Nवे मूल: Difference between revisions

Revision as of 08:35, 25 July 2023

गणित में, संख्या x का n वाँ मूल संख्या r होती है, जिसे जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

r^{n}=x,

जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है। डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। की गणना $n$ जड़ जड़ निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है² = 9, और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9.

किसी भी गैर-शून्य संख्या को सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है $n$ अलग जटिल $n$ वें मूल, वास्तविक संख्या वालों सहित (अधिकतम दो)। $n$ '}}सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए 0 का मूल शून्य होता है $n$ , जबसे $0 n = 0$ . विशेष रूप से, अगर $n$ सम है और $x$ सकारात्मक वास्तविक संख्या है, इसका $n$ जड़ें वास्तविक और सकारात्मक हैं, नकारात्मक है, और अन्य (जब $n > 2$ ) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि $n$ सम है और $x$ ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं $n$ वीं जड़ें असली हैं। यदि $n$ विषम है और $x$ वास्तविक है, $n$ मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह समान है $x$ , जबकि अन्य ( $n - 1$ ) जड़ें वास्तविक नहीं हैं। अंत में, अगर $x$ वास्तविक नहीं है, तो इसका कोई नहीं $n$ वें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की जड़ें आमतौर पर मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ , साथ ${\sqrt {x}}$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना $x$ यदि $x$ सकारात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक को दर्शाता है $n$ की जड़ें $n$ विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है $n$ सम है और $x$ सकारात्मक है। अन्य मामलों में, प्रतीक आमतौर पर अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$ , पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है $x$ रेडिकैंड कहा जाता है।

जब जटिल $n$ वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है $n$ की जड़ $x$ के रूप में $n$ वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए $x$ वास्तविक और नकारात्मक), सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है $n$ वें मूल फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक और सकारात्मक है $x$ वास्तविक और सकारात्मक, और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है $x$ जो वास्तविक और नकारात्मक हैं।

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन $n$ जड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल है $-2$ और मुख्य घनमूल है $1+i{\sqrt {3}}.$ एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है^[1] या कट्टरपंथी।^[2] कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तो इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है। ।

जड़ों को घातांक के विशेष मामलों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

<डिव क्लास = राइट>

[1]

[2]

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 {{short description|Arithmetic operation}}
-{{about|nth-roots of real and complex numbers|other uses|Root (disambiguation)#Mathematics}}गणित में, संख्या ''x'' का ''n''वाँ मूल संख्या ''r'' होती है, जिसे जब घात ''n'' तक बढ़ाया जाता है, तो ''x'' प्राप्त होता है:
+{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, संख्या ''x'' का ''n'' वाँ मूल संख्या ''r'' होती है, जिसे जब घात ''n'' तक बढ़ाया जाता है, तो ''x'' प्राप्त होता है:
 :<math>r^n = x,</math>
 जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है। डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। की गणना {{math|''n''}}जड़ जड़ निष्कर्षण है।
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 वास्तविक संख्याओं की जड़ें आमतौर पर मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} सकारात्मक है; उच्च जड़ों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की जड़ें {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} सकारात्मक है। अन्य मामलों में, प्रतीक आमतौर पर अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।
-जब जटिल {{mvar|n}}वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल रूट कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की जड़ {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें रूट फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक और सकारात्मक है {{mvar|x}} वास्तविक और सकारात्मक, और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और नकारात्मक हैं।
+जब जटिल {{mvar|n}}वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अक्सर जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की जड़ {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें मूल फ़ंक्शन (गणित) है जो वास्तविक और सकारात्मक है {{mvar|x}} वास्तविक और सकारात्मक, और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और नकारात्मक हैं।
 इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}}जड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल है <math>-2</math> और मुख्य घनमूल है <math>1 + i\sqrt{3}.</math>
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 == इतिहास ==
-{{Main article|Square root#History|Cube root#History}}
+{{Main article|वर्गमूल या इतिहास      |घनमूल या इतिहास                                                          }}
 nवें मूलों को लेने की संक्रिया के लिए पुरातन शब्द विकिरण है।<ref>{{cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/radication|title=विकिरण की परिभाषा|website=www.merriam-webster.com}}</ref><ref>{{cite web|url=https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|archive-url=https://web.archive.org/web/20180403112348/https://en.oxforddictionaries.com/definition/radication|url-status=dead|archive-date=April 3, 2018|title=रेडिकेशन - ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी द्वारा अंग्रेजी में रेडिकेशन की परिभाषा|website=Oxford Dictionaries }}</ref>
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 ===वर्गमूल===
 [[Image:Square-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\pm \sqrt{x}</math>.]]
-{{Main article|Square root}}
+{{Main article|वर्गमूल                                                                           }}
 एक संख्या ''x'' का वर्गमूल संख्या ''r'' है, जो वर्ग (बीजगणित) होने पर ''x'' बन जाता है:
 :<math>r^2 = x.</math>
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 === घनमूल ===
 [[Image:cube-root function.svg|thumb|right|लेखाचित्र <math>y=\sqrt[3]{x}</math>.]]
-{{Main article|Cube root}}
+{{Main article|घनमूल                                                                                   }}
 एक संख्या ''x'' का घनमूल संख्या ''r'' है जिसका घन (बीजगणित) ''x'' है:
 :<math>r^3 = x.</math>
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 == अनंत श्रृंखला ==
-रेडिकल या रूट को अनंत श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:
+रेडिकल या मूल को अनंत श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:
 :<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n</math>
 साथ <math>|x|<1</math>. यह अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है।
-== कंप्यूटिंग प्रिंसिपल रूट्स ==
+== कंप्यूटिंग प्रिंसिपल मूल्स ==
 === न्यूटन की विधि का प्रयोग === {{math|''n''}}'}}एक संख्या की जड़ {{math|''A''}} न्यूटन की विधि से गणना की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान से शुरू होती है {{math|''x''<sub>0</sub>}} और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है
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 === दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना ===
-[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के तरीकों पर निर्माण#दशमलव (आधार 10)|एक वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना, यह देखा जा सकता है कि सूत्र का उपयोग किया गया है, <math>x(20p + x) \le c</math>, या <math>x^2 + 20xp \le c</math>, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> तत्व के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>i</math> पंक्ति में <math>n</math> पास्कल के त्रिभुज का ऐसा है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math>. सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को कॉल करें <math>y</math>. इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी सकारात्मक मूल रूट की गणना, अंक-दर-अंक, निम्नानुसार की जा सकती है।
+[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के तरीकों पर निर्माण#दशमलव (आधार 10)|एक वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना, यह देखा जा सकता है कि सूत्र का उपयोग किया गया है, <math>x(20p + x) \le c</math>, या <math>x^2 + 20xp \le c</math>, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> तत्व के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>i</math> पंक्ति में <math>n</math> पास्कल के त्रिभुज का ऐसा है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math>. सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को कॉल करें <math>y</math>. इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी सकारात्मक मूल मूल की गणना, अंक-दर-अंक, निम्नानुसार की जा सकती है।
 मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अब अंकों को दशमलव बिंदु से शुरू करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के बराबर अंकों के समूहों में अलग करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा।
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 # बाईं ओर से शुरू करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तो 0 को समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेष को गुणा करें <math>10^n</math> और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा।
 # इस प्रकार ''पी'' और ''एक्स'' खोजें:
-#* होने देना <math>p</math> किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, अब तक प्राप्त रूट का हिस्सा बनें। (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>).
+#* होने देना <math>p</math> किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, अब तक प्राप्त मूल का हिस्सा बनें। (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>).
 #* सबसे बड़ा अंक निर्धारित करें <math>x</math> ऐसा है कि <math>y \le c</math>.
-#* अंक लगाएं <math>x</math> रूट के अगले अंक के रूप में, यानी अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला पी पुराना पी गुणा 10 प्लस एक्स होगा।
+#* अंक लगाएं <math>x</math> मूल के अगले अंक के रूप में, यानी अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला पी पुराना पी गुणा 10 प्लस एक्स होगा।
 # घटाना <math>y</math> से <math>c</math> नया अवशेष बनाने के लिए।
 # यदि शेषफल शून्य है और नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं, तो एल्गोरिथम समाप्त हो गया है। अन्यथा दूसरे पुनरावृत्ति के लिए चरण 1 पर वापस जाएँ।
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 === एकता की जड़ें ===
 [[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 की तीन तीसरी जड़ें]]
-{{Main article|Root of unity}}
+{{Main article|एकता का मूल                                                                     }}
 संख्या 1 की जटिल तल में अलग-अलग nth जड़ें हैं, अर्थात्
 :<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
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 :<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
-जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω है{{sup|2}},... ओह{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं जड़ें हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार अलग-अलग चौथे रूट हैं
+जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω है{{sup|2}},... ओह{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं जड़ें हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार अलग-अलग चौथे मूल हैं
 :<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
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 == बहुपदों को हल करना ==
-{{see also|Root-finding algorithm}}
+{{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम                                                         }}
 एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी जड़ों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। हालांकि, जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान
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 == यह भी देखें ==
-* nth रूट एल्गोरिथम को स्थानांतरित करना
+* nth मूल एल्गोरिथम को स्थानांतरित करना
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * दो का बारहवाँ मूल
-* सुपर-रूट
+* सुपर-मूल
 ==संदर्भ==

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