विभाजित अंतर: Difference between revisions
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{{Short description|Algorithm for computing polynomial coefficients}} | {{Short description|Algorithm for computing polynomial coefficients}} | ||
गणित में, विभाजित अंतर एक [[कलन विधि]] है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से | [[गणित]] में, '''विभाजित अंतर''' एक एल्गोरिदम ([[कलन विधि]]) है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लॉगरिदम और [[त्रिकोणमितीय कार्य]] की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का [[अंतर इंजन]], एक प्रारंभिक [[यांत्रिक कैलकुलेटर]], अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।<ref name="Isaacson2014">{{cite book |last1=Isaacson |first1=Walter |title=इनोवेटर्स|date=2014 |publisher=Simon & Schuster |isbn=978-1-4767-0869-0 |page=20 }}</ref> | ||
विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन | |||
विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_{n}, y_{n})</math> के अनुक्रम को देखते हुए, विधि न्यूटन फॉर्म में इन बिंदुओं के इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांक की गणना करती है। | |||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
| Line 12: | Line 14: | ||
\mathopen[y_k,\ldots,y_{k+j}] &:= \frac{[y_{k+1},\ldots , y_{k+j}] - [y_{k},\ldots , y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k}, && k\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}. | \mathopen[y_k,\ldots,y_{k+j}] &:= \frac{[y_{k+1},\ldots , y_{k+j}] - [y_{k},\ldots , y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k}, && k\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना उसके तत्काल निचले बाएँ | गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त ''j'' के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना प्रविष्टियों के अंतर से उसके तत्काल निचले बाएँ तक की जाती है और इसके ठीक ऊपरी बायीं ओर, संगत ''x''-मानों के अंतर से विभाजित: | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
| Line 27: | Line 29: | ||
=== संकेतन === | === संकेतन === | ||
ध्यान दें कि विभाजित अंतर <math>[y_k,\ldots,y_{k+j}]</math> मूल्यों पर निर्भर करता है <math>x_k,\ldots,x_{k+j}</math> और <math>y_k,\ldots,y_{k+j}</math>, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को | ध्यान दें कि विभाजित अंतर <math>[y_k,\ldots,y_{k+j}]</math> मूल्यों पर निर्भर करता है <math>x_k,\ldots,x_{k+j}</math> और <math>y_k,\ldots,y_{k+j}</math>, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को अप्रदर्शित करता है। यदि डेटा बिंदु किसी फलन ''ƒ'' द्वारा दिए गए हैं, | ||
<math display="block">(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{k}, f(x_{n}))</math> | <math display="block">(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{k}, f(x_{n}))</math> | ||
कोई कभी-कभी लिखता है | कोई कभी-कभी लिखता है | ||
<math display="block">f[x_k,\ldots,x_{k+j}]</math> | <math display="block">f[x_k,\ldots,x_{k+j}]</math> | ||
लिखने के | लिखने के स्थान पर विभाजित अंतर के लिए | ||
<math display="block">[f(x_k),\ldots,f(x_{k+j})]</math> | <math display="block">[f(x_k),\ldots,f(x_{k+j})]</math> | ||
या | या | ||
<math display="block">[y_{k},\ldots,y_{k+j}].</math> | <math display="block">[y_{k},\ldots,y_{k+j}].</math> | ||
नोड्स x | उदाहरण के लिए, नोड्स ''x''<sub>0</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' पर फलन ''ƒ'' के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन का भी उपयोग किया जाता है: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
&\mathopen[x_0,\ldots,x_n]f, \\ | &\mathopen[x_0,\ldots,x_n]f, \\ | ||
| Line 45: | Line 48: | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
<math>k=0</math> और <math>j</math> के पहले कुछ मानों के लिए विभाजित अंतर: | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 61: | Line 65: | ||
==गुण== | ==गुण== | ||
* | * रैखिक कार्यात्मक <math display="block">\begin{align} | ||
(f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\ | (f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\ | ||
(\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n] | (\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n] | ||
| Line 68: | Line 72: | ||
*विभाजित अंतर सममित हैं: यदि <math>\sigma : \{0, \dots, n\} \to \{0, \dots, n\}</math> तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है <math display="block">f[x_0, \dots, x_n] = f[x_{\sigma(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}]</math> | *विभाजित अंतर सममित हैं: यदि <math>\sigma : \{0, \dots, n\} \to \{0, \dots, n\}</math> तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है <math display="block">f[x_0, \dots, x_n] = f[x_{\sigma(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}]</math> | ||
* न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि <math>P</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math>\leq n</math>, और <math>p[x_0, \dots , x_n]</math> तो फिर विभाजित अंतर है <math display="block">P_{n-1}(x) = p[x_0] + p[x_0,x_1](x-x_0) + p[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + p[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})</math> | * न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि <math>P</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math>\leq n</math>, और <math>p[x_0, \dots , x_n]</math> तो फिर विभाजित अंतर है <math display="block">P_{n-1}(x) = p[x_0] + p[x_0,x_1](x-x_0) + p[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + p[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})</math> | ||
* | * यदि <math>p</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math><n</math>, तब <math display="block">p[x_0, \dots, x_n] = 0.</math> | ||
* | *विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय: यदि <math>f</math> तो फिर, n गुना अवकलनीय है <math display="block">f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}</math> किसी संख्या <math>\xi</math> के लिए विवृत अंतराल में सबसे छोटे और सबसे बड़े <math>x_k</math>'s द्वारा निर्धारित किया जाता है। | ||
== | ==आव्यूह फॉर्म== | ||
विभाजित अंतर योजना को ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] में रखा जा सकता है: | विभाजित अंतर योजना को ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] में रखा जा सकता है: | ||
<math display="block">T_f(x_0,\dots,x_n)= | <math display="block">T_f(x_0,\dots,x_n)= | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
| Line 81: | Line 85: | ||
0 & 0 & 0 & \ldots & f[x_n] | 0 & 0 & 0 & \ldots & f[x_n] | ||
\end{pmatrix}.</math> | \end{pmatrix}.</math> | ||
फिर यह | फिर यह दृढ़ रहता है | ||
* <math>T_{f+g}(x) = T_f(x) + T_g(x)</math> | * <math>T_{f+g}(x) = T_f(x) + T_g(x)</math> | ||
* <math>T_{\lambda f}(x) = \lambda T_f(x)</math> | * <math>T_{\lambda f}(x) = \lambda T_f(x)</math> यदि <math>\lambda</math> एक अदिश राशि है | ||
* <math>T_{f\cdot g}(x) = T_f(x) \cdot T_g(x)</math> {{pb}} यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान | * <math>T_{f\cdot g}(x) = T_f(x) \cdot T_g(x)</math> {{pb}} यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान समुच्चय के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के आव्यूह एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं। | ||
* तब से <math> T_f(x) </math> एक त्रिकोणीय | * तब से <math> T_f(x) </math> एक त्रिकोणीय आव्यूह है, इसके ईजेन वैल्यू स्पष्ट रूप से हैं <math> f(x_0), \dots, f(x_n) </math>. | ||
* होने देना <math>\delta_\xi</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] जैसा | * होने देना <math>\delta_\xi</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] जैसा फलन बनें, अर्थात <math display="block">\delta_\xi(t) = \begin{cases} | ||
1 &: t=\xi , \\ | 1 &: t=\xi , \\ | ||
0 &: \mbox{else}. | 0 &: \mbox{else}. | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math>स्पष्टत रूप से <math>f\cdot \delta_\xi = f(\xi)\cdot \delta_\xi</math>, इस प्रकार <math>\delta_\xi</math> बिंदुवार फलन गुणन का एक [[eigenfunction|ईजेनफलन]] है। वह है <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> किसी तरह का एक ईजेनआव्यूह है <math>T_f(x)</math>: <math> T_f(x) \cdot T_{\delta_{x_i}} (x) = f(x_i) \cdot T_{\delta_{x_i}}(x) </math>. हालाँकि, के सभी कॉलम <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> एक दूसरे के गुणज हैं, आव्यूह रैंक <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> 1 है। तो आप सभी ईजेनसदिश के आव्यूह की रचना कर सकते हैं <math>T_f(x)</math> से <math>i</math> प्रत्येक का -वाँ स्तंभ <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math>. ईजेनसदिश के आव्यूह को निरूपित करें <math>U(x)</math>. उदाहरण <math display="block"> U(x_0,x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} | ||
1 & \frac{1}{(x_1-x_0)} & \frac{1}{(x_2-x_0) (x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_0) (x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ | 1 & \frac{1}{(x_1-x_0)} & \frac{1}{(x_2-x_0) (x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_0) (x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ | ||
0 & 1 & \frac{1}{(x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ | 0 & 1 & \frac{1}{(x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ | ||
0 & 0 & 1 & \frac{1}{(x_3-x_2)} \\ | 0 & 0 & 1 & \frac{1}{(x_3-x_2)} \\ | ||
0 & 0 & 0 & 1 | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
\end{pmatrix} </math> का [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] <math>T_f(x)</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math display="block"> U(x) \cdot \operatorname{diag}(f(x_0),\dots,f(x_n)) = T_f(x) \cdot U(x) .</math> | \end{pmatrix} </math> का [[विकर्णीय मैट्रिक्स|विकर्णीय आव्यूह]] <math>T_f(x)</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math display="block"> U(x) \cdot \operatorname{diag}(f(x_0),\dots,f(x_n)) = T_f(x) \cdot U(x) .</math> | ||
| Line 110: | Line 114: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
इसमें नोड्स | इसमें नोड्स <math>x_0,\dots,x_n</math> के संबंध में पहचान फलन के लिए विभाजित अंतर योजना सम्मिलित है, इस प्रकार <math>J^m</math> में घातांक <math>m</math> के साथ घात फलन के लिए विभाजित अंतर सम्मिलित हैं। परिणामस्वरूप, आप आव्यूह <math>J</math> पर <math>p</math> लागू करके एक बहुपद फलन <math>p</math> के लिए विभाजित अंतर प्राप्त कर सकते हैं: यदि | ||
<math display="block">p(\xi) = a_0 + a_1 \cdot \xi + \dots + a_m \cdot \xi^m</math> | <math display="block">p(\xi) = a_0 + a_1 \cdot \xi + \dots + a_m \cdot \xi^m</math> | ||
और | और | ||
| Line 117: | Line 121: | ||
तब | तब | ||
<math display="block">T_p(x) = p(J).</math> | <math display="block">T_p(x) = p(J).</math> | ||
अब <math>p</math> की घात को अनंत तक बढ़ाने पर विचार करें, यानी टेलर बहुपद को [[टेलर श्रृंखला]] में बदल दें। मान लीजिए कि <math>f</math> एक फलन है जो घात श्रृंखला से मेल खाता है। आप संबंधित आव्यूह श्रृंखला को <math>J</math> पर लागू करके <math>f</math> के लिए विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं: यदि | |||
अब | |||
आप | |||
<math display="block">f(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> | <math display="block">f(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math> | ||
और | और | ||
| Line 150: | Line 151: | ||
===पीनो फॉर्म=== | ===पीनो फॉर्म=== | ||
यदि <math>x_0<x_1<\cdots<x_n</math> और <math>n\geq 1</math>, विभाजित मतभेदों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{Cite book |last=Skof |first=Fulvia |url=https://books.google.com/books?id=ulUM2GagwacC&dq=This+is+called+the+Peano+form+of+the+divided+differences&pg=PA41 |title=Giuseppe Peano between Mathematics and Logic: Proceeding of the International Conference in honour of Giuseppe Peano on the 150th anniversary of his birth and the centennial of the Formulario Mathematico Torino (Italy) October 2-3, 2008 |date=2011-04-30 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-88-470-1836-5 |pages=40 |language=en}}</ref> | |||
<math display="block">f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t) \, dt</math> | <math display="block">f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t) \, dt</math> | ||
कहाँ <math>f^{(n)}</math> है <math>n</math>- | कहाँ <math>f^{(n)}</math> है <math>n</math>-फलन का व्युत्पन्न <math>f</math> और <math>B_{n-1}</math> डिग्री की एक निश्चित बी-पट्टी है <math>n-1</math> डेटा बिंदुओं के लिए <math>x_0,\dots,x_n</math>, सूत्र द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block">B_{n-1}(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(\max(0,x_k-t))^{n-1}}{\omega'(x_k)}</math> | <math display="block">B_{n-1}(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(\max(0,x_k-t))^{n-1}}{\omega'(x_k)}</math> | ||
यह | यह पीनो का कर्नेल प्रमेय का परिणाम है; इसे विभाजित मतभेदों का पीनो रूप कहा जाता है <math>B_{n-1}</math> विभाजित मतभेदों के लिए पीनो कर्नेल है, सभी का नाम ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है। | ||
===आगे का अंतर=== | ===आगे का अंतर=== | ||
{{details| | {{details|परिमित अंतर}} | ||
जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है। | जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है। | ||
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== बाहरी संबंध == | == बाहरी संबंध == | ||
* An [http://code.henning-thielemann.de/htam/src/Numerics/Interpolation/DividedDifference.hs implementation] in [[Haskell (programming language)|Haskell]]. | * An [http://code.henning-thielemann.de/htam/src/Numerics/Interpolation/DividedDifference.hs implementation] in [[Haskell (programming language)|Haskell]]. | ||
[[de:Polynominterpolation#Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen]] | [[de:Polynominterpolation#Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen]] | ||
[[Category:CS1 English-language sources (en)]] | |||
[[Category: | |||
[[Category:Created On 25/07/2023]] | [[Category:Created On 25/07/2023]] | ||
[[Category:Lua-based templates]] | |||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Short description with empty Wikidata description]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready]] | |||
[[Category:Templates that add a tracking category]] | |||
[[Category:Templates that generate short descriptions]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:परिमित अंतर]] | |||
Latest revision as of 10:54, 22 August 2023
गणित में, विभाजित अंतर एक एल्गोरिदम (कलन विधि) है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लॉगरिदम और त्रिकोणमितीय कार्य की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन, एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर, अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।[1]
विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं के अनुक्रम को देखते हुए, विधि न्यूटन फॉर्म में इन बिंदुओं के इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांक की गणना करती है।
परिभाषा
n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है
जहां जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: