पैरामीटर: Difference between revisions

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{{Short description|Certain, auxiliary variables or arbitrary constants in mathematics}}
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एक पैरामीटर ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|παρά}}'' ({{grc-transl|παρά}})|beside, subsidiary||''{{wikt-lang|grc|μέτρον}}'' ({{grc-transl|μέτρον}})|measure}}), आम तौर पर, कोई भी विशेषता है जो किसी विशेष प्रणाली को परिभाषित करने या वर्गीकृत करने में मदद कर सकती है (जिसका अर्थ है कि घटना, परियोजना, वस्तु, स्थिति, आदि)।अर्थात्, पैरामीटर प्रणाली का तत्व है जो सिस्टम की पहचान करते समय या इसके प्रदर्शन, स्थिति, स्थिति, आदि का मूल्यांकन करते समय उपयोगी, या महत्वपूर्ण है, या महत्वपूर्ण है।
'''पैरामीटर''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|παρά}}'' ({{grc-transl|παρά}})|beside, subsidiary||''{{wikt-lang|grc|μέτρον}}'' ({{grc-transl|μέτρον}})|माप}}), सामान्यतः, कोई भी विशेषता है जो किसी विशेष प्रणाली को परिभाषित करने या वर्गीकृत करने में सहायता कर सकती है (जिसका अर्थ है कि घटना, परियोजना, वस्तु, स्थिति, आदि)। अर्थात्, पैरामीटर प्रणाली का अवयव है जो सिस्टम की पहचान करते समय या इसके प्रदर्शन, स्थिति, आदि का मूल्यांकन करते समय उपयोगी, महत्वपूर्ण है।


गणित, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, तर्क, भाषा विज्ञान और इलेक्ट्रॉनिक संगीत रचना सहित विभिन्न विषयों के भीतर पैरामीटर के अधिक विशिष्ट अर्थ हैं।
गणित, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, लॉजिक , भाषा विज्ञान और इलेक्ट्रॉनिक म्यूजिक रचना सहित विभिन्न विषयों के अन्दर पैरामीटर के अधिक विशिष्ट अर्थ हैं।


इसके तकनीकी उपयोगों के अलावा, विशेष रूप से गैर-वैज्ञानिक संदर्भों में भी विस्तारित उपयोग किए जाते हैं, जहां इसका उपयोग विशेषताओं या सीमाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जैसा कि वाक्यांशों 'परीक्षण मापदंडों' या 'गेम प्ले पैरामीटर' में।<ref>{{Cite web|url=https://www.oed.com/start;jsessionid=9F5061C0050D0B9D338428087C45CA5E?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F137519|title=Home : Oxford English Dictionary|website=www.oed.com}}</ref>
इसके तकनीकी उपयोगों के अतिरिक्त, इसके विस्तारित उपयोग भी हैं, विशेष रूप से गैर-वैज्ञानिक संदर्भों में, जहां इसका उपयोग 'परीक्षण पैरामीटर' या 'गेम प्ले पैरामीटर' वाक्यांशों के रूप में विशेषताओं या सीमाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.oed.com/start;jsessionid=9F5061C0050D0B9D338428087C45CA5E?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F137519|title=Home : Oxford English Dictionary|website=www.oed.com}}</ref>
== मॉडलकरण ==
{{main|मॉडलीकरण}}


जब सिस्टम सिद्धांत को समीकरणों द्वारा मॉडल किया जाता है, जिससे सिस्टम का वर्णन करने वाले मान को पैरामीटर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में, द्रव्यमान, आयाम और आकार (ठोस निकायों के लिए), घनत्व और स्थिरता (तरल पदार्थ के लिए), समीकरण मॉडलिंग आंदोलनों में मापदंडों के रूप में दिखाई देते हैं। मापदंडों के लिए अधिकांशतः अनेक विकल्प होते हैं, और मापदंडों के सुविधाजनक सेट को चुनने को पैरामीट्रिजेशन कहा जाता है।


== मॉडलकरण ==
उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु की सतह पर किसी वस्तु के आंदोलन पर विचार कर रहा था, जिससे वस्तु (जैसे पृथ्वी) की तुलना में अधिक उच्च है, इसकी स्थिति के दो सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर हैं: कोणीय निर्देशांक (जैसे अक्षांश/देशांतर), जो गोले पर वृत्तों के साथ बड़े आंदोलनों और एक ज्ञात बिंदु से दिशात्मक दूरी का स्पष्ट रूप से वर्णन करता है (जैसे कि टोरंटो के 10 किमी एनएनडब्ल्यू या समतुल्य 8 किमी उत्तर के कारण, और फिर टोरंटो से पश्चिम से 6 किमी, पश्चिम से), जो अधिकांशतः आंदोलन के लिए सरल होते हैं (अपेक्षाकृत) छोटा क्षेत्र, जैसे किसी विशेष देश या क्षेत्र के अन्दर इस तरह के पैरामीट्रिज़ेशन भौगोलिक क्षेत्रों (अर्थात मानचित्र प्रक्षेपण) के मॉडलकरण के लिए भी प्रासंगिक हैं।
{{main|Modelization}}
जब सिस्टम सिद्धांत को समीकरणों द्वारा मॉडल किया जाता है, तो सिस्टम का वर्णन करने वाले मान को पैरामीटर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में, द्रव्यमान, आयाम और आकार (ठोस निकायों के लिए), घनत्व और चिपचिपाहट (तरल पदार्थ के लिए), समीकरण मॉडलिंग आंदोलनों में मापदंडों के रूप में दिखाई देते हैं। मापदंडों के लिए अक्सर कई विकल्प होते हैं, और मापदंडों के सुविधाजनक सेट को चुनने को पैरामीराइजेशन कहा जाता है।
 
उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु की सतह पर किसी वस्तु के आंदोलन पर विचार कर रहा था, तो वस्तु (जैसे पृथ्वी) की तुलना में बहुत बड़ा है, इसकी स्थिति के दो आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर हैं: कोणीय निर्देशांक (जैसे अक्षांश/देशांतर), जो बड़े करीने से गोले पर हलकों के साथ बड़े आंदोलनों का वर्णन करें, और ज्ञात बिंदु से दिशात्मक दूरी (जैसे कि टोरंटो के 10 किमी एनएनडब्ल्यू या समतुल्य 8 किमी उत्तर के कारण, और फिर टोरंटो से पश्चिम से 6 किमी, पश्चिम से), जो अक्सर आंदोलन के लिए सरल होते हैं (अपेक्षाकृत) छोटा क्षेत्र, जैसे किसी विशेष देश या क्षेत्र के भीतर। इस तरह के पैरामीट्रिज़ेशन भौगोलिक क्षेत्रों (यानी मानचित्र प्रक्षेपण) के मॉडलकरण के लिए भी प्रासंगिक हैं।


== गणितीय कार्य ==
== गणितीय फ़ंक्शन ==


गणितीय कार्यों में फ़ंक्शन का या अधिक तर्क होता है जो चर (गणित) एस द्वारा परिभाषा में नामित किया जाता है।एक फ़ंक्शन परिभाषा में पैरामीटर भी हो सकते हैं, लेकिन चर के विपरीत, मापदंडों को उन तर्कों के बीच सूचीबद्ध नहीं किया जाता है जो फ़ंक्शन लेता है।जब पैरामीटर मौजूद होते हैं, तो परिभाषा वास्तव में कार्यों के पूरे परिवार को परिभाषित करती है, मापदंडों के मूल्यों के प्रत्येक वैध सेट के लिए।उदाहरण के लिए, कोई घोषणा करके सामान्य द्विघात कार्य को परिभाषित कर सकता है
गणितीय फ़ंक्शन में फ़ंक्शन का या अधिक लॉजिक होता है जो वैरीएबल (गणित) एस द्वारा परिभाषा में नामित किया जाता है। एक फ़ंक्शन परिभाषा में पैरामीटर भी हो सकते हैं, किन्तु वैरीएबल के विपरीत, मापदंडों को उन लॉजिक के मध्य सूचीबद्ध नहीं किया जाता है जो फ़ंक्शन लेता है। जब पैरामीटर उपस्थित होते हैं, तो परिभाषा वास्तव में फ़ंक्शन के पूरे वर्ग को परिभाषित करती है, मापदंडों के मान के प्रत्येक वैध सेट के लिए उदाहरण के लिए, कोई घोषणा करके सामान्य क़ुअद्रतिक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है
:<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>;
:<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>;


यहां, चर एक्स फ़ंक्शन के तर्क को नामित करता है, लेकिन ए, बी, और सी पैरामीटर हैं जो यह निर्धारित करते हैं कि किस विशेष द्विघात फ़ंक्शन पर विचार किया जा रहा है।पैरामीटर पर इसकी निर्भरता को इंगित करने के लिए पैरामीटर को फ़ंक्शन नाम में शामिल किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, कोई सूत्र द्वारा बेस-बी लघुगणक को परिभाषित कर सकता है
यहां, वैरीएबल X फ़ंक्शन के लॉजिक को नामित करता है, किन्तु A, B, और C पैरामीटर हैं जो यह निर्धारित करते हैं कि किस विशेष क़ुअद्रतिक फ़ंक्शन पर विचार किया जा रहा है। पैरामीटर पर इसकी निर्भरता को संकेत करने के लिए पैरामीटर को फ़ंक्शन नाम में सम्मिलित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोई सूत्र द्वारा बेस-बी लघुगणक को परिभाषित कर सकता है
:<math>\log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}</math>
:<math>\log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}</math>
जहां बी पैरामीटर है जो इंगित करता है कि कौन सा लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का उपयोग किया जा रहा है।यह फ़ंक्शन का तर्क नहीं है, और उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न (गणित) पर विचार करते समय स्थिर रहें <math>\textstyle\log_b'(x) = (x\ln(b))^{-1}</math>।
जहां B पैरामीटर है जो संकेत करता है कि कौन सा लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का उपयोग किया जा रहा है। यह फ़ंक्शन का लॉजिक नहीं है, और उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न (गणित) पर विचार करते समय स्थिर रहें
 
<math>\textstyle\log_b'(x) = (x\ln(b))^{-1}</math>।


कुछ अनौपचारिक स्थितियों में यह सम्मेलन (या ऐतिहासिक दुर्घटना) का मामला है कि क्या फ़ंक्शन परिभाषा में कुछ या सभी प्रतीकों को पैरामीटर कहा जाता है।हालांकि, पैरामीटर और चर के बीच प्रतीकों की स्थिति को बदलना गणितीय वस्तु के रूप में फ़ंक्शन को बदल देता है।उदाहरण के लिए, गिरने वाले फैक्टरियल पावर के लिए संकेतन
कुछ अनौपचारिक स्थितियों में यह सम्मेलन (या ऐतिहासिक दुर्घटना) का स्थिति है कि क्या फ़ंक्शन परिभाषा में कुछ या सभी प्रतीकों को पैरामीटर कहा जाता है। चूँकि, पैरामीटर और वैरीएबल के मध्य प्रतीकों की स्थिति को परिवर्तित करना गणितीय वस्तु के रूप में फ़ंक्शन को परिवर्तित कर देता है। उदाहरण के लिए, फालिंग फैक्टरियल पावर के लिए संकेतन है
:<math>n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)</math>,
:<math>n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)</math>,
N के बहुपद#बहुपद कार्यों को परिभाषित करता है (जब k को पैरामीटर माना जाता है), लेकिन K का बहुपद कार्य नहीं है (जब n पैरामीटर माना जाता है)।दरअसल, बाद के मामले में, यह केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है।ऐसी स्थितियों की अधिक औपचारिक प्रस्तुतियाँ आमतौर पर कई चर के समारोह के साथ शुरू होती हैं (उन सभी को जिनमें कभी -कभी पैरामीटर कहा जा सकता है) जैसे
N के बहुपद फ़ंक्शन को परिभाषित करता है (जब k को पैरामीटर माना जाता है), किन्तु K का बहुपद फ़ंक्शन नहीं है (जब n पैरामीटर माना जाता है)। दरअसल, इसके पश्चात् स्थिति में, यह केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक लॉजिक ों के लिए परिभाषित किया गया है। ऐसी स्थितियों की अधिक औपचारिक प्रस्तुतियाँ सामान्यतः अनेक वैरीएबल के फ़ंक्शन के साथ प्रारंभ होती हैं (उन सभी को जिनमें कभी -कभी पैरामीटर कहा जा सकता है) जैसे
:<math>(n,k) \mapsto n^{\underline{k}}</math>
:<math>(n,k) \mapsto n^{\underline{k}}</math>
जैसा कि सबसे मौलिक वस्तु पर विचार किया जा रहा है, फिर क्यूरिंग के माध्यम से मुख्य से कम चर के साथ कार्यों को परिभाषित करना।
जैसा कि सबसे मौलिक वस्तु पर विचार किया जा रहा है, फिर क्यूरिंग के माध्यम से मुख्य से कम वैरीएबल के साथ फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।


कभी -कभी कुछ मापदंडों के साथ सभी कार्यों पर विचार करना उपयोगी होता है, जो पैरामीट्रिक परिवार के रूप में, अर्थात् कार्यों के अनुक्रमित परिवार के रूप में।संभाव्यता सिद्धांत #Probability सिद्धांत से उदाहरण।
कभी -कभी कुछ मापदंडों के साथ सभी फ़ंक्शन पर विचार करना उपयोगी होता है, जो पैरामीट्रिक वर्ग के रूप में, अर्थात् फ़ंक्शन के अनुक्रमित वर्ग के रूप में संभाव्यता सिद्धांत का उदाहरण है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
* अपनी पुस्तक द राइटर आर्ट में अक्सर दुरुपयोग किए गए शब्दों पर सेक्शन में, जेम्स जे। किलपैट्रिक ने संवाददाता से पत्र उद्धृत किया, जो शब्द पैरामीटर के सही उपयोग को चित्रित करने के लिए उदाहरण देता है:
*जेम्स जे. किलपैट्रिक ने अपनी पुस्तक द राइटर्स आर्ट में अधिकांशतः दुरुपयोग किए जाने वाले शब्दों के एक खंड में शब्द पैरामीटर के सही उपयोग को दर्शाने के लिए उदाहरण देते हुए एक संवाददाता का एक पत्र उद्धृत किया है:


<blockquote> w.m। वुड्स ... गणितज्ञ ... लिखते हैं ... ... चर कई चीजों में से है जो पैरामीटर नहीं है। ... आश्रित चर, कार की गति, स्वतंत्र चर, गैस पेडल की स्थिति पर निर्भर करती है।
<blockquote> डब्ल्यू.एम वुड्स ... गणितज्ञ ... लिखते हैं ... ... वैरीएबल अनेक चीजों में से है जो पैरामीटर नहीं है। ... डिपेंड वैरीएबल, कार की गति, स्वतंत्र वैरीएबल, गैस पेडल की स्थिति पर निर्भर करती है।
</blockquote>
</blockquote>
<blockquote> [किलपैट्रिक वुड्स को उद्धृत करते हुए] अब ... इंजीनियर ... लिंकेज के लीवर हथियारों को बदलें ... कार की गति ... अभी भी पेडल की स्थिति पर निर्भर होगी ... लेकिन में। । अलग तरीके। आपने पैरामीटर </blockquote> बदल दिया है
<blockquote> [किलपैट्रिक ने वुड्स को उद्धृत करते हुए] "अब... इंजीनियर... लिंकेज के लीवर आर्म्स को परिवर्तित करते हैं... कार की गति... अभी भी पैडल की स्थिति पर निर्भर करेगी... किन्तु एक... भिन्न विधि से। आपने एक पैरामीटर परिवर्तित कर दिया है" </blockquote>  


* एक पैरामीट्रिक तुल्यकारक ऑडियो फ़िल्टर है जो अधिकतम कट या बूस्ट की आवृत्ति को नियंत्रण द्वारा सेट करने की अनुमति देता है, और दूसरे द्वारा कट या बूस्ट का आकार। ये सेटिंग्स, शिखर या गर्त की आवृत्ति स्तर, आवृत्ति प्रतिक्रिया वक्र के दो मापदंडों में से दो हैं, और दो-नियंत्रण तुल्यकारक में वे पूरी तरह से वक्र का वर्णन करते हैं। अधिक विस्तृत पैरामीट्रिक इक्विलाइज़र अन्य मापदंडों को विविध होने की अनुमति दे सकता है, जैसे कि तिरछा। ये पैरामीटर प्रत्येक आवृत्तियों पर पूरे के रूप में देखे गए प्रतिक्रिया वक्र के कुछ पहलू का वर्णन करते हैं। ग्राफिक तुल्यकारक विभिन्न आवृत्ति बैंड के लिए व्यक्तिगत स्तर नियंत्रण प्रदान करता है, जिनमें से प्रत्येक केवल उस विशेष आवृत्ति बैंड पर कार्य करता है।
* एक पैरामीट्रिक तुल्यकारक ऑडियो फ़िल्टर है जो अधिकतम कट या बूस्ट की आवृत्ति को नियंत्रण द्वारा सेट करने की अनुमति देता है, और दूसरे द्वारा कट या बूस्ट का आकार यह सेटिंग्स, शिखर या गति की आवृत्ति स्तर, आवृत्ति प्रतिक्रिया वक्र के दो मापदंडों में से दो हैं, और दो-नियंत्रण तुल्यकारक में वह पूरी तरह से वक्र का वर्णन करते हैं। अधिक विस्तृत पैरामीट्रिक इक्विलाइज़र अन्य मापदंडों को विविध होने की अनुमति दे सकता है, जैसे कि विषम यह पैरामीटर प्रत्येक आवृत्तियों पर पूरे के रूप में देखे गए प्रतिक्रिया वक्र के कुछ तथ्य का वर्णन करते हैं। ग्राफिक तुल्यकारक विभिन्न आवृत्ति बैंड के लिए व्यक्तिगत स्तर नियंत्रण प्रदान करता है, जिनमें से प्रत्येक केवल उस विशेष आवृत्ति बैंड पर फ़ंक्शन करता है।
* अगर संबंध y & nbsp; = & nbsp; कुल्हाड़ी के ग्राफ की कल्पना करने के लिए कहा गया<sup>2 </sup>, आम तौर पर x के मानों की श्रृंखला की कल्पना करता है, लेकिन केवल मान।बेशक ए का अलग मूल्य का उपयोग किया जा सकता है, जो एक्स और वाई के बीच अलग संबंध पैदा करता है।इस प्रकार A पैरामीटर है: यह चर x या y की तुलना में कम चर है, लेकिन यह स्पष्ट स्थिर नहीं है जैसे कि घातांक & nbsp; 2।अधिक सटीक रूप से, पैरामीटर ए को बदलने से अलग (हालांकि संबंधित) समस्या मिलती है, जबकि चर X और Y (और उनके अंतर्संबंध) की विविधताएं समस्या का हिस्सा हैं।
* यदि संबंध y & nbsp; = & nbsp; ग्राफ की कल्पना करने के लिए कहा गया था , सामान्यतः x<sup>2</sup> के मानों की श्रृंखला की कल्पना करता है, किन्तु केवल मान निस्संदेह A का भिन्न मूल्य का उपयोग किया जा सकता है, जो X और Y के मध्य भिन्न संबंध उत्पन्न करता है। इस प्रकार A पैरामीटर है: यह वैरीएबल x या y की तुलना में कम वैरीएबल है, किन्तु यह स्पष्ट स्थिर नहीं है जैसे कि घातांक & nbsp; 2 अधिक स्पष्ट रूप से, पैरामीटर A को परिवर्तित करने से भिन्न (चूँकि संबंधित) समस्या मिलती है, जबकि वैरीएबल X और Y (और उनके अंतर्संबंध) की विविधताएं समस्या का भाग हैं।
* मजदूरी और घंटों के आधार पर आय की गणना करने में (आय में काम किए गए घंटों से गुणा किया जाता है), यह आमतौर पर माना जाता है कि काम किए गए घंटों की संख्या आसानी से बदल जाती है, लेकिन मजदूरी अधिक स्थिर है।यह मजदूरी पैरामीटर बनाता है, घंटों ने स्वतंत्र चर काम किया, और आश्रित चर की आय।
* आय की गणना वेतन और कार्य के घंटों के आधार पर की जाती है (आय में कार्य किए गए घंटों से गुणा किया जाता है), यह सामान्यतः माना जाता है कि कार्य किए गए घंटों की संख्या सरलता से परिवर्तित कर जाती है, किन्तु मजदूरी अधिक स्थिर है। यह वेतन को एक पैरामीटर, काम के घंटे, एक स्वतंत्र वैरीएबल और आय को एक डिपेंड वैरीएबल बनाता है।


=== गणितीय मॉडल ===
=== गणितीय मॉडल ===
एक गणितीय मॉडल के संदर्भ में, जैसे कि संभाव्यता वितरण, चर और मापदंडों के बीच अंतर को बार्ड द्वारा वर्णित किया गया था:
एक गणितीय मॉडल के संदर्भ में, जैसे कि संभाव्यता वितरण, वैरीएबल और मापदंडों के मध्य अंतर को बार्ड द्वारा वर्णित किया गया था:
: हम उन संबंधों का उल्लेख करते हैं जो निश्चित भौतिक स्थिति का वर्णन करते हैं, मॉडल के रूप में।आमतौर पर, मॉडल में या अधिक समीकरण होते हैं।समीकरणों में दिखाई देने वाली मात्रा हम चर और मापदंडों में वर्गीकृत करते हैं।इन के बीच का अंतर हमेशा स्पष्ट कटौती नहीं करता है, और यह अक्सर उस संदर्भ पर निर्भर करता है जिसमें चर दिखाई देते हैं।आमतौर पर मॉडल उन संबंधों को समझाने के लिए डिज़ाइन किया जाता है जो मात्राओं के बीच मौजूद होते हैं जिन्हें प्रयोग में स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है;ये मॉडल के चर हैं।इन संबंधों को तैयार करने के लिए, हालांकि, अक्सर स्थिरांक का परिचय देता है जो प्रकृति के निहित गुणों (या किसी दिए गए प्रयोग में उपयोग की जाने वाली सामग्री और उपकरणों) के लिए खड़े होते हैं।ये पैरामीटर हैं।<ref>{{cite book |first=Yonathan |last=Bard |year=1974 |title=Nonlinear Parameter Estimation |page=11 |location=New York |publisher=[[Academic Press]] |isbn=0-12-078250-2 }}</ref>
: हम उन संबंधों का उल्लेख करते हैं जो निश्चित भौतिक स्थिति का वर्णन करते हैं, मॉडल के रूप में सामान्यतः, मॉडल में या अधिक समीकरण होते हैं। समीकरणों में दिखाई देने वाली मात्रा हम वैरीएबल और मापदंडों में वर्गीकृत करते हैं। इन के मध्य का अंतर सदैव स्पष्ट कमी नहीं करता है, और यह अधिकांशतः उस संदर्भ पर निर्भर करता है जिसमें वैरीएबल दिखाई देते हैं।सामान्यतः मॉडल उन संबंधों को समझाने के लिए डिज़ाइन किया जाता है जो मात्राओं के मध्य उपस्थित होते हैं जिन्हें प्रयोग में स्वतंत्र रूप से माप जा सकता है; ये मॉडल के वैरीएबल हैं। इन संबंधों को तैयार करने के लिए, चूँकि, अधिकांशतः स्थिरांक का परिचय देता है जो प्रकृति के निहित गुणों (या किसी दिए गए प्रयोग में उपयोग की जाने वाली पदार्थ और उपकरणों) के लिए खड़े होते हैं। ये पैरामीटर हैं।<ref>{{cite book |first=Yonathan |last=Bard |year=1974 |title=Nonlinear Parameter Estimation |page=11 |location=New York |publisher=[[Academic Press]] |isbn=0-12-078250-2 }}</ref>
 
=== विश्लेषणात्मक ज्यामिति ===
{{See also|पैरामीट्रिक समीकरण|पैरामीट्रिज़ेशन (ज्यामिति)}}


=== विश्लेषणात्मक ज्यामिति ===
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, घटता अधिकांशतः कुछ फ़ंक्शन की छवि के रूप में दिया जाता है। फ़ंक्शन के लॉजिक को सदैव पैरामीटर कहा जाता है। मूल में केंद्रित त्रिज्या 1 का चक्र से अधिक रूपों में निर्दिष्ट किया जा सकता है:
{{See also|Parametric equation|Parametrization (geometry)}}
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, घटता अक्सर कुछ फ़ंक्शन की छवि के रूप में दिया जाता है।फ़ंक्शन के तर्क को हमेशा पैरामीटर कहा जाता है।मूल में केंद्रित त्रिज्या 1 का चक्र से अधिक रूपों में निर्दिष्ट किया जा सकता है:
*निहित रूप, वक्र सभी बिंदु (x, y) है जो संबंध को संतुष्ट करता है
*निहित रूप, वक्र सभी बिंदु (x, y) है जो संबंध को संतुष्ट करता है
*:<math>x^2+y^2=1</math>
*:<math>x^2+y^2=1</math>
*पैरामीट्रिक रूप, वक्र सभी बिंदु (cos (t), & nbsp; sin (t)) है, जब t कुछ मानों के कुछ सेट पर भिन्न होता है, जैसे [0, & nbsp; 2π), या (-_, →)
*पैरामीट्रिक रूप, वक्र सभी बिंदु (cos (t), & nbsp; sin (t)) है, जब t कुछ मानों के कुछ सेट पर भिन्न होता है, जैसे [0, & nbsp; 2π), या (-_, →)
*:<math>(x,y)=(\cos t,\sin t)</math>
*:<math>(x,y)=(\cos t,\sin t)</math>
*: जहां टी पैरामीटर है।
*: जहां T पैरामीटर है।
इसलिए ये समीकरण, जिन्हें कहीं और फ़ंक्शन कहा जा सकता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में पैरामीट्रिक समीकरणों के रूप में विशेषता हैं और स्वतंत्र चर को पैरामीटर माना जाता है।
इसलिए यह समीकरण, जिन्हें कहीं और फ़ंक्शन कहा जा सकता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में पैरामीट्रिक समीकरणों के रूप में विशेषता हैं और स्वतंत्र वैरीएबल को पैरामीटर माना जाता है।


=== गणितीय विश्लेषण ===
=== गणितीय विश्लेषण ===
गणितीय विश्लेषण में, पैरामीटर पर निर्भर इंटीग्रल को अक्सर माना जाता है।ये फॉर्म के हैं
गणितीय विश्लेषण में, पैरामीटर पर निर्भर इंटीग्रल को अधिकांशतः माना जाता है। यह फॉर्म के हैं
:<math>F(t)=\int_{x_0(t)}^{x_1(t)}f(x;t)\,dx.</math>
:<math>F(t)=\int_{x_0(t)}^{x_1(t)}f(x;t)\,dx.</math>
इस सूत्र में, t फ़ंक्शन f का तर्क है, और दाईं ओर वह पैरामीटर जिस पर अभिन्न निर्भर करता है।अभिन्न का मूल्यांकन करते समय, टी को स्थिर रखा जाता है, और इसलिए इसे पैरामीटर माना जाता है।यदि हम टी के विभिन्न मूल्यों के लिए एफ के मूल्य में रुचि रखते हैं, तो हम टी को चर मानते हैं।मात्रा X एकीकरण का बाध्य चर या चर है (भ्रमित रूप से, कभी -कभी एकीकरण का पैरामीटर भी कहा जाता है)।
इस सूत्र में, t फ़ंक्शन f का लॉजिक है, और दाईं ओर वह पैरामीटर जिस पर अभिन्न निर्भर करता है। अभिन्न का मूल्यांकन करते समय, t को स्थिर रखा जाता है, और इसलिए इसे पैरामीटर माना जाता है। यदि हम t के विभिन्न मान के लिए एफ के मूल्य में रुचि रखते हैं, तो हम t को वैरीएबल मानते हैं। मात्रा X एकीकरण का बाध्य वैरीएबल या वैरीएबल है (भ्रमित रूप से, कभी -कभी एकीकरण का पैरामीटर भी कहा जाता है)।


=== सांख्यिकी और अर्थमिति ===
=== सांख्यिकी और अर्थमिति ===
{{main|Statistical parameter}}
{{main|सांख्यिकीय पैरामीटर}}
सांख्यिकी और अर्थमिति में, ऊपर की संभावना ढांचा अभी भी धारण करता है, लेकिन ध्यान सांख्यिकीय आकलन पर बदल जाता है।बार -बार अनुमान के मापदंडों को निश्चित लेकिन अज्ञात माना जाता है, जबकि बायेसियन संभावना में उन्हें यादृच्छिक चर के रूप में माना जाता है, और उनकी अनिश्चितता को वितरण के रूप में वर्णित किया गया है।{{Citation needed|date=July 2009}}
आंकड़ों के अनुमान सिद्धांत में, सांख्यिकीय या अनुमानक नमूनों को संदर्भित करता है, जबकि पैरामीटर या अनुमान आबादी को संदर्भित करता है, जहां से नमूने लिए जाते हैं।एक सांख्यिकीय नमूने की संख्यात्मक विशेषता है जिसका उपयोग संबंधित पैरामीटर के अनुमान के रूप में किया जा सकता है, सांख्यिकीय आबादी की संख्यात्मक विशेषता जिसमें से नमूना खींचा गया था।


उदाहरण के लिए, नमूना माध्य (अनुमानक), निरूपित <math>\overline X</math>, माध्य पैरामीटर (अनुमान) के अनुमान के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, जो उस आबादी को दर्शाता है, जहां से नमूना खींचा गया था।इसी तरह, नमूना विचरण (अनुमानक), निरूपित एस<sup>2 </sup>, का उपयोग विचरण पैरामीटर (अनुमान) का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, निरूपित σ<sup>2 </sup>, जिस आबादी से नमूना खींचा गया था।(ध्यान दें कि नमूना मानक विचलन (एस) जनसंख्या मानक विचलन (σ) का निष्पक्ष अनुमान नहीं है: मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान देखें।)
सांख्यिकी और अर्थमिति में, ऊपर की संभावना प्रारूप अभी भी धारण करता है, किन्तु ध्यान सांख्यिकीय आकलन पर परिवर्तित कर जाता है। अधिकांशतः अनुमान के मापदंडों को निश्चित किन्तु अज्ञात माना जाता है, जबकि बायेसियन संभावना में उन्हें यादृच्छिक वैरीएबल के रूप में माना जाता है, और उनकी अनिश्चितता को वितरण के रूप में वर्णित किया गया है। आंकड़ों के अनुमान सिद्धांत में, सांख्यिकीय या अनुमानक प्रतिरूपों को संदर्भित करता है, जबकि पैरामीटर या अनुमान जनसंख्या को संदर्भित करता है, जहां से प्रतिरूप लिए जाते हैं। एक सांख्यिकीय प्रतिरूप की संख्यात्मक विशेषता है जिसका उपयोग संबंधित पैरामीटर के अनुमान के रूप में किया जा सकता है, सांख्यिकीय जनसंख्या की संख्यात्मक विशेषता जिसमें से प्रतिरूप स्ट्रेच किया गया था।


संभावना वितरण के विशेष पैरामीट्रिक परिवार को ग्रहण किए बिना सांख्यिकीय निष्कर्ष बनाना संभव है।उस स्थिति में, कोई भी गैर-पैरामीट्रिक आंकड़ों की बात करता है, जैसा कि केवल वर्णित पैरामीट्रिक आंकड़ों के विपरीत है।उदाहरण के लिए, स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक पर आधारित परीक्षण को गैर-पैरामीट्रिक कहा जाएगा क्योंकि सांख्यिकीय को उनके वास्तविक मूल्यों की अवहेलना करने वाले डेटा के रैंक-ऑर्डर से गणना की जाती है (और इस तरह वे वितरण की परवाह किए बिना वे नमूने लिए गए थे), जबकि वे आधारित थे।पियर्सन उत्पाद-पल सहसंबंध गुणांक पर पैरामीट्रिक परीक्षण हैं क्योंकि यह सीधे डेटा मूल्यों से गणना की जाती है और इस प्रकार सहसंबंध और निर्भरता के रूप में जाना जाने वाला पैरामीटर का अनुमान लगाता है।
उदाहरण के लिए, प्रतिरूप माध्य (अनुमानक), निरूपित <math>\overline X</math>, माध्य पैरामीटर (अनुमान) के अनुमान के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जो उस जनसंख्या को दर्शाता है, जहां से प्रतिरूप स्ट्रेच किया गया था। इसी तरह, प्रतिरूप परिवर्तन (अनुमानक), निरूपित S<sup>2 </sup>, का उपयोग परिवर्तन पैरामीटर (अनुमान) का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, निरूपित σ<sup>2 </sup>, जिस जनसंख्या से प्रतिरूप स्ट्रेच किया गया था। (ध्यान दें कि प्रतिरूप मानक विचलन (S) जनसंख्या मानक विचलन (σ) का निष्पक्ष अनुमान नहीं है: मानक विचलन का निष्पक्ष अनुमान देखें।)
 
संभावना वितरण के विशेष पैरामीट्रिक वर्ग को ग्रहण किए बिना सांख्यिकीय निष्कर्ष बनाना संभव है। उस स्थिति में, कोई भी गैर-पैरामीट्रिक आंकड़ों की बात करता है, जैसा कि केवल वर्णित पैरामीट्रिक आंकड़ों के विपरीत है। उदाहरण के लिए, स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक पर आधारित परीक्षण को गैर-पैरामीट्रिक कहा जाएगा क्योंकि सांख्यिकीय को उनके वास्तविक मान की अवहेलना करने वाले डेटा के रैंक-ऑर्डर से गणना की जाती है (और इस तरह वह वितरण की परवाह किए बिना वह प्रतिरूप लिए गए थे), जबकि वह आधारित थे। पियर्सन उत्पाद क्षण सहसंबंध गुणांक पर पैरामीट्रिक परीक्षण हैं क्योंकि यह सीधे डेटा मान से गणना की जाती है और इस प्रकार सहसंबंध और निर्भरता के रूप में जाना जाने वाला पैरामीटर का अनुमान लगाता है।


=== संभाव्यता सिद्धांत ===
=== संभाव्यता सिद्धांत ===
[[File:Poisson pmf.svg|thumb|right|ये निशान सभी पॉइसन वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन पैरामीटर और लैम्ब्डा के लिए अलग -अलग मूल्यों के साथ; संभाव्यता सिद्धांत में, कोई भी यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन कर सकता है, जो संभाव्यता वितरण के परिवार से संबंधित है, परिमित संख्या के मूल्यों से दूसरे से अलग है।मापदंडों का।उदाहरण के लिए, कोई मतलब मूल्य λ के साथ पॉइसन वितरण के बारे में बात करता है।वितरण को परिभाषित करने वाला फ़ंक्शन (संभावना द्रव्यमान कार्य) है:
यह निशान सभी पॉइसन वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, किन्तु पैरामीटर और लैम्ब्डा के लिए भिन्न -भिन्न मान के साथ संभाव्यता सिद्धांत में, कोई भी यादृच्छिक वैरीएबल के संभाव्यता वितरण का वर्णन कर सकता है, जो संभाव्यता वितरण के वर्ग से संबंधित है, परिमित संख्या के मान से दूसरे से भिन्न है। मापदंडों का उदाहरण के लिए, कोई अर्थ मूल्य λ के साथ पॉइसन वितरण के बारे में बात करता है। वितरण को परिभाषित करने वाला फ़ंक्शन (संभावना द्रव्यमान फ़ंक्शन) है:
:<math>f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}.</math>
:<math>f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}.</math>
यह उदाहरण अच्छी तरह से स्थिरांक, मापदंडों और चर के बीच अंतर को दर्शाता है।ई यूलर की संख्या है, मौलिक गणितीय स्थिरांक।पैरामीटर λ प्रश्न में कुछ घटना की टिप्पणियों की औसत संख्या है, सिस्टम की संपत्ति विशेषता।k चर है, इस मामले में वास्तव में विशेष नमूने से देखी गई घटना की घटनाओं की संख्या।यदि हम k को देखने की संभावना जानना चाहते हैं<sub>1</sub> घटनाएँ, हम इसे प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन में प्लग करते हैं <math>f(k_1 ; \lambda)</math>। सिस्टम को बदलने के बिना, हम कई नमूने ले सकते हैं, जिसमें k के मानों की श्रृंखला होगी, लेकिन सिस्टम हमेशा ही λ द्वारा विशेषता है।
यह उदाहरण स्थिरांक, पैरामीटर और वैरीएबल के बीच अंतर को अच्छी तरह से दिखाता है। E यूलर की संख्या है, जो एक मौलिक गणितीय स्थिरांक है। पैरामीटर λ प्रश्न में किसी घटना के अवलोकनों की औसत संख्या है,