शंकु

For other uses, see Cone (disambiguation).

Not to be confused with Conical surface.

एक लम्ब वृत्तीय शंकु और एक तिरछा वृत्तीय शंकु

एक दोहरा शंकु (असीम रूप से विस्तारित नहीं दिखाया गया है)

File:Cono 3D.stl शंकु एक त्रि-आयामी स्थान है | त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार जो एक सपाट आधार (अक्सर, हालांकि जरूरी नहीं, गोलाकार) से शीर्ष या शीर्ष नामक बिंदु तक आसानी से पतला होता है।

एक शंकु रेखा खंडों, अर्ध-रेखाओं, या एक सामान्य बिंदु, शीर्ष को जोड़ने वाली रेखाओं के एक समूह द्वारा एक आधार पर सभी बिंदुओं से बनता है जो एक विमान में होता है जिसमें शीर्ष नहीं होता है। लेखक के आधार पर, आधार को एक वृत्त, विमान में किसी भी एक-आयामी द्विघात रूप, किसी भी बंद एक-आयामी स्थान | एक-आयामी आकृति, या उपरोक्त में से कोई भी प्लस सभी संलग्न बिंदुओं तक सीमित किया जा सकता है। यदि संलग्न बिंदुओं को आधार में शामिल किया जाता है, तो शंकु एक ठोस वस्तु है; अन्यथा यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक द्वि-आयामी वस्तु है। ठोस वस्तु के मामले में, इन रेखाओं या आंशिक रेखाओं से बनी सीमा को पार्श्व सतह कहा जाता है; यदि पार्श्व सतह असीम है, तो यह एक शंक्वाकार सतह है।

रेखाखंडों के मामले में, शंकु आधार से आगे नहीं बढ़ता है, जबकि अर्ध-रेखाओं के मामले में, यह असीम रूप से दूर तक फैला होता है। रेखाओं के मामले में, शंकु शीर्ष से दोनों दिशाओं में अपरिमित रूप से फैला हुआ है, इस स्थिति में इसे कभी-कभी दोहरा शंकु कहा जाता है।. शीर्ष के एक तरफ एक दोहरे शंकु के आधे हिस्से को नैप कहा जाता है।

एक शंकु की धुरी शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा (यदि कोई हो) है, जिसके बारे में आधार (और पूरे शंकु) में एक गोलाकार समरूपता है।

प्राथमिक ज्यामिति में सामान्य उपयोग में, शंकु को 'सम वृत्ताकार' माना जाता है, जहाँ वृत्ताकार का अर्थ है कि आधार एक वृत्त है और दाएँ का अर्थ है कि अक्ष आधार के केंद्र से समकोण पर उसके तल से होकर गुजरता है।यदि शंकु सम वृत्ताकार है तो पार्श्व सतह वाले समतल का प्रतिच्छेदन एक शंकु खंड है। सामान्य तौर पर, हालांकि, आधार किसी भी आकार का हो सकता हैऔर शीर्ष कहीं भी स्थित हो सकता है (हालांकि आमतौर पर यह माना जाता है कि आधार घिरा हुआ है और इसलिए इसका परिमित क्षेत्र है, और शीर्ष आधार के तल के बाहर स्थित है)। दाएं शंकु के विपरीत तिरछे शंकु होते हैं, जिसमें अक्ष आधार के केंद्र से गैर-लंबवत रूप से गुजरता है। एक बहुभुज आधार वाले शंकु को पिरामिड कहा जाता है।

संदर्भ के आधार पर, शंकु का अर्थ विशेष रूप से उत्तल शंकु या प्रक्षेपी शंकु भी हो सकता है।

शंकु को उच्च आयामों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है।

आगे की शब्दावली

एक शंकु के आधार की परिधि को डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, और डायरेक्ट्रिक्स और एपेक्स के बीच का प्रत्येक लाइन सेगमेंट पार्श्व सतह की एक जेनरेट्रिक्स या जनरेटिंग लाइन है। (शंकु खंड के डायरेक्ट्रिक्स और डायरेक्ट्रिक्स शब्द के इस अर्थ के बीच संबंध के लिए, डंडेलिन क्षेत्र देखें।)

एक वृत्ताकार शंकु की आधार त्रिज्या उसके आधार की त्रिज्या है; अक्सर इसे केवल शंकु की त्रिज्या कहा जाता है। एक लम्ब वृत्तीय शंकु का छिद्र दो जेनरेट्रिक्स रेखाओं के बीच का अधिकतम कोण होता है; यदि जेनरेटर अक्ष से कोण बनाता है, तो एपर्चर 2θ है। फ़ाइल: एक्टा एरुडिटोरम - I जियोमेट्रिया, 1734 - BEIC 13446956.jpg|thumb|एक्टा एरुडिटोरम, 1734 . में प्रकाशित प्रॉब्लम मैथमैटिका से चित्रण... एक शंकु जिसमें एक समतल द्वारा काटे गए शीर्ष सहित एक क्षेत्र होता है, एक छोटा शंकु कहलाता है; यदि कटाव तल शंकु के आधार के समानांतर है, तो इसे छिन्नक कहा जाता है। एक अण्डाकार शंकु एक अण्डाकार आधार वाला शंकु होता है। एक सामान्यीकृत शंकु एक शीर्ष और एक सीमा पर प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के समूह द्वारा बनाई गई सतह है (दृश्य पतवार भी देखें)।

माप और समीकरण

वॉल्यूम

आयतन $V$ किसी भी शंकु ठोस का आधार के क्षेत्रफल के गुणनफल का एक तिहाई होता है $A_{B}$ और ऊंचाई $h$

$V={\frac {1}{3}}A_{B}h.$

आधुनिक गणित में, इस सूत्र को कैलकुलस का उपयोग करके आसानी से परिकलित किया जा सकता है - यह स्केलिंग तक, इंटीग्रल

$$\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$

है। कैलकुलस का उपयोग किए बिना, सूत्र को एक पिरामिड से शंकु की तुलना करके और कैवेलियरी के सिद्धांत को लागू करके सिद्ध किया जा सकता है - विशेष रूप से, शंकु की तुलना एक (लंबवत स्केल किए गए) दाहिने वर्ग पिरामिड से की जाती है, जो एक घन का एक तिहाई बनाता है। इस सूत्र को ऐसे अनंतिम तर्कों का उपयोग किए बिना सिद्ध नहीं किया जा सकता है - पॉलीहेड्रल क्षेत्र के लिए 2-आयामी फ़ार्मुलों के विपरीत, हालांकि सर्कल के क्षेत्र के समान - और इसलिए कैलकुस के आगमन से पहले कम कठोर सबूत स्वीकार किए जाते हैं, प्राचीन यूनानियों द्वारा विधि का उपयोग करते हुए थकावट। यह अनिवार्य रूप से हिल्बर्ट की तीसरी समस्या की सामग्री है - अधिक सटीक रूप से, सभी पॉलीहेड्रल पिरामिड कैंची सर्वांगसम नहीं हैं (इसे परिमित टुकड़ों में काटा जा सकता है और दूसरे में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है), और इस प्रकार एक अपघटन तर्क का उपयोग करके मात्रा की गणना विशुद्ध रूप से नहीं की जा सकती है -।

द्रव्यमान का केंद्र

एकसमान घनत्व वाले एक शंकु ठोस के द्रव्यमान का केंद्र आधार के केंद्र से शीर्ष तक के रास्ते का एक-चौथाई भाग होता है, जो दोनों को मिलाने वाली सीधी रेखा पर होता है।

दायां गोलाकार शंकु

वॉल्यूम

त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक वृत्ताकार शंकु के लिए, आधार क्षेत्रफल का एक वृत्त है $\pi r^{2}$ और इसलिए आयतन का सूत्र बन जाता है

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

तिरछी ऊंचाई

एक लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई उसके आधार के वृत्त के किसी बिंदु से शंकु की सतह के अनुदिश रेखाखंड से होते हुए शीर्ष तक की दूरी है। यह द्वारा दिया गया है ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$, कहाँ पे $r$ आधार की त्रिज्या है और $h$ ऊंचाई है। यह पाइथागोरस प्रमेय द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

भूतल क्षेत्र

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है $LSA=\pi rl$ कहाँ पे $r$ शंकु के तल पर वृत्त की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है। एक शंकु के निचले वृत्त का पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी भी वृत्त के समान होता है, $\pi r^{2}$. इस प्रकार, एक लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित में से प्रत्येक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• त्रिज्या और ऊंचाई

$\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

(आधार का क्षेत्रफल और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल; पद ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ तिरछी ऊंचाई है)

$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$

कहाँ पे $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊंचाई है।

• त्रिज्या और तिरछी ऊंचाई

$\pi r^{2}+\pi rl$

$\pi r(r+l)$

कहाँ पे $r$ त्रिज्या है और $l$ तिरछी ऊंचाई है।

• परिधि और तिरछी ऊंचाई

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cl}{2}}$

$\left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+l\right)$

कहाँ पे $c$ परिधि है और $l$ तिरछी ऊंचाई है।

• शीर्ष कोण और ऊंचाई

$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{h}^2\tan <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}{2}(\tan <!--\; \; -->$