Nवे मूल: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{short description|Arithmetic operation}} | {{short description|Arithmetic operation}} | ||
{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, | {{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, nवे मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। nवे मूल लेते हुए इसे <math>{\sqrt[{n}]{x}} </math> के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवे मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है: | ||
:<math>r^n = x,</math> | :<math>r^n = x,</math> | ||
डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x} </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है. | डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x} </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है. | ||
सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}} | सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वे मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}} मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं। | ||
वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक है। और धनात्मक | वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक है। और धनात्मक nवे मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है। | ||
जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल | जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल अधिक उच्च वास्तविक भाग {{mvar|n}} की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( {{mvar|x}} वास्तविक और ऋणात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और {{mvar|x}} के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है | ||
इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल | इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल वास्तविक नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3} </math> है | ||
एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से मौलिक प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या मौलिक के रूप में जाना जाता है।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है। | |||
मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है: | मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है: | ||
| Line 19: | Line 18: | ||
<डिव क्लास = राइट> {{Arithmetic operations}} | <डिव क्लास = राइट> {{Arithmetic operations}} | ||
मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ | मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ घात श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
| Line 25: | Line 24: | ||
{{Main article|वर्गमूल या इतिहास |घनमूल या इतिहास }} | {{Main article|वर्गमूल या इतिहास |घनमूल या इतिहास }} | ||
nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।<ref>{{cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/radication|title=विकिरण की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com}}</ref><ref>{{cite web|url=https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|archive-url=https://web.archive.org/web/20180403112348/https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|url-status=dead|archive-date=April 3, 2018|title=रेडिकेशन - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा अंग्रेजी में रेडिकेशन की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries }}</ref> | nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।<ref>{{cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/radication|title=विकिरण की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com}}</ref><ref>{{cite web|url=https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|archive-url=https://web.archive.org/web/20180403112348/https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|url-status=dead|archive-date=April 3, 2018|title=रेडिकेशन - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा अंग्रेजी में रेडिकेशन की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries }}</ref> | ||
== परिभाषा और अंकन == | == परिभाषा और अंकन == | ||
[[File:NegativeOne4Root.svg|thumb|−1 के चार चौथे मूल,<br /> इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है]] | [[File:NegativeOne4Root.svg|thumb|−1 के चार चौथे मूल,<br /> इनमें से कोई भी वास्तविक नहीं है]] | ||
[[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n'' | [[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n''वे मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n''वे ''घात ''x'' है: | ||
:<math>r^n = x.</math> | :<math>r^n = x.</math> | ||
प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x{{sup|1/n}} के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है. | प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x{{sup|1/n}} के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है. | ||
| Line 63: | Line 60: | ||
== पहचान और गुण == | == पहचान और गुण == | ||
nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि <math>x^{1/n}</math> में है, जहाँ | nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि <math>x^{1/n}</math> में है, जहाँ घातो और मूलों में परिवर्तन करना सरल बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है| गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या, | ||
:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m. </math> | :<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m. </math> | ||
प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में गैर-ऋणात्मक वास्तविक | प्रत्येक गैर-ऋणात्मक संख्या में वास्तव में गैर-ऋणात्मक वास्तविक nवें मूल होता है, और इसलिए गैर-ऋणात्मक मूलांक वाले करणी के संचालन के नियम <math>a</math> तथा <math>b</math> वास्तविक संख्या में सीधे हैं: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 78: | Line 75: | ||
नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है। | नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है। | ||
== एक | == एक मौलिक अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप == | ||
एक गैर-नेस्टेड | एक गैर-नेस्टेड मौलिक अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref> | ||
# रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर | # रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर घात के रूप में लिखा जा सके। | ||
# मूलांक चिह्न के नीचे कोई अंश नहीं हैं। | # मूलांक चिह्न के नीचे कोई अंश नहीं हैं। | ||
# सभी में कोई रेडिकल नहीं हैं। | # सभी में कोई रेडिकल नहीं हैं। | ||
उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। | उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सर्वप्रथम, वर्गमूल चिन्ह के नीचे पूर्ण वर्ग की तलाश करें और इसे हटा दें: | ||
:<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\tfrac{2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math> | :<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\tfrac{2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math> | ||
इसके अतिरिक्त, मूल चिह्न के नीचे अंश है, जिसे हम निम्नानुसार परिवर्तन करते हैं: | |||
:<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math> | :<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math> | ||
अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | ||
| Line 102: | Line 99: | ||
उपरोक्त के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है: | उपरोक्त के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} </math> | :<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} </math> | ||
मान लीजिये <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की | मान लीजिये <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवें घात हैं। | ||
== अनंत श्रृंखला == | == अनंत श्रृंखला == | ||
| Line 112: | Line 109: | ||
== कंप्यूटिंग सिद्धांत मूल्स == | == कंप्यूटिंग सिद्धांत मूल्स == | ||
=== '''न्यूटन की विधि का प्रयोग''' === | |||
किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''<sub>0</sub>}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है | किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''<sub>0</sub>}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है | ||
:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}} </math> | :<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}} </math> | ||
| Line 145: | Line 141: | ||
=== दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | === दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | ||
[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math> का उपयोग किया गया है | [[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math> का उपयोग किया गया है, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> को पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति <math>n</math> में अवयव <math>i</math> के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math> के रूप में फिर से लिख सकते हैं . सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को <math>y</math> कॉल करें . इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी धनात्मक मूल की गणना करते है , जिसे अंक-दर-अंक, निम्नानुसार उपयोग किया जा सकती है। | ||
मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा। | मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा। | ||
| Line 151: | Line 147: | ||
अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | ||
# बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के | # बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के अधिक महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तब समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या 0 को लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेषफल को <math>10^n</math> से गुणा करें और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा। | ||
#इस प्रकार ''p'' और ''x'' खोजें: | #इस प्रकार ''p'' और ''x'' खोजें: | ||
#* मान लीजिये कि किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, <math>p</math> को अभी तक प्राप्त मूल का | #* मान लीजिये कि किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, <math>p</math> को अभी तक प्राप्त मूल का भाग होना चाहिए था । (प्रथम चरण के लिए, <math>p = 0</math>). | ||
#* | #* अधिक उच्च अंक <math>x</math> निर्धारित करें जैसा कि <math>y \le c</math>. | ||
#* अंक <math>x</math> को मूल के अगले अंक के रूप में लगाएं, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला p पुराना p गुणा 10 प्लस x होगा। | #* अंक <math>x</math> को मूल के अगले अंक के रूप में लगाएं, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला p पुराना p गुणा 10 प्लस x होगा। | ||
# नया अवशेष बनाने के लिए <math>c</math> में से <math>y</math> घटाना चाहिए । | # नया अवशेष बनाने के लिए <math>c</math> में से <math>y</math> घटाना चाहिए । | ||
| Line 198: | Line 194: | ||
=== लघुगणकीय गणना === | === लघुगणकीय गणना === | ||
एक धनात्मक संख्या का मूल | एक धनात्मक संख्या का मूल nवें मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक या विशेष आधार करेगा) लेते हैं | ||
:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}. </math> | :<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}. </math> | ||
एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है: | एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है: | ||
| Line 209: | Line 205: | ||
== ज्यामितीय निर्माण == | == ज्यामितीय निर्माण == | ||
प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की | प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की घात नहीं है तब दी गई लंबाई की nवें मूल का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation|first = [[Monsieur|M.]] L.|last = Wantzel|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|year = 1837|volume = 1|issue = 2|pages = 366–372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref> | ||
== सम्मिश्र मूल == | == सम्मिश्र मूल == | ||
0 के | 0 के अतिरिक्त हर सम्मिश्र संख्या n भिन्न के nवें मूल होते हैं। | ||
===वर्गमूल=== | ===वर्गमूल=== | ||
| Line 224: | Line 218: | ||
जो स्थिति {{math|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}} के साथ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, या {{math|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}} के साथ ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा कटौती का परिचय देता है , . | जो स्थिति {{math|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}} के साथ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, या {{math|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}} के साथ ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा कटौती का परिचय देता है , . | ||
प्रथम (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है। | |||
=== एकता की मूल === | === एकता की मूल === | ||
| Line 240: | Line 234: | ||
:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math> | :<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math> | ||
जहां η अकेला | जहां η अकेला nवें मूल है, और 1, ω, ω{{sup|2}},... ω{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न चौथे मूल हैं | ||
:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math> | :<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math> | ||
ध्रुवीय रूप में, सूत्र द्वारा अकेला | ध्रुवीय रूप में, सूत्र द्वारा अकेला nवें मूल पाया जा सकता है | ||
:<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math> | :<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math> | ||
जहाँ r उस संख्या का परिमाण (मापांक, जिसे निरपेक्ष मान भी कहा जाता है) है, जिसका मूल लिया जाना है; यदि संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है तो <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. साथ ही, <math>\theta</math> वह कोण है जो मूल से संख्या तक जाने वाली किरण के धनात्मक क्षैतिज अक्ष से मूल वामावर्त पर धुरी के रूप में बना होता है; इसमें गुण हैं जो <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> तथा <math> \tan \theta = b/a.</math> में होता है | | |||
इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। | इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सर्व प्रथम, सभी nवें मूल का परिमाण मूल संख्या के परिमाण का nवें मूल है। दूसरा, धनात्मक क्षैतिज अक्ष और मूल से nवें मूल में से किरण के मध्य का कोण <math>\theta / n</math> है किसी जहाँ पर <math>\theta</math> जिस संख्या का मूल लिया जा रहा है, उसी प्रकार परिभाषित कोण है। इसके अतिरिक्त , nवें मूल के सभी n दूसरे से समान दूरी वाले कोण पर हैं। | ||
यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या ''r<sub>1</sub>'' nवें मूल में से है तब ''r<sub>2</sub> = -r<sub>1</sub>'' दूसरा है। इसका कारण यह है कि n के लिए पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (''–r<sub>1</sub>''){{sup|''n''}} = (''–1''){{sup|''n''}} × ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} = ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} होगा . | यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या ''r<sub>1</sub>'' nवें मूल में से है तब ''r<sub>2</sub> = -r<sub>1</sub>'' दूसरा है। इसका कारण यह है कि n के लिए पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (''–r<sub>1</sub>''){{sup|''n''}} = (''–1''){{sup|''n''}} × ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} = ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} होगा . | ||
वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, | वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, किन्तु इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है। | ||
== बहुपदों को हल करना == | == बहुपदों को हल करना == | ||
{{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम }} | {{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम }} | ||
एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी मूलों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने | |||