शिफ्ट स्पेस: Difference between revisions

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जब <math>D=\{g\}</math> हम सिलेंडर को <math>g</math> द्वारा अनुक्रमित प्रविष्टि पर प्रतीक <math>b</math> को ठीक से <math>[b]_g</math> के रूप में दर्शाते हैं
जब <math>D=\{g\}</math> हम सिलेंडर को <math>g</math> द्वारा अनुक्रमित प्रविष्टि पर प्रतीक <math>b</math> को ठीक से <math>[b]_g</math> के रूप में दर्शाते हैं


दूसरे शब्दों में, एक सिलेंडर <math>\big[(a_i)_{i\in D}\big]_D</math> <math>A^\mathbb{G}</math> के सभी अनंत पैटर्न के सभी समुच्चय का समुच्चय है जिसमें परिमित पैटर्न <math>(a_i)_{i\in D}\in A^{|D|}</math> होता है
दूसरे शब्दों में, एक सिलेंडर <math>\big[(a_i)_{i\in D}\big]_D</math> <math>A^\mathbb{G}</math> के सभी अनंत पैटर्न के सभी समुच्चय का समुच्चय है जिसमें परिमित पैटर्न <math>(a_i)_{i\in D}\in A^{|D|}</math> होता है
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प्रत्येक <math>k\in\N^*</math> के लिए, <math>\mathcal{N}_k:=\bigcup_{{N\subset \mathbb{G} \atop \#N=k}}A^N</math> और <math>\mathcal{N}^f_{A^\mathbb{G}}:=\bigcup_{{k\in\N}}\mathcal{N}_k= \bigcup_{{N\subset \mathbb{G} \atop \#N<\infty}}A^N</math> परिभाषित करें। शिफ्ट स्पेस को परिभाषित करने का एक समतुल्य तरीका '''निषिद्ध पैटर्न''' <math>F\subset\mathcal{N}^f_{A^\mathbb{G}}</math> का एक समुच्चय लेना और शिफ्ट स्पेस को समुच्चय के रूप में परिभाषित करना है
प्रत्येक <math>k\in\N^*</math> के लिए, <math>\mathcal{N}_k:=\bigcup_{{N\subset \mathbb{G} \atop \#N=k}}A^N</math> और <math>\mathcal{N}^f_{A^\mathbb{G}}:=\bigcup_{{k\in\N}}\mathcal{N}_k= \bigcup_{{N\subset \mathbb{G} \atop \#N<\infty}}A^N</math> परिभाषित करें। शिफ्ट स्पेस को परिभाषित करने का एक समतुल्य तरीका '''निषिद्ध पैटर्न''' <math>F\subset\mathcal{N}^f_{A^\mathbb{G}}</math> का एक समुच्चय लेना और शिफ्ट स्पेस को समुच्चय के रूप में परिभाषित करना है


<math>X_F:=\{\mathbf{x}\in A^\mathbb{G}:\ \forall N\subset\mathbb{G}, \forall g\in\mathbb{G},\ \left(\sigma^g(\mathbf{x})\right)_{N}=\mathbf{x}_{gN}\notin F\}.</math>
<math>X_F:=\{\mathbf{x}\in A^\mathbb{G}:\ \forall N\subset\mathbb{G}, \forall g\in\mathbb{G},\ \left(\sigma^g(\mathbf{x})\right)_{N}=\mathbf{x}_{gN}\notin F\}.</math>


सहज रूप से, एक शिफ्ट स्पेस <math>X_F</math> सभी अनंत पैटर्न का समुच्चय है जिसमें <math>F</math> का कोई निषिद्ध परिमित पैटर्न सम्मिलित नहीं है
सहज रूप से, एक शिफ्ट स्पेस <math>X_F</math> सभी अनंत पैटर्न का समुच्चय है जिसमें <math>F</math> का कोई निषिद्ध परिमित पैटर्न सम्मिलित नहीं है
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शिफ्ट स्पेस के लिए मौलिक रुपरेखा में वर्णमाला पर विचार करना सम्मिलित है <math>A</math> परिमित के रूप में, और <math>\mathbb{G}</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के रूप में (<math>\mathbb{N}</math>) सामान्य जोड़ के साथ, या सभी पूर्णांकों का समुच्चय (<math>\mathbb{Z}</math>) सामान्य जोड़ के साथ। दोनों ही मामलों में, पहचान तत्व <math>\mathbf{1}_{\mathbb{G}}</math> संख्या 0 से मेल खाती है। इसके अतिरिक्त, जब <math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math>, सब के बाद <math>\mathbb{N}\setminus\{0\}</math> संख्या 1 से उत्पन्न किया जा सकता है, यह द्वारा दिए गए अद्वितीय शिफ्ट मानचित्र पर विचार करने के लिए पर्याप्त है <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> सभी के लिए <math>n</math>. दूसरी ओर, के स्थिति के लिए <math>\mathbb{G}=\mathbb{Z}</math>, सब के बाद <math>\mathbb{Z}</math> संख्या {-1, 1} से उत्पन्न किया जा सकता है, सभी के लिए दिए गए दो शिफ्ट मानचित्रों पर विचार करना पर्याप्त है <math>n</math> द्वारा <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> और तक <math>\sigma^{-1}(\mathbf{x})_n=x_{n-1}</math>.
शिफ्ट स्पेस के लिए मौलिक रुपरेखा में वर्णमाला पर विचार करना सम्मिलित है <math>A</math> परिमित के रूप में, और <math>\mathbb{G}</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के रूप में (<math>\mathbb{N}</math>) सामान्य जोड़ के साथ, या सभी पूर्णांकों का समुच्चय (<math>\mathbb{Z}</math>) सामान्य जोड़ के साथ। दोनों ही मामलों में, पहचान तत्व <math>\mathbf{1}_{\mathbb{G}}</math> संख्या 0 से मेल खाती है। इसके अतिरिक्त, जब <math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math>, सब के बाद <math>\mathbb{N}\setminus\{0\}</math> संख्या 1 से उत्पन्न किया जा सकता है, यह द्वारा दिए गए अद्वितीय शिफ्ट मानचित्र पर विचार करने के लिए पर्याप्त है <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> सभी के लिए <math>n</math>. दूसरी ओर, के स्थिति के लिए <math>\mathbb{G}=\mathbb{Z}</math>, सब के बाद <math>\mathbb{Z}</math> संख्या {-1, 1} से उत्पन्न किया जा सकता है, सभी के लिए दिए गए दो शिफ्ट मानचित्रों पर विचार करना पर्याप्त है <math>n</math> द्वारा <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> और तक <math>\sigma^{-1}(\mathbf{x})_n=x_{n-1}</math>.


शिफ्ट स्पेस के लिए मौलिक रुपरेखा में वर्णमाला <math>A</math> को परिमित माना जाता है, और <math>\mathbb{G}</math> को सामान्य जोड़ के साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांक (<math>\mathbb{N}</math>) के समुच्चय के रूप में माना जाता है, या सभी पूर्णांकों का समुच्चय (<math>\mathbb{Z}</math>} ) सामान्य जोड़ के साथ। दोनों मामलों में, पहचान तत्व संख्या 0 से मेल खाता है। सभी <math>\mathbb{N}\setminus\{0\}</math> को संख्या <math>\mathbf{1}_{\mathbb{G}}</math> से उत्पन्न किया जा सकता है, यह एक अद्वितीय शिफ्ट मैप पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो कि दिया गया है। <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> सभी <math>n</math> के लिए। दूसरी ओर, <math>\mathbb{G}=\mathbb{Z}</math> के स्थिति के लिए, चूंकि सभी <math>\mathbb{Z}</math> को संख्याओं {-1, 1} से उत्पन्न किया जा सकता है, इसलिए इस पर विचार करना पर्याप्त है सभी के लिए दो शिफ्ट <math>n</math> द्वारा <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> और <math>\sigma^{-1}(\mathbf{x})_n=x_{n-1}</math> द्वारा मानचित्र दिए गए हैं
शिफ्ट स्पेस के लिए मौलिक रुपरेखा में वर्णमाला <math>A</math> को परिमित माना जाता है, और <math>\mathbb{G}</math> को सामान्य जोड़ के साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांक (<math>\mathbb{N}</math>) के समुच्चय के रूप में माना जाता है, या सभी पूर्णांकों का समुच्चय (<math>\mathbb{Z}</math>} ) सामान्य जोड़ के साथ। दोनों मामलों में, पहचान तत्व संख्या 0 से मेल खाता है। सभी <math>\mathbb{N}\setminus\{0\}</math> को संख्या <math>\mathbf{1}_{\mathbb{G}}</math> से उत्पन्न किया जा सकता है, यह एक अद्वितीय शिफ्ट मैप पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जो कि दिया गया है। <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> सभी <math>n</math> के लिए। दूसरी ओर, <math>\mathbb{G}=\mathbb{Z}</math> के स्थिति के लिए, चूंकि सभी <math>\mathbb{Z}</math> को संख्याओं {-1, 1} से उत्पन्न किया जा सकता है, इसलिए इस पर विचार करना पर्याप्त है सभी के लिए दो शिफ्ट <math>n</math> द्वारा <math>\sigma(\mathbf{x})_n=x_{n+1}</math> और <math>\sigma^{-1}(\mathbf{x})_n=x_{n-1}</math> द्वारा मानचित्र दिए गए हैं


इसके अतिरिक्त, जब भी <math>\mathbb{G}</math> सामान्य जोड़ के साथ <math>\mathbb{N}</math> या <math>\mathbb{Z}</math> होता है, तो इसकी बीजगणितीय संरचना के कारण, यह फॉर्म में केवल सिलेंडरों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है  
इसके अतिरिक्त, जब भी <math>\mathbb{G}</math> सामान्य जोड़ के साथ <math>\mathbb{N}</math> या <math>\mathbb{Z}</math> होता है, तो इसकी बीजगणितीय संरचना के कारण, यह फॉर्म में केवल सिलेंडरों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है  
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चूँकि, यदि <math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math> यदि हम एक शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda=X_F</math> को उपरोक्त के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां शब्दों की निषिद्ध के सूचकांक को निर्दिष्ट किए बिना, तो हम केवल शिफ्ट स्पेस को कैप्चर करेंगे जो कि शिफ्ट मैप के माध्यम से अपरिवर्तनीय हैं, जैसे कि <math>\sigma(X_F)=X_F</math> दरअसल, शिफ्ट स्पेस <math>X_F\subset A^\mathbb{N}</math> को ऐसे परिभाषित करने के लिए <math>\sigma(X_F)\subsetneq X_F</math> यह निर्दिष्ट करना आवश्यक होगा कि <math>F</math> के शब्दों पर किस इंडेक्स से निषिद्ध है।
चूँकि, यदि <math>\mathbb{G}=\mathbb{N}</math> यदि हम एक शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda=X_F</math> को उपरोक्त के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां शब्दों की निषिद्ध के सूचकांक को निर्दिष्ट किए बिना, तो हम केवल शिफ्ट स्पेस को कैप्चर करेंगे जो कि शिफ्ट मैप के माध्यम से अपरिवर्तनीय हैं, जैसे कि <math>\sigma(X_F)=X_F</math> दरअसल, शिफ्ट स्पेस <math>X_F\subset A^\mathbb{N}</math> को ऐसे परिभाषित करने के लिए <math>\sigma(X_F)\subsetneq X_F</math> यह निर्दिष्ट करना आवश्यक होगा कि <math>F</math> के शब्दों पर किस इंडेक्स से निषिद्ध है।


विशेष रूप से, <math>A</math> के परिमित होने के मौलिक रुपरेखा में, और <math>\mathbb{G}</math> के <math>\mathbb{N}</math> ) या <math>\mathbb{Z}</math> के साथ सामान्य जोड़ के साथ, यह इस प्रकार है कि <math>M_F</math> परिमित है यदि और केवल यदि <math>F</math> परिमित है, जो परिमित प्रकार के परिवर्तित की मौलिक परिभाषा की ओर ले जाता है, जैसे कि वह स्पेस परिवर्तन <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> जैसे कि कुछ के लिए <math>\Lambda=X_F</math> परिमित <math>F</math> है
विशेष रूप से, <math>A</math> के परिमित होने के मौलिक रुपरेखा में, और <math>\mathbb{G}</math> के <math>\mathbb{N}</math> ) या <math>\mathbb{Z}</math> के साथ सामान्य जोड़ के साथ, यह इस प्रकार है कि <math>M_F</math> परिमित है यदि और केवल यदि <math>F</math> परिमित है, जो परिमित प्रकार के परिवर्तित की मौलिक परिभाषा की ओर ले जाता है, जैसे कि वह स्पेस परिवर्तन <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> जैसे कि कुछ के लिए <math>\Lambda=X_F</math> परिमित <math>F</math> है
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ऐसे स्थिति में जब वर्णमाला <math>A</math> परिमित है, एक शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda</math> <b>परिमित प्रकार का परिवर्तन</b> है यदि हम निषिद्ध पैटर्न <math>F</math> का एक सीमित समुच्चय ले सकते हैं जैसे कि <math>\Lambda=X_F</math>, और <math>\Lambda</math> है एक सॉफ़िक शिफ्ट यदि यह [[स्लाइडिंग ब्लॉक कोड]] के अनुसार परिमित प्रकार की शिफ्ट की छवि है <ref name=":1" /> (अर्थात, एक मानचित्र <math>\Phi</math> जो सभी <math>g</math>-शिफ्ट मानचित्रों के लिए निरंतर और अपरिवर्तनीय है)। यदि <math>A</math> परिमित है और <math>g</math> सामान्य जोड़ के साथ <math>\mathbb{N}</math> या <math>\mathbb{G}</math> है, तो शिफ्ट <math>\Lambda</math> एक सोफ़िक शिफ्ट है यदि और केवल यदि <math>W(\Lambda)</math> है  
ऐसे स्थिति में जब वर्णमाला <math>A</math> परिमित है, एक शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda</math> <b>परिमित प्रकार का परिवर्तन</b> है यदि हम निषिद्ध पैटर्न <math>F</math> का एक सीमित समुच्चय ले सकते हैं जैसे कि <math>\Lambda=X_F</math>, और <math>\Lambda</math> है एक सॉफ़िक शिफ्ट यदि यह [[स्लाइडिंग ब्लॉक कोड]] के अनुसार परिमित प्रकार की शिफ्ट की छवि है <ref name=":1" /> (अर्थात, एक मानचित्र <math>\Phi</math> जो सभी <math>g</math>-शिफ्ट मानचित्रों के लिए निरंतर और अपरिवर्तनीय है)। यदि <math>A</math> परिमित है और <math>g</math> सामान्य जोड़ के साथ <math>\mathbb{N}</math> या <math>\mathbb{G}</math> है, तो शिफ्ट <math>\Lambda</math> एक सोफ़िक शिफ्ट है यदि और केवल यदि <math>W(\Lambda)</math> है  


"सोफिक" नाम {{harvtxt|वेइस|1973}}, द्वारा लिखा गया था, जो [[हिब्रू भाषा]] के סופי पर आधारित है जिसका अर्थ है "परिमित", इस तथ्य को संदर्भित करने के लिए कि यह एक परिमित संपत्ति का सामान्यीकरण है। <ref>{{citation |last=Weiss |first=Benjamin |title=Subshifts of finite type and sofic systems |journal=Monatsh. Math. |volume=77 |issue=5 |pages=462–474 |year=1973 |doi=10.1007/bf01295322 |mr=0340556 |s2cid=123440583 |author-link=Benjamin Weiss}}. Weiss does not describe the origin of the word other than calling it a neologism; however, its Hebrew origin is stated by [[MathSciNet]] reviewer R. L. Adler.</ref> जब <math>A</math> अनंत है, तो परिमित प्रकार की शिफ्ट को शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda</math> के रूप में परिभाषित करना संभव है, उनके लिए कोई निषिद्ध शब्दों का समुच्चय <math>F</math> ले सकता है जैसे कि
"सोफिक" नाम {{harvtxt|वेइस|1973}}, द्वारा लिखा गया था, जो [[हिब्रू भाषा]] के סופי पर आधारित है जिसका अर्थ है "परिमित", इस तथ्य को संदर्भित करने के लिए कि यह एक परिमित संपत्ति का सामान्यीकरण है। <ref>{{citation |last=Weiss |first=Benjamin |title=Subshifts of finite type and sofic systems |journal=Monatsh. Math. |volume=77 |issue=5 |pages=462–474 |year=1973 |doi=10.1007/bf01295322 |mr=0340556 |s2cid=123440583 |author-link=Benjamin Weiss}}. Weiss does not describe the origin of the word other than calling it a neologism; however, its Hebrew origin is stated by [[MathSciNet]] reviewer R. L. Adler.</ref> जब <math>A</math> अनंत है, तो परिमित प्रकार की शिफ्ट को शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda</math> के रूप में परिभाषित करना संभव है, उनके लिए कोई निषिद्ध शब्दों का समुच्चय <math>F</math> ले सकता है जैसे कि


<math>M_F:=\{g\in\mathbb{G}:\  \exists N\subset \mathbb{G}\text{ s.t. } g\in N\text{ and } (w_i)_{i\in N}\in F \},</math>
<math>M_F:=\{g\in\mathbb{G}:\  \exists N\subset \mathbb{G}\text{ s.t. } g\in N\text{ and } (w_i)_{i\in N}\in F \},</math>
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शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> और <math>g</math>-शिफ्ट मैप <math>\sigma^g:\Lambda\to\Lambda</math> को देखते हुए यह पता चलता है कि जोड़ी <math>(\Lambda,\sigma^g)</math> एक [[टोपोलॉजिकल डायनेमिक सिस्टम|टोपोलॉजिकल डायनेमिक प्रणाली]] है।
शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> और <math>g</math>-शिफ्ट मैप <math>\sigma^g:\Lambda\to\Lambda</math> को देखते हुए यह पता चलता है कि जोड़ी <math>(\Lambda,\sigma^g)</math> एक [[टोपोलॉजिकल डायनेमिक सिस्टम|टोपोलॉजिकल डायनेमिक प्रणाली]] है।


दो शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> और <math>\Gamma\subset B^\mathbb{G}</math> को [[टोपोलॉजिकल संयुग्मता]] कोजुगेट (या बस संयुग्मित) कहा जाता है, यदि प्रत्येक <math>g</math>-शिफ्ट मैप के लिए यह निम्नानुसार है कि टोपोलॉजिकल डायनामिकल प्रणाली <math>(\Lambda,\sigma^g)</math> और <math>(\Gamma,\sigma^g)</math> टोपोलॉजिकल रूप से कोजुगेट हैं, अर्थात, यदि कोई निरंतर मानचित्र उपस्थित है <math>\Phi:\Lambda\to\Gamma</math> जैसे कि <math>\Phi\circ\sigma^g=\sigma^g\circ \Phi</math> ऐसे मानचित्रों को सामान्यीकृत स्लाइडिंग ब्लॉक कोड या केवल स्लाइडिंग ब्लॉक कोड के रूप में जाना जाता है जब भी <math>\Phi</math> समान रूप से निरंतर होता है।<ref name=":0" />


दो शिफ्ट स्पेस <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> और <math>\Gamma\subset B^\mathbb{G}</math> को [[टोपोलॉजिकल संयुग्मता]] कोजुगेट (या बस संयुग्मित) कहा जाता है, यदि प्रत्येक <math>g</math>-शिफ्ट मैप के लिए यह निम्नानुसार है कि टोपोलॉजिकल डायनामिकल प्रणाली  <math>(\Lambda,\sigma^g)</math> और <math>(\Gamma,\sigma^g)</math> टोपोलॉजिकल रूप से कोजुगेट हैं, अर्थात, यदि कोई निरंतर मानचित्र उपस्थित है <math>\Phi:\Lambda\to\Gamma</math> जैसे कि <math>\Phi\circ\sigma^g=\sigma^g\circ \Phi</math> ऐसे मानचित्रों को सामान्यीकृत स्लाइडिंग ब्लॉक कोड या केवल स्लाइडिंग ब्लॉक कोड के रूप में जाना जाता है जब भी <math>\Phi</math> समान रूप से निरंतर होता है।<ref name=":0" />
यद्यपि कोई भी निरंतर मानचित्र <math>\Phi</math> से <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> अपने आप में एक टोपोलॉजिकल डायनेमिक प्रणाली को परिभाषित करेगा <math>(\Lambda,\Phi)</math>, प्रतीकात्मक गतिशीलता में यह सामान्य है केवल सतत मानचित्रों पर विचार करने के लिए, जो सभी <math>g</math>-शिफ्ट मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। <math>\Phi:\Lambda\to\Lambda</math> मानचित्र जो सामान्यीकृत स्लाइडिंग ब्लॉक कोड हैं। गतिशील प्रणाली को एक सामान्यीकृत <b><b>[[सेलुलर ऑटोमेटन]]</b></b> <math>(\Lambda,\Phi)</math> के रूप में जाना जाता है (या जब भी <math>\Phi</math> समान रूप से निरंतर होता है तो एक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में जाना जाता है)।
 
यद्यपि कोई भी निरंतर मानचित्र <math>\Phi</math> से <math>\Lambda\subset A^\mathbb{G}</math> अपने आप में एक टोपोलॉजिकल डायनेमिक प्रणाली को परिभाषित करेगा <math>(\Lambda,\Phi)</math>, प्रतीकात्मक गतिशीलता में यह सामान्य है केवल सतत मानचित्रों पर विचार करने के लिए, जो सभी <math>g</math>-शिफ्ट मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। <math>\Phi:\Lambda\to\Lambda</math> मानचित्र जो सामान्यीकृत स्लाइडिंग ब्लॉक कोड हैं। गतिशील प्रणाली को एक सामान्यीकृत <b><b>[[सेलुलर ऑटोमेटन]]</b></b> <math>(\Lambda,\Phi)</math> के रूप में जाना जाता है (या जब भी <math>\Phi</math> समान रूप से निरंतर होता है तो एक सेलुलर ऑटोमेटन के रूप में जाना जाता है)।


== उदाहरण ==
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== संदर्भ ==
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== अग्रिम पठन ==
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Revision as of 11:21, 11 August 2023

प्रतीकात्मक गतिशीलता और गणित की संबंधित शाखाओं में, शिफ्ट स्पेस या सबशिफ्ट अनंत स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का समुच्चय है जो भिन्न प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करता है। वास्तव में, शिफ्ट स्पेस और प्रतीकात्मक गतिशीलता को अधिकांशतः पर्यायवाची माना जाता है। सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए शिफ्ट स्पेस परिमित प्रकार और सोफ़िक शिफ्ट के सबशिफ्ट हैं।

मौलिक रुपरेखा में [1] एक शिफ्ट स्पेस का कोई उपसमुच्चय है, जहां एक परिमित समुच्चय है, जो टाइकोनोव टोपोलॉजी के लिए संवृत है और अनुवाद द्वारा अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः कोई शिफ्ट स्पेस को के संवृत और अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां कोई रिक्त समुच्चय है और कोई मोनॉइड है।[2][3]


परिभाषा

मान लीजिए कि एक मोनॉइड है, और दिए गए , उत्पाद द्वारा के साथ के संचालन को निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि की पहचान दर्शाता है। असतत टोपोलॉजी के साथ एक गैर-रिक्त समुच्च्य (एक वर्णमाला) पर विचार करें, और द्वारा अनुक्रमित पर सभी पैटर्न के समुच्च्य के रूप में परिभाषित करें। और एक उपसमुच्चय के लिए , हम के सूचकांकों पर के प्रतिबंध को के रूप में दर्शाते हैं

पर हम प्रोडिस्क्रीट टोपोलॉजी पर विचार करते हैं, जो को हॉसडॉर्फ और पूरी तरह से डिस्कनेक्टेड टोपोलॉजिकल स्पेस बनाता है। के परिमित होने की स्थिति में, यह इस प्रकार है कि सघन है। चूँकि, यदि परिमित नहीं है, तो स्थानीय रूप से संहत भी नहीं है।

यह टोपोलॉजी मेट्रिज़ेबल होगी यदि और केवल यदि गणनीय है, और, किसी भी स्थिति में, इस टोपोलॉजी के आधार में विवृत/संवृत समुच्चय (जिन्हें सिलेंडर कहा जाता है) का संग्रह होता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: एक परिमित समुच्चय दिया गया है सूचकांकों का , और प्रत्येक के लिए, दें। और द्वारा दिया गया सिलेंडर समुच्चय