प्रीकंडीशनर: Difference between revisions
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रैखिक बीजगणित और [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, आव्युह <math>A </math> का प्रीकंडीशनर <math>P</math> आव्युह ऐसा है जैसे कि <math> P^{-1}A </math> की स्थिति संख्या <math>A</math> से छोटी है।. इसे <math>T=P^{-1}</math>कहना भी सामान्य बात है <math>P</math> के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि <math>P</math> स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, <math>T = P^{-1}</math>का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ वैक्टर के ब्लॉक को <math>T = P^{-1}</math> से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो <math>P</math>, और न <math>T = P^{-1}</math> (और अधिकांशतः <math>A</math> भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं। | रैखिक बीजगणित और [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, आव्युह <math>A </math> का प्रीकंडीशनर <math>P</math> आव्युह ऐसा है जैसे कि <math> P^{-1}A </math> की स्थिति संख्या <math>A</math> से छोटी है।. इसे <math>T=P^{-1}</math>कहना भी सामान्य बात है <math>P</math> के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि <math>P</math> स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, <math>T = P^{-1}</math>का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ वैक्टर के ब्लॉक को <math>T = P^{-1}</math> से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो <math>P</math>, और न <math>T = P^{-1}</math> (और अधिकांशतः <math>A</math> भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं। | ||
प्रीकंडीशनर <math>x</math> के लिए रैखिक प्रणाली <math>Ax=b </math> को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए [[अभिसरण की दर]] बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से [[विरल मैट्रिक्स|विरल | प्रीकंडीशनर <math>x</math> के लिए रैखिक प्रणाली <math>Ax=b </math> को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए [[अभिसरण की दर]] बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से [[विरल मैट्रिक्स|विरल]] मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है <math>A</math> स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है। | ||
=== विवरण === | === विवरण === | ||
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और हल करें | और हल करें | ||
<math display="block">AP^{-1}y=b</math> | <math display="block">AP^{-1}y=b</math> | ||
<math>y</math> के लिए | <math>y</math> के लिए और | ||
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<math>x</math> के लिए . | <math>x</math> के लिए . | ||
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दो तरफा पूर्व नियम प्रणाली | दो तरफा पूर्व नियम प्रणाली | ||
<math display="block"> QAP^{-1}(Px) = Qb</math> | <math display="block"> QAP^{-1}(Px) = Qb</math> | ||
लाभदायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, आव्युह समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल आव्युह <math>A</math> वास्तविक सममित है और वास्तविक प्रीकंडीशनर <math>Q</math> और <math>P</math> <math>Q^{T} = P^{-1}</math> संतुष्ट करते हैं तब फिर पूर्वनिर्धारित आव्युह <math> QAP^{-1}</math> सममित भी है. दो-तरफा प्रीकंडीशनर विकर्ण स्केलिंग के लिए सामान्य है जहां प्रीकंडीशनिंग <math>Q</math> और <math>P</math> विकर्ण हैं और स्केलिंग मूल आव्युह <math>A</math> के स्तंभों और पंक्तियों दोनों पर प्रयुक्त होती है, जहाँ उदाहरण के लिए, आव्युह की प्रविष्टियों की गतिशील सीमा को कम करने के लिए उपयोग किया जाता है। | यह लाभदायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, आव्युह समरूपता को संरक्षित करने के लिए: यदि मूल आव्युह <math>A</math> वास्तविक सममित है और वास्तविक प्रीकंडीशनर <math>Q</math> और <math>P</math> <math>Q^{T} = P^{-1}</math> संतुष्ट करते हैं तब फिर पूर्वनिर्धारित आव्युह <math> QAP^{-1}</math> सममित भी है. दो-तरफा प्रीकंडीशनर विकर्ण स्केलिंग के लिए सामान्य है जहां प्रीकंडीशनिंग <math>Q</math> और <math>P</math> विकर्ण हैं और स्केलिंग मूल आव्युह <math>A</math> के स्तंभों और पंक्तियों दोनों पर प्रयुक्त होती है, जहाँ उदाहरण के लिए, आव्युह की प्रविष्टियों की गतिशील सीमा को कम करने के लिए उपयोग किया जाता है। | ||
प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य नियम संख्या को कम करना है, उदाहरण के लिए, बाएं या दाएं प्रीकंडिशनिंग पद्धति आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> की | छोटी स्थिति संख्याएं पुनरावृत्त सॉल्वरों के तेजी से अभिसरण का लाभ उठाती हैं और पद्धति आव्युह और दाईं ओर त्रुटी के संबंध में समाधान की स्थिरता में सुधार करती हैं, उदाहरण के लिए, कम परिशुद्धता (कंप्यूटर) का उपयोग करके आव्युह प्रविष्टियों के अधिक आक्रामक [[ परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) |परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] की अनुमति देती है विज्ञान)। | प्रीकंडीशनिंग का लक्ष्य नियम संख्या को कम करना है, उदाहरण के लिए, बाएं या दाएं प्रीकंडिशनिंग पद्धति आव्युह <math>P^{-1}A</math> या <math>AP^{-1}</math> की | छोटी स्थिति संख्याएं पुनरावृत्त सॉल्वरों के तेजी से अभिसरण का लाभ उठाती हैं और पद्धति आव्युह और दाईं ओर त्रुटी के संबंध में समाधान की स्थिरता में सुधार करती हैं, उदाहरण के लिए, कम परिशुद्धता (कंप्यूटर) का उपयोग करके आव्युह प्रविष्टियों के अधिक आक्रामक [[ परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) |परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] की अनुमति देती है विज्ञान)। | ||
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===पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्तीय विधियाँ=== | ===पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्तीय विधियाँ=== | ||
<math>Ax - b = 0</math> के लिए पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्तीय विधियाँ अधिकांश स्तिथियों में, गणितीय रूप से पूर्वनिर्धारित प्रणाली <math>P^{-1}(Ax-b)=0.</math> पर प्रयुक्त मानक पुनरावृत्त विधियों के समान हैं | <math>Ax - b = 0</math> के लिए पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्तीय विधियाँ अधिकांश स्तिथियों में, गणितीय रूप से पूर्वनिर्धारित प्रणाली <math>P^{-1}(Ax-b)=0.</math> पर प्रयुक्त मानक पुनरावृत्त विधियों के समान हैं उदाहरण के लिए, <math>Ax - b = 0</math> को हल करने के लिए मानक [[रिचर्डसन पुनरावृत्ति]] है | ||
<math display="block">\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\gamma_n (A\mathbf{x}_n-\mathbf{b}),\ n \ge 0.</math> | <math display="block">\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\gamma_n (A\mathbf{x}_n-\mathbf{b}),\ n \ge 0.</math> | ||
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===ज्यामितीय व्याख्या=== | ===ज्यामितीय व्याख्या=== | ||
सममित आव्युह धनात्मक -निश्चित आव्युह <math>A</math> के लिए प्रीकंडीशनर <math>P</math> को सामान्यतः सममित धनात्मक निश्चित होने के लिए भी चुना जाता है। प्रीकंडीशनर ऑपरेटर <math>P^{-1}A</math> | सममित आव्युह धनात्मक -निश्चित आव्युह <math>A</math> के लिए प्रीकंडीशनर <math>P</math> को सामान्यतः सममित धनात्मक निश्चित होने के लिए भी चुना जाता है। प्रीकंडीशनर ऑपरेटर <math>P^{-1}A</math> फिर भी सममित धनात्मक निश्चित है, किन्तु <math>P</math>-आधारित [[अदिश उत्पाद]] के संबंध में। इस स्तिथि में, प्रीकंडीशनर को प्रयुक्त करने में वांछित प्रभाव <math>P</math>-आधारित स्केलर उत्पाद के संबंध में प्रीकंडिशनर ऑपरेटर <math>P^{-1}A</math> के द्विघात रूप को लगभग गोलाकार बनाना है।।<ref>{{cite web |title=कष्टकारी दर्द के बिना संयुग्मित ग्रेडिएंट विधि का परिचय|first=Jonathan Richard |last=Shewchuk |date=August 4, 1994 |url=https://www.cs.cmu.edu/~quake-papers/painless-conjugate-gradient.pdf#page=24 }}</ref> | ||
=== परिवर्तनीय और गैर-रैखिक प्रीकंडीशनिंग === | === परिवर्तनीय और गैर-रैखिक प्रीकंडीशनिंग === | ||
<math>T = P^{-1}</math> को दर्शाते हुए, हम इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि प्रीकंडीशनिंग को व्यावहारिक रूप से कुछ सदिश <math>r </math> को <math>T </math> से गुणा करने के रूप में कार्यान्वित किया जाता है, अर्थात, उत्पाद <math>Tr.</math> की गणना करना होता है | अनेक अनुप्रयोगों में, <math>T</math> को आव्युह के रूप में नहीं दिया जाता है, बल्कि | <math>T = P^{-1}</math> को दर्शाते हुए, हम इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि प्रीकंडीशनिंग को व्यावहारिक रूप से कुछ सदिश <math>r </math> को <math>T </math> से गुणा करने के रूप में कार्यान्वित किया जाता है, अर्थात, उत्पाद <math>Tr.</math> की गणना करना होता है | अनेक अनुप्रयोगों में, <math>T</math> को आव्युह के रूप में नहीं दिया जाता है, बल्कि सदिश <math>r</math> पर कार्य करने वाले ऑपरेटर <math>T(r)</math> के रूप में दिया गया है. चूँकि, कुछ लोकप्रिय प्रीकंडीशनर <math>r</math> के साथ परिवर्तित हो जाते हैं और <math>r</math> पर निर्भरता रैखिक नहीं हो सकती है | विशिष्ट उदाहरणों में प्रीकंडीशनर निर्माण के भाग के रूप में गैर-रेखीय पुनरावृत्त विधियों का उपयोग करना सम्मिलित है, उदाहरण के लिए, संयुग्म ग्रेडिएंट विधि। ऐसे प्रीकंडीशनर व्यावहारिक रूप से बहुत कुशल हो सकते हैं, चूंकि, सैद्धांतिक रूप से उनके व्यवहार की भविष्यवाणी करना कठिन है। | ||
=== यादृच्छिक प्रीकंडीशनिंग === | === यादृच्छिक प्रीकंडीशनिंग === | ||
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====जैकोबी (या विकर्ण) प्रीकंडीशनर==== | ====जैकोबी (या विकर्ण) प्रीकंडीशनर==== | ||
जैकोबी प्रीकंडीशनर प्रीकंडीशनिंग के सबसे सरल रूपों में से है, जिसमें प्रीकंडीशनर को आव्युह <math> P = \mathrm{diag}(A). </math> के विकर्ण के रूप में चुना जाता है | जैकोबी प्रीकंडीशनर प्रीकंडीशनिंग के सबसे सरल रूपों में से है, जिसमें प्रीकंडीशनर को आव्युह <math> P = \mathrm{diag}(A). </math> के विकर्ण के रूप में चुना जाता है यह मानते हुए <math>A_{ii} \neq 0, \forall i </math>, हम <math>P^{-1}_{ij} = \frac{\delta_{ij}}{A_{ij}}. </math> पाते हैं यह विकर्ण रूप से प्रभावी आव्युह <math> A</math> के लिए कुशल है. इसका उपयोग बीम समस्याओं या 1-D समस्याओं के लिए विश्लेषण सॉफ़्टवेयर में किया जाता है (उदाहरण:- स्टैड प्रो) | ||
====एसपीएआई==== | ====एसपीएआई==== | ||
विरल अनुमानित व्युत्क्रम प्रीकंडीशनर <math>\|AT-I\|_F,</math> को न्यूनतम करता है, जहाँ <math>\|\cdot\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] है और <math>T = P^{-1}</math> कुछ उपयुक्त रूप से सीमित समुच्चय से है। विरल आव्यूहों के फ्रोबेनियस मानदंड के तहत, यह अनेक स्वतंत्र न्यूनतम-वर्ग समस्याओं (प्रत्येक स्तम्भ के लिए एक) को हल करने में कम हो जाता है। <math>T</math> में प्रविष्टियाँ को कुछ विरलता पैटर्न तक ही सीमित रखा जाना चाहिए अन्यथा समस्या <math>A</math> के स्पष्ट व्युत्क्रम खोजना उतना ही कठिन और समय लेने वाली बनी रहेगी | विरल अनुमानित व्युत्क्रम प्रीकंडीशनर <math>\|AT-I\|_F,</math> को न्यूनतम करता है, जहाँ <math>\|\cdot\|_F</math> [[फ्रोबेनियस मानदंड]] है और <math>T = P^{-1}</math> कुछ उपयुक्त रूप से सीमित समुच्चय से है। विरल आव्यूहों के फ्रोबेनियस मानदंड के तहत, यह अनेक स्वतंत्र न्यूनतम-वर्ग समस्याओं (प्रत्येक स्तम्भ के लिए एक) को हल करने में कम हो जाता है। <math>T</math> में प्रविष्टियाँ को कुछ विरलता पैटर्न तक ही सीमित रखा जाना चाहिए अन्यथा समस्या <math>A</math> के स्पष्ट व्युत्क्रम खोजना उतना ही कठिन और समय लेने वाली बनी रहेगी यह विधि एम.जे. ग्रोट और टी. हकल द्वारा विरल पैटर्न के चयन के दृष्टिकोण के साथ प्रस्तुत की गई थी।<ref>{{cite journal |first=M. J. |last=Grote |first2=T. |last2=Huckle |name-list-style=amp |year=1997 |title=विरल अनुमानित व्युत्क्रमों के साथ समानांतर प्रीकंडीशनिंग|journal=[[SIAM Journal on Scientific Computing]] |volume=18 |issue=3 |pages=838–53 |doi=10.1137/S1064827594276552 }}</ref> | ||
==== अन्य प्रीकंडीशनर ==== | ==== अन्य प्रीकंडीशनर ==== | ||
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=== विवरण === | === विवरण === | ||
उदाहरण के लिए, [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] डिसेंट का उपयोग करते हुए किसी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>F(\mathbf{x})</math> का [[स्थानीय न्यूनतम]] ज्ञात करना, व्यक्ति ग्रेडिएंट <math>-\nabla F(\mathbf{a})</math> के ऋणात्मक के अनुपात में कदम उठाता है | उदाहरण के लिए, [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] डिसेंट का उपयोग करते हुए किसी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>F(\mathbf{x})</math> का [[स्थानीय न्यूनतम]] ज्ञात करना, व्यक्ति ग्रेडिएंट <math>-\nabla F(\mathbf{a})</math> के ऋणात्मक के अनुपात में कदम उठाता है वर्तमान बिंदु पर फ़ंक्शन का (या अनुमानित ग्रेडिएंट का): | ||
<math display="block">\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\gamma_n \nabla F(\mathbf{x}_n),\ n \ge 0.</math> | <math display="block">\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\gamma_n \nabla F(\mathbf{x}_n),\ n \ge 0.</math> | ||
प्रीकंडीशनर को ग्रेडिएंट पर प्रयुक्त किया जाता है: | प्रीकंडीशनर को ग्रेडिएंट पर प्रयुक्त किया जाता है: | ||
Revision as of 15:47, 13 August 2023
गणित में, प्रीकंडीशनिंग परिवर्तन का अनुप्रयोग है, जिसे प्रीकंडीशनर कहा जाता है, जो किसी दी गई समस्या को ऐसे रूप में प्रस्तुत करता है जो संख्यात्मक गणित को हल करने के विधियों के लिए अधिक उपयुक्त है। प्रीकंडीशनिंग सामान्यतः समस्या की स्थिति संख्या को कम करने से संबंधित है। पूर्वनिर्धारित समस्या को सामान्यतः पुनरावृत्तीय विधि द्वारा हल किया जाता है।
रैखिक प्रणालियों के लिए पूर्व नियम
रैखिक बीजगणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, आव्युह का प्रीकंडीशनर आव्युह ऐसा है जैसे कि की स्थिति संख्या से छोटी है।. इसे कहना भी सामान्य बात है के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ वैक्टर के ब्लॉक को से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो , और न (और अधिकांशतः भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं।
प्रीकंडीशनर के लिए रैखिक प्रणाली को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए अभिसरण की दर बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से विरल मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है।
विवरण
के लिए मूल रैखिक प्रणाली को हल करने के अतिरिक्त, कोई सही पूर्व नियम प्रणाली पर विचार कर सकता है
और हल करें
के लिए और
के लिए .
वैकल्पिक रूप से, कोई बाईं पूर्व नियम प्रणाली को हल कर सकता है