Nवे मूल: Difference between revisions

{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, nवे मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। nवे मूल लेते हुए इसे <math>{\sqrt[{n}]{x}}                                              </math> के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवे मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:  

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वे मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}} मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं।  

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक है। और धनात्मक nवे मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल अधिक उच्च वास्तविक भाग {{mvar|n}} की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( {{mvar|x}} वास्तविक और ऋणात्मक  के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और {{mvar|x}} के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है   

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल वास्तविक नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3}                                                                                                                                                                                                      </math> है  

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से मौलिक प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या मौलिक के रूप में जाना जाता है।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।  

मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ घात श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है।

[[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n''वे  मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n''वे ''घात ''x'' है:

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x{{sup|1/n}} के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है.

प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या, की n भिन्न सम्मिश्र संख्या nवें मूल होती हैं। (स्थितियां में x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nवें मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।

nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि <math>x^{1/n}</math> में है, जहाँ घातो  और मूलों में परिवर्तन करना सरल बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है| गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या,

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में गैर-ऋणात्मक वास्तविक nवें मूल होता है, और इसलिए गैर-ऋणात्मक मूलांक वाले करणी के संचालन के नियम <math>a</math> तथा <math>b</math> वास्तविक संख्या में सीधे हैं:

<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math>किंतु,<math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math>                                  

 

नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} =  \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है।

== एक मौलिक अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप ==

एक गैर-नेस्टेड मौलिक अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref>                                      

# रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर घात के रूप में लिखा जा सके।

# सभी में कोई रेडिकल नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सर्वप्रथम, वर्गमूल चिन्ह के नीचे पूर्ण वर्ग की तलाश करें और इसे हटा दें:

इसके अतिरिक्त, मूल चिह्न के नीचे अंश है, जिसे हम निम्नानुसार परिवर्तन करते हैं:

:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}                         </math>

जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p.&nbsp;329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन या योग/अंतर का उपयोग करना :

   \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b} .                                                                                                                                    

:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2}                     </math>  

मान लीजिये <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवें घात हैं।

:<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n                                                                                               </math>  

== कंप्यूटिंग सिद्धांत मूल्स                             ==

 

 

 

 

 

 

 

''x''₄ = 2.02439 74584 99885 04251 08172...                

''x''₅ = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8... <br>(सभी सही अंक दिखाए गए हैं।)

सन्निकटन {{math|''x''₄}} दशमलव 25 स्थानों के लिए सटीक है और {{math|''x''₅}} 51 के लिए अच्छा है।

न्यूटन की विधि को nवें मूल के लिए धनात्मक संख्याओं के विभिन्न सामान्यीकृत निरंतर भिन्न या मूल उत्पन्न करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

   \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{x^n+y} = x+\cfrac{y} {nx^{n-1}+\cfrac{(n-1)y} {2x+\cfrac{(n+1)y} {3nx^{n-1}+\cfrac{(2n-1)y} {2x+\cfrac{(2n+1)y} {5nx^{n-1}+\cfrac{(3n-1)y} {2x+\ddots}}}}}}.                                                                                                                                

[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math> का उपयोग किया गया है, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> को पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति <math>n</math> में अवयव  <math>i</math> के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math> के रूप में फिर से लिख सकते हैं . सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को <math>y</math> कॉल करें . इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी धनात्मक मूल की गणना करते है , जिसे अंक-दर-अंक, निम्नानुसार उपयोग किया जा सकती है।

मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा।                              

अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: