अभिलक्षणिक बहुपद: Difference between revisions

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{{short description|Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix}}
{{short description|Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix}}
{{About|the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces|the characteristic polynomial of a matroid|Matroid|that of a graded poset|Graded poset}}
{{About|एक आव्यूह या सदिश रिक्त समिष्ट के एंडोमोर्फिज्म की विशेषता बहुपद|मैट्रोइड का अभिलक्षणिक बहुपद|मैट्रोइड|एक श्रेणीबद्ध पोसेट का|ग्रेडेड पॉसेट}}


रैखिक बीजगणित में, [[वर्ग मैट्रिक्स]] का विशिष्ट [[बहुपद]] बहुपद होता है जो [[मैट्रिक्स समानता]] के तहत अपरिवर्तनीय होता है और बहुपद के मूल के रूप में स्वदेशी मान होता है। इसके गुणांकों के बीच मैट्रिक्स का निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है। परिमित-आयामी [[सदिश स्थल]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] का विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज्म के मैट्रिक्स का विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{cite book |last=Guillemin |first=Ernst |title=परिचयात्मक सर्किट सिद्धांत|author-link=Ernst_Guillemin |date=1953 |url=https://archive.org/details/introductorycirc0000guil |publisher=Wiley |pages=366, 541 |isbn=0471330663}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Forsythe |first1=George E. |last2=Motzkin |first2=Theodore |date=January 1952 |title=रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की स्थिति में सुधार के लिए गॉस परिवर्तन का विस्तार|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-1952-0048162-0/S0025-5718-1952-0048162-0.pdf |journal=American Mathematical Society – Mathematics of Computation |volume=6 |issue=37 |pages=18–34 |doi=10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 |access-date=3 October 2020|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frank |first=Evelyn |date=1946 |title=सम्मिश्र गुणांक वाले बहुपदों के शून्यकों पर|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=52 |issue=2 |pages=144–157 |doi=10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 |doi-access=free }}</ref> विशेषता बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त समीकरण है।
रैखिक बीजगणित में, [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] का विशिष्ट [[बहुपद]] बहुपद होता है जो [[मैट्रिक्स समानता|आव्यूह समानता]] के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है और बहुपद के मूल के रूप में स्वदेशी मान होता है। इसके गुणांकों के बीच आव्यूह का निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है। परिमित-आयामी [[सदिश स्थल|सदिश समिष्ट]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] का विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज्म के आव्यूह का विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{cite book |last=Guillemin |first=Ernst |title=परिचयात्मक सर्किट सिद्धांत|author-link=Ernst_Guillemin |date=1953 |url=https://archive.org/details/introductorycirc0000guil |publisher=Wiley |pages=366, 541 |isbn=0471330663}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Forsythe |first1=George E. |last2=Motzkin |first2=Theodore |date=January 1952 |title=रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की स्थिति में सुधार के लिए गॉस परिवर्तन का विस्तार|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-1952-0048162-0/S0025-5718-1952-0048162-0.pdf |journal=American Mathematical Society – Mathematics of Computation |volume=6 |issue=37 |pages=18–34 |doi=10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 |access-date=3 October 2020|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frank |first=Evelyn |date=1946 |title=सम्मिश्र गुणांक वाले बहुपदों के शून्यकों पर|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=52 |issue=2 |pages=144–157 |doi=10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 |doi-access=free }}</ref> विशेषता बहुपद को शून्य के समान करके प्राप्त समीकरण है।


[[वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत]] में, ग्राफ़ (असतत गणित) का विशेषता बहुपद इसके आसन्न मैट्रिक्स का विशेषता बहुपद है।<ref>{{cite web
[[वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत]] में, ग्राफ़ (असतत गणित) का विशेषता बहुपद इसके आसन्न आव्यूह का विशेषता बहुपद है।<ref>{{cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/CharacteristicPolynomial.html
| url = http://mathworld.wolfram.com/CharacteristicPolynomial.html
| title = Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld
| title = Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld
|access-date = August 26, 2011}}</ref>
|access-date = August 26, 2011}}</ref>
==प्रेरणा==
रैखिक बीजगणित में, ईजेनवैल्यू ​​​​और ईजेनवेक्टर मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि, [[रैखिक परिवर्तन]] को देखते हुए, ईजेनवेक्टर सदिश होता है जिसकी दिशा परिवर्तन से नहीं बदलती है, और संबंधित ईजेनवैल्यू सदिश के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।


अधिक स्पष्टतः, यदि परिवर्तन को वर्ग आव्यूह <math>A,</math> द्वारा दर्शाया जाता है तो ईजेनवेक्टर <math>\mathbf{v},</math> और संबंधित ईजेनवैल्यू <math>\lambda</math> समीकरण को संतुष्ट करता है


==प्रेरणा==
<math display="block">A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},</math>
रैखिक बीजगणित में, eigenvalues ​​​​और eigenvectors मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि, [[रैखिक परिवर्तन]] को देखते हुए, eigenvector वेक्टर होता है जिसकी दिशा परिवर्तन से नहीं बदलती है, और संबंधित eigenvalue वेक्टर के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।
 
अधिक सटीक रूप से, यदि परिवर्तन को वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है <math>A,</math> eigenvector <math>\mathbf{v},</math> और संबंधित eigenvalue <math>\lambda</math> समीकरण को संतुष्ट करना होगा
<math display=block>A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},</math>
या, समकक्ष,
या, समकक्ष,
<math display=block>(\lambda I - A) \mathbf{v} = 0</math>
<math display=block>(\lambda I - A) \mathbf{v} = 0</math>
कहाँ <math>I</math> पहचान मैट्रिक्स है, और <math>\mathbf{v}\ne \mathbf{0}</math>
जहां <math>I</math> पहचान आव्यूह है, और <math>\mathbf{v}\ne \mathbf{0}</math> (चूँकि शून्य सदिश प्रत्येक <math>\lambda,</math> के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है, इसे आइजेनवेक्टर नहीं माना जाता है)।
(हालांकि शून्य वेक्टर प्रत्येक के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है <math>\lambda,</math> इसे आइजेनवेक्टर नहीं माना जाता है)।


यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स <math>(\lambda I - A)</math> [[एकवचन मैट्रिक्स]] और उसका निर्धारक होना चाहिए
यह इस प्रकार है कि आव्यूह <math>(\lambda I - A)</math> [[एकवचन मैट्रिक्स|एकवचन आव्यूह]] और उसका निर्धारक होना चाहिए
<math display=block>\det(\lambda I - A) = 0</math>
<math display=block>\det(\lambda I - A) = 0</math>
शून्य होना चाहिए.
शून्य होना चाहिए.


दूसरे शब्दों में, के eigenvalues {{mvar|A}} किसी फ़ंक्शन के शून्य हैं
दूसरे शब्दों में {{mvar|A}} के ईजेनवैल्यू ​​की मूल हैं
<math display=block>\det(xI - A),</math>
<math display=block>\det(xI - A),</math>
जो कि [[राक्षसी बहुपद]] है {{mvar|x}} डिग्री का {{mvar|n}} अगर {{mvar|A}} है {{math|''n''×''n''}} आव्यूह। यह बहुपद का अभिलाक्षणिक बहुपद है {{mvar|A}}.
यदि A एक {{math|''n''×''n''}} आव्यूह है तो {{mvar|x}} डिग्री {{mvar|n}} वाला एक बहुपद है। यह बहुपद {{mvar|A}} का अभिलाक्षणिक बहुपद है।


==औपचारिक परिभाषा==
==औपचारिक परिभाषा==


एक पर विचार करें <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A.</math> की विशेषता बहुपद <math>A,</math> द्वारा चिह्नित <math>p_A(t),</math> द्वारा परिभाषित बहुपद है<ref>{{Cite book|title=उन्नत रैखिक बीजगणित|author=Steven Roman |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2 |isbn=3540978372 |edition=2 |year=1992 |publisher=Springer |page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2/page/n142 137]}}</ref>
एक <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A,</math> पर विचार करें। <math>A.</math> का विशेषता बहुपद, जिसे <math>p_A(t),</math> द्वारा निरूपित किया जाता है,<ref>{{Cite book|title=उन्नत रैखिक बीजगणित|author=Steven Roman |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2 |isbn=3540978372 |edition=2 |year=1992 |publisher=Springer |page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2/page/n142 137]}}</ref><math display=block>p_A(t) = \det (t I - A)</math>
<math display=block>p_A(t) = \det (t I - A)</math>
कहाँ <math>I</math> को दर्शाता है <math>n \times n</math> शिनाख्त सांचा।


कुछ लेखक विशिष्ट बहुपद को परिभाषित करते हैं <math>\det(A - t I).</math> वह बहुपद यहाँ चिन्ह द्वारा परिभाषित बहुपद से भिन्न है <math>(-1)^n,</math> इसलिए इससे मूल के रूप में eigenvalues ​​​​जैसे गुणों पर कोई फर्क नहीं पड़ता <math>A</math>; हालाँकि ऊपर दी गई परिभाषा सदैव राक्षसी बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल राक्षसी बहुपद देती है <math>n</math> सम है।
जहां <math>I</math> <math>n \times n</math> पहचान आव्यूह को दर्शाता हूं।
 
कुछ लेखक विशेषता बहुपद को <math>\det(A - t I).</math> के रूप में परिभाषित करते हैं, वह बहुपद यहां <math>(-1)^n,</math> चिह्न द्वारा परिभाषित बहुपद से भिन्न है, इसलिए इससे <math>A</math> के मूल मान जैसे गुणों के लिए कोई अंतर नहीं पड़ता है; चूँकि ऊपर दी गई परिभाषा सदैव एक विशेषता बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल एक विशेषता बहुपद देती है


==उदाहरण==
==उदाहरण==


मैट्रिक्स के अभिलक्षणिक बहुपद की गणना करना
आव्यूह के विशेषता बहुपद की गणना करता है
<math display=block>A = \begin{pmatrix}
<math display=block>A = \begin{pmatrix}
2 & 1\\
2 & 1\\
Line 50: Line 47:
1&t-0
1&t-0
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math> और पाया गया <math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!,</math> की विशेषता बहुपद <math>A.</math>
</math> और <math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!,</math> का विशेषता बहुपद <math>A.</math> पाया गया
एक अन्य उदाहरण अतिशयोक्तिपूर्ण कोण φ के [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों का उपयोग करता है।
एक अन्य उदाहरण अतिपरवलय कोण φ के अतिपरवलय फलनों का उपयोग करता है। आव्यूह के लिए माना
मैट्रिक्स के लिए ले लो
<math display=block>A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.</math>
<math display=block>A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.</math>
इसका अभिलक्षणिक बहुपद है
इसका विशेषता बहुपद है
<math display=block>\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).</math>
<math display=block>\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).</math>
==गुण==
==गुण==


विशेषता बहुपद <math>p_A(t)</math> का <math>n \times n</math> मैट्रिक्स मोनिक है (इसका अग्रणी गुणांक है <math>1</math>) और इसकी डिग्री है <math>n.</math> विशिष्ट बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य प्रेरक पैराग्राफ में पहले ही उल्लेख किया गया था: के eigenvalues <math>A</math> के कार्यों का मूल रूप से मूल हैं <math>p_A(t)</math> (यह [[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]] के लिए भी लागू होता है <math>A,</math> लेकिन इसकी डिग्री इससे कम हो सकती है <math>n</math>). विशेषता बहुपद के सभी गुणांक मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में [[बहुपद अभिव्यक्ति]] हैं। विशेषकर इसका स्थिर गुणांक <math>p_A(0)</math> है <math>\det(-A) = (-1)^n \det(A),</math> का गुणांक <math>t^n</math> है, और का गुणांक <math>t^{n-1}</math> है {{math|1=tr(−''A'') = −tr(''A'')}}, कहाँ {{math|tr(''A'')}} का [[ट्रेस (मैट्रिक्स)]] है <math>A.</math> (यहां दिए गए संकेत पिछले अनुभाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं;<ref>Proposition 28 in these [http://users.math.yale.edu/~tl292/teaching/math225/notes/week10.pdf lecture notes]{{dead link|date=November 2016 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> वैकल्पिक परिभाषा के लिए इसके बजाय ये होंगे <math>\det(A)</math> और {{math|(−1)<sup>''n'' – 1 </sup>tr(''A'')}} क्रमश।<ref>Theorem 4 in these [https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/115a.3.02f/week8.pdf lecture notes]</ref>)
<math>p_A(t)</math> आव्यूह का विशिष्ट बहुपद <math>n \times n</math> मोनिक है (इसका अग्रणी गुणांक <math>1</math> है) और इसकी डिग्री <math>n.</math> है। अभिलक्षणिक बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य पहले से ही प्रेरक अनुच्छेद में उल्लिखित किया गया था: <math>A</math> के स्वदेशी मान ठीक <math>p_A(t)</math> की मूल हैं (यह <math>A,</math> के [[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]] के लिए भी प्रयुक्त होता है, किन्तु इसकी डिग्री <math>n</math> से कम हो सकती है)विशेषता बहुपद के सभी गुणांक आव्यूह की प्रविष्टियों में बहुपद अभिव्यक्ति हैं। विशेष रूप से इसका निरंतर गुणांक <math>p_A(0)</math> है, <math>t^n</math> का गुणांक एक है, और <math>\det(-A) = (-1)^n \det(A),</math> का गुणांक, जहां <math>t^n</math><math>A.</math> का [[ट्रेस (मैट्रिक्स)|ट्रेस (आव्यूह)]] है। (यहां दिए गए संकेत पिछले अनुभाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं; <ref>Proposition 28 in these [http://users.math.yale.edu/~tl292/teaching/math225/notes/week10.pdf lecture notes]{{dead link|date=November 2016 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> वैकल्पिक परिभाषा के लिए ये क्रमशः <math>\det(A)</math> और {{math|(−1)<sup>''n'' – 1 </sup>tr(''A'')}} होते है।<ref>Theorem 4 in these [https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/115a.3.02f/week8.pdf lecture notes]</ref>)


एक के लिए <math>2 \times 2</math> आव्यूह <math>A,</math> अभिलक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है
<math>2 \times 2</math> आव्यूह <math>A,</math> के लिए, विशेषता बहुपद इस प्रकार दिया गया है
<math display=block>t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).</math>
<math display=block>t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).</math>
बाह्य बीजगणित की भाषा का उपयोग करते हुए, का अभिलक्षणिक बहुपद <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
बाह्य बीजगणित की भाषा का उपयोग करते हुए, <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A</math> के विशिष्ट बहुपद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
<math display=block>p_A (t) = \sum_{k=0}^n t^{n-k} (-1)^k \operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right)</math>
<math display=block>p_A (t) = \sum_{k=0}^n t^{n-k} (-1)^k \operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right)</math>
कहाँ <math display="inline">\operatorname{tr}\left(\bigwedge^k A\right)</math> का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है <math>k</math>वें बाहरी बीजगणित#कार्यात्मकता <math>A,</math> जिसका आयाम है <math display="inline">\binom {n}{k}.</math> इस ट्रेस की गणना सभी प्रमुख अवयस्कों के योग के रूप में की जा सकती है <math>A</math> आकार का <math>k.</math> पुनरावर्ती फ़ैडीव-लेवेरियर एल्गोरिदम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।
जहां <math display="inline">\operatorname{tr}\left(\bigwedge^k A\right)</math> की <math>k</math>वीं बाह्य शक्ति का ट्रेस है, जिसका आयाम <math>A,</math> है इस ट्रेस की गणना <math display="inline">\binom {n}{k}.</math> आकार के <math>A</math> के सभी प्रमुख माइनरों के योग के रूप में की जा सकती है। पुनरावर्ती फ़ैडीव-लेवेरियर एल्गोरिदम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।


जब गुणांकों का क्षेत्र (गणित) का लक्षण (बीजगणित) होता है <math>0,</math> ऐसे प्रत्येक ट्रेस की वैकल्पिक रूप से एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है <math>k \times k</math> आव्यूह,
जब गुणांक के क्षेत्र की विशेषता <math>0,</math> होती है, तो प्रत्येक ऐसे ट्रेस को वैकल्पिक रूप से <math>k \times k</math> आव्यूह के एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है,
<math display=block>\operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right) = \frac{1}{k!}   
<math display="block">\operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right) = \frac{1}{k!}   
\begin{vmatrix}  \operatorname{tr}A  &  k-1 &0&\cdots &0 \\
\begin{vmatrix}  \operatorname{tr}A  &  k-1 &0&\cdots &0 \\
\operatorname{tr}A^2  &\operatorname{tr}A&  k-2 &\cdots &0 \\
\operatorname{tr}A^2  &\operatorname{tr}A&  k-2 &\cdots &0 \\
Line 76: Line 70:
\operatorname{tr}A^k  &\operatorname{tr}A^{k-1}& & \cdots & \operatorname{tr}A
\operatorname{tr}A^k  &\operatorname{tr}A^{k-1}& & \cdots & \operatorname{tr}A
\end{vmatrix} ~.</math>
\end{vmatrix} ~.</math>
केली-हैमिल्टन प्रमेय बताता है कि प्रतिस्थापित करना <math>t</math> द्वारा <math>A</math> विशिष्ट बहुपद में (परिणामी शक्तियों को मैट्रिक्स शक्तियों और स्थिर पद के रूप में व्याख्या करना <math>c</math> जैसा <math>c</math> पहचान मैट्रिक्स का गुणा) शून्य मैट्रिक्स उत्पन्न करता है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, प्रत्येक मैट्रिक्स अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के बराबर है कि न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)। <math>A</math> के गुणधर्म बहुपद को विभाजित करता है <math>A.</math>
दो समान आव्यूहों का अभिलक्षणिक बहुपद समान होता है। हालाँकि, इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: समान विशेषता बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।


गणित का सवाल <math>A</math> और इसके स्थानान्तरण में समान विशेषता बहुपद है। <math>A</math> [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] के समान है यदि और केवल तभी जब इसके विशिष्ट बहुपद को पूरी तरह से रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सके <math>K</math> (विशेष बहुपद के बजाय न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सच है)। इस मामले में <math>A</math> [[जॉर्डन सामान्य रूप]] में मैट्रिक्स के समान है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय में कहा गया है कि विशेषता बहुपद में <math>t</math> को <math>A</math> द्वारा प्रतिस्थापित करना (परिणामी शक्तियों को आव्यूह शक्तियों के रूप में व्याख्या करना, और स्थिर पद <math>c</math> को पहचान आव्यूह के <math>c</math> गुना के रूप में व्याख्या करना) शून्य आव्यूह उत्पन्न करता है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, प्रत्येक आव्यूह अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के समान है कि <math>A</math> का न्यूनतम बहुपद <math>A.</math> के विशिष्ट बहुपद को विभाजित करता है
 
दो समान आव्यूहों का विशेषता बहुपद समान होता है। चूँकि, इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: समान विशेषता बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।
 
आव्यूह <math>A</math> और उसके समिष्टान्तरण में समान विशेषता बहुपद है। <math>A</math> एक [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] के समान है यदि और केवल तभी जब इसके विशेषता बहुपद को <math>K</math> के ऊपर रैखिक कारकों में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है (विशेष बहुपद के अतिरिक्त न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सत्य है)। इस स्थिति में <math>A</math> [[जॉर्डन सामान्य रूप|जॉर्डन]] सामान्यतः एक आव्यूह के समान है।
 
==दो आव्यूहों के गुणनफल का विशेषता बहुपद==


==दो आव्यूहों के गुणनफल का अभिलक्षणिक बहुपद==
यदि <math>A</math> और <math>B</math> दो वर्ग <math>n \times n</math> आव्यूह हैं तो <math>AB</math> और <math>BA</math> के अभिलक्षणिक बहुपद संपाती होते हैं:
<math display="block">p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,</math>
जब <math>A</math> गैर-एकवचन है तो यह परिणाम इस तथ्य से निकलता है कि <math>AB</math> और <math>BA</math> समान हैं:
<math display="block">BA = A^{-1} (AB) A.</math>
ऐसे स्थिति के लिए जहां <math>A</math> और <math>B</math> दोनों एकवचन हैं, वांछित पहचान <math>t</math> में बहुपद और आव्यूहों के गुणांक के बीच समानता है। इस प्रकार, इस समानता को सिद्ध करने के लिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के समिष्ट के एक गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय (सामान्य [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समिष्ट]] के लिए, या, अधिक सामान्यतः, [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] के लिए) पर सत्यापित है। चूँकि गैर-एकवचन आव्यूह सभी आव्यूहों के समिष्ट का एक विवृत उपसमुच्चय बनाते हैं, यह परिणाम को सिद्ध करता है।


अगर <math>A</math> और <math>B</math> दो वर्ग हैं <math>n \times n</math> आव्यूह फिर अभिलाक्षणिक बहुपद <math>AB</math> और <math>BA</math> संयोग:
अधिक सामान्यतः, यदि <math>A</math>, <math>m \times n</math> क्रम का एक आव्यूह है और <math>B</math>, <math>n \times m,</math>, क्रम का एक आव्यूह है, तो <math>AB</math> <math>m \times m</math> है और <math>BA</math>, <math>n \times n</math> आव्यूह है, और एक के पास है<math display="block">p_{BA}(t) = t^{n-m} p_{AB}(t).\,</math>
<math display=block>p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,</math>
कब <math>A</math> [[गैर-एकवचन मैट्रिक्स]] है|गैर-एकवचन यह परिणाम इस तथ्य से निकलता है <math>AB</math> और <math>BA</math> समान आव्यूह हैं:
<math display=block>BA = A^{-1} (AB) A.</math>
उस मामले के लिए जहां दोनों <math>A</math> और <math>B</math> एकवचन हैं, वांछित पहचान बहुपदों के बीच समानता है <math>t</math> और आव्यूहों के गुणांक। इस प्रकार, इस समानता को साबित करने के लिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के स्थान के गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय (सामान्य [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए, या, अधिक सामान्यतः, [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] के लिए) पर सत्यापित है। चूँकि गैर-एकवचन आव्यूह सभी आव्यूहों के स्थान का [[खुला उपसमुच्चय]] बनाते हैं, यह परिणाम को सिद्ध करता है।


अधिक सामान्यतः, यदि <math>A</math> आदेश का मैट्रिक्स है <math>m \times n</math> और <math>B</math> आदेश का मैट्रिक्स है <math>n \times m,</math> तब <math>AB</math> है <math>m \times m</math> और <math>BA</math> है <math>n \times n</math> मैट्रिक्स, और के पास है
इसे सिद्ध करने के लिए, यदि आवश्यक हो, तो <math>A</math> और <math>B.</math> को अदला-बदली करके <math>n > m,</math> मान लिया जा सकता है। फिर, नीचे <math>A</math> को शून्य की <math>n - m</math> पंक्तियों से और दाईं ओर <math>B</math> को, शून्य के <math>n - m</math> स्तंभों से सीमाबद्ध करके, व्यक्ति को दो <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A^{\prime}</math> और <math>B^{\prime}</math> इस प्रकार प्राप्त होते हैं कि <math>B^{\prime}A^{\prime} = BA</math> और <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> शून्य की <math>n - m</math> पंक्तियों और स्तंभों से घिरे <math>AB</math> के समान हैं। परिणाम <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> और <math>AB.</math> के विशिष्ट बहुपदों की तुलना करके, वर्ग आव्यूह के स्थिति से प्राप्त होता है
<math display=block>p_{BA}(t) = t^{n-m} p_{AB}(t).\,</math>
इसे साबित करने के लिए कोई मान सकता है <math>n > m,</math> यदि आवश्यक हो तो आदान-प्रदान करके, <math>A</math> और <math>B.</math> फिर, बॉर्डरिंग करके <math>A</math> द्वारा तल पर <math>n - m</math> शून्य की पंक्तियाँ, और <math>B</math> दाईं ओर, द्वारा, <math>n - m</math> शून्य के स्तंभ, को दो मिलते हैं <math>n \times n</math> मैट्रिक्स <math>A^{\prime}</math> और <math>B^{\prime}</math> ऐसा है कि <math>B^{\prime}A^{\prime} = BA</math> और <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> के बराबर है <math>AB</math> द्वारा सीमाबद्ध <math>n - m</math> शून्य की पंक्तियाँ और स्तंभ. परिणाम वर्ग आव्यूहों के मामले से, के विशिष्ट बहुपदों की तुलना करके प्राप्त होता है <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> और <math>AB.</math>


==<math>A</math><sup>k</sup> का विशेषता बहुपद==


==ए का अभिलक्षणिक बहुपद<sup></sup>==
यदि <math>\lambda</math>, ईजेनवेक्टर <math>A</math> के साथ वर्ग आव्यूह <math>A</math> का एक eigenvalue है तो <math>\mathbf{v},</math>, <math>\lambda^k</math> का एक ईजेनवैल्यू है क्योंकि
<math display="block">A^k \textbf{v} = A^{k-1} A \textbf{v} = \lambda A^{k-1} \textbf{v} = \dots = \lambda^k \textbf{v}.</math>
बहुलताओं को सहमत होते हुए भी दिखाया जा सकता है, और यह इसके <math>x^k</math> समिष्ट पर किसी भी बहुपद का सामान्यीकरण करता है :<ref>{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=मैट्रिक्स विश्लेषण| publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54823-6 | year=2013 |edition=2nd|at=pp. 108–109, Section 2.4.2}}</ref>


अगर <math>\lambda</math> वर्ग मैट्रिक्स का eigenvalue है <math>A</math> eigenvector के साथ <math>\mathbf{v},</math> तब <math>\lambda^k</math> का प्रतिरूप है <math>A^k</math> क्योंकि
<math display=block>A^k \textbf{v} = A^{k-1} A \textbf{v} = \lambda A^{k-1} \textbf{v} = \dots = \lambda^k \textbf{v}.</math>
बहुलताओं को सहमत होते हुए भी दिखाया जा सकता है, और यह इसके स्थान पर किसी भी बहुपद का सामान्यीकरण करता है <math>x^k</math>:<ref>{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=मैट्रिक्स विश्लेषण| publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54823-6 | year=2013 |edition=2nd|at=pp. 108–109, Section 2.4.2}}</ref>
{{math theorem  
{{math theorem  
   | name = Theorem
   | name = प्रमेय
   | Let <math>A</math> be a square <math>n \times n</math> matrix and let <math>f(t)</math> be a polynomial. If the characteristic polynomial of <math>A</math> has a factorization
   | माना <math>A</math> एक वर्ग हो <math>n \times n</math> आव्यूह और माना <math>f(t)</math> एक बहुपद हो. यदि की विशेषता बहुपद <math>A</math> एक गुणनखंडन है
<math display=block>p_A(t) = (t - \lambda_1) (t - \lambda_2) \cdots (t-\lambda_n)</math>
<math display=block>p_A(t) = (t - \lambda_1) (t - \lambda_2) \cdots (t-\lambda_n)</math>
then the characteristic polynomial of the matrix <math>f(A)</math> is given by
फिर आव्यूह का विशेषता बहुपद <math>f(A)</math> द्वारा दिया गया है
<math display=block>p_{f(A)}(t) = (t - f(\lambda_1)) (t - f(\lambda_2)) \cdots (t-f(\lambda_n)).</math>
<math display=block>p_{f(A)}(t) = (t - f(\lambda_1)) (t - f(\lambda_2)) \cdots (t-f(\lambda_n)).</math>
}}
}}
अर्थात् बीजगणितीय बहुलता <math>\lambda</math> में <math>f(A)</math> के बीजगणितीय गुणन के योग के बराबर है <math>\lambda'</math> में <math>A</math> ऊपर <math>\lambda'</math> ऐसा है कि <math>f(\lambda') = \lambda.</math> विशेष रूप से, <math>\operatorname{tr}(f(A)) = \textstyle\sum_{i=1}^n f(\lambda_i)</math> और <math>\operatorname{det}(f(A)) = \textstyle\prod_{i=1}^n f(\lambda_i).</math> यहाँ बहुपद है <math>f(t) = t^3+1,</math> उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर मूल्यांकन किया जाता है <math>A</math> बस के रूप में <math>f(A) = A^3+I.</math> प्रमेय किसी भी क्षेत्र या [[क्रमविनिमेय वलय]] पर आव्यूहों और बहुपदों पर लागू होता है।<ref>{{Cite book |last=Lang |first=Serge |url=https://www.worldcat.org/oclc/852792828 |title=बीजगणित|publisher=Springer |year=1993 |isbn=978-1-4613-0041-0 |location=New York |oclc=852792828|at=p.567, Theorem 3.10}}</ref>
 
हालाँकि, यह धारणा <math>p_A(t)</math> रैखिक कारकों में गुणनखंडन हमेशा सत्य नहीं होता है, जब तक कि मैट्रिक्स जटिल संख्याओं जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर न हो।
अर्थात् बीजगणितीय बहुलता <math>\lambda</math> में <math>f(A)</math> के बीजगणितीय गुणन के योग के समान है ऐसा है कि <math>f(\lambda') = \lambda.</math> विशेष रूप से, <math>\operatorname{tr}(f(A)) = \textstyle\sum_{i=1}^n f(\lambda_i)</math> और <math>\operatorname{det}(f(A)) = \textstyle\prod_{i=1}^n f(\lambda_i).</math> यहाँ बहुपद <math>f(t) = t^3+1,</math> है उदाहरण के लिए, आव्यूह <math>A</math> पर मूल्यांकन किया जाता है इस प्रकार <math>f(A) = A^3+I.</math> प्रमेय किसी भी क्षेत्र या [[क्रमविनिमेय वलय]] पर आव्यूहों और बहुपदों पर प्रयुक्त होता है।<ref>{{Cite book |last=Lang |first=Serge |url=https://www.worldcat.org/oclc/852792828 |title=बीजगणित|publisher=Springer |year=1993 |isbn=978-1-4613-0041-0 |location=New York |oclc=852792828|at=p.567, Theorem 3.10}}</ref>
 
चूँकि, यह धारणा <math>p_A(t)</math> रैखिक कारकों में गुणनखंडन सदैव सत्य नहीं होता है, जब तक कि आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं जैसे बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर नही होती है।


{{math proof|proof=
{{math proof|proof=
This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field).
यह प्रमाण केवल सम्मिश्र संख्याओं (या किसी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र) पर आव्यूहों और बहुपदों पर प्रयुक्त होता है।
In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as
उस स्थिति में, किसी भी वर्ग अक्व्युह के अभिलक्षणिक बहुपद को सदैव इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है
<math display=block>p_A(t) = \left(t - \lambda_1\right) \left(t - \lambda_2\right) \cdots \left(t - \lambda_n\right)</math>
<math display=block>p_A(t) = \left(t - \lambda_1\right) \left(t - \lambda_2\right) \cdots \left(t - \lambda_n\right)</math>
where <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> are the eigenvalues of <math>A,</math> possibly repeated.  
जहाँ <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> के इजेनवैल्यू हैं <math>A,</math> संभवतः दोहराया गया.  
Moreover, the [[Jordan normal form|Jordan decomposition theorem]] guarantees that any square matrix <math>A</math> can be decomposed as <math>A = S^{-1} U S,</math> where <math>S</math> is an [[invertible matrix]] and <math>U</math> is [[upper triangular]]
इसके अतिरिक्त, [[जॉर्डन सामान्य रूप|जॉर्डन अपघटन प्रमेय]] गारंटी देता है कि कोई भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> के रूप में विघटित किया जा सकता है <math>A = S^{-1} U S,</math> जहाँ <math>S</math> एक [[विपरीत आव्यूह]] है और <math>U</math> [[ऊपरी त्रिकोणीय]] है
with <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity).
साथ <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> विकर्ण पर (प्रत्येक इजेनवैल्यू को उसकी बीजगणितीय बहुलता के अनुसार दोहराया जाता है)
(The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the [[Schur decomposition]] can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).
(जॉर्डन सामान्य रूप में सशक्त गुण हैं, किन्तु ये पर्याप्त हैं; वैकल्पिक रूप से [[शूर अपघटन]] का उपयोग किया जा सकता है, जो कम लोकप्रिय है किन्तु सिद्ध करना कुछ सीमा तक सरल है)


Let <math display="inline">f(t) = \sum_i \alpha_i t^i.</math>  
माना <math display="inline">f(t) = \sum_i \alpha_i t^i.</math>  
Then
तब
<math display=block>f(A) = \textstyle\sum \alpha_i (S^{-1} U S)^i = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U S S^{-1} U S \cdots S^{-1} U S = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U^i S = S^{-1} (\textstyle\sum \alpha_i U^i) S = S^{-1} f(U) S.</math>  
<math display=block>f(A) = \textstyle\sum \alpha_i (S^{-1} U S)^i = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U S S^{-1} U S \cdots S^{-1} U S = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U^i S = S^{-1} (\textstyle\sum \alpha_i U^i) S = S^{-1} f(U) S.</math>  
For an upper triangular matrix <math>U</math> with diagonal <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n,</math> the matrix <math>U^i</math> is upper triangular with diagonal <math>\lambda_1^i,\dots,\lambda_n^i</math> in <math>U^i,</math>  
ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के लिए <math>U</math> विकर्ण सहित <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n,</math> आव्यूह <math>U^i</math> विकर्ण के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है <math>\lambda_1^i,\dots,\lambda_n^i</math> in <math>U^i,</math>  
and hence <math>f(U)</math> is upper triangular with diagonal <math>f\left(\lambda_1\right), \dots, f\left(\lambda_n\right).</math>  
और इसलिए <math>f(U)</math> विकर्ण के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है <math>f\left(\lambda_1\right), \dots, f\left(\lambda_n\right).</math>  
Therefore, the eigenvalues of <math>f(U)</math> are <math>f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n).</math>  
इसलिए, के मान <math>f(U)</math> है <math>f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n).</math>  
Since <math>f(A) = S^{-1} f(U) S</math> is [[Similar matrix|similar]] to <math>f(U),</math> it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.
इसलिए <math>f(A) = S^{-1} f(U) S</math> [[समान आव्यूह|समान]] है <math>f(U),</math> इसमें समान बीजगणितीय बहुलताओं के साथ समान इजेनवैल्यू हैं.
}}
}}


==धर्मनिरपेक्ष कार्य और धर्मनिरपेक्ष समीकरण==
==सेक्युलर फलन और सेक्युलर समीकरण==


===धर्मनिरपेक्ष कार्य===
===सेक्युलर फलन===


धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द का प्रयोग उस चीज़ के लिए किया गया है जिसे अब ''विशेषता बहुपद'' कहा जाता है (कुछ साहित्य में धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आया है कि [[जोसेफ लुई लैग्रेंज]] के दोलन सिद्धांत के अनुसार, विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की [[धर्मनिरपेक्ष घटना]]ओं (एक सदी के समय के पैमाने पर, यानी वार्षिक गति की तुलना में धीमी) की गणना करने के लिए किया गया था।
सेक्युलर फलन शब्द का प्रयोग उस चीज़ के लिए किया गया है जिसे अब ''विशेषता बहुपद'' कहा जाता है (कुछ साहित्य में सेक्युलर फलन शब्द अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आया है कि [[जोसेफ लुई लैग्रेंज]] के दोलन सिद्धांत के अनुसार, विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की [[धर्मनिरपेक्ष घटना|सेक्युलर घटना]]ओं (एक सदी के समय के मापदंड पर, अर्थात वार्षिक गति की तुलना में धीमी) की गणना करने के लिए किया गया था।


===धर्मनिरपेक्ष समीकरण===
===सेक्युलर समीकरण===
धर्मनिरपेक्ष समीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं.
सेक्युलर समीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं.


* रैखिक बीजगणित में इसका प्रयोग कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के स्थान पर किया जाता है।
* रैखिक बीजगणित में इसका प्रयोग कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के समिष्ट पर किया जाता है।
* [[खगोल]] विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो छोटी अवधि की असमानताओं की अनुमति के बाद बनी रहती है।<ref>{{cite web
* [[खगोल]] विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो छोटी अवधि की असमानताओं की अनुमति के पश्चात् बनी रहती है।<ref>{{cite web
| url = http://dict.die.net/secular%20equation/
| url = http://dict.die.net/secular%20equation/
| title = secular equation
| title = secular equation
|access-date = January 21, 2010}}</ref>
|access-date = January 21, 2010}}</ref>
* इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसके तरंग कार्य से संबंधित [[आणविक कक्षीय]] गणनाओं में विशेषता समीकरण के स्थान पर भी इसका उपयोग किया जाता है।
* इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसके तरंग फलन से संबंधित [[आणविक कक्षीय]] गणनाओं में विशेषता समीकरण के समिष्ट पर भी इसका उपयोग किया जाता है।


==सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए==
==सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए==
मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा <math>A \in M_n(F)</math> किसी फ़ील्ड में प्रविष्टियों के साथ <math>F</math> जब मामले में कोई बदलाव किए बिना सामान्यीकरण किया जाता है <math>F</math> केवल क्रमविनिमेय वलय है। {{harvtxt|Garibaldi|2004}} क्षेत्र पर मनमाना परिमित-आयामी ([[साहचर्य बीजगणित]], लेकिन जरूरी नहीं कि क्रमविनिमेय) बीजगणित के तत्वों के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है <math>F</math> और इस व्यापकता में चारित्रिक बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।
किसी क्षेत्र <math>F</math> में प्रविष्टियों के साथ आव्यूह <math>A \in M_n(F)</math> के विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा उस स्थिति में बिना किसी बदलाव के सामान्यीकरण करती है जब <math>F</math> केवल एक क्रमविनिमेय वलय है। {{harvtxt|गैरीबाल्डी|2004}} एक क्षेत्र एफ पर एक परिमित-आयामी (साहचर्य, किन्तु आवश्यक नहीं कि क्रमविनिमेय) बीजगणित के अवयवो के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है और इस व्यापकता में विशेषता बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
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* [[विशेषता समीकरण (बहुविकल्पी)]]
* [[विशेषता समीकरण (बहुविकल्पी)]]
* [[टेंसर के अपरिवर्तनीय]]
* [[टेंसर के अपरिवर्तनीय]]
* [[सहयोगी मैट्रिक्स]]
* [[सहयोगी मैट्रिक्स|सहयोगी आव्यूह]]
* फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
* फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
* केली-हैमिल्टन प्रमेय
* केली-हैमिल्टन प्रमेय
* सैमुएलसन-बर्कोविट्ज़ एल्गोरिथम
* सैमुएलसन-बर्कोविट्ज़ एल्गोरिथम


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                                             ==


{{reflist}}
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* Paul C. Shields (1980) ''Elementary Linear Algebra'' 3rd edition, p 274, [[Worth Publishers]] {{ISBN|0-87901-121-1}} .
* Paul C. Shields (1980) ''Elementary Linear Algebra'' 3rd edition, p 274, [[Worth Publishers]] {{ISBN|0-87901-121-1}} .
* [[Gilbert Strang]] (1988) ''Linear Algebra and Its Applications'' 3rd edition, p 246, [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-15-551005-3}} .
* [[Gilbert Strang]] (1988) ''Linear Algebra and Its Applications'' 3rd edition, p 246, [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-15-551005-3}} .
[[Category: बहुपदों]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: टेंसर]]


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Latest revision as of 17:25, 21 August 2023

रैखिक बीजगणित में, वर्ग आव्यूह का विशिष्ट बहुपद बहुपद होता है जो आव्यूह समानता के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है और बहुपद के मूल के रूप में स्वदेशी मान होता है। इसके गुणांकों के बीच आव्यूह का निर्धारक और ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है। परिमित-आयामी सदिश समिष्ट के एंडोमोर्फिज्म का विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज्म के आव्यूह का विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद आधार (रैखिक बीजगणित) की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है,[1][2][3] विशेषता बहुपद को शून्य के समान करके प्राप्त समीकरण है।

वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में, ग्राफ़ (असतत गणित) का विशेषता बहुपद इसके आसन्न आव्यूह का विशेषता बहुपद है।[4]

प्रेरणा

रैखिक बीजगणित में, ईजेनवैल्यू ​​​​और ईजेनवेक्टर मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि, रैखिक परिवर्तन को देखते हुए, ईजेनवेक्टर सदिश होता है जिसकी दिशा परिवर्तन से नहीं बदलती है, और संबंधित ईजेनवैल्यू सदिश के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।

अधिक स्पष्टतः, यदि परिवर्तन को वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है तो ईजेनवेक्टर और संबंधित ईजेनवैल्यू समीकरण को संतुष्ट करता है

या, समकक्ष,
जहां पहचान आव्यूह है, और (चूँकि शून्य सदिश प्रत्येक के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है, इसे आइजेनवेक्टर नहीं माना जाता है)।

यह इस प्रकार है कि आव्यूह एकवचन आव्यूह और उसका निर्धारक होना चाहिए

शून्य होना चाहिए.

दूसरे शब्दों में A के ईजेनवैल्यू ​​की मूल हैं

यदि A एक n×n आव्यूह है तो x डिग्री n वाला एक बहुपद है। यह बहुपद A का अभिलाक्षणिक बहुपद है।

औपचारिक परिभाषा

एक आव्यूह पर विचार करें। का विशेषता बहुपद, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है,[5]

जहां पहचान आव्यूह को दर्शाता हूं।

कुछ लेखक विशेषता बहुपद को के रूप में परिभाषित करते हैं, वह बहुपद यहां चिह्न द्वारा परिभाषित बहुपद से भिन्न है, इसलिए इससे के मूल मान जैसे गुणों के लिए कोई अंतर नहीं पड़ता है; चूँकि ऊपर दी गई परिभाषा सदैव एक विशेषता बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल एक विशेषता बहुपद देती है

उदाहरण

आव्यूह के विशेषता बहुपद की गणना करता है

निम्नलिखित के निर्धारक की गणना की जाती है:
और का विशेषता बहुपद पाया गया एक अन्य उदाहरण अतिपरवलय कोण φ के अतिपरवलय फलनों का उपयोग करता है। आव्यूह के लिए माना
इसका विशेषता बहुपद है

गुण

आव्यूह का विशिष्ट बहुपद मोनिक है (इसका अग्रणी गुणांक है) और इसकी डिग्री है। अभिलक्षणिक बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य पहले से ही प्रेरक अनुच्छेद में उल्लिखित किया गया था: के स्वदेशी मान ठीक की मूल हैं (यह के न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) के लिए भी प्रयुक्त होता है, किन्तु इसकी डिग्री से कम हो सकती है)। विशेषता बहुपद के सभी गुणांक आव्यूह की प्रविष्टियों में बहुपद अभिव्यक्ति हैं। विशेष रूप से इसका निरंतर गुणांक है, का गुणांक एक है, और का गुणांक, जहां का ट्रेस (आव्यूह) है। (यहां दिए गए संकेत पिछले अनुभाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं; [6] वैकल्पिक परिभाषा के लिए ये क्रमशः और (−1)n – 1 tr(A) होते है।[7])

आव्यूह के लिए, विशेषता बहुपद इस प्रकार दिया गया है

बाह्य बीजगणित की भाषा का उपयोग करते हुए, आव्यूह के विशिष्ट बहुपद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
जहां की वीं बाह्य शक्ति का ट्रेस है, जिसका आयाम है इस ट्रेस की गणना आकार के के सभी प्रमुख माइनरों के योग के रूप में की जा सकती है। पुनरावर्ती फ़ैडीव-लेवेरियर एल्गोरिदम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।

जब गुणांक के क्षेत्र की विशेषता होती है, तो प्रत्येक ऐसे ट्रेस को वैकल्पिक रूप से आव्यूह के एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है,

केली-हैमिल्टन प्रमेय में कहा गया है कि विशेषता बहुपद में को द्वारा प्रतिस्थापित करना (परिणामी शक्तियों को आव्यूह शक्तियों के रूप में व्याख्या करना, और स्थिर पद को पहचान आव्यूह के गुना के रूप में व्याख्या करना) शून्य आव्यूह उत्पन्न करता है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, प्रत्येक आव्यूह अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के समान है कि का न्यूनतम बहुपद के विशिष्ट बहुपद को विभाजित करता है

दो समान आव्यूहों का विशेषता बहुपद समान होता है। चूँकि, इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: समान विशेषता बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।

आव्यूह और उसके समिष्टान्तरण में समान विशेषता बहुपद है। एक त्रिकोणीय आव्यूह के समान है यदि और केवल तभी जब इसके विशेषता बहुपद को के ऊपर रैखिक कारकों में पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है (विशेष बहुपद के अतिरिक्त न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सत्य है)। इस स्थिति में जॉर्डन सामान्यतः एक आव्यूह के समान है।

दो आव्यूहों के गुणनफल का विशेषता बहुपद

यदि और दो वर्ग आव्यूह हैं तो और के अभिलक्षणिक बहुपद संपाती होते हैं:

जब गैर-एकवचन है तो यह परिणाम इस तथ्य से निकलता है कि और समान हैं:
ऐसे स्थिति के लिए जहां और दोनों एकवचन हैं, वांछित पहचान में बहुपद और आव्यूहों के गुणांक के बीच समानता है। इस प्रकार, इस समानता को सिद्ध करने के लिए, यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के समिष्ट के एक गैर-रिक्त विवृत उपसमुच्चय (सामान्य टोपोलॉजिकल समिष्ट के लिए, या, अधिक सामान्यतः, ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए) पर सत्यापित है। चूँकि गैर-एकवचन आव्यूह सभी आव्यूहों के समिष्ट का एक विवृत उपसमुच्चय बनाते हैं, यह परिणाम को सिद्ध करता है।

अधिक सामान्यतः, यदि , क्रम का एक आव्यूह है और , , क्रम का एक आव्यूह है, तो है और , आव्यूह है, और एक के पास है

इसे सिद्ध करने के लिए, यदि आवश्यक हो, तो और को अदला-बदली करके मान लिया जा सकता है। फिर, नीचे को शून्य की पंक्तियों से और दाईं ओर को, शून्य के स्तंभों से सीमाबद्ध करके, व्यक्ति को दो आव्यूह और इस प्रकार प्राप्त होते हैं कि और शून्य की पंक्तियों और स्तंभों से घिरे के समान हैं। परिणाम और के विशिष्ट बहुपदों की तुलना करके, वर्ग आव्यूह के स्थिति से प्राप्त होता है

k का विशेषता बहुपद

यदि , ईजेनवेक्टर के साथ वर्ग आव्यूह का एक eigenvalue है तो , का एक ईजेनवैल्यू है क्योंकि

बहुलताओं को सहमत होते हुए भी दिखाया जा सकता है, और यह इसके समिष्ट पर किसी भी बहुपद का सामान्यीकरण करता है :[8]

प्रमेय —  माना एक वर्ग हो आव्यूह और माना एक बहुपद हो. यदि की विशेषता बहुपद एक गुणनखंडन है

फिर आव्यूह का विशेषता बहुपद द्वारा दिया गया है

अर्थात् बीजगणितीय बहुलता में के बीजगणितीय गुणन के योग के समान है ऐसा है कि विशेष रूप से, और यहाँ बहुपद है उदाहरण के लिए, आव्यूह पर मूल्यांकन किया जाता है इस प्रकार प्रमेय किसी भी क्षेत्र या क्रमविनिमेय वलय पर आव्यूहों और बहुपदों पर प्रयुक्त होता है।[9]

चूँकि, यह धारणा रैखिक कारकों में गुणनखंडन सदैव सत्य नहीं होता है, जब तक कि आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं जैसे बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर नही होती है।

Proof

यह प्रमाण केवल सम्मिश्र संख्याओं (या किसी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र) पर आव्यूहों और बहुपदों पर प्रयुक्त होता है। उस स्थिति में, किसी भी वर्ग अक्व्युह के अभिलक्षणिक बहुपद को सदैव इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है

जहाँ के इजेनवैल्यू हैं संभवतः दोहराया गया. इसके अतिरिक्त, जॉर्डन अपघटन प्रमेय गारंटी देता है कि कोई भी वर्ग आव्यूह के रूप में विघटित किया जा सकता है जहाँ एक विपरीत आव्यूह है और ऊपरी त्रिकोणीय है साथ विकर्ण पर (प्रत्येक इजेनवैल्यू को उसकी बीजगणितीय बहुलता के अनुसार दोहराया जाता है)। (जॉर्डन सामान्य रूप में सशक्त गुण हैं, किन्तु ये पर्याप्त हैं; वैकल्पिक रूप से शूर अपघटन का उपयोग किया जा सकता है, जो कम लोकप्रिय है किन्तु सिद्ध करना कुछ सीमा तक सरल है)।

माना तब

ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के लिए विकर्ण सहित आव्यूह विकर्ण के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है in और इसलिए विकर्ण के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है इसलिए, के मान है इसलिए समान है इसमें समान बीजगणितीय बहुलताओं के साथ समान इजेनवैल्यू हैं.

सेक्युलर फलन और सेक्युलर समीकरण

सेक्युलर फलन

सेक्युलर फलन शब्द का प्रयोग उस चीज़ के लिए किया गया है जिसे अब विशेषता बहुपद कहा जाता है (कुछ साहित्य में सेक्युलर फलन शब्द अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आया है कि जोसेफ लुई लैग्रेंज के दोलन सिद्धांत के अनुसार, विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की सेक्युलर घटनाओं (एक सदी के समय के मापदंड पर, अर्थात वार्षिक गति की तुलना में धीमी) की गणना करने के लिए किया गया था।

सेक्युलर समीकरण

सेक्युलर समीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं.

  • रैखिक बीजगणित में इसका प्रयोग कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के समिष्ट पर किया जाता है।
  • खगोल विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो छोटी अवधि की असमानताओं की अनुमति के पश्चात् बनी रहती है।[10]
  • इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसके तरंग फलन से संबंधित आणविक कक्षीय गणनाओं में विशेषता समीकरण के समिष्ट पर भी इसका उपयोग किया जाता है।

सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए

किसी क्षेत्र में प्रविष्टियों के साथ आव्यूह के विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा उस स्थिति में बिना किसी बदलाव के सामान्यीकरण करती है जब केवल एक क्रमविनिमेय वलय है। गैरीबाल्डी (2004) एक क्षेत्र एफ पर एक परिमित-आयामी (साहचर्य, किन्तु आवश्यक नहीं कि क्रमविनिमेय) बीजगणित के अवयवो के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है और इस व्यापकता में विशेषता बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Guillemin, Ernst (1953). परिचयात्मक सर्किट सिद्धांत. Wiley. pp. 366, 541. ISBN 0471330663.
  2. Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की स्थिति में सुधार के लिए गॉस परिवर्तन का विस्तार" (PDF). American Mathematical Society – Mathematics of Computation. 6 (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0. Retrieved 3 October 2020.
  3. Frank, Evelyn (1946). "सम्मिश्र गुणांक वाले बहुपदों के शून्यकों पर". Bulletin of the American Mathematical Society. 52 (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2.
  4. "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". Retrieved August 26, 2011.
  5. Steven Roman (1992). उन्नत रैखिक बीजगणित (2 ed.). Springer. p. 137. ISBN 3540978372.
  6. Proposition 28 in these lecture notes[permanent dead link]
  7. Theorem 4 in these lecture notes
  8. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). मैट्रिक्स विश्लेषण (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 108–109, Section 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.
  9. Lang, Serge (1993). बीजगणित. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828.
  10. "secular equation". Retrieved January 21, 2010.