त्रिभुज

This article is about the basic geometric shape. For other uses, see त्रिभुज (disambiguation).

त्रिभुज = त्रि (तीन) + कोण

त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन शीर्षों वाला एक बहुभुज है। यह ज्यामिति की मूल आकृतियों में से एक है। A, B, और C शीर्षों वाले त्रिभुज को $\triangle ABC$ दर्शाया गया है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी तीन बिंदु, जब असंरेखित होते हैं, एक विशिष्ट त्रिभुज और साथ ही साथ, एक विशिष्ट तल (अर्थात एक द्वि-विमीय यूक्लिडियन स्थान) निर्धारित करते हैं। दूसरे शब्दों में, त्रिभुज केवल एक ही तल में समाहित होता है और प्रत्येक त्रिभुज किसी न किसी तल में समाहित है। यदि पूरी ज्यामिति केवल यूक्लिडियन तल है, तो केवल एक ही तल है और सभी त्रिभुज उसमें समाहित हैं, हालांकि, उच्च-विमीय यूक्लिडियन स्थानों में, यह अब सत्य नहीं है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों के बारे में है, और विशेष रूप से, यूक्लिडियन तल, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

त्रिभुज के प्रकार

[त्रिभुजों के प्रकारों के यूलर आरेख, इस परिभाषा का उपयोग करते हुए कि आइसोसेल त्रिभुज में कम से कम 2 समान भुजा हैं (यानी, समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु हैं)।

त्रिभुजों को वर्गीकृत करने के लिए यह शब्दावली दो हजार साल से अधिक पुरानी है, जिसे यूक्लिड के अवयवों के पहले पृष्ठ पर परिभाषित किया गया है। आधुनिक वर्गीकरण के लिए उपयोग किए जाने वाले नाम या तो यूक्लिड के ग्रीक या उनके लैटिन अनुवादों का प्रत्यक्ष लिप्यंतरण हैं।

भुजाओं की लंबाई के द्वारा

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने भुजाओं की लंबाई के अनुसार तीन प्रकार के त्रिभुजों को परिभाषित किया:

Greek: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, lit. 'Of trilateral figures, an isopleuron [equilateral] triangle is that which has its three sides equal, an isosceles that which has two of its sides alone equal, and a scalene that which has its three sides unequal.'

• समबाहु त्रिभुज (Greek: ἰσόπλευρον, romanized: isópleuron, lit. 'equal sides') में समान लंबाई की तीन भुजाएँ होती हैं। समबाहु त्रिभुज भी एक सम बहुभुज होता है, जिसके सभी कोण 60° के होते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज (Greek: ἰσοσκελὲς, romanized: isoskelés, lit. 'equal legs') की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दो भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं। यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय की अंतर्वस्तु है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था। कुछ गणितज्ञ समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं। बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुजों को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। 45-45-90 समकोण त्रिभुज, जो चतुष्ट वर्गाकार टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु होते है।
• विषमबाहु त्रिभुज (Greek: σκαληνὸν, romanized: skalinón, lit. 'unequal') की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं। समान रूप से, इसमें सभी कोण विभिन्न माप के होते हैं।

हैच मार्क्स, जिन्हें टिक मार्क भी कहा जाता है, समान लंबाई की भुजाओं की पहचान करने के लिए त्रिभुजों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के आरेखों में उपयोग किए जाते हैं। एक भुजा को "टिक" के पैटर्न के साथ चिह्नित किया जा सकता है, टैली मार्क्स के रूप में लघु रेखाखंड, दो भुजाओं की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित होते हैं। त्रिभुज में, पैटर्न सामान्यतः 3 टिक से अधिक नहीं होता है। समबाहु त्रिभुज में सभी 3 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 2 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, और विषमकोण त्रिभुज में सभी भुजाओं पर अलग-अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी भुजा समान नहीं होती है।

इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 संकेंद्रित चापों के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: समबाहु त्रिभुज के सभी 3 कोणों पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज के केवल 2 कोणों पर समान पैटर्न होता है, और विषमबाहु त्रिभुज के सभी कोणों पर अलग-अलग पैटर्न होता हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं है।

आंतरिक कोणों द्वारा

उन्होंने दुनिया के पहले मुद्रित संस्करण (1482) से, बुक I की परिभाषा अनुभाग दिखाते हुए, यूक्लिड के तत्वों का पहला पृष्ठ, सही त्रिभुज को ऑर्थोगोनियस लेबल किया है, और दिखाए गए दो कोण एक्यूटस और एंगुलस ऑटसस हैं।

त्रिभुजों को उनके आंतरिक कोणों के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है, यह डिग्री(अंश) में मापा जाता है।

• समकोण त्रिभुज का एक आंतरिक कोण 90° (समकोण) होता है। समकोण में सम्मुख भुजा कर्ण होती है, जो त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज के पाद या कैथेटी (एकवचन: कैथेट) कहा जाता है। समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पाद की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है: a² + b² = c², जहां a और b पाद की लंबाई हैं और c है कर्ण की लंबाई। विशेष समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएँ होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाती हैं। दो सबसे प्रसिद्ध में से एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज है, जहाँ 3² + 4² = 5²। 3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है। इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरस त्रिक हैं। दूसरा एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 45° (45-45-90 त्रिभुज) माप के 2 कोण होते हैं।
  • वे त्रिभुज जिनमें 90° का कोण नहीं होता, तिरछे त्रिभुज कहलाते हैं।
• त्रिभुज जिसमें सभी आंतरिक कोण 90° से कम होता हैं, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाते है।यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो a² + b² > c², जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
• त्रिभुज जिसका एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है, अधिक कोण त्रिभुज कहलाते है। यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो a² + b² < c², जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
• 180° (और समरेखीय शीर्षों) के आंतरिक कोण वाला त्रिभुज पतित होता है। समकोण त्रिभुज में संरेखीय शीर्ष होते हैं, जिनमें से दो संपाती हैं।(and collinear vertices) is degenerate.

त्रिभुज जिसमें समान माप के दो कोण होते हैं, उसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती है, अतः ऐसे त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज कहलाते है। इसी प्रकार किसी त्रिभुज की तीनो भुजाएँ सामान हो तो ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

सम	अधिक	न्यून
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	तिरछे त्रिभुज

मूल तथ्य

त्रिभुज, बाहरी कोण दिखा रहा है d।

त्रिभुजों को द्वि-विमीय समतल आकृतियाँ माना जाता है, जब तक कि संदर्भ अन्यथा प्रदान न करे (नीचे असमतलीय त्रिभुज देखें)। परिशुद्ध निरूपण में, त्रिभुज को 2-सिम्प्लेक्स कहा जाता है (पॉलीटोप भी देखें)। यूक्लिड द्वारा त्रिभुजों के बारे में प्राथमिक तथ्य प्रस्तुत किए गए थे, जो कि उनके तत्वों की 1-4 पुस्तकों में, लगभग 300 ईसा पूर्व लिखी गई थी।

यूक्लिडियन क्षेत्र में त्रिभुज के आंतरिक कोणों के माप का योग हमेशा 180° (डिग्री) होता है। यह तथ्य यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा के समतुल्य है। यह किसी भी त्रिभुज के तीसरे कोण के माप का निर्धारण करने की अनुमति देता है, दो कोणों का माप दिया जाता है। किसी त्रिभुज का बहिष्कोण एक ऐसा कोण होता है जो आंतरिक कोण का एक रैखिक युग्म (और इसलिए पूरक) होता है। किसी त्रिभुज के बहिष्कोण की माप उन दो आंतरिक कोणों की मापों के योग के बराबर होता है जो उसके निकट नहीं हैं, यह बाह्य कोण प्रमेय है। किसी भी त्रिभुज के तीन बहिष्कोणों (प्रत्येक शीर्ष के लिए एक) के मापों का योग 360° (डिग्री) होता है।

वह त्रिभुज के आंतरिक कोणों के उपाय हमेशा 180° तक जोड़ते हैं (एक ही रंग को इंगित करने के लिए वे समान हैं)।

समरूपता और सर्वांगसमता

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं, यदि त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के बराबर हो। समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई समान अनुपात में होती है और यह गुण समरूपता स्थापित करने के लिए भी पर्याप्त होता है।

समरूप त्रिभुजों के बारे में कुछ मूल प्रमेय हैं:

• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों के आंतरिक कोणों के एक युग्म की माप एक दूसरे के समान है, और दूसरे युग्म की माप भी एक दूसरे के समान है, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं का एक युग्म संगत भुजाओं के अन्य युग्म के समानुपात में हों और उनके सम्मिलित कोणों की माप समान हो, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। (बहुभुज की किन्हीं दो भुजाओं का सम्मिलित कोण उन दोनों भुजाओं के बीच का आंतरिक कोण होता है।)
• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं के तीन युग्म एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

दो सर्वांगसम त्रिभुज की माप और आकार बिल्कुल समान होते है: संगत आंतरिक कोणों के सभी युग्म माप में समान होते हैं, और संगत भुजाओं के सभी जोड़े की लंबाई समान होती है। (यह कुल छह समानताएं हैं, लेकिन तीन अक्सर सर्वांगसमता साबित करने के लिए पर्याप्त होती हैं।)

त्रिभुजों के एक युग्म के सर्वांगसम होने के लिए कुछ व्यक्तिगत रूप से आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं:

• SAS अभिधारणा: त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समान होती है, और सम्मिलित कोणों की माप समान होती है।
• ASA: त्रिभुज में दो आंतरिक कोणों और शामिल भुजाओं की माप और लंबाई क्रमशः अन्य त्रिभुज के समान होती है। (कोणों के एक युग्म के लिए सम्मिलित भुजा वह भुजा है जो उनके लिए उभयनिष्ठ है।)
• SSS: त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा के समान होती है।
• AAS: त्रिभुज में दो कोणों और एक संगत (गैर-शामिल) भुजा की माप और लंबाई क्रमशः दूसरे त्रिभुज की माप और लंबाई के बराबर होती है। (इसे कभी-कभी AAcorrS कहा जाता है और फिर इसमें ऊपर ASA शामिल होता है।)

कुछ व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त स्थितियां हैं:

• कर्ण-पाद (HL) प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक पाद की लंबाई दूसरे समकोण त्रिभुज के समान होती है। इसे RHS (समकोण, कर्ण, भुजा) भी कहते हैं।
• कर्ण-कोण प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक न्यून कोण की लंबाई और माप क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज की लंबाई और माप के समान होते हैं। यह AAS प्रमेय की सिर्फ एक विशेष स्थिति है।

एक महत्वपूर्ण स्थिति है:

• भुजा-भुजा-कोण (या कोण-भुजा-भुजा) स्थिति: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं और एक संगत गैर-शामिल कोण की लंबाई और माप क्रमशः दूसरे त्रिभुज के समान हों, तो यह सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त नहीं है। लेकिन यदि दिया गया कोण दो भुजाओं की लंबी भुजा के सम्मुख हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। कर्ण-पाद प्रमेय इस मानदंड की एक विशेष स्थिति है। भुजा-भुजा-कोण की स्थिति अपने आप में निश्चित नहीं होती है कि त्रिभुज सर्वांगसम हैं क्योंकि त्रिभुज अधिक कोण वाला और दूसरा न्यूनकोण हो सकता है।

समकोण त्रिभुजों और समानता की अवधारणा का उपयोग करते हुए, ज्या और कोज्या के त्रिकोणमितीय फलन को परिभाषित किया जा सकता है। ये कोण के फलन होते हैं जिनकी जाँच त्रिकोणमिती में की जाती है।

समकोण त्रिभुज

वह पाइथागोरियन प्रमेय

केंद्रीय प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है, जो किसी भी समकोण त्रिभुज में कहता है, कर्ण की लंबाई का वर्ग दो अन्य भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि कर्ण की लंबाई c है, और पाद की लंबाई a और b है, तो प्रमेय के अनुसार

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

विलोम सत्य है: यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती हैं, तो त्रिभुज का विपरीत भुजा c है।

समकोण त्रिभुज के बारे में कुछ अन्य तथ्य:

• समकोण त्रिभुज के न्यून कोण पूरक होते हैं।

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• यदि किसी समकोण त्रिभुज की पाद की लंबाई समान है, तो उन पाद के सम्मुख कोणों का माप समान होगा। चूंकि ये कोण पूरक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि प्रत्येक कोण 45° मापता है। पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, कर्ण की लंबाई एक पाद की लंबाई √2 है।
• 30 और 60° के न्यून कोणों वाले समकोण त्रिभुज में, कर्ण छोटी भुजा की लंबाई का दोगुना है, और लंबी भुजा छोटी भुजा की लंबाई √3 के बराबर होती है:

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

सभी त्रिभुजों के लिए, कोण और भुजाएँ कोज्या के नियम और ज्या के नियम (जिन्हें कोज्या नियम और ज्या नियम भी कहा जाता है) द्वारा संबंधित हैं।

त्रिभुज का अस्तित्व

भुजाओं पर स्थिति

त्रिभुज असमिका बताती है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। यह योग केवल एक पतित त्रिभुज के मामले में तीसरी भुजा की लंबाई के बराबर हो सकता है, एक समरेखीय शीर्षों के साथ। उस योग का तीसरी भुजा की लम्बाई से कम होना संभव नहीं है। तीन दी गई धनात्मक भुजाओं वाला एक त्रिभुज मौजूद होता है यदि और केवल यदि वे भुजाएँ त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं।

कोणों पर स्थितियां

तीन दिए गए कोण एक अनपभ्रष्ट त्रिभुज (और वास्तव में उनमें से एक अनंत) बनाते हैं यदि और केवल यदि ये दोनों स्थितियां: (a) प्रत्येक कोण धनात्मक है, और (b) कोण 180° के बराबर हैं। यदि पतित त्रिभुजों की अनुमति है, तो 0° के कोणों की अनुमति है।

त्रिकोणमितीय स्थिति

तीन धनात्मक कोण α, β, और γ, जिनमें से प्रत्येक 180° से कम है, त्रिभुज के कोण होते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त रखता हो:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.</ref>
$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$<

$\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),$

अंतिम समानता केवल तभी लागू होती है जब कोई भी कोण 90° का न हो (इसलिए स्पर्शरेखा फलन का मान हमेशा परिमित होता है)।

त्रिभुज से जुड़े बिंदु, रेखाएँ और वृत्त

हजारों अलग-अलग निर्माण हैं जो एक विशेष बिंदु (और अक्सर अंदर) त्रिभुज से जुड़े होते हैं, जो कुछ विशेष गुणों को संतुष्ट करते है: उनकी सूची के लिए त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश लेख देखें। अक्सर इनका निर्माण तीन भुजाओं (या शीर्षों) के साथ सममित रूप से जुड़ी हुई तीन रेखाओं को ढूंढकर और फिर सिद्ध करना कि तीन रेखाएँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं: इन के अस्तित्व को साबित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण सेवा का प्रमेय है, जो यह निर्धारित करने के लिए एक मानदंड देता है कि ऐसी तीन रेखाएं कब समवर्ती हैं। इसी तरह, त्रिभुज से जुड़ी रेखाएं अक्सर यह साबित करके बनाई जाती हैं कि तीन सममित रूप से निर्मित बिंदु संरेख हैं: यहां मेनेलॉस का प्रमेय एक उपयोगी सामान्य मानदंड देता है। इस खंड में सबसे आम तौर पर सामना किए जाने वाले कुछ निर्माणों की व्याख्या की गई है।

वह परिधि त्रिभुज के तीन शीर्ष से गुजरने वाले एक सर्कल का केंद्र है।

किसी त्रिभुज की एक भुजा का लंब समद्विभाजक एक सीधी रेखा होती है जो उस भुजा के मध्य बिंदु से गुजरती है और उस पर लंबवत होती है, अर्थात इससे एक समकोण बनाती है। तीन लंब समद्विभाजक एक बिंदु पर मिलते हैं, त्रिभुज का परिकेन्द्र, जिसे सामान्यतः O से दर्शाया जाता है; यह बिंदु वृत्त का केंद्र है, तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त। इस वृत्त का व्यास, जिसे परिधि व्यास कहा जाता है, ऊपर बताए गए ज्या के नियम से ज्ञात किया जा सकता है। परिवृत्त की त्रिज्या परित्रिज्या कहलाती है।

थेल्स के प्रमेय का अर्थ है कि यदि परिकेंद्र त्रिभुज के एक तरफ स्थित है, तो विपरीत कोण एक समकोण है। यदि परिकेन्द्र त्रिभुज के अंदर स्थित हो, तो त्रिभुज न्यून होता है; यदि परिकेन्द्र त्रिभुज के बाहर स्थित है, तो त्रिभुज अधिक कोण है।

वह ऊंचाई का चौराहा ऑर्थोकेटर है।

त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा होती है और विपरीत दिशा में लंबवत (अर्थात एक समकोण बनाती है)। इस विपरीत भुजा को ऊँचाई का आधार कहा जाता है, और जिस बिंदु पर ऊँचाई आधार (या उसके विस्तार) को काटती है, उसे ऊँचाई का पाद कहा जाता है। ऊंचाई की लंबाई आधार और शीर्ष के बीच की दूरी है। तीन ऊंचाईयां एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे त्रिभुज का लंबकेन्द्र कहा जाता है, जिसे सामान्यतः एच द्वारा दर्शाया जाता है। लम्बकेन्द्र त्रिभुज के अंदर होता है यदि और केवल यदि त्रिभुज न्यून हो।

वह कोण bisectors का चौराहा incircLe का केंद्र है।

किसी त्रिभुज का कोण समद्विभाजक एक शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है जो संबंधित कोण को आधा काटती है। तीन कोणों के द्विभाजक एक ही बिंदु में प्रतिच्छेद करते हैं, केंद्र, सामान्यतः त्रिभुज के अंतःवृत्त का केंद्र I द्वारा दर्शाया जाता है। वृत्त वह वृत्त है जो त्रिभुज के भीतर स्थित है और तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। इसकी त्रिज्या को अंतःत्रिज्या कहते हैं। तीन अन्य महत्वपूर्ण वृत्त हैं, वृत्त, वे त्रिभुज के बाहर स्थित हैं और एक तरफ और साथ ही साथ अन्य दो के विस्तार को छूते हैं। इन- और बहिवृत्त के केंद्र एक लंबकेंद्रीय प्रणाली बनाते हैं।

वह मध्यस्थों का चौराहा केन्द्रक है।

एक त्रिभुज की माध्यिका एक सीधी रेखा होती है जो एक शीर्ष और विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है और त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रों में विभाजित करती है। तीन माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, त्रिभुज का केन्द्रक या ज्यामितीय बैरीसेंटर, जिसे सामान्यतः G द्वारा दर्शाया जाता है। एक कठोर त्रिभुजीय वस्तु का केंद्रक (समान घनत्व की एक पतली शीट से काटा हुआ) भी इसका द्रव्यमान केंद्र होता है: वस्तु हो सकती है एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अपने केन्द्रक पर संतुलित। केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में काटता है, अर्थात एक शीर्ष और केन्द्रक के बीच की दूरी, विपरीत भुजा के केन्द्रक और मध्य बिंदु के बीच की दूरी से दोगुनी है।

[नौ-बिंदु सर्कल एक समरूपता को प्रदर्शित करता है जहां छह अंक त्रिभुज के किनारे पर स्थित हैं।

तीनों भुजाओं के मध्यबिंदु और तीन ऊंचाईयों के पाद सभी एक ही वृत्त पर स्थित हैं, त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त। शेष तीन बिंदु जिनके लिए इसे नामित किया गया है, वे शीर्षों और लंबकेन्द्र के बीच के ऊंचाई के हिस्से के मध्य बिंदु हैं। नौ-बिंदु वाले वृत्त की त्रिज्या वृत्त की त्रिज्या की आधी होती है। यह अंतःवृत्त (Feuerbach बिंदु पर) और तीनों वृत्तों को स्पर्श करती है।

[यूलर की लाइन ऑर्थोकेटर (नीला), नौ-पॉइंट सर्कल (लाल), केन्द्रक (नारंगी) के केंद्र के माध्यम से एक सीधी रेखा है, और परिधि (हरा)

लम्बकेन्द्र (नीला बिंदु), नौ-बिंदु वृत्त (लाल), केन्द्रक (नारंगी) का केंद्र, और परिधि (हरा) सभी एक ही रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे यूलर की रेखा (लाल रेखा) के रूप में जाना जाता है। नौ-बिंदु वाले वृत्त का केंद्र लम्बकेन्द्र और परिकेंटर के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित है, और केन्द्रक और परिकेंटर के बीच की दूरी केन्द्रक और लम्बकेन्द्र के बीच की दूरी से आधी है।

अंतःवृत्त का केंद्र सामान्य रूप से यूलर रेखा पर स्थित नहीं है।

यदि कोई एक ही शीर्ष से गुजरने वाले कोण के द्विभाजक में एक माध्यिका को दर्शाता है, तो एक उपमाध्य (सिमेडियन) प्राप्त होता है। तीन उपमाध्य (सिमेडियन) एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो त्रिभुज का उपमाध्य (सिमेडियन) बिंदु है।

भुजाओं और कोणों की संगणना

किसी भुजा की लंबाई या कोण के माप की गणना के लिए कई मानक तरीके हैं। समकोण त्रिभुज में मानों की गणना करने के लिए कुछ विधियां उपयुक्त हैं, अन्य स्थितियों में अधिक जटिल विधियों की आवश्यकता हो सकती है।

समकोण त्रिभुजों में त्रिकोणमितीय अनुपात

Main article: त्रिकोणमितीय फलन

दाएं त्रिभुज में हमेशा एक 90 ° (π/2 रेडियन) कोण शामिल होता है, यहां लेबल C. कोण A और B के साथ अलग -अलग हो सकते हैं।त्रिकोणमितीय कार्य एक सही त्रिभुज के भुजा लंबाई और आंतरिक कोणों के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करते हैं।

समकोण त्रिभुजों में, अज्ञात कोणों और अज्ञात भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा के त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग किया जा सकता है। त्रिभुज की भुजाओं को इस प्रकार जाना जाता है:

• कर्ण समकोण के विपरीत भुजा है, या समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के रूप में परिभाषित है, इस स्थिति में h सबसे लंबी भुजा है।
• विपरीत भुजा उस कोण के विपरीत भुजा है जिसमें हम रुचि रखते हैं, इस स्थिति में a।
• आसन्न भुजा वह भुजा है जो उस कोण के संपर्क में है जिसमें हम रुचि रखते हैं और समकोण है, इसलिए इसका नाम है। इस स्थिति में आसन्न भुजा b है।

ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा

कोण की ज्या विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। इस स्थिति में

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$

यह अनुपात चुने गए विशेष समकोण त्रिभुज पर निर्भर नहीं करता है, जब तक कि इसमें कोण A हो, क्योंकि वे सभी त्रिभुज समरूप हैं।

कोण की कोज्या आसन्न भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। इस स्थिति में

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.$

किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात है। इस स्थिति में

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$

संक्षिप्त नाम "SOH-CAH-TOA" इन अनुपातों के लिए एक उपयोगी स्मृति सहायक है।

प्रतिलोम फलन

प्रतिलोम त्रिकोणमिति फलन का उपयोग किसी भी दो भुजाओं की लंबाई वाले समकोण त्रिभुज के आंतरिक कोणों की गणना के लिए किया जा सकता है।

Arcsin का उपयोग विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई से कोण की गणना के लिए किया जा सकता है।

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

Arccos का उपयोग आसन्न भुजा की लंबाई और कर्ण की लंबाई से कोण की गणना के लिए किया जा सकता है।

$\theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

Arctan का उपयोग विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई से कोण की गणना के लिए किया जा सकता है।

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)$

प्रारंभिक ज्यामिति और त्रिकोणमिति पाठ्यक्रमों में, अंकन sin⁻¹, cos⁻¹, आदि, अक्सर आर्क्सिन, आर्ककोस आदि के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। हालांकि, आर्क्सिन, आर्ककोस, आदि, उच्च गणित में संकेतन मानक है जहां त्रिकोणमितीय कार्यों को आम तौर पर शक्तियों के लिए उठाया जाता है, क्योंकि यह गुणक व्युत्क्रम और संरचना प्रतिलोम के बीच भ्रम से बचा जाता है।

ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा नियम

Main articles: ज्या का नियम, कोज्या का नियम, and स्पर्शरेखा का नियम

लंबाई ए, बी और सी और क्रमशः α, γ और of के कोणों के साथ त्रिभुज।

ज्या का नियम, या ज्या का नियम, कहता है कि एक भुजा की लंबाई और उसके संगत विपरीत कोण की ज्या का अनुपात स्थिर होता है, अर्थात्

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$

यह अनुपात दिए गए त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होता है। इस प्रमेय की एक अन्य व्याख्या यह है कि α, β और γ कोणों वाला प्रत्येक त्रिभुज एक त्रिभुज के समान है जिसकी भुजाओं की लंबाई sin α, sin β और sin γ के बराबर है। इस त्रिभुज का निर्माण पहले व्यास 1 के एक वृत्त का निर्माण करके और उसमें त्रिभुज के दो कोणों को अंकित करके किया जा सकता है। उस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई sin α, sin β और sin γ होगी। जिस भुजा की लंबाई sin α है, उस कोण के विपरीत है जिसका माप α, आदि है।

कोज्या का नियम, या कोज्या नियम, एक त्रिभुज की अज्ञात भुजा की लंबाई को अन्य भुजाओं की लंबाई और अज्ञात भुजा के विपरीत कोण से जोड़ता है। नियम के अनुसार:

एक त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b, c और कोण क्रमशः α, β, γ हैं त्रिभुज a और b की दो ज्ञात लंबाई और दो ज्ञात भुजाओं के बीच का कोण (या अज्ञात भुजा c के विपरीत कोण), तीसरी भुजा c की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो तो तीनों कोणों की गणना की जा सकती है:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$

जब दो भुजाएँ और एक कोण या दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो तो स्पर्शरेखा का नियम या स्पर्शरेखा नियम का उपयोग भुजा या कोण को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। यह बताता है कि:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

त्रिभुजों का हल

Main article: त्रिभुजों का हल

"त्रिभुजों का हल" मुख्य त्रिकोणमितीय समस्या है: त्रिभुज (तीन कोण, तीन भुजाओं की लंबाई आदि) की अज्ञात विशेषताओं को ज्ञात करने के लिए, जब इनमें से कम से कम तीन विशेषताएं दी गई हों। त्रिभुज समतल या गोले पर स्थित हो सकता है। यह समस्या अक्सर विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुप्रयोगों, जैसे कि भूगणित, खगोल विज्ञान, निर्माण, नेविगेशन आदि में होती है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

वह एक त्रिभुज के क्षेत्र का प्रदर्शन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, त्रिभुजों के बधाई के माध्यम से, एक समानांतर चरम के क्षेत्र के आधे के रूप में, जिसमें समान आधार लंबाई और ऊंचाई होती है।

सूत्र की ग्राफिक व्युत्पत्ति <गणित> t = \ frac {h} {2} b </math> जो त्रिभुज के क्षेत्र को दोगुना करने की सामान्य प्रक्रिया से बचा जाती है और फिर इसे बंद कर देती है।

See also: सर्वांगसमता (ज्यामिति) § त्रिभुजों की सर्वांगसमता

त्रिभुज के क्षेत्रफल T की गणना करना एक प्राथमिक समस्या है जो अक्सर कई अलग-अलग स्थितियों में सामने आती है। सबसे प्रसिद्ध और सबसे सरल सूत्र है:

$T={\frac {1}{2}}bh,$

जहां b त्रिभुज के आधार की लंबाई है और h त्रिभुज की ऊंचाई है। "आधार" शब्द किसी भी भुजा को दर्शाता है, और "ऊंचाई" आधार के विपरीत शीर्ष से आधार वाली रेखा पर लंबवत की लंबाई को दर्शाता है। 499 CE में आर्यभट्ट ने आर्यभटीय (अनुच्छेद 2.6) में इस सचित्र विधि का इस्तेमाल किया। हालांकि सरल, यह सूत्र केवल तभी उपयोगी होता है जब ऊंचाई को आसानी से पाया जा सके, जो हमेशा ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजीय क्षेत्र के सर्वेक्षक को प्रत्येक भुजा की लंबाई को मापना अपेक्षाकृत आसान हो सकता है, लेकिन 'ऊंचाई' बनाना अपेक्षाकृत कठिन होता है। त्रिभुज के बारे में जो ज्ञात है, उसके आधार पर व्यवहार में विभिन्न विधियों का उपयोग किया जा सकता है। त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए अक्सर इस्तेमाल किए जाने वाले सूत्रों का चयन निम्नलिखित है।

त्रिकोणमिति का उपयोग करना

त्रिकोणमिति के प्रयोग से किसी त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।

SAS के अनुसार: दाईं ओर की छवि में लेबल का उपयोग करना, h = a sin $\gamma$ ऊंचाई है। इसे ऊपर दिए गए सूत्र $T={\frac {1}{2}}bh$ में रखकर, त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है: $T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta$

(जहाँ α, A पर, β, B पर तथा $\gamma$, C पर आंतरिक कोण है और c रेखा AB है)।

इसके अलावा, चूँकि sin α = sin (π - α) = sin (β + $\gamma$), और इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$

AAS के अनुसार:

$T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},$

और इसी तरह यदि ज्ञात भुजा a या c है।

ASA के अनुसार:

$T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},$

और समान रूप से यदि ज्ञात भुजा b या c है।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना

त्रिभुज की आकृति भुजाओं की लम्बाई से निर्धारित होती है। इसलिए, क्षेत्रफल को भुजाओं की लंबाई से भी प्राप्त किया जा सकता है। हीरोन के सूत्र द्वारा:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

जहां $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ अर्धपरिमापी है, या त्रिभुज के परिमाप का आधा भाग है।

हेरॉन के सूत्र को लिखने के तीन अन्य समान तरीके हैं

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

सदिशों का उपयोग करना

त्रि-विमीय यूक्लिडियन क्षेत्र में एम्बेडेड समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की सदिश का उपयोग करके गणना की जा सकती है। मान लीजिए कि सदिश AB और AC क्रमशः A से B और A से C की ओर इंगित करते हैं। समांतर चतुर्भुज ABDC का क्षेत्रफल है

$|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,$

जो सदिश AB और AC के सदिश गुणनफल का परिमाण है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल इसका आधा है,

${\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.$

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल भी अदिश गुणनफल के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,$

द्वि-विमीय यूक्लिडियन स्थान में, सदिश AB को कार्तीय स्थान में (x₁,y₁) और AC के बराबर (x₂,y₂) के रूप में एक मुक्त सदिश के रूप में व्यक्त करते हुए, इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

${\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,$

निर्देशांक का उपयोग करना

यदि शीर्ष A एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु (0, 0) पर स्थित है और अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक B = (एक्स_B, y_B) and C = (x_C, y_C) द्वारा दिए गए हैं, तो इसका क्षेत्रफल हो सकता है सारणिक के निरपेक्ष मान के 1⁄2 गुना के रूप में गणना की गई

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$

तीन सामान्य शीर्षों के लिए, समीकरण है:

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},$

इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है

$T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.$

यदि बिंदुओं को वामावर्त दिशा में क्रमिक रूप से लेबल किया जाता है, तो उपरोक्त निर्धारक व्यंजक धनात्मक होते हैं और निरपेक्ष मान चिह्नों को छोड़ा जा सकता है। उपरोक्त सूत्र को शॉलेस फॉर्मूला या सर्वेयर के सूत्र कहते हैं।

यदि हम सम्मिश्र तल में शीर्षों का पता लगाते हैं और उन्हें वामावर्त क्रम में a = x_A + y_Ai, , b = x_B + y_Bi, and c = x_C + y_Ci के रूप में निरूपित करते हैं, और उनके सम्मिश्र संयुग्मों को ${\bar {a}}$, ${\bar {b}}$, और ${\bar {c}}$, के रूप में निरूपित करते हैं। अतः सूत्र

$T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}$

शॉलेस सूत्र के बराबर है।

तीन विमाओ में, एक सामान्य त्रिभुज A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) और C = (x_C, y_C, z_C) का क्षेत्रफल संबंधित अनुमानों के क्षेत्रों का पाइथागोरस योग है। तीन मुख्य तलों पर (अर्थात् x = 0, y = 0 और z = 0):

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.$

रेखा समाकलन का उपयोग करने पर

किसी भी बंद वक्र के भीतर का क्षेत्र, जैसे कि त्रिभुज, एक मनमानी उन्मुख सीधी रेखा L से वक्र पर एक बिंदु की बीजीय या हस्ताक्षरित दूरी के वक्र के चारों ओर अभिन्न रेखा द्वारा दिया जाता है। उन्मुख के रूप में एल के दाईं ओर स्थित बिंदु हैं L से ऋणात्मक दूरी पर लिया जाता है, जबकि समाकलन के भार को चाप की लंबाई के बजाय L के समानांतर चाप की लंबाई के घटक के रूप में लिया जाता है।

यह विधि एक मनमाना बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है। L को x-अक्ष मानते हुए, क्रमागत शीर्षों (x_i,y_i) और (x_i+1,y_i+1) के बीच समाकलित रेखा को माध्य ऊँचाई के आधार गुणा द्वारा दिया जाता है, अर्थात् (x_i+1 − x_i)(y_i + y_i+1)/2 क्षेत्र का चिन्ह ट्रैवर्सल की दिशा का एक समग्र संकेतक है, जिसमें नकारात्मक क्षेत्र वामावर्त ट्रैवर्सल का संकेत देता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल तब तीन भुजाओं वाले बहुभुज के मामले के रूप में निकलता है।

जबकि लाइन इंटीग्रल विधि अन्य समन्वय-आधारित विधियों के साथ समान है, एक समन्वय प्रणाली की मनमानी पसंद, दूसरों के विपरीत यह त्रिभुज के शीर्ष को मूल या आधार के रूप में आधार के रूप में पसंद नहीं करती है। इसके अलावा, एल द्वारा परिभाषित समन्वय प्रणाली की पसंद सामान्य तीन की बजाय स्वतंत्रता के केवल दो डिग्री के लिए प्रतिबद्ध है, चूँकि भार एक स्थानीय दूरी है (उदाहरण के लिए ऊपर में x_i+1 − x_i) इसलिए इस विधि में L के लिए एक सामान्य अक्ष चुनने की आवश्यकता नहीं है।

ध्रुवीय निर्देशांक में काम करते समय लाइन एकीकरण का उपयोग करने के लिए कार्तीय निर्देशांक में परिवर्तित करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि बहुभुज के लगातार शीर्ष (r_i,θ_i) और (r_i+1,θ_i+1) के बीच की रेखा सीधे r_ir_i+1sin(θ_i+1 − θ_i)/2 द्वारा दी जाती है। यह के सभी मानों के लिए मान्य है, संख्यात्मक सटीकता में कुछ कमी के साथ |θ| से अधिक परिमाण के कई क्रम हैं। इस फॉर्मूलेशन के साथ नकारात्मक क्षेत्र दक्षिणावर्त ट्रैवर्सल को इंगित करता है, जिसे ध्रुवीय और कार्तीय निर्देशांक मिलाते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए। जिस प्रकार कार्तीय निर्देशांकों में रेखा एकीकरण के लिए y-अक्ष (x = 0) का चुनाव महत्वहीन है, उसी प्रकार शून्य शीर्षक (θ = 0) का चुनाव यहाँ सारहीन है।

सूत्र हेरोन के सूत्र से मिलता -जुलता है

तीन सूत्रों में हेरॉन के सूत्र के समान संरचना होती है लेकिन विभिन्न चरों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। सबसे पहले, भुजाओं a, b, और c की माध्यिकाओं को क्रमशः m_a, m_b, और m_c और उनके अर्ध-योग (m_a + m_b + m_c)/2 को के रूप में निरूपित करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

इसके बाद, A, B, और C भुजाओं से ऊंचाई को क्रमशः h_a, h_b, तथा h_c के रूप में निरूपित करते हुए, और ऊंचाई के व्युत्क्रमों के अर्ध-योग को इस रूप में दर्शाते हैं

$H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ हमें प्राप्त होता है

$T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

और कोणों की ज्याओं के अर्ध-योग को S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 के रूप में निरूपित करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$

जहां D परिधि का व्यास है: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$

पिक की प्रमेय का प्रयोग करना

किसी भी मनमाने जालक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की तकनीक के लिए पिक का प्रमेय देखें (ग्रिड पर समान दूरी पर लंबवत और क्षैतिज रूप से आसन्न जाली बिंदुओं के साथ, और जाली बिंदुओं पर शीर्षों के साथ)।

प्रमेय के अनुसार:

$T=I+{\frac {1}{2}}B-1$

जहां $I$ आंतरिक जालक बिंदुओं की संख्या है और B बहुभुज की सीमा पर स्थित जाली बिंदुओं की संख्या है।

अन्य क्षेत्र सूत्र

कई अन्य क्षेत्र सूत्र मौजूद हैं, जैसे कि

$T=r\cdot s,$

जहाँ r अंत:त्रिज्या है, और s अर्धपरिमापी है (वास्तव में, यह सूत्र सभी स्पर्शरेखा बहुभुजों के लिए है), और

$T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)$

जहां $r_{a},\,r_{b},\,r_{c}$ की त्रिज्याएँ हैं क्रमशः भुजाओं a, b, c की स्पर्श रेखा का वृत्त बनाती है।

अतः हमें प्राप्त होता है

$T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )$

तथा

$T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$

परिधि D के लिए; तथा

$T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

कोण α ≠ 90° के लिए।

क्षेत्र को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है

$T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

1885 में, बेकर ने त्रिभुज के लिए सौ से अधिक विशिष्ट क्षेत्रफल के सूत्रों का संग्रह दिया। इसमे शामिल है:

$T={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3},$

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},$

$T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},$

$T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}$

परित्रिज्या के लिए (परिवृत्त की त्रिज्या) R, और

$T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.$

क्षेत्रफल पर ऊपरी सीमा

परिमाप p वाले किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल T संतुष्ट करता है

$T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},$

समता धारण के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।

क्षेत्रफल T पर अन्य ऊपरी सीमाएँ द्वारा दी गई हैं<ref>

$4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

तथा

$4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},$

दोनों फिर से पकड़े हुए हैं अगर और केवल अगर त्रिभुज समबाहु है।

क्षेत्रफल को द्विभाजित करना

त्रिभुज के क्षेत्रफल को समद्विभाजित करने वाली अपरिमित रूप से बहुत सी रेखाएँ हैं। उनमें से तीन माध्यिकाएं हैं, जो एकमात्र क्षेत्रफल द्विभाजक हैं जो केन्द्रक से गुजरते हैं। तीन अन्य क्षेत्रफल द्विभाजक त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर हैं।

त्रिभुज से होकर जाने वाली कोई भी रेखा जो त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसके परिमाप को आधे में विभाजित करती है, त्रिभुज के केंद्र से होकर जाती है। किसी भी त्रिभुज के लिए इनमें से एक, दो या तीन हो सकते हैं।

सामान्य यूक्लिडियन त्रिभुजों के लिए और सूत्र

See also: त्रिभुज असमानताओं की सूची

इस खंड के सूत्र सभी यूक्लिडियन त्रिभुजों के लिए सही हैं।

माध्यिकाएँ, कोण समद्विभाजक, लम्ब भुजा समद्विभाजक और ऊँचाई

Main articles: माध्यिका (ज्यामिति), कोण द्विभाजक, समद्विभाजन § लंब समद्विभाजक, and ऊंचाई (ज्यामिति)

माध्यिकाएँ और भुजाएँ द्वारा संबंधित हैं

${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$

तथा

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}$,

और m_b और m_c के लिए समान रूप से।

कोण A के विपरीत भुजा a के लिए, आंतरिक कोण समद्विभाजक की लंबाई दी गई है

$w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},$

अर्ध परिमाप s के लिए, जहां द्विभाजक लंबाई को शीर्ष से मापा जाता है जहां यह विपरीत दिशा में मिलता है।

आंतरिक लंब समद्विभाजक दिए गए हैं

$p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$

जहाँ भुजाएँ $a\geq b\geq c$ हैं और क्षेत्रफल $T.$ है।

उदाहरण के लिए, लंबाई a की भुजा से ऊँचाई है

$h_{a}={\frac {2T}{a}}.$

वृत्ताकार और अंत:त्रिज्या

Main articles: परित्रिज्या and अंतः त्रिज्या

निम्नलिखित सूत्रों में परित्रिज्या R और अंत:त्रिज्या r शामिल है:

$R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};$

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$

जहां हेक्टेयर आदि सबस्क्रिप्ट किए गए भुजाओं की ऊंचाई हैं;

${\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$

Longuet-Higgins, Michael S., "On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle", Mathematical Gazette 87, March 2003, 119–120.</ref>

तथा

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$।

त्रिभुज की दो भुजाओं का गुणनफल परिधि के व्यास D के तीसरे भुजा की ऊंचाई के बराबर होता है:Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.</ref>

$ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.$

आसन्न त्रिभुज

मान लीजिए कि दो आसन्न लेकिन गैर-अतिव्यापी त्रिभुज लंबाई f की समान भुजा साझा करते हैं और समान परिवृत्त साझा करते हैं, ताकि लंबाई f की भुजा परिवृत्त की एक जीवा हो और त्रिभुजों की भुजाएँ लंबाई (a, b, f) और (c, d, f), दो त्रिभुजों के साथ मिलकर एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं, जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रम में (a, b, c, d) होती है। तब

$f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,$

केन्द्रक

Main article: केन्द्रक

मान लीजिए G एक त्रिभुज का केन्द्रक है जिसके शीर्ष A, B, और C हैं, और मान लीजिए कि कोई भी आंतरिक बिंदु P है। तब बिंदुओं के बीच की दूरी से संबंधित होती है

$(PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,$

त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों का योग, शीर्षों से केन्द्रक की चुकता दूरी के योग के तीन गुना के बराबर होता है:

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

मान लीजिए q_a, q_b, और q_c केन्द्रक से लंबाई a, b और c की भुजाओं की दूरी है। फिर

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$

तथा

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$

क्षेत्रफल T के लिए।

परिधि, केंद्र, और लंबकेन्द्र

Main articles: परिकेन्द्र, अंतः केंद्र, and लम्बकेन्द्र

कार्नोट के प्रमेय में कहा गया है कि परिधि से तीन भुजाओं तक की दूरी का योग परिधि और अंतःत्रिज्या के योग के बराबर होता है। यहां एक खंड की लंबाई को ऋणात्मक माना जाता है यदि और केवल अगर खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर स्थित है।। यह विधि विशेष रूप से त्रिभुजों के अधिक अमूर्त रूपों के गुणों को कम करने के लिए उपयोगी है, जैसे कि लाई अल्जेब्रा द्वारा प्रेरित, जो अन्यथा सामान्य त्रिभुजों के समान गुण रखते हैं।

यूलर की प्रमेय में कहा गया है कि परिधि और केंद्र के बीच की दूरी d द्वारा दी गई है

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$

या समतुल्य रूप से

${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$

जहाँ R परित्रिज्या है और r अंतःत्रिज्या है। इस प्रकार सभी त्रिभुजों के लिए R ≥ 2r, समबाहु त्रिभुजों के लिए समता धारण करने के साथ।

यदि हम निरूपित करते हैं कि लम्बकेन्द्र एक ऊंचाई को लंबाई u और v के खंडों में विभाजित करता है, एक अन्य ऊंचाई खंड लंबाई w और x में, और तीसरी ऊंचाई खंड लंबाई y और z में विभाजित करती है, तो uv = wx = yz। एक ओर से परिकेन्द्र तक की दूरी विपरीत शीर्ष से लंबकेन्द्र तक की आधी दूरी के बराबर होती है।

शीर्षों से लम्बकेन्द्र एच तक की दूरी के वर्गों का योग प्लस भुजाओं के वर्गों का योग परिधि के वर्ग के बारह गुना के बराबर होता है:

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$

कोण

किसी भी त्रिभुज के लिए ज्या के नियम, कोज्याओं के नियम, स्पर्शरेखा के नियम और पहले दी गई त्रिकोणमितीय अस्तित्व की शर्तों के अतिरिक्त

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

मॉर्ले का ट्रिसेक्टर प्रमेय

Main article: मार्ले की त्रि विभाजन प्रमेय

वह मॉर्ले ट्रायंगल, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक आंतरिक कोण की त्रस्तंकी होती है।यह एक परिमित उपखंड नियम का एक उदाहरण है।

मॉर्ले के ट्रिसेक्टर प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी त्रिभुज में, आसन्न कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन के तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जिसे मॉर्ले त्रिभुज कहा जाता है।

त्रिभुज में अंकित चित्र

शांक्व

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय उत्क्रीर्ण वृत्त (अन्तर्वृत्त) होता है जो त्रिभुज का आंतरिक भाग होता है और तीनों भुजाओं की स्पर्श रेखा होती है।

प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर इनलिप्स होता है जो त्रिभुज का आंतरिक भाग होता है और भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर स्पर्शरेखा होता है। मार्डन की प्रमेय से पता चलता है कि इस दीर्घवृत्त के फोकस को कैसे खोजा जाए। इस दीर्घवृत्त में त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर किसी भी दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा का सबसे बड़ा क्षेत्रफल होता है।

त्रिभुज का मैंडार्ट अन्तः दीर्घवृत्त, त्रिभुज के भीतर अंकित दीर्घवृत्त होता है, जो इसके बाह्यवृत्तों के संपर्क बिंदुओं पर इसकी भुजाओं की स्पर्शरेखा होता है।

त्रिभुज ABC में अंकित किसी दीर्घवृत्त के लिए, मान लीजिए कि नाभियाँ P और Q हैं। तब

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

अवमुख वहुभुज

क्षेत्रफल T वाले प्रत्येक उत्तल बहुभुज को 2T के अधिकतम क्षेत्रफल वाले त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज के लिए समानता (विशेष रूप से) रखती है।

षट्कोण

लेमोइन षट्कोण एक चक्रीय षट्कोण है जिसमें त्रिभुज के किनारों के छह प्रतिच्छेदन द्वारा दिए गए शीर्ष होते हैं जो कि भुजाओं के समानांतर तीन रेखाएं होती हैं और जो इसके उपमाध्य (उपमाध्य (सिमेडियन)) बिंदु से गुज़रती हैं। या तो अपने सरल रूप में या इसके आत्म-प्रतिच्छेदन रूप में, लेमोइन षट्कोण त्रिभुज के आंतरिक भाग में त्रिभुज के प्रत्येक तरफ दो शीर्ष होते हैं।

वर्ग

प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन उत्कीर्ण वर्ग होते हैं (इसके आंतरिक भाग में वर्ग इस प्रकार होते हैं कि एक वर्ग के चारों शीर्ष त्रिभुज की एक भुजा पर स्थित होते हैं, इसलिए उनमें से दो एक ही तरफ स्थित होते हैं और इसलिए वर्ग की एक भुजा एक भुजा के भाग से मेल खाती है। त्रिभुज का)। एक समकोण त्रिभुज में दो वर्ग संपाती होते हैं और त्रिभुज के समकोण पर एक शीर्ष होता है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज में केवल दो अलग-अलग उत्क्रीर्ण वर्ग होते हैं। एक अधिक त्रिभुज में केवल एक उत्क्रीर्ण वर्ग होता है, जिसकी भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के साथ मेल खाती है। किसी दिए गए त्रिभुज के भीतर, एक लंबी उभयनिष्ठ भुजा एक छोटे उत्कीर्ण वर्ग से जुड़ी होती है। यदि एक उत्कीर्ण वर्ग की लंबाई q है और त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई a है, जिसकी भुजा का एक भाग वर्ग की भुजा के साथ मेल खाता है, तो q_a, a, भुजा a से ऊँचाई h_a और त्रिभुज का क्षेत्रफल T संबंधित है इनके के अनुसार

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$

उत्कीर्ण वर्ग के क्षेत्रफल का त्रिभुज के क्षेत्रफल का सबसे बड़ा संभावित अनुपात 1/2 है, जो तब होता है जब a² = 2T, q = a/2, और लंबाई a के आधार से त्रिभुज की ऊंचाई a के बराबर है। उसी गैर-अधिक त्रिभुज में उत्कीर्ण वर्ग की भुजा और दूसरे की भुजा का सबसे छोटा संभव अनुपात $2{\sqrt {2}}/3=0.94....$ है ये दोनों चरम स्थिति समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए होते हैं।

त्रिभुज

एक संदर्भ त्रिभुज में एक आंतरिक बिंदु से, तीनों भुजाओं के निकटतम बिंदु उस बिंदु के पेडल त्रिभुज के शीर्षों के रूप में कार्य करते हैं। यदि आंतरिक बिंदु संदर्भ त्रिभुज का परिकेन्द्र है, तो पेडल त्रिभुज के शीर्ष, संदर्भ त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु होते हैं, और इसलिए पेडल त्रिभुज को मध्यबिंदु त्रिभुज या मध्यवर्ती त्रिभुज कहा जाता है। मध्यबिंदु त्रिभुज संदर्भ त्रिभुज को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है जो संदर्भ त्रिभुज के समान हैं।

संदर्भ त्रिभुज के गेरगोन त्रिभुज या स्पर्शोन्मुख त्रिभुज में इसके अंतःवृत्त के साथ संदर्भ त्रिभुज की भुजाओं की स्पर्शरेखा के तीन बिंदुओं पर इसके शीर्ष होते हैं। संदर्भ त्रिभुज के एक्सटच त्रिभुज में इसके भुजाओं (विस्तारित नहीं) के साथ संदर्भ त्रिभुज के वृत्तों की स्पर्शरेखा के बिंदुओं पर इसके शीर्ष होते हैं।

त्रिभुज के चारों ओर परिचालित आकृतियाँ

एक संदर्भ त्रिभुज का स्पर्शरेखा त्रिभुज (एक सही त्रिभुज के अलावा) त्रिभुज है, जिसके किनारे अपने शीर्ष पर संदर्भ त्रिभुज के खतना के स्पर्शरेखा रेखाओं पर हैं।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रत्येक त्रिभुज का एक विशिष्ट परिवृत्त होता है, एक वृत्त जो तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है, जिसका केंद्र त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन है।

इसके अलावा, प्रत्येक त्रिभुज में एक विशिष्ट स्टीनर परिधि (सर्किलिप्स) होती है, जो त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरता है और इसका केंद्र त्रिभुज के केन्द्रक में होता है। त्रिभुज के शीर्ष से गुजरने वाले सभी दीर्घवृत्तों में से सबसे छोटा क्षेत्र है।

कीपर्ट अतिपरवलय विशिष्ट शंकु है जो त्रिभुज के तीन शीर्ष, इसके केन्द्रक और इसके परिधि से होकर गुजरता है।

किसी दिए गए उत्तल बहुभुज में निहित सभी त्रिभुजों में से, अधिकतम क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज मौजूद होता है, जिसके शीर्ष दिए गए बहुभुज के सभी शीर्ष होते हैं।

किसी त्रिभुज में किसी बिंदु का स्थान निर्दिष्ट करना

किसी त्रिभुज में (या बाहर) बिंदुओं के स्थानों की पहचान करने का एक तरीका यह है कि त्रिभुज को कार्तीय तल में एक मनमाना स्थान और अभिविन्यास में रखा जाए, और कार्तीय निर्देशांक का उपयोग किया जाए। कई उद्देश्यों के लिए सुविधाजनक होने पर, इस दृष्टिकोण में सभी बिंदुओं के समन्वय मूल्यों की कमियाँ समतल में मनमाने ढंग से नियोजन पर निर्भर है।

दो प्रणालियाँ उस विशेषता का परिवर्जन करती हैं, ताकि एक बिंदु के निर्देशांक त्रिभुज को बदलने, उसे घुमाने, या दर्पण के रूप में प्रतिबिंबित करने से प्रभावित न हों, जिनमें से कोई भी एक सर्वांगसम त्रिभुज बनाता है, या एक समान त्रिभुज भी बनाता है। इसे फिर से आकार देने से भी प्रभावित नहीं होता है।

• त्रिरेखीय निर्देशांक भुजाओं से एक बिंदु की सापेक्ष दूरी निर्दिष्ट करता हैं, ताकि निर्देशांक $x:y:z$ इंगित करें कि बिंदु की दूरी का पहली भुजा से दूसरी भुजा की दूरी का अनुपात $x:y$, आदि है।
• $\alpha :\beta :\gamma$ के रूप के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक उस बिंदु के स्थान को सापेक्ष भार द्वारा निर्दिष्ट करते हैं जिसे दिए गए बिंदु पर अन्यथा भारहीन त्रिभुज को संतुलित करने के लिए तीन शीर्षों पर रखना होगा।

असमतलीय त्रिभुज

असमतलीय त्रिभुज एक त्रिभुज है जो एक (समतल) तल में समाहित नहीं होता है। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में असमतलीय त्रिभुजों के कुछ उदाहरण गोलाकार ज्यामिति में गोलाकार त्रिभुज और अतिपरवलयिक ज्यामिति में अतिपरवलयिक त्रिभुज हैं।

जबकि तलीय त्रिभुजों में आंतरिक कोणों कि माप का योग हमेशा 180° होता है, एक अतिपरवलयिक त्रिभुज में कोणों कि माप का योग 180° से कम होता है, और एक गोलाकार त्रिभुज में कोणों कि माप का योग 180° से अधिक होता है। एक ऋणात्मक वक्र पृष्ठ पर रेखाचित्र बनाकर एक अतिपरवलयिक त्रिभुज प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि एक काठी की सतह पर रेखाचित्र बनाकर प्राप्त किया जा सकता है, और एक गोलाकार त्रिभुज एक सकारात्मक वक्र पृष्ठ जैसे कि एक गोले पर खींचकर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि कोई पृथ्वी की सतह पर एक विशाल त्रिभुज बनाता है, तो आप पाएंगे कि उसके कोणों के माप का योग 180° से अधिक है, वास्तव में यह 180° और 540° के बीच होगा। विशेष रूप से एक गोले पर एक त्रिभुज बनाना संभव है जैसे कि इसके प्रत्येक आंतरिक कोण का माप 90° के बराबर हो, कुल 270° का योग हो।

विशेष रूप से, किसी गोले पर त्रिभुज के कोणों का योग निम्न होता है

180° × (1 + 4f),

जहाँ f गोले के क्षेत्रफल का वह भाग है जो त्रिभुज से घिरा होता है। उदाहरण के लिए, माना कि हम पृथ्वी की सतह पर एक त्रिभुज बनाते हैं जिसके शीर्ष उत्तरी ध्रुव पर हैं, जो भूमध्य रेखा पर एक बिंदु पर 0° देशांतर पर और भूमध्य रेखा पर 90° पश्चिम देशांतर पर है। बाद के दो बिंदुओं के बीच की बड़ी वृत्त रेखा भूमध्य रेखा है, और उन बिंदुओं और उत्तरी ध्रुव के बीच की बड़ी वृत्त रेखा देशांतर की रेखा है, इसलिए भूमध्य रेखा पर दो बिंदुओं पर समकोण होता है। इसके अलावा, उत्तरी ध्रुव पर कोण भी 90° होता है क्योंकि अन्य दो शीर्षों में 90° देशांतर का अंतर होता है। अत: इस त्रिभुज के कोणों का योग 90° + 90° + 90° = 270° होता है। त्रिभुज उत्तरी गोलार्ध का 1/4 भाग (90°/360° जैसा कि उत्तरी ध्रुव से देखा जाता है) और इसलिए पृथ्वी की सतह के 1/8 भाग को घेरता है, इसलिए सूत्र f = 1/8 में, इस प्रकार सूत्र सही ढंग से त्रिभुज के कोणों का योग 270° देता है।

उपरोक्त कोण योग सूत्र से हम यह भी देख सकते हैं कि पृथ्वी की सतह स्थानीय रूप से समतल है: यदि हम पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु के पड़ोस में एक मनमाना छोटा त्रिभुज बनाते हैं, तो पृथ्वी की सतह का अंश f जो त्रिभुज से घिरा होता है मनमाने ढंग से शून्य के करीब हो। इस स्थिति में कोण योग सूत्र 180° तक सरल हो जाता है, जिसे हम जानते हैं कि यूक्लिडियन ज्यामिति हमें समतल सतह पर त्रिभुजों के लिए क्या बताती है।

निर्माण में त्रिभुज

Main article: टेक

वह न्यूयॉर्क में फ्लैटिरॉन इमारत एक त्रिभुजीय प्रिज्म के आकार का है

इमारतों के लिए आयताकार सबसे लोकप्रिय और सामान्य ज्यामितीय रूप रहा है क्योंकि आकार को भरना और व्यवस्थित करना आसान है; एक मानक के रूप में, आयताकार आकार की इमारतों के अंदर फिट होने के लिए फर्नीचर और स्थिर वस्तुओं का निर्माण करना आसान है। लेकिन त्रिभुज, जबकि अवधारणात्मक रूप से उपयोग करना अधिक कठिन होता है, बहुत अधिक शक्ति प्रदान करते हैं। चूंकि संगणक (कंप्यूटर) तकनीक शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) को रचनात्मक नई इमारतों को डिजाइन करने में मदद करती है, त्रिभुजीय आकार इमारतों के कुछ हिस्सों के रूप में और कुछ प्रकार के गगनचुंबी इमारतों के साथ-साथ निर्माण सामग्री के लिए प्राथमिक आकार के रूप में प्रचलित हो रहे हैं। 1989 में टोक्यो में, शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) ने सोचा कि क्या इस घनी आबादी वाले शहर के लिए किफायती कार्यालय स्थान प्रदान करने के लिए 500-मंजिला टॉवर का निर्माण करना संभव है, लेकिन भूकंप से इमारतों को होने वाले खतरे को देखते हुए, शिल्पकार (आर्किटेक्ट्स) का मानना था कि यदि ऐसी इमारत का निर्माण किया जाता है तो एक त्रिभुजीय आकार आवश्यक होगा।

न्यू यॉर्क शहर में, जब ब्रॉडवे प्रमुख रास्तों को पार करता है, तो परिणामी ब्लॉकों को त्रिभुज की तरह काटे जाते हैं, और इन आकृतियों पर इमारतों का निर्माण किया जाता है, ऐसी ही एक इमारत त्रिभुजीय आकार की फ्लैटिरॉन इमारत है, जिसे स्थावर संपदा (रियल एस्टेट) के लोग मानते हैं कि इसमें "अजीब जगहों का एक वार्न है जो आसानी से आधुनिक कार्यालय फर्नीचर को समायोजित नहीं करता है", यह संरचना एक ऐतिहासिक प्रतीक है। अभिकल्पक (डिजाइनरों) ने नॉर्वे में त्रिभुजाकार प्रकरण का उपयोग करके घर बनाए हैं। त्रिभुज आकार चर्चों के साथ-साथ कॉलेजों सहित सार्वजनिक भवनों में दिखाई देते हैं और साथ ही नवीन घरेलू डिजाइनों के लिए समर्थन भी हैं।

त्रिभुज दृढ़ होते हैं, जबकि एक आयत दबाव से अपने किसी एक बिंदु तक समांतर चतुर्भुज में ढह सकता है, त्रिभुजों में एक प्राकृतिक शक्ति होती है जो पार्श्व दबावों के विरुद्ध संरचनाओं का समर्थन करती है। त्रिभुज का आकार तब तक नहीं बदलता जब तक कि उसकी भुजाएँ मुड़ी हुई या विस्तारित या टूटी न हों या यदि वे जोड़ टूट न जाएँ, संक्षेप में, तीनों में से प्रत्येक भुजा अन्य दो का समर्थन करती है। आयत, इसके विपरीत, संरचनात्मक अर्थों में अपने जोड़ों की मजबूती पर अधिक निर्भर होता है। कुछ नवोन्मेषी डिजाइनरों ने ईंटों को आयतों से नहीं, बल्कि त्रिभुजीय आकृतियों के साथ बनाने का प्रस्ताव दिया है जिसे तीन विमाओं में जोड़ा जा सकता है। यह संभावना है कि जैसे-जैसे वास्तुकला जटिलता में वृद्धि होगी, त्रिभुजों का नए तरीकों से अधिकाधिक उपयोग किया जाएगा। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुज कठोरता के स्थिति में मजबूत होते हैं, लेकिन एक चतुरंगी व्यवस्था में संकुलित होने पर त्रिभुज संपीड़न के तहत षट्कोण के रूप में मजबूत नहीं होते हैं (इसलिए प्रकृति में षट्कोणीय रूपों का प्रसार)। चतुरंगी त्रिभुज अभी भी बाहुधरण (कैंटिलीवरिंग) के लिए बेहतर ताकत बनाए रखते हैं, और यह सबसे मजबूत मानव निर्मित संरचनाओं में से एक, चतुष्फलकीय ट्रस का आधार है।

यह भी देखें

• अपोलोनियस 'प्रमेय
• बधाई (ज्यामिति)
• डेसरगुएस प्रमेय
• ड्रैगन की आंख (प्रतीक)
• फ़र्मेट पॉइंट
• हैडविगर -फिन्सलर असमानता
• हेरोनियन त्रिभुज
• पूर्णांक त्रिभुज
• कोसाइन का नियम
• सिन का नियम
• स्पर्शरेखा का नियम
• लेस्टर का प्रमेय
• त्रिकोण असमानताओं की सूची
• त्रिकोण विषयों की सूची
• आधुनिक त्रिकोण ज्यामिति
• ओनो की असमानता
• पेडल ट्रायंगल
• पेडो की असमानता
• पाइथागोरस प्रमेय
• विशेष सही त्रिकोण
• त्रिभुज केंद्र
• त्रिकोणीय संख्या
• त्रिकोणीय श्रेणी
• त्रिभुज (टोपोलॉजी)

बाहरी संबंध

• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Triangle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• CLark KimberLing: EncycLopedia of triangLe centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangLe.