Nवे मूल: Difference between revisions

Revision as of 11:40, 25 July 2023

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

r^{n}=x,

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल ${\sqrt {x}}$ के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल ${\sqrt[{3}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। $n$ मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3²= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र $n$ वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए 0 का $n$ ' मूल शून्य होता है, जबसे $0 n = 0$ . विशेष रूप से, यदि $n$ सम है और $x$ धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका $n$ मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब $n > 2$ ) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि $n$ सम है और $x$ ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं $n$ वीं मूल वास्तविक हैं। यदि $n$ विषम है और $x$ वास्तविक है, $n$ मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह $x$ के समान है , जबकि अन्य ( $n - 1$ ) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि $x$ वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं $n$ वें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि $x$ धनात्मक है जिसके साथ ${\sqrt {x}}$ $x$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि $n$ विषम है तो ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक $n$ की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है $n$ सम है और $x$ धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$ , पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है $x$ रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र $n$ वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि $x$ के रूप में $n$ वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग $n$ की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( $x$ वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह $n$ वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो $x$ वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और $x$ के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन $n$ मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल $-2$ है और मुख्य घनमूल $1+i{\sqrt {3}}$ है

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी^[1] या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है।^[2] कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

<डिव क्लास = राइट>

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 सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है  सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक  वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक  हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वीं मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}}मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं।
-वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} धनात्मक  है; उच्च मूलों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की मूल {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक  है। अन्य स्थितियों  में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।
+वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math>  {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना  होता है; यदि  {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक  {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक  है। और धनात्मक nवाँ मूल  अन्य स्थितियों  में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।
-जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की मूल {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), धनात्मक  काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) है जो वास्तविक और धनात्मक  है {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक , और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और ऋणात्मक हैं।
+जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत  मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग  {{mvar|n}} की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक  काल्पनिक भाग वाला। यह {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित)  बनाता है जो {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और {{mvar|x}} के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है
+इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3}                                                                                                                                                                                                      </math> है
+एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।
-इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}}मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल है <math>-2</math> और मुख्य घनमूल है <math>1 + i\sqrt{3}.</math>
-एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या कट्टरपंथी।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे ''बीजगणितीय व्यंजक'' कहा जाता है। ''।''
 मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों  के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:
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 <डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}
-मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए मूलों का उपयोग किया जाता है। {{mvar|n}}<nowiki>n}}1 के वें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण।</nowiki>
+मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है।
-== इतिहास ==
+== इतिहास                                                                              ==
 {{Main article|वर्गमूल या इतिहास      |घनमूल या इतिहास                                                          }}
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 साथ <math>|x|<1</math>. यह अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है।
-== कंप्यूटिंग प्रिंसिपल मूल्स ==
+== कंप्यूटिंग सिद्धांत  मूल्स ==
 === न्यूटन की विधि का प्रयोग === {{math|''n''}}<nowiki>'}}एक संख्या की मूल </nowiki>{{math|''A''}} न्यूटन की विधि से गणना की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान से प्रारंभ होती है {{math|''x''<sub>0</sub>}} और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है

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