डिराक समीकरण: Difference between revisions
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{{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | {{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | ||
[[कण भौतिकी]] में, '''डिराक समीकरण''' 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | |||
[[कण भौतिकी]] में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | |||
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या| | समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण [[वेइल समीकरण]] में कम हो जाता है। | ||
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | ||
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== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> | क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | ||
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}} | }} | ||
गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> | गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है (<math>\text{Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})</math> के तत्व) जो परिभाषित ''विरोधी''-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4</math> | ||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | |||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
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स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | ||
<math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | <math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | ||
जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है ( | जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है (अधिकांशतः यह चार-सदिश अंतर ऑपरेटर <math>\partial_\mu</math>होता है), सूचकांक पर योग <math>\mu</math> निहित है। | ||
=== डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | === डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | ||
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इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | ||
गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का | गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का स्थिति है। यह गामा आव्यूह की प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण है कि समाधान समष्टि द्वि-आयामी है (देखें)। | ||
उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | ||
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=== लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | === लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के | लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | ||
<math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के | <math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह <math>S[\Lambda]</math> द्वारा दिया गया है। संबंधित <math>S[\Lambda]</math>को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है। | ||
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | ||
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यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित | यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के | लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुसार, डिराक समीकरण | ||
<math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | <math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | ||
बन जाता है | बन जाता है | ||
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}} | }} | ||
लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि | लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि रूपांतरण के अनुसार समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं <math>T^{\mu\nu}</math> का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अतिरिक्त तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है। | ||
== ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | == ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | ||
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पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | ||
<math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | <math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | ||
जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} स्पेसटाइम निर्देशांक {{math|''x'', ''t''}} के साथ निश्चर द्रव्यमान {{math|''m''}} के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है। {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>}} संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। इसके | जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} स्पेसटाइम निर्देशांक {{math|''x'', ''t''}} के साथ निश्चर द्रव्यमान {{math|''m''}} के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है। {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>}} संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, {{math|''c''}} [[प्रकाश की गति]] है, और {{math|''ħ''}} घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। ये मौलिक [[भौतिक स्थिरांक]] क्रमशः विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को दर्शाते हैं। | ||
इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | ||
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जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | ||
<math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | <math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | ||
तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: | तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: सम्मिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी कार्यानुकूल में समान संख्यात्मक मान होता है। समष्टि और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम अक्रमतः से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को निरंतर नहीं रख सकता है। श्रोडिंगर सिद्धांत में, संभाव्यता घनत्व घनात्मक निश्चित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है | ||
<math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | <math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | ||
और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | ||
<math display="block">J = -\frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\nabla\phi - \phi\nabla\phi^*) </math> | <math display="block">J = -\frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\nabla\phi - \phi\nabla\phi^*) </math> | ||
निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता | निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता विद्युत प्रवाह और घनत्व के संरक्षण के साथ: | ||
<math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | <math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | ||
तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई निश्चित प्रांत पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घनत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और विद्युत प्रवाह की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए जिससे कि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से अदिश तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को विद्युत प्रवाह के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए | |||
<math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | <math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | ||
जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4- | जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-विद्युत प्रवाह घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | ||
<math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | <math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | ||
निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार | निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार ऋणात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस धारणा के अनुसार श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है। | ||
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का | यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व समझा जाता है। | ||
=== डिराक का | === डिराक का सहसाघात === | ||
इस प्रकार डिराक ने एक ऐसे समीकरण को आज़माने के बारे में सोचा जो समष्टि और समय दोनों में प्रथम क्रम का हो। उदाहरण के लिए, कोई औपचारिक रूप से (अर्थात् संकेतन के दुरुपयोग से) ऊर्जा-संवेग संबंध ले सकता है | इस प्रकार डिराक ने एक ऐसे समीकरण को आज़माने के बारे में सोचा जो समष्टि और समय दोनों में प्रथम क्रम का हो। उदाहरण के लिए, कोई औपचारिक रूप से (अर्थात् संकेतन के दुरुपयोग से) ऊर्जा-संवेग संबंध ले सकता है | ||
<math display="block">E = c \sqrt{p^2 + m^2c^2} ~,</math> | <math display="block">E = c \sqrt{p^2 + m^2c^2} ~,</math> | ||
{{math|''p''}} को उसके समतुल्य ऑपरेटर से बदलें, व्युत्पन्न ऑपरेटरों की अनंत श्रृंखला में वर्गमूल का विस्तार करें,अभिलक्षणिक मान समस्या स्थापित करें, फिर पुनरावृत्तियों द्वारा समीकरण को औपचारिक रूप से हल करें। अधिकांश भौतिकविदों को ऐसी प्रक्रिया पर बहुत कम विश्वास था, भले ही यह तकनीकी रूप से संभव हो। | |||
कहानी के अनुसार, डिराक कैंब्रिज में चिमनी की ओर देख रहा था और इस समस्या पर विचार कर रहा था, तभी उसके मन में वेव ऑपरेटर का वर्गमूल निकालने का विचार इस प्रकार आया: | कहानी के अनुसार, डिराक कैंब्रिज में चिमनी की ओर देख रहा था और इस समस्या पर विचार कर रहा था, तभी उसके मन में वेव ऑपरेटर का वर्गमूल निकालने का विचार इस प्रकार आया: | ||
| Line 244: | Line 242: | ||
साथ | साथ | ||
<math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | <math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | ||
डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से | डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से सम्मिलित था, तुरंत समझ गया कि इन शर्तों को पूरा किया जा सकता है यदि {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} और {{math|''D''}} आव्यूह हैं, इस निहितार्थ के साथ कि तरंग फलन में कई घटक होते हैं। इसने पॉली के प्रचक्रण (भौतिकी) के घटनात्मक सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन की उपस्थिति को तुरंत समझाया, कुछ ऐसा जो तब तक रहस्यमय माना जाता था, यहां तक कि खुद पॉली के लिए भी। हालाँकि, किसी को कम से कम चाहिए {{nowrap|4 × 4}} आवश्यक गुणों के साथ प्रणाली स्थापित करने के लिए आव्यूह - इसलिए तरंग फलन में चार घटक थे, दो नहीं, जैसा कि पाउली सिद्धांत में था, या एक, जैसा कि अरक्षित श्रोडिंगर सिद्धांत में था। चार-घटक तरंग फलन भौतिक सिद्धांतों में गणितीय वस्तु के नए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जो यहां पहली बार दिखाई देता है। | ||
इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत | इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत समीकरण लिख सकता है | ||
<math display="block">\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi </math> | <math display="block">\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi </math> | ||
<math>\kappa</math> निर्धारित किए जाने हेतु। दोनों तरफ आव्यूह ऑपरेटर को फिर से लागू करने से परिणाम मिलता है | |||
<math display="block">\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi ~.</math> | <math display="block">\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi ~.</math> | ||
<math>\kappa = \tfrac{mc}{\hbar}</math> लेने से पता चलता है कि तरंग फलन के सभी घटक व्यक्तिगत रूप से सापेक्ष ऊर्जा-संवेग संबंध को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार वांछित समीकरण है जो समष्टि और समय दोनों में प्रथम-क्रम है | |||
<math display="block">\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 ~.</math> | <math display="block">\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 ~.</math> | ||
समायोजन | |||
<math display="block">A = i \beta \alpha_1 \, , \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta ~, </math> | <math display="block">A = i \beta \alpha_1 \, , \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta ~, </math> | ||
और क्योंकि <math>D^2 = \beta^2 = I_4 </math>जैसा कि ऊपर लिखा गया है, डिराक समीकरण तैयार किया गया है। | और क्योंकि <math>D^2 = \beta^2 = I_4 </math>जैसा कि ऊपर लिखा गया है, डिराक समीकरण तैयार किया गया है। | ||
=== सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन === | === सहसंयोजक रूप और आपेक्षिक अपरिवर्तन === | ||
समीकरण के [[लोरेंत्ज़ सहप्रसरण]] को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना | समीकरण के [[लोरेंत्ज़ सहप्रसरण]] को प्रदर्शित करने के लिए, इसे ऐसे रूप में ढालना उपयोगी है जिसमें समष्टि और समय व्युत्पन्न समान स्तर पर दिखाई देते हैं। नए आव्यूह इस प्रकार पेश किए गए हैं: | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
D &= \gamma^0, \\ | D &= \gamma^0, \\ | ||
A &= i \gamma^1,\quad B = i \gamma^2,\quad C = i \gamma^3, | A &= i \gamma^1,\quad B = i \gamma^2,\quad C = i \gamma^3, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
और समीकरण रूप लेता है ([[4-ढाल]] के सहसंयोजक घटकों की परिभाषा को याद करते हुए और विशेष रूप से वह {{math|1=∂<sub>''0''</sub> = {{sfrac|''1''|''c''}}∂<sub>''t''</sub>}}) | और समीकरण रूप लेता है ([[4-ढाल|4-प्रवणता]] के सहसंयोजक घटकों की परिभाषा को याद करते हुए और विशेष रूप से वह {{math|1=∂<sub>''0''</sub> = {{sfrac|''1''|''c''}}∂<sub>''t''</sub>}}) | ||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
|title=''' | |title='''डिराक समीकरण''' | ||
|indent=: | |indent=: | ||
|equation = <math>(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c) \psi = 0</math> | |equation = <math>(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c) \psi = 0</math> | ||
| Line 273: | Line 271: | ||
}} | }} | ||
जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मान पर [[आइंस्टीन संकेतन]] है {{math|''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}, और {{math|∂<sub>''μ''</sub>}} 4- | जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मान पर [[आइंस्टीन संकेतन]] है {{math|''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}, और {{math|∂<sub>''μ''</sub>}} 4-प्रवणता है। व्यवहार में कोई अधिकांशतः गामा आव्यूह को पाउली आव्यूह और 2 × 2 तत्समकआव्यूह से लिए गए 2 × 2 उप-आव्यूह के संदर्भ में लिखता है। स्पष्ट रूप से गामा आव्यूह आधार है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
| Line 284: | Line 282: | ||
जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | जहां कोष्ठक अभिव्यक्ति | ||
<math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | <math display="block">\{a, b\} = ab + ba</math> | ||
[[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}}। डिराक समीकरण में नियोजित विशिष्ट क्लिफ़ोर्ड बीजगणित को आज डिराक बीजगणित के रूप में जाना जाता है। हालाँकि समीकरण तैयार किए जाने के समय डिराक द्वारा इसे मान्यता नहीं दी गई थी, लेकिन बाद में इस [[ज्यामितीय बीजगणित]] के आरम्भ क्वांटम सिद्धांत के विकास में | [[एंटीकम्यूटेटर]] को दर्शाता है। ये [[मीट्रिक हस्ताक्षर|मीट्रिक सिग्नेचर]] के साथ छद्म-ऑर्थोगोनल 4-आयामी समष्टि पर क्लिफ़ोर्ड बीजगणित के परिभाषित संबंध हैं {{math|(+ − − −)}}। डिराक समीकरण में नियोजित विशिष्ट क्लिफ़ोर्ड बीजगणित को आज डिराक बीजगणित के रूप में जाना जाता है। हालाँकि समीकरण तैयार किए जा | ||