Nवे मूल: Difference between revisions

{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, nवे मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। nवे मूल लेते हुए इसे <math>{\sqrt[{n}]{x}}                                              </math> के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवे मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:  

:<math>r^n = x,</math>                                                                                                                                                      

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x}                                                                        </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वे मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}} मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं।  

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक है। और धनात्मक nवे मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल अधिक उच्च वास्तविक भाग {{mvar|n}} की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( {{mvar|x}} वास्तविक और ऋणात्मक  के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और {{mvar|x}} के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल वास्तविक नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3}                                                                                                                                                                                                     </math> है  

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से मौलिक प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या मौलिक के रूप में जाना जाता है।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math>             

<डिव क्लास = राइट>                              {{Arithmetic operations}}

 

== इतिहास                                                                             ==

[[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n''वे  मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n''वे ''घात ''x'' है:

प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x{{sup|1/n}} के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है.

n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है।

प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या, की n भिन्न सम्मिश्र संख्या nवें मूल होती हैं। (स्थितियां में x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nवें मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।

शब्द करणी ख़्वारिज़्मी | अल-ख़्वारिज़्मी (सी. 825) से जुड़ा है, जिन्होंने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को क्रमशः श्रव्य और अश्रव्य के रूप में संदर्भित किया। यह पश्चात् में अरबी शब्द का कारण बना{{lang|tg-Arab|أصم}} (असम, जिसका अर्थ है बहरा या गूंगा) अपरिमेय संख्या के लिए लैटिन में सूरदस (अर्थात् बहरा या मूक) के रूप में अनुवादित किया जा रहा है। क्रेमोना के जेरार्ड (सी। 1150), फाइबोनैचि (1202), और फिर रॉबर्ट रिकॉर्डे (1551) सभी ने इस शब्द का उपयोग अनसुलझे अपरिमेय मूलों को संदर्भित करने के लिए किया, जो कि <math>\sqrt[n]{i}                                                   </math> रूप की अभिव्यक्ति है। जिसमें <math>n</math> तथा <math>i</math> पूर्णांक संख्याएँ हैं और संपूर्ण व्यंजक अपरिमेय संख्या को दर्शाता है।<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=गणित के कुछ शब्दों का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|access-date=2008-11-30}}</ref> द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, अर्थात् रूप की अपरिमेय संख्याएँ <math>\sqrt{i},</math> द्विघात करणी भी कहलाती हैं।  

चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है, ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता। चूँकि , प्रत्येक ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए दो काल्पनिक संख्या वर्गमूल होते हैं। उदाहरण के लिए, -25 के वर्गमूल 5i और -5i हैं, जहां काल्पनिक इकाई संख्या का प्रतिनिधित्व करती है जिसका वर्ग {{math|−1}} है .

प्रत्येक वास्तविक संख्या x का ठीक वास्तविक घनमूल <math>\sqrt[3]{x}</math> लिखा होता है. उदाहरण के लिए,

== पहचान और गुण                                           ==

nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि <math>x^{1/n}</math> में है, जहाँ घातो  और मूलों में परिवर्तन करना सरल बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है| गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या,

:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.                                                                                                           </math>

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में गैर-ऋणात्मक वास्तविक nवें मूल होता है, और इसलिए गैर-ऋणात्मक मूलांक वाले करणी के संचालन के नियम <math>a</math> तथा <math>b</math> वास्तविक संख्या में सीधे हैं:

\end{align}</math>                                                                                    

ऋणात्मक या सम्मिश्र संख्याओं के nवें मूल को लेते समय सूक्ष्मताएँ उत्पन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए:                

 

नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} =  \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है।

== एक मौलिक अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप ==

एक गैर-नेस्टेड मौलिक अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref>                                      

# रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर घात के रूप में लिखा जा सके।

# सभी में कोई रेडिकल नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सर्वप्रथम, वर्गमूल चिन्ह के नीचे पूर्ण वर्ग की तलाश करें और इसे हटा दें:

इसके अतिरिक्त, मूल चिह्न के नीचे अंश है, जिसे हम निम्नानुसार परिवर्तन करते हैं:

:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}                         </math>

जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p.&nbsp;329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन या योग/अंतर का उपयोग करना :

   \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b} .                                                                                                                                    

नेस्टेड रेडिकल्स से जुड़े रेडिकल एक्सप्रेशंस को सरल बनाना अधिक कठिनाई हो सकता है। उदाहरण के लिए यह स्पष्ट नहीं है कि:

:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2}                     </math>  

मान लीजिये <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवें घात हैं।

:<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n                                                                                               </math>  

== कंप्यूटिंग सिद्धांत मूल्स                             ==

=== '''न्यूटन की विधि का प्रयोग''' ===

किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''₀}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है  

:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}}                                                                                                         </math>

जब तक वांछित स्पष्टता प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है                                                  

:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}}                                                                                                                     </math>

यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है।                      

उदाहरण के लिए, 34 का पाँचवाँ मूल ज्ञात करने के लिए, हम {{math|1=''n'' = 5, ''A'' = 34}} तथा {{math|1=''x''₀ = 2}} (आरंभिक अनुमान) योग करते हैं । पहले 5 पुनरावृत्तियाँ हैं,