विभाजित अंतर: Difference between revisions

From Vigyanwiki
m (Deepak moved page बंटे हुए मतभेद to विभाजित अंतर without leaving a redirect)
No edit summary
Line 1: Line 1:
{{Short description|Algorithm for computing polynomial coefficients}}
{{Short description|Algorithm for computing polynomial coefficients}}


गणित में, विभाजित अंतर एक [[कलन विधि]] है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से [[लघुगणक]] और [[त्रिकोणमितीय कार्य]]ों की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है।{{Citation needed |date=October 2017}} [[चार्ल्स बैबेज]] का [[अंतर इंजन]], एक प्रारंभिक [[यांत्रिक कैलकुलेटर]], अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।<ref name="Isaacson2014">{{cite book |last1=Isaacson |first1=Walter |title=इनोवेटर्स|date=2014 |publisher=Simon & Schuster |isbn=978-1-4767-0869-0 |page=20 }}</ref>
[[गणित]] में, '''विभाजित अंतर''' एक एल्गोरिदम ([[कलन विधि]]) है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लॉगरिदम और [[त्रिकोणमितीय कार्य]] की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का [[अंतर इंजन]], एक प्रारंभिक [[यांत्रिक कैलकुलेटर]], अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।<ref name="Isaacson2014">{{cite book |last1=Isaacson |first1=Walter |title=इनोवेटर्स|date=2014 |publisher=Simon & Schuster |isbn=978-1-4767-0869-0 |page=20 }}</ref>
विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन (गणित) प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं का एक क्रम दिया गया है <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_{n}, y_{n})</math>, विधि [[न्यूटन बहुपद]] में इन बिंदुओं के [[बहुपद प्रक्षेप]] के गुणांक की गणना करती है।
 
 
विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_{n}, y_{n})</math> के अनुक्रम को देखते हुए, विधि न्यूटन फॉर्म में इन बिंदुओं के इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांक की गणना करती है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
Line 12: Line 14:
\mathopen[y_k,\ldots,y_{k+j}] &:= \frac{[y_{k+1},\ldots , y_{k+j}] - [y_{k},\ldots , y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k}, && k\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}.
\mathopen[y_k,\ldots,y_{k+j}] &:= \frac{[y_{k+1},\ldots , y_{k+j}] - [y_{k},\ldots , y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k}, && k\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना उसके तत्काल निचले बाएँ और उसके तत्काल ऊपरी बाएँ प्रविष्टियों के अंतर से की जाती है, जो संबंधित x-मानों के अंतर से विभाजित होती है:
गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त ''j'' के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना प्रविष्टियों के अंतर से उसके तत्काल निचले बाएँ तक की जाती है और इसके ठीक ऊपरी बायीं ओर, संगत ''x''-मानों के अंतर से विभाजित:
<math display="block">
<math display="block">
\begin{matrix}
\begin{matrix}
Line 27: Line 29:


=== संकेतन ===
=== संकेतन ===
ध्यान दें कि विभाजित अंतर <math>[y_k,\ldots,y_{k+j}]</math> मूल्यों पर निर्भर करता है <math>x_k,\ldots,x_{k+j}</math> और <math>y_k,\ldots,y_{k+j}</math>, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को छुपाता है। यदि डेटा बिंदु किसी फ़ंक्शन f द्वारा दिए गए हैं,
ध्यान दें कि विभाजित अंतर <math>[y_k,\ldots,y_{k+j}]</math> मूल्यों पर निर्भर करता है <math>x_k,\ldots,x_{k+j}</math> और <math>y_k,\ldots,y_{k+j}</math>, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को अप्रदर्शित करता है। यदि डेटा बिंदु किसी फलन ''ƒ'' द्वारा दिए गए हैं,
<math display="block">(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{k}, f(x_{n}))</math>
<math display="block">(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{k}, f(x_{n}))</math>
कोई कभी-कभी लिखता है
कोई कभी-कभी लिखता है
<math display="block">f[x_k,\ldots,x_{k+j}]</math>
<math display="block">f[x_k,\ldots,x_{k+j}]</math>
लिखने के बजाय विभाजित अंतर के लिए
लिखने के स्थान पर विभाजित अंतर के लिए
<math display="block">[f(x_k),\ldots,f(x_{k+j})]</math>
<math display="block">[f(x_k),\ldots,f(x_{k+j})]</math>
या
या
  <math display="block">[y_{k},\ldots,y_{k+j}].</math>
  <math display="block">[y_{k},\ldots,y_{k+j}].</math>
नोड्स x पर फ़ंक्शन के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन<sub>0</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> उदाहरण के लिए, इनका भी उपयोग किया जाता है:
उदाहरण के लिए, नोड्स ''x''<sub>0</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' पर फलन ''ƒ'' के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन का भी उपयोग किया जाता है:
 
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
&\mathopen[x_0,\ldots,x_n]f, \\
&\mathopen[x_0,\ldots,x_n]f, \\
Line 45: Line 48:
==उदाहरण==
==उदाहरण==


के लिए मतभेद विभाजित <math>k=0</math> और के पहले कुछ मान <math>j</math>:
<math>k=0</math> और <math>j</math> के पहले कुछ मानों के लिए विभाजित अंतर:
 
<math display="block">
<math display="block">
\begin{align}
\begin{align}
Line 61: Line 65:


==गुण==
==गुण==
* [[रैखिक कार्यात्मक]] <math display="block">\begin{align}
* रैखिक कार्यात्मक <math display="block">\begin{align}
(f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\
(f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\
(\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n]
(\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n]
Line 68: Line 72:
*विभाजित अंतर सममित हैं: यदि <math>\sigma : \{0, \dots, n\} \to \{0, \dots, n\}</math> तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है <math display="block">f[x_0, \dots, x_n] = f[x_{\sigma(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}]</math>
*विभाजित अंतर सममित हैं: यदि <math>\sigma : \{0, \dots, n\} \to \{0, \dots, n\}</math> तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है <math display="block">f[x_0, \dots, x_n] = f[x_{\sigma(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}]</math>
* न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि <math>P</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math>\leq n</math>, और <math>p[x_0, \dots , x_n]</math> तो फिर विभाजित अंतर है <math display="block">P_{n-1}(x) = p[x_0] + p[x_0,x_1](x-x_0) + p[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + p[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})</math>
* न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि <math>P</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math>\leq n</math>, और <math>p[x_0, \dots , x_n]</math> तो फिर विभाजित अंतर है <math display="block">P_{n-1}(x) = p[x_0] + p[x_0,x_1](x-x_0) + p[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + p[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})</math>
* अगर <math>p</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math><n</math>, तब <math display="block">p[x_0, \dots, x_n] = 0.</math>
* यदि <math>p</math> डिग्री का एक बहुपद फलन है <math><n</math>, तब <math display="block">p[x_0, \dots, x_n] = 0.</math>
*[[विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय]]: यदि <math>f</math> तो फिर, n गुना अवकलनीय है <math display="block">f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}</math> एक संख्या के लिए <math>\xi</math> सबसे छोटे और सबसे बड़े द्वारा निर्धारित खुले अंतराल में <math>x_k</math>'एस।
*विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय: यदि <math>f</math> तो फिर, n गुना अवकलनीय है <math display="block">f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}</math> किसी संख्या <math>\xi</math> के लिए विवृत अंतराल में सबसे छोटे और सबसे बड़े <math>x_k</math>'s द्वारा निर्धारित किया जाता है।


==मैट्रिक्स फॉर्म==
==आव्यूह फॉर्म==
विभाजित अंतर योजना को ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] में रखा जा सकता है:
विभाजित अंतर योजना को ऊपरी [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्यूह]] में रखा जा सकता है:
<math display="block">T_f(x_0,\dots,x_n)=
<math display="block">T_f(x_0,\dots,x_n)=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Line 83: Line 87:
फिर यह कायम रहता है
फिर यह कायम रहता है
* <math>T_{f+g}(x) = T_f(x) + T_g(x)</math>
* <math>T_{f+g}(x) = T_f(x) + T_g(x)</math>
* <math>T_{\lambda f}(x) = \lambda T_f(x)</math> अगर <math>\lambda</math> एक अदिश राशि है
* <math>T_{\lambda f}(x) = \lambda T_f(x)</math> यदि <math>\lambda</math> एक अदिश राशि है
* <math>T_{f\cdot g}(x) = T_f(x) \cdot T_g(x)</math> {{pb}} यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान सेट के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के मैट्रिक्स एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं।
* <math>T_{f\cdot g}(x) = T_f(x) \cdot T_g(x)</math> {{pb}} यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान सेट के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के आव्यूह एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं।
* तब से <math> T_f(x) </math> एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, इसके [[eigenvalue]]s ​​​​स्पष्ट रूप से हैं <math> f(x_0), \dots, f(x_n) </math>.
* तब से <math> T_f(x) </math> एक त्रिकोणीय आव्यूह है, इसके ईजेन वैल्यू ​​​​स्पष्ट रूप से हैं <math> f(x_0), \dots, f(x_n) </math>.
* होने देना <math>\delta_\xi</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] जैसा फ़ंक्शन बनें, अर्थात <math display="block">\delta_\xi(t) = \begin{cases}
* होने देना <math>\delta_\xi</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] जैसा फलन बनें, अर्थात <math display="block">\delta_\xi(t) = \begin{cases}
1 &: t=\xi , \\
1 &: t=\xi , \\
0 &: \mbox{else}.
0 &: \mbox{else}.
\end{cases}</math> ज़ाहिर तौर से <math>f\cdot \delta_\xi = f(\xi)\cdot \delta_\xi</math>, इस प्रकार <math>\delta_\xi</math> बिंदुवार फ़ंक्शन गुणन का एक [[eigenfunction]] है। वह है <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> किसी तरह का एक [[eigenmatrix]] है <math>T_f(x)</math>: <math> T_f(x) \cdot T_{\delta_{x_i}} (x) = f(x_i) \cdot T_{\delta_{x_i}}(x) </math>. हालाँकि, के सभी कॉलम <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> एक दूसरे के गुणज हैं, [[मैट्रिक्स रैंक]] <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> 1 है। तो आप सभी eigenvectors के मैट्रिक्स की रचना कर सकते हैं <math>T_f(x)</math> से <math>i</math>प्रत्येक का -वाँ स्तंभ <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math>. eigenvectors के मैट्रिक्स को निरूपित करें <math>U(x)</math>. उदाहरण <math display="block"> U(x_0,x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix}
\end{cases}</math>स्पष्टत रूप से <math>f\cdot \delta_\xi = f(\xi)\cdot \delta_\xi</math>, इस प्रकार <math>\delta_\xi</math> बिंदुवार फलन गुणन का एक [[eigenfunction|ईजेनफलन]] है। वह है <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> किसी तरह का एक ईजेनआव्यूह है <math>T_f(x)</math>: <math> T_f(x) \cdot T_{\delta_{x_i}} (x) = f(x_i) \cdot T_{\delta_{x_i}}(x) </math>. हालाँकि, के सभी कॉलम <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> एक दूसरे के गुणज हैं, आव्यूह रैंक <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math> 1 है। तो आप सभी ईजेनसदिश के आव्यूह की रचना कर सकते हैं <math>T_f(x)</math> से <math>i</math> प्रत्येक का -वाँ स्तंभ <math>T_{\delta_{x_i}}(x)</math>. ईजेनसदिश के आव्यूह को निरूपित करें <math>U(x)</math>. उदाहरण <math display="block"> U(x_0,x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{(x_1-x_0)} & \frac{1}{(x_2-x_0) (x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_0) (x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\
1 & \frac{1}{(x_1-x_0)} & \frac{1}{(x_2-x_0) (x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_0) (x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\
0 & 1 & \frac{1}{(x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\
0 & 1 & \frac{1}{(x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{(x_3-x_2)} \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{(x_3-x_2)} \\
0 & 0 & 0 & 1
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} </math> का [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] <math>T_f(x)</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math display="block"> U(x) \cdot \operatorname{diag}(f(x_0),\dots,f(x_n)) = T_f(x) \cdot U(x) .</math>
\end{pmatrix} </math> का [[विकर्णीय मैट्रिक्स|विकर्णीय आव्यूह]] <math>T_f(x)</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math display="block"> U(x) \cdot \operatorname{diag}(f(x_0),\dots,f(x_n)) = T_f(x) \cdot U(x) .</math>




Line 110: Line 114:
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>
</math>
इसमें नोड्स के संबंध में पहचान फ़ंक्शन के लिए विभाजित अंतर योजना शामिल है <math>x_0,\dots,x_n</math>, इस प्रकार <math>J^m</math> इसमें घातांक के साथ [[एकपद]]ी के लिए विभाजित अंतर शामिल हैं <math>m</math>.
इसमें नोड्स <math>x_0,\dots,x_n</math> के संबंध में पहचान फलन के लिए विभाजित अंतर योजना सम्मिलित है, इस प्रकार <math>J^m</math> में घातांक <math>m</math> के साथ घात फलन के लिए विभाजित अंतर सम्मिलित हैं। परिणामस्वरूप, आप आव्यूह <math>J</math> पर <math>p</math> लागू करके एक बहुपद फलन <math>p</math> के लिए विभाजित अंतर प्राप्त कर सकते हैं: यदि
परिणामस्वरूप, आप एक बहुपद फलन के लिए विभाजित अंतर प्राप्त कर सकते हैं <math>p</math> लगाने से <math>p</math> मैट्रिक्स के लिए <math>J</math>: अगर
 
<math display="block">p(\xi) = a_0 + a_1 \cdot \xi + \dots + a_m \cdot \xi^m</math>
<math display="block">p(\xi) = a_0 + a_1 \cdot \xi + \dots + a_m \cdot \xi^m</math>
और
और
Line 117: Line 121:
तब
तब
<math display="block">T_p(x) = p(J).</math>
<math display="block">T_p(x) = p(J).</math>
इसे ओपिट्ज़ सूत्र के नाम से जाना जाता है।<ref>[[Carl de Boor|de Boor, Carl]], ''Divided Differences'', Surv. Approx. Theory  1  (2005), 46–69, [http://www.emis.de/journals/SAT/papers/2/]</ref><ref>Opitz, G. ''Steigungsmatrizen'', Z. Angew. Math. Mech. (1964), 44, T52–T54</ref>
अब <math>p</math> की घात को अनंत तक बढ़ाने पर विचार करें, यानी टेलर बहुपद को [[टेलर श्रृंखला]] में बदल दें। मान लीजिए कि <math>f</math> एक फलन है जो घात श्रृंखला से मेल खाता है। आप संबंधित आव्यूह श्रृंखला को <math>J</math> पर लागू करके <math>f</math> के लिए विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं: यदि
अब की डिग्री बढ़ाने पर विचार करें <math>p</math> अनंत तक, यानी टेलर बहुपद को [[टेलर श्रृंखला]] में बदल दें।
 
होने देना <math>f</math> एक ऐसा फ़ंक्शन बनें जो पावर श्रृंखला से मेल खाता हो।
आप विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं <math>f</math> संबंधित मैट्रिक्स श्रृंखला को लागू करके <math>J</math>:
अगर
<math display="block">f(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math>
<math display="block">f(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k</math>
और
और
Line 150: Line 151:


===पीनो फॉर्म===
===पीनो फॉर्म===
अगर <math>x_0<x_1<\cdots<x_n</math> और <math>n\geq 1</math>, विभाजित मतभेदों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{Cite book |last=Skof |first=Fulvia |url=https://books.google.com/books?id=ulUM2GagwacC&dq=This+is+called+the+Peano+form+of+the+divided+differences&pg=PA41 |title=Giuseppe Peano between Mathematics and Logic: Proceeding of the International Conference in honour of Giuseppe Peano on the 150th anniversary of his birth and the centennial of the Formulario Mathematico Torino (Italy) October 2-3, 2008 |date=2011-04-30 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-88-470-1836-5 |pages=40 |language=en}}</ref>
यदि <math>x_0<x_1<\cdots<x_n</math> और <math>n\geq 1</math>, विभाजित मतभेदों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{Cite book |last=Skof |first=Fulvia |url=https://books.google.com/books?id=ulUM2GagwacC&dq=This+is+called+the+Peano+form+of+the+divided+differences&pg=PA41 |title=Giuseppe Peano between Mathematics and Logic: Proceeding of the International Conference in honour of Giuseppe Peano on the 150th anniversary of his birth and the centennial of the Formulario Mathematico Torino (Italy) October 2-3, 2008 |date=2011-04-30 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-88-470-1836-5 |pages=40 |language=en}}</ref>
<math display="block">f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t) \, dt</math>
<math display="block">f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t) \, dt</math>
कहाँ <math>f^{(n)}</math> है <math>n</math>-फ़ंक्शन का व्युत्पन्न <math>f</math> और <math>B_{n-1}</math> डिग्री की एक निश्चित [[बी-पट्टी]] है <math>n-1</math> डेटा बिंदुओं के लिए <math>x_0,\dots,x_n</math>, सूत्र द्वारा दिया गया है
कहाँ <math>f^{(n)}</math> है <math>n</math>-फलन का व्युत्पन्न <math>f</math> और <math>B_{n-1}</math> डिग्री की एक निश्चित बी-पट्टी है <math>n-1</math> डेटा बिंदुओं के लिए <math>x_0,\dots,x_n</math>, सूत्र द्वारा दिया गया है
<math display="block">B_{n-1}(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(\max(0,x_k-t))^{n-1}}{\omega'(x_k)}</math>
<math display="block">B_{n-1}(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(\max(0,x_k-t))^{n-1}}{\omega'(x_k)}</math>
यह [[पीनो का कर्नेल प्रमेय]] का परिणाम है; इसे विभाजित मतभेदों का पीनो रूप कहा जाता है <math>B_{n-1}</math> विभाजित मतभेदों के लिए पीनो कर्नेल है, सभी का नाम ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है।
यह पीनो का कर्नेल प्रमेय का परिणाम है; इसे विभाजित मतभेदों का पीनो रूप कहा जाता है <math>B_{n-1}</math> विभाजित मतभेदों के लिए पीनो कर्नेल है, सभी का नाम ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है।


===आगे का अंतर===
===आगे का अंतर===
{{details|Finite difference}}
{{details|परिमित अंतर}}


जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है।
जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है।

Revision as of 16:43, 6 August 2023

गणित में, विभाजित अंतर एक एल्गोरिदम (कलन विधि) है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लॉगरिदम और त्रिकोणमितीय कार्य की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन, एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर, अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।[1]


विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं के अनुक्रम को देखते हुए, विधि न्यूटन फॉर्म में इन बिंदुओं के इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांक की गणना करती है।

परिभाषा

n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है

जहां जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना प्रविष्टियों के अंतर से उसके तत्काल निचले बाएँ तक की जाती है और इसके ठीक ऊपरी बायीं ओर, संगत x-मानों के अंतर से विभाजित:


संकेतन

ध्यान दें कि विभाजित अंतर मूल्यों पर निर्भर करता है और , लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को अप्रदर्शित करता है। यदि डेटा बिंदु किसी फलन ƒ द्वारा दिए गए हैं,

कोई कभी-कभी लिखता है
लिखने के स्थान पर विभाजित अंतर के लिए
या

उदाहरण के लिए, नोड्स x0, ..., xn पर फलन ƒ के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन का भी उपयोग किया जाता है:


उदाहरण

और के पहले कुछ मानों के लिए विभाजित अंतर:


गुण

  • रैखिक कार्यात्मक
  • लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)
  • विभाजित अंतर सममित हैं: यदि तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है
  • न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि डिग्री का एक बहुपद फलन है , और तो फिर विभाजित अंतर है
  • यदि डिग्री का एक बहुपद फलन है , तब
  • विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय: यदि तो फिर, n गुना अवकलनीय है
    किसी संख्या के लिए विवृत अंतराल में सबसे छोटे और सबसे बड़े 's द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आव्यूह फॉर्म

विभाजित अंतर योजना को ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में रखा जा सकता है:

फिर यह कायम रहता है

  • यदि एक अदिश राशि है
  • यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान सेट के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के आव्यूह एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं।
  • तब से एक त्रिकोणीय आव्यूह है, इसके ईजेन वैल्यू ​​​​स्पष्ट रूप से हैं .
  • होने देना क्रोनकर डेल्टा जैसा फलन बनें, अर्थात
    स्पष्टत रूप से , इस प्रकार बिंदुवार फलन गुणन का एक ईजेनफलन है। वह है किसी तरह का एक ईजेनआव्यूह है : . हालाँकि, के सभी कॉलम एक दूसरे के गुणज हैं, आव्यूह रैंक 1 है। तो आप सभी ईजेनसदिश के आव्यूह की रचना कर सकते हैं से प्रत्येक का -वाँ स्तंभ . ईजेनसदिश के आव्यूह को निरूपित करें . उदाहरण
    का विकर्णीय आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है


बहुपद और घात श्रृंखला

गणित का सवाल

इसमें नोड्स के संबंध में पहचान फलन के लिए विभाजित अंतर योजना सम्मिलित है, इस प्रकार में घातांक के साथ घात फलन के लिए विभाजित अंतर सम्मिलित हैं। परिणामस्वरूप, आप आव्यूह पर लागू करके एक बहुपद फलन के लिए विभाजित अंतर प्राप्त कर सकते हैं: यदि

और
तब
अब की घात को अनंत तक बढ़ाने पर विचार करें, यानी टेलर बहुपद को टेलर श्रृंखला में बदल दें। मान लीजिए कि एक फलन है जो घात श्रृंखला से मेल खाता है। आप संबंधित आव्यूह श्रृंखला को पर लागू करके के लिए विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं: यदि

और
तब


वैकल्पिक लक्षण वर्णन

विस्तृत रूप