>, ..., ''s<sub>m</sub>''} अलग-अलग प्रतीकों का सेट हो और (''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ...,''λ<sub>m</sub>'') धनात्मक पूर्णांकों का आवृत्ति सदिश हैं। क्रम ''n'' का आवृत्ति स्क्वायर ''n'' × ''n'' सरणी है जिसमें प्रत्येक प्रतीक ''s<sub>i</sub>'' है, ''λ<sub>i</sub>'' बार, ''i'' = 1,2,...,''m'', प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में हैं। क्रम ''n'' = ''λ''<sub>1</sub> + ''λ''<sub>2</sub> + ... + ''λ<sub>m,</sub>''  एफ-स्क्वायर मानक रूप में होता है यदि पहली पंक्ति और कॉलम में ''s<sub>j</sub>'' की सभी आपतनएं ''i'' < ''j'' होती है।
: एक आवृत्ति वर्ग एफ<sub>1</sub> क्रम n सेट के आधार पर {s<sub>1</sub>,एस<sub>2</sub>, ..., एस<sub>''m''</sub>} आवृत्ति सदिश के साथ (λ<sub>1</sub>, एल<sub>2</sub>, ..., एल<sub>''m''</sub>) और एक आवृत्ति वर्ग F<sub>2</sub>, ऑर्डर n का भी, सेट {t पर आधारित<sub>1</sub>,टी<sub>2</sub>, ..., टी<sub>''k''</sub>} आवृत्ति सदिश के साथ (μ<sub>1</sub>, एम<sub>2</sub>, ..., एम<sub>''k''</sub>) ओर्थोगोनल हैं यदि प्रत्येक क्रमित युग्म (s<sub>''i''</sub>, टी<sub>''j''</sub>) ठीक λ प्रकट होता है<sub>''i''</sub>μ<sub>''j''</sub> कई बार जब एफ<sub>1</sub> और एफ<sub>2</sub> आरोपित हैं।
: एक आवृत्ति स्क्वायर ''F''<sub>1</sub> क्रम ''n'' सेट के आधार पर {''s''<sub>1</sub>,''s''<sub>2</sub>, ..., ''s<sub>m</sub>''} आवृत्ति सदिश के साथ (''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ...,''λ<sub>m</sub>'') और आवृत्ति स्क्वायर ''F''<sub>2</sub>, क्रम ''n'' का भी, सेट {''t''<sub>1</sub>,''t''<sub>2</sub>, ..., ''t<sub>k</sub>''} आवृत्ति सदिश के साथ (''μ''<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub>, ...,''μ<sub>k</sub>'') ओर्थोगोनल हैं यदि प्रत्येक क्रमित युग्म (''s<sub>i</sub>'', ''t<sub>j</sub>'') ठीक ''λ<sub>i</sub>μ<sub>j</sub>'' प्रकट होता है, कई बार