प्रीकंडीशनर: Difference between revisions
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रैखिक बीजगणित और [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, आव्युह <math>A </math> का प्रीकंडीशनर <math>P</math> आव्युह ऐसा है जैसे कि <math> P^{-1}A </math> की स्थिति संख्या <math>A</math> से छोटी है।. इसे <math>T=P^{-1}</math>कहना भी सामान्य बात है <math>P</math> के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि <math>P</math> स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, <math>T = P^{-1}</math>का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ | रैखिक बीजगणित और [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, आव्युह <math>A </math> का प्रीकंडीशनर <math>P</math> आव्युह ऐसा है जैसे कि <math> P^{-1}A </math> की स्थिति संख्या <math>A</math> से छोटी है।. इसे <math>T=P^{-1}</math>कहना भी सामान्य बात है <math>P</math> के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि <math>P</math> स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, <math>T = P^{-1}</math>का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ सदिश के ब्लॉक को <math>T = P^{-1}</math> से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो <math>P</math>, और न <math>T = P^{-1}</math> (और अधिकांशतः <math>A</math> भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं। | ||
प्रीकंडीशनर <math>x</math> के लिए रैखिक प्रणाली <math>Ax=b </math> को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए [[अभिसरण की दर]] बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से [[विरल मैट्रिक्स|विरल]] मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है <math>A</math> स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है। | प्रीकंडीशनर <math>x</math> के लिए रैखिक प्रणाली <math>Ax=b </math> को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए [[अभिसरण की दर]] बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से [[विरल मैट्रिक्स|विरल]] मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है जहाँ <math>A</math> स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है। | ||
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यह लाभदायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, आव्युह समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल आव्युह <math>A</math> वास्तविक सममित है और वास्तविक प्रीकंडीशनर <math>Q</math> और <math>P</math> <math>Q^{T} = P^{-1}</math> संतुष्ट करते हैं तब फिर पूर्वनिर्धारित आव्युह <math> QAP^{-1}</math> सममित भी है. दो-तरफा प्रीकंडीशनर विकर्ण स्केलिंग के लिए सामान्य है जहां प्रीकंडीशनिंग <math>Q</math> और <math>P</math> विकर्ण हैं और स्केलिंग मूल आव्युह <math>A</math> के स्तंभों और पंक्तियों दोनों पर प्रयुक्त होती है, जहाँ उदाहरण के लिए, आव्युह की प्रविष्टियों की गतिशील सीमा को कम करने के लिए उपयोग किया जाता है। | यह लाभदायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, आव्युह समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल आव्युह <math>A</math> वास्तविक सममित है और वास्तविक प्रीकंडीशनर <math>Q</math> और <math>P</math> <math>Q^{T} = P^{-1}</math> संतुष्ट करते हैं तब फिर पूर्वनिर्धारित आव्युह <math> QAP^{-1}</math> सममित भी है. दो-तरफा प्रीकंडीशनर विकर्ण स्केलिंग के लिए सामान्य है जहां प्रीकंडीशनिंग <math>Q</math> और <math>P</math> विकर्ण हैं और स्केलिंग मूल आव्युह <math>A</math> के स्तंभों और पंक्तियों दोनों पर प्रयुक्त होती है, जहाँ उदाहरण के लिए, आव्युह की प्रविष्टियों की गतिशील सीमा को कम करने के लिए उपयोग किया जाता है। | ||
प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य नियम संख्या को कम करना है, उदाहरण के लिए, बाएं या दाएं प्रीकंडिशनिंग पद्धति आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> की | प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य नियम संख्या को कम करना है, उदाहरण के लिए, बाएं या दाएं प्रीकंडिशनिंग पद्धति आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> की छोटी स्थिति संख्याएं पुनरावृत्त सॉल्वरों के तेजी से अभिसरण का लाभ उठाती हैं और पद्धति आव्युह और दाईं ओर त्रुटी के संबंध में समाधान की स्थिरता में सुधार करती हैं, उदाहरण के लिए, कम परिशुद्धता (कंप्यूटर) का उपयोग करके आव्युह प्रविष्टियों के अधिक आक्रामक [[ परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) |परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] विज्ञान की अनुमति देती है। | ||
पूर्वनिर्धारित आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> शायद ही कभी स्पष्ट रूप से गठित किया गया हो। किसी दिए गए सदिश पर केवल प्रीकंडीशनर सॉल्व ऑपरेशन <math>P^{-1}</math> को प्रयुक्त करने की क्रिया की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। | पूर्वनिर्धारित आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> शायद ही कभी स्पष्ट रूप से गठित किया गया हो। किसी दिए गए सदिश पर केवल प्रीकंडीशनर सॉल्व ऑपरेशन <math>P^{-1}</math> को प्रयुक्त करने की क्रिया की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है। | ||
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===वर्णक्रमीय समतुल्य प्रीकंडीशनिंग === | ===वर्णक्रमीय समतुल्य प्रीकंडीशनिंग === | ||
प्रीकंडीशनिंग का सबसे सामान्य उपयोग [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अंतर समीकरणों]] के अनुमान के परिणामस्वरूप रैखिक प्रणालियों के पुनरावृत्त समाधान के लिए है। सन्निकटन गुणवत्ता जितनी उत्तम होगी, आव्युह का आकार उतना ही बड़ा | प्रीकंडीशनिंग का सबसे सामान्य उपयोग [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अंतर समीकरणों]] के अनुमान के परिणामस्वरूप रैखिक प्रणालियों के पुनरावृत्त समाधान के लिए है। सन्निकटन गुणवत्ता जितनी उत्तम होगी, आव्युह का आकार उतना ही बड़ा होगा जितना ऐसे स्तिथि में, इष्टतम प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य, तरफ, <math> P^{-1}A</math> की वर्णक्रमीय स्थिति संख्या को आव्युह आकार से स्वतंत्र स्थिरांक द्वारा ऊपर से सीमित करना होता है, जिसे कहा जाता है डायकोनोव द्वारा वर्णक्रमीय रूप से समतुल्य प्रीकंडीशनिंग। दूसरी ओर, <math> P^{-1}</math> के अनुप्रयोग की निवेश आदर्श रूप से सदिश द्वारा <math>A</math> के गुणन की निवेश के समानुपाती (आव्युह आकार से स्वतंत्र भी) होनी चाहिए। | ||
===उदाहरण=== | ===उदाहरण=== | ||
Revision as of 12:30, 15 August 2023
गणित में, प्रीकंडीशनिंग परिवर्तन का अनुप्रयोग है, जिसे प्रीकंडीशनर कहा जाता है, जो किसी दी गई समस्या को ऐसे रूप में प्रस्तुत करता है जो संख्यात्मक गणित को हल करने के विधियों के लिए अधिक उपयुक्त है। प्रीकंडीशनिंग सामान्यतः समस्या की स्थिति संख्या को कम करने से संबंधित है। पूर्वनिर्धारित समस्या को सामान्यतः पुनरावृत्तीय विधि द्वारा हल किया जाता है।
रैखिक प्रणालियों के लिए पूर्व नियम
रैखिक बीजगणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, आव्युह का प्रीकंडीशनर आव्युह ऐसा है जैसे कि की स्थिति संख्या से छोटी है।. इसे कहना भी सामान्य बात है के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ सदिश के ब्लॉक को से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो , और न (और अधिकांशतः भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं।
प्रीकंडीशनर के लिए रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए अभिसरण की दर बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से विरल मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है जहाँ स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है।
विवरण
के लिए मूल रैखिक प्रणाली को हल करने के अतिरिक्त, कोई सही पूर्व नियम प्रणाली पर विचार कर सकता है
और हल करें
के लिए और
के लिए .
वैकल्पिक रूप से, कोई बाईं पूर्व नियम प्रणाली को हल कर सकता है
दोनों प्रणालियाँ मूल प्रणाली के समान ही समाधान देती हैं जब तक कि प्रीकंडीशनर आव्युह बीजगणितीय वक्र या विलक्षणता है। बाईं ओर की पूर्व नियम अधिक पारंपरिक है।
दो तरफा पूर्व नियम प्रणाली
यह लाभदायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, आव्युह समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल आव्युह वास्तविक सममित है और वास्तविक प्रीकंडीशनर और संतुष्ट करते हैं तब फिर पूर्वनिर्धारित आव्युह सममित भी है. दो-तरफा प्रीकंडीशनर विकर्ण स्केलिंग के लिए सामान्य है जहां प्रीकंडीशनिंग और विकर्ण हैं और स्केलिंग मूल आव्युह के स्तंभों और पंक्तियों दोनों पर प्रयुक्त होती है, जहाँ उदाहरण के लिए, आव्युह की प्रविष्टियों की गतिशील सीमा को कम करने के लिए उपयोग किया जाता है।
प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य नियम संख्या को कम करना है, उदाहरण के लिए, बाएं या दाएं प्रीकंडिशनिंग पद्धति आव्युह या