डिराक समीकरण: Difference between revisions
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[[कण भौतिकी]] में, '''डिराक समीकरण''' 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | [[कण भौतिकी]] में, '''डिराक समीकरण''' 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | ||
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या| | समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण [[वेइल समीकरण]] में कम हो जाता है। | ||
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | ||
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== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> | क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | ||
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गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> | गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है (<math>\text{Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})</math> के तत्व) जो परिभाषित ''विरोधी''-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4</math> | ||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | ||
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लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | ||
<math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> | <math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह <math>S[\Lambda]</math> द्वारा दिया गया है। संबंधित <math>S[\Lambda]</math>को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है। | ||
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | ||
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जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | ||
<math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | <math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | ||
तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: | तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: सम्मिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी कार्यानुकूल में समान संख्यात्मक मान होता है। समष्टि और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम अक्रमतः से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को निरंतर नहीं रख सकता है। श्रोडिंगर सिद्धांत में, संभाव्यता घनत्व घनात्मक निश्चित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है | ||
<math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | <math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | ||
और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | ||
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=== सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन === | === सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन === | ||
समीकरण के [[लोरेंत्ज़ सहप्रसरण]] को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना | समीकरण के [[लोरेंत्ज़ सहप्रसरण]] को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना उपयोगी है जिसमें समष्टि और समय व्युत्पन्न समान स्तर पर दिखाई देते हैं। नए आव्यूह इस प्रकार पेश किए गए हैं: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
D &= \gamma^0, \\ | D &= \gamma^0, \\ | ||
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जो क्रम {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - का है, इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जा और वेग पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | जो क्रम {{math|{{sfrac|''v''|''c''}}}} - का है, इस प्रकार विशिष्ट ऊर्जा और वेग पर, मानक प्रतिनिधित्व में डिराक स्पिनर के निचले घटक शीर्ष घटकों की तुलना में बहुत अधिक दबे हुए हैं। इस अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर कुछ पुनर्व्यवस्था के बाद प्राप्त होता है | ||
<math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | <math display="block"> \left(E - mc^2\right) \psi_{+} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right]^2 \psi_{+} + e\phi \psi_{+} </math> | ||
बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ चिरसम्मत ऊर्जा है, इसलिए कोई भी गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन में डायराक स्पिनर के शीर्ष घटकों के साथ अपने 2-स्पिनर की तत्समक करके पाउली के सिद्धांत को पुनर्प्राप्त कर सकता है। एक और सन्निकटन पाउली सिद्धांत की सीमा के रूप में श्रोडिंगर समीकरण देता है। इस प्रकार, श्रोडिंगर समीकरण को डिराक समीकरण के सुदूर गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जब कोई प्रचक्रण की उपेक्षा कर सकता है और केवल कम ऊर्जा और वेग पर काम कर सकता है। यह नए समीकरण के लिए भी एक बड़ी जीत थी, क्योंकि इसने रहस्यमय का पता लगा लिया {{math|''i''}} जो इसमें दिखाई देता है, और एक | बाईं ओर का ऑपरेटर अपनी शेष ऊर्जा द्वारा कम की गई कण ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि सिर्फ चिरसम्मत ऊर्जा है, इसलिए कोई भी गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन में डायराक स्पिनर के शीर्ष घटकों के साथ अपने 2-स्पिनर की तत्समक करके पाउली के सिद्धांत को पुनर्प्राप्त कर सकता है। एक और सन्निकटन पाउली सिद्धांत की सीमा के रूप में श्रोडिंगर समीकरण देता है। इस प्रकार, श्रोडिंगर समीकरण को डिराक समीकरण के सुदूर गैर-सापेक्षवादी सन्निकटन के रूप में देखा जा सकता है जब कोई प्रचक्रण की उपेक्षा कर सकता है और केवल कम ऊर्जा और वेग पर काम कर सकता है। यह नए समीकरण के लिए भी एक बड़ी जीत थी, क्योंकि इसने रहस्यमय का पता लगा लिया {{math|''i''}} जो इसमें दिखाई देता है, और एक सम्मिश्र तरंग फलन की आवश्यकता, डिराक बीजगणित के माध्यम से स्पेसटाइम की ज्यामिति पर वापस आती है। यह इस बात पर भी प्रकाश डालता है कि श्रोडिंगर समीकरण, चूंकि सतही तौर पर [[प्रसार समीकरण]] के रूप में है, वास्तव में तरंगों के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - ऐन्टिद्रव्य और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | इस बात पर दृढ़ता से जोर दिया जाना चाहिए कि डिराक स्पिनर का बड़े और छोटे घटकों में पृथक्करण स्पष्ट रूप से कम-ऊर्जा सन्निकटन पर निर्भर करता है। संपूर्ण डिराक स्पिनर अघुलनशील संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, और पाउली सिद्धांत तक पहुंचने के लिए जिन घटकों को यहां उपेक्षित किया गया है, वे सापेक्षतावादी शासन में नई घटनाएं लाएंगे - ऐन्टिद्रव्य और [[पदार्थ निर्माण]] और कणों के [[विनाश]] का विचार। | ||
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* [http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm Dirac equation for a spin {{1/2}} particle] | * [http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm Dirac equation for a spin {{1/2}} particle] | ||
* [http://www.quantumfieldtheory.info/ Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] click on Chap। 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators। | * [http://www.quantumfieldtheory.info/ Pedagogic Aids to Quantum Field Theory] click on Chap। 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic spin/helicity operators। | ||
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Latest revision as of 11:07, 7 August 2023
कण भौतिकी में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे इलेक्ट्रॉन और क्वार्क जिनके लिए समता (भौतिकी) समरूपता (भौतिकी) है। यह क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,[1] और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था।
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिद्रव्य के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने वोल्फगैंग पाउली के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) प्रचक्रण (भौतिकी) सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार सम्मिश्र संख्याओं (बिस्पिनोर के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में पाउली समीकरण से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण वेइल समीकरण में कम हो जाता है।
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और पोजीट्रान की अंतिम खोज - सैद्धांतिक भौतिकी की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले आइजैक न्यूटन, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल और अल्बर्ट आइंस्टीन के फलन के बराबर बताया गया है।[2] क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, प्रचक्रण-1⁄2 कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है।
डिराक समीकरण वेस्टमिन्स्टर ऐबी के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।[3]
गणितीय सूत्रीकरण
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को डिराक स्पिनर क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम (मिन्कोवस्की समष्टि) पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में गामा आव्यूह और पैरामीटर भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है।
क्षेत्र के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है
डिराक समीकरण
और प्राकृतिक इकाइयों में, फेनमैन स्लैश अंकन के साथ,
डिराक समीकरण (प्राकृतिक इकाइयाँ)
गामा आव्यूह चार