डिराक समीकरण: Difference between revisions
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{{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | {{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | ||
[[कण भौतिकी]] में, '''डिराक समीकरण''' 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | |||
[[कण भौतिकी]] में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | |||
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या| | समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण [[वेइल समीकरण]] में कम हो जाता है। | ||
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | ||
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== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> | क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | ||
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}} | }} | ||
गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> | गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है (<math>\text{Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})</math> के तत्व) जो परिभाषित ''विरोधी''-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4</math> | ||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | |||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
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स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | ||
<math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | <math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | ||
जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है ( | जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है (अधिकांशतः यह चार-सदिश अंतर ऑपरेटर <math>\partial_\mu</math>होता है), सूचकांक पर योग <math>\mu</math> निहित है। | ||
=== डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | === डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | ||
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इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | ||
गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का | गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का स्थिति है। यह गामा आव्यूह की प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण है कि समाधान समष्टि द्वि-आयामी है (देखें)। | ||
उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | ||
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=== लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | === लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के | लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | ||
<math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के | <math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह <math>S[\Lambda]</math> द्वारा दिया गया है। संबंधित <math>S[\Lambda]</math>को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है। | ||
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | ||
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प्रचक्रण समष्टि पर संबंधित परिवर्तन है | प्रचक्रण समष्टि पर संबंधित परिवर्तन है | ||
<math display="block">S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).</math> | <math display="block">S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).</math> | ||
यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। कारण है <math>S[\Lambda]</math> | यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के | |||
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुसार, डिराक समीकरण | |||
<math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | <math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | ||
बन जाता है | बन जाता है | ||
<math display="block">i\gamma^\mu((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)S[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) - mS[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) = 0.</math> | <math display="block">i\gamma^\mu((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)S[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) - mS[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) = 0.</math> | ||
{{math proof | title = | {{math proof | title = लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनशीलता का शेष प्रमाण | proof = | ||
बायीं ओर से दोनों पक्षों को गुणा करने पर <math>S^{-1}[\Lambda]</math> और डमी वेरिएबल को वापस कर रहा <math>x</math> देता है | |||
<math display="block">iS[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda]((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)\psi(x) - m\psi(x) = 0.</math> | <math display="block">iS[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda]((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)\psi(x) - m\psi(x) = 0.</math> | ||
यदि हम अपरिवर्तनशीलता दिखाएंगे | |||
<math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda](\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu = \gamma^\nu</math> | <math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda](\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu = \gamma^\nu</math> | ||
या समकक्ष | |||
<math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda] = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu.</math> | <math display="block">S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda] = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu.</math> | ||
इसे बीजगणित स्तर पर सबसे आसानी से दिखाया जा सकता है। मान लीजिए कि परिवर्तन अतिसूक्ष्म घटकों द्वारा परिचालित हैं <math>\omega_{\mu\nu}</math>, फिर पहले ऑर्डर में <math>\omega</math>, बायीं ओर हमें मिलता है | |||
<math display="block">\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}(M^{\rho\sigma})^\mu{}_\nu \gamma^\nu</math> | <math display="block">\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}(M^{\rho\sigma})^\mu{}_\nu \gamma^\nu</math> | ||
जबकि दाहिनी ओर हमें मिलता है | |||
<math display="block">\left[\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right] = \frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}\left[S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right]</math> | <math display="block">\left[\frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right] = \frac{1}{2}\omega_{\rho\sigma}\left[S^{\rho\sigma},\gamma^\mu\right]</math> | ||
बाईं ओर कम्यूटेटर का मूल्यांकन करना एक मानक अभ्यास है। लिखना <math>M^{\rho\sigma}</math> घटकों के संदर्भ में प्रमाण को पूरा करता है। | |||
}} | }} | ||
लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध | लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि रूपांतरण के अनुसार समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं <math>T^{\mu\nu}</math> का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अतिरिक्त तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है। | ||
== ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | == ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | ||
डिराक समीकरण का उपयोग (ऐतिहासिक रूप से) क्वांटम- | डिराक समीकरण का उपयोग (ऐतिहासिक रूप से) क्वांटम-यांत्रिकीय सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए भी किया गया था जहां <math>\psi(x)</math> को तरंग-फलन के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | ||
<math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | <math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | ||
जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} | जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} स्पेसटाइम निर्देशांक {{math|''x'', ''t''}} के साथ निश्चर द्रव्यमान {{math|''m''}} के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है। {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>}} संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, {{math|''c''}} [[प्रकाश की गति]] है, और {{math|''ħ''}} घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। ये मौलिक [[भौतिक स्थिरांक]] क्रमशः विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को दर्शाते हैं। | ||
इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | ||
उस समय तक, परमाणु के पुराने क्वांटम सिद्धांत को सापेक्षता के सिद्धांत के अनुकूल बनाने के प्रयास, जो [[परमाणु नाभिक]] के इलेक्ट्रॉन की संभवतः गैर-वृत्ताकार कक्षा में संग्रहीत कोणीय गति को अलग करने पर आधारित थे, विफल हो गए थे - और नया [[वर्नर हाइजेनबर्ग]], वोल्फगैंग पाउली, [[ पास्कल जॉर्डन ]], इरविन | उस समय तक, परमाणु के पुराने क्वांटम सिद्धांत को सापेक्षता के सिद्धांत के अनुकूल बनाने के प्रयास, जो [[परमाणु नाभिक]] के इलेक्ट्रॉन की संभवतः गैर-वृत्ताकार कक्षा में संग्रहीत कोणीय गति को अलग करने पर आधारित थे, विफल हो गए थे - और नया [[वर्नर हाइजेनबर्ग]], वोल्फगैंग पाउली, [[ पास्कल जॉर्डन |पास्कल जॉर्डन]], इरविन श्रोडिंगर और स्वयं डिराक के क्वांटम यांत्रिकी इस समस्या का विवेचन करने के लिए पर्याप्त रूप से विकसित नहीं हुए थे। हालाँकि डिराक के मूल इरादे संतुष्ट थे, उनके समीकरण का पदार्थ की संरचना पर कहीं अधिक गहरा प्रभाव पड़ा और उन्होंने वस्तुओं की नई गणितीय कक्षाएं पेश कीं जो अब मौलिक भौतिकी के आवश्यक तत्व हैं। | ||
इस समीकरण में नए तत्व चार | इस समीकरण में नए तत्व चार {{nowrap|4 × 4}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] {{math|''α''<sub>1</sub>}}, {{math|''α''<sub>2</sub>}}, {{math|''α''<sub>3</sub>}} और {{math|''β''}}, और चार-घटक तरंग फलन {{math|''ψ''}} हैं। इसमें चार घटक हैं {{math|''ψ''}} क्योंकि समाकृति समष्टि में किसी भी बिंदु पर इसका मूल्यांकन बिस्पिनर है। इसकी व्याख्या स्पिन-अप इलेक्ट्रॉन, स्पिन-डाउन इलेक्ट्रॉन, स्पिन-अप पॉज़िट्रॉन और स्पिन-डाउन पॉज़िट्रॉन के अधिस्थापन के रूप में की जाती है। | ||
वह {{nowrap|4 × 4}} आव्यूह {{math|''α''<sub>''k''</sub>}} और {{math|''β''}} सभी [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] हैं और [[अनैच्छिक मैट्रिक्स|अनैच्छिक आव्यूह]] हैं: | |||
<math display="block">\alpha_i^2 = \beta^2 = I_4</math> | <math display="block">\alpha_i^2 = \beta^2 = I_4</math> | ||
और वे सभी परस्पर विरोधी हैं: | और वे सभी परस्पर विरोधी हैं: | ||
| Line 197: | Line 198: | ||
\alpha_i\beta + \beta\alpha_i &= 0 | \alpha_i\beta + \beta\alpha_i &= 0 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इन आव्यूहों और तरंग फलन के रूप का गहरा गणितीय महत्व है। गामा आव्यूह द्वारा प्रस्तुत बीजगणितीय संरचना लगभग 50 वर्ष पहले अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड | इन आव्यूहों और तरंग फलन के रूप का गहरा गणितीय महत्व है। गामा आव्यूह द्वारा प्रस्तुत बीजगणितीय संरचना लगभग 50 वर्ष पहले अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा बनाई गई थी। क्लिफोर्ड के विचार 19वीं सदी के मध्य में जर्मन गणितज्ञ [[हरमन ग्रासमैन]] के ''लिनियर औस्देहनुंगस्लेह्रे'' ''(रैखिक विस्तार का सिद्धांत)'' के काम से उभरे थे। उत्तरार्द्ध को उनके अधिकांश समकालीनों द्वारा लगभग समझ से बाहर माना गया था। इतनी देर से, और इतने प्रत्यक्ष भौतिक तरीके से, इतनी अमूर्त प्रतीत होने वाली किसी चीज़ का प्रकट होना, भौतिकी के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय अध्यायों में से एक है। (इससे भी अधिक, गणितज्ञ ग्रासमैन और क्लिफोर्ड द्वारा प्रदर्शित उत्कृष्ट अंतर्दृष्टि का सत्यापन।) | ||
इस प्रकार एकल प्रतीकात्मक समीकरण तरंग फलन बनाने वाली चार मात्राओं के लिए चार युग्मित रैखिक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों में सुलझता है। समीकरण को प्लैंक इकाइयों में अधिक स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book |title=The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations |first1=Peter |last1=Collas |first2=David |last2=Klein |publisher=Springer |year=2019 |isbn=978-3-030-14825-6 |page=7 |url=https://books.google.com/books?id=YymODwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=YymODwAAQBAJ&pg=PA7 Extract of page 7]</ref> | इस प्रकार एकल प्रतीकात्मक समीकरण तरंग फलन बनाने वाली चार मात्राओं के लिए चार युग्मित रैखिक प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों में सुलझता है। समीकरण को प्लैंक इकाइयों में अधिक स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book |title=The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations |first1=Peter |last1=Collas |first2=David |last2=Klein |publisher=Springer |year=2019 |isbn=978-3-030-14825-6 |page=7 |url=https://books.google.com/books?id=YymODwAAQBAJ}} [https://books.google.com/books?id=YymODwAAQBAJ&pg=PA7 Extract of page 7]</ref> | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
| Line 208: | Line 208: | ||
i \partial_t \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{bmatrix} | i \partial_t \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि यह चार अज्ञात फलन के साथ चार आंशिक अंतर समीकरणों का | जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि यह चार अज्ञात फलन के साथ चार आंशिक अंतर समीकरणों का समुच्चय है। | ||
=== श्रोडिंगर समीकरण को सापेक्ष बनाना === | === श्रोडिंगर समीकरण को सापेक्ष बनाना === | ||
डिराक समीकरण सतही तौर पर | डिराक समीकरण सतही तौर पर विशाल [[मुक्त कण]] के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समान है: | ||
<math display="block">-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi ~.</math> | <math display="block">-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi ~.</math> | ||
बाईं ओर द्रव्यमान के दोगुने से विभाजित संवेग संचालक के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, जो गैर-सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा है। क्योंकि सापेक्षता समष्टि और समय को समग्र रूप से मानती है, इस समीकरण के सापेक्षतावादी सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि समष्टि और समय व्युत्पन्न को सममित रूप से दर्ज किया जाना चाहिए जैसा कि वे [[मैक्सवेल समीकरण]] | बाईं ओर द्रव्यमान के दोगुने से विभाजित संवेग संचालक के वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, जो गैर-सापेक्षतावादी गतिज ऊर्जा है। क्योंकि सापेक्षता समष्टि और समय को समग्र रूप से मानती है, इस समीकरण के सापेक्षतावादी सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि समष्टि और समय व्युत्पन्न को सममित रूप से दर्ज किया जाना चाहिए जैसा कि वे [[मैक्सवेल समीकरण]] में करते हैं जो प्रकाश के व्यवहार को नियंत्रित करते हैं - समीकरणों को समष्टि और समय में समान क्रम का होना चाहिए। सापेक्षता में, गति और ऊर्जा एक स्पेसटाइम सदिश, चार-गति के समष्टि और समय भाग हैं, और वे सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय संबंध से संबंधित हैं | ||
<math display="block">E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 </math> | <math display="block">E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 </math> | ||
जो कहता है कि इस चार-सदिश की | जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | ||
<math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | <math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | ||
तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} | तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: सम्मिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी कार्यानुकूल में समान संख्यात्मक मान होता है। समष्टि और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम अक्रमतः से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को निरंतर नहीं रख सकता है। श्रोडिंगर सिद्धांत में, संभाव्यता घनत्व घनात्मक निश्चित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है | ||
<math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | <math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | ||
और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | ||
<math display="block">J = -\frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\nabla\phi - \phi\nabla\phi^*) </math> | <math display="block">J = -\frac{i\hbar}{2m}(\phi^*\nabla\phi - \phi\nabla\phi^*) </math> | ||
निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता | निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता विद्युत प्रवाह और घनत्व के संरक्षण के साथ: | ||
<math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | <math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | ||
तथ्य यह है कि घनत्व | तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई निश्चित प्रांत पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घनत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और विद्युत प्रवाह की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए जिससे कि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से अदिश तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को विद्युत प्रवाह के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए | ||
<math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | <math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | ||
जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण | |||