डिराक समीकरण: Difference between revisions
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{{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | {{Short description|Relativistic quantum mechanical wave equation}} | ||
[[कण भौतिकी]] में, '''डिराक समीकरण''' 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | |||
[[कण भौतिकी]] में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त | |||
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter ]] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के | समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल सम्मिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण [[वेइल समीकरण]] में कम हो जाता है। | ||
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | |||
डिराक समीकरण [[वेस्टमिन्स्टर ऐबी]] के पृष्ठ पर पट्टिका पर अंकित है। 13 नवंबर 1995 को अनावरण किया गया, यह पट्टिका पॉल डिराक के जीवन का स्मरण कराती है।<ref>{{cite web|author=Gisela Dirac-Wahrenburg |url=http://www.dirac.ch/PaulDirac.html |title=पॉल डिराक|publisher=Dirac.ch |access-date=2013-07-12}}</ref> | |||
== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> | क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> सम्मिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | |||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
|title=''' | |title='''डिराक समीकरण''' | ||
|indent=: | |indent=: | ||
|equation = <math>(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c) \psi(x) = 0</math> | |equation = <math>(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m c) \psi(x) = 0</math> | ||
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}} | }} | ||
और प्राकृतिक इकाइयों में, [[फेनमैन स्लैश नोटेशन]] के साथ, | और प्राकृतिक इकाइयों में, [[फेनमैन स्लैश नोटेशन|फेनमैन स्लैश अंकन]] के साथ, | ||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
|title=''' | |title='''डिराक समीकरण (प्राकृतिक इकाइयाँ)''' | ||
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|equation = <math>(i\partial \!\!\!/ - m) \psi(x) = 0</math> | |equation = <math>(i\partial \!\!\!/ - m) \psi(x) = 0</math> | ||
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}} | }} | ||
गामा | गामा आव्यूह चार <math>4 \times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह (तत्व) का समुच्चय है (<math>\text{Mat}_{4\times 4}(\mathbb{C})</math> के तत्व) जो परिभाषित ''विरोधी''-कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4</math> | ||
<math display="block">\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}I_4</math> | |||
जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, | \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>\sigma^i</math> [[पॉल के मैट्रिक्स|पॉल के आव्यूह]] और चिरल प्रतिनिधित्व हैं: <math>\gamma^i</math> वही हैं, लेकिन | |||
<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}.</math> | <math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}.</math> | ||
स्लैश | स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | ||
<math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | <math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | ||
जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है (अधिकांशतः यह चार-सदिश अंतर ऑपरेटर <math>\partial_\mu</math>होता है), सूचकांक पर योग <math>\mu</math> निहित है। | |||
=== डिराक | === डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | ||
स्पिनर क्षेत्र का डायराक | स्पिनर क्षेत्र का '''डायराक संलग्न''' <math>\psi(x)</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">\bar\psi(x) = \psi(x)^\dagger \gamma^0.</math> | <math display="block">\bar\psi(x) = \psi(x)^\dagger \gamma^0.</math> | ||
गामा | गामा आव्यूह की गुणों का उपयोग करना (जो सीधे तौर पर <math>\gamma^\mu</math> के हर्मिसिटी गुणों का अनुसरण करता है) वह | ||
<math display="block">(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0,</math> | <math display="block">(\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0,</math> | ||
कोई भी डायराक समीकरण के हर्मिटियन संयुग्म को लेकर और दाईं ओर | कोई भी डायराक समीकरण के हर्मिटियन संयुग्म को लेकर और दाईं ओर <math>\gamma^0</math> से गुणा करके आसन्न डायराक समीकरण प्राप्त कर सकता है : | ||
<math display="block">\bar\psi (x)( - i\gamma^\mu \partial_\mu - m) = 0</math> | <math display="block">\bar\psi (x)( - i\gamma^\mu \partial_\mu - m) = 0</math> | ||
जहां आंशिक व्युत्पन्न | जहां आंशिक व्युत्पन्न <math>\bar\psi(x)</math> पर दाईं ओर से फलन करता है : व्युत्पन्न की बाईं क्रिया के संदर्भ में सामान्य तरीके से लिखा गया है, हमारे पास है | ||
<math display="block">- i\partial_\mu\bar\psi (x)\gamma^\mu - m\bar\psi (x) = 0.</math>क्लेन-गॉर्डन समीकरण | <math display="block">- i\partial_\mu\bar\psi (x)\gamma^\mu - m\bar\psi (x) = 0.</math>'''क्लेन-गॉर्डन समीकरण''' | ||
डिराक समीकरण में <math>i\partial\!\!\!/ + m</math> को लागू करने पर प्राप्त होता है | |||
<math display="block">(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\psi(x) = 0.</math> | <math display="block">(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\psi(x) = 0.</math> | ||
अर्थात्, डिराक स्पिनर क्षेत्र का प्रत्येक घटक क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है। | अर्थात्, डिराक स्पिनर क्षेत्र का प्रत्येक घटक क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है। | ||
=== [[संरक्षित धारा]] === | === [[संरक्षित धारा]] === | ||
सिद्धांत की | सिद्धांत की संरक्षित धारा है | ||
<math display="block">J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi.</math> | <math display="block">J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi.</math> | ||
{{math proof | title = | {{math proof | title = डिराक समीकरण से संरक्षण का प्रमाण | proof = | ||
डिराक और निकटवर्ती डिराक समीकरण जोड़ने पर प्राप्त होता है | |||
<math display="block">i((\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu\psi+\bar\psi\gamma^\mu \partial_\mu\psi) = 0</math> | <math display="block">i((\partial_\mu\bar\psi)\gamma^\mu\psi+\bar\psi\gamma^\mu \partial_\mu\psi) = 0</math> | ||
तो लीबनिज नियम से, | |||
<math display="block">i\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi) = 0</math> | <math display="block">i\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi) = 0</math> | ||
}} | }} | ||
इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करने का | इस अभिव्यक्ति को प्राप्त करने का अन्य तरीका विभिन्न तरीकों से है, संरक्षित धारा <math>\text{U}(1)</math>प्राप्त करने के लिए वैश्विक <math>J^\mu.</math>समरूपता के लिए नोएदर के प्रमेय को लागू करना | ||
{{math proof | title = | {{math proof | title = नोएदर प्रमेय से संरक्षण का प्रमाण | proof = | ||
लैग्रेंजियन को याद करें | |||
<math display="block">\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi.</math> | <math display="block">\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi.</math> | ||
Under a <math>U(1)</math> | Under a <math>U(1)</math> समरूपता जो भेजती है | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\psi &\mapsto e^{i\alpha}\psi, \\ | \psi &\mapsto e^{i\alpha}\psi, \\ | ||
\bar\psi &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi, | \bar\psi &\mapsto e^{-i\alpha}\bar\psi, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
हम पाते हैं कि लैग्रेंजियन अपरिवर्तनीय है। | |||
अब भिन्नता पैरामीटर पर विचार कर रहे हैं <math>\alpha</math> अतिसूक्ष्म होने के लिए, हम पहले क्रम पर काम करते हैं <math>\alpha</math> और अनदेखा करें <math>\mathcal{O}{\alpha^2}</math> शर्तें। पिछली चर्चा से हम तुरंत लैग्रेंजियन के कारण स्पष्ट भिन्नता देखते हैं<math>\alpha</math> लुप्त हो रहा है, वह भिन्नता के अंतर्गत है, | |||
<math display="block">\mathcal{L}\mapsto \mathcal{L} + \delta\mathcal{L},</math> | <math display="block">\mathcal{L}\mapsto \mathcal{L} + \delta\mathcal{L},</math> | ||
जहाँ <math>\delta\mathcal{L} = 0</math>. | |||
नोएथर के प्रमेय के भाग के रूप में, हम क्षेत्रों की भिन्नता के कारण लैग्रेंजियन में अंतर्निहित भिन्नता पाते हैं। यदि गति का समीकरण <math>\psi, \bar\psi</math> तो फिर संतुष्ट हैं | |||
{{NumBlk||<math display="block">\delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)}\delta\psi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \bar\psi)}\delta\bar\psi\right) </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}} | {{NumBlk||<math display="block">\delta\mathcal{L} = \partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)}\delta\psi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \bar\psi)}\delta\bar\psi\right) </math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}} | ||
यह तुरंत सरल हो जाता है क्योंकि इसका कोई आंशिक व्युत्पन्न नहीं है <math>\bar\psi</math> लैग्रेंजियन में. <math>\delta\psi</math> अतिसूक्ष्म भिन्नता है | |||
<math display="block">\delta\psi(x) = i\alpha\psi(x).</math> | <math display="block">\delta\psi(x) = i\alpha\psi(x).</math> | ||
हम मूल्यांकन करते हैं | |||
<math display="block">\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} = i\bar\psi\gamma^\mu.</math> | <math display="block">\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} = i\bar\psi\gamma^\mu.</math> | ||
समीकरण ({{EquationNote|*}}) बन जाता है | |||
<math display="block">0 = -\alpha\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)</math> | <math display="block">0 = -\alpha\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)</math> | ||
और हमारा काम पूरा हो गया। | |||
}} | }} | ||
=== समाधान === | === समाधान === | ||
{{Further| | {{Further|डिराक स्पिनर|#छिद्र सिद्धांत}} | ||
चूंकि डिराक ऑपरेटर [[वर्ग-अभिन्न कार्य]] | चूंकि डिराक ऑपरेटर [[वर्ग-अभिन्न कार्य|वर्ग-अभिन्न]] फलन के 4-टुपल्स पर फलन करता है, इसलिए इसके समाधान समान [[ हिल्बर्ट स्थान |हिल्बर्ट समष्टि]] के घटक होने चाहिए। यह तथ्य कि समाधानों की ऊर्जा की कोई निचली सीमा नहीं है, अप्रत्याशित है। | ||
==== समतल-तरंग समाधान ==== | ==== समतल-तरंग समाधान ==== | ||
समतल-तरंग समाधान वे होते हैं जो एन्सैट्ज़ से उत्पन्न होते हैं | |||
<math display="block">\psi(x) = u(\mathbf{p})e^{-i p \cdot x}</math> | <math display="block">\psi(x) = u(\mathbf{p})e^{-i p \cdot x}</math> | ||
जो | जो कण को निश्चित 4-संवेग के साथ मॉडल करता है <math>p = (E_\mathbf{p}, \mathbf{p})</math> जहाँ <math display="inline">E_\mathbf{p} = \sqrt{m^2 + |\mathbf{p}|^2}.</math> | ||
इस | |||
इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | |||
<math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | ||
गामा | गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का स्थिति है। यह गामा आव्यूह की प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण है कि समाधान समष्टि द्वि-आयामी है (देखें)। | ||
उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान | उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | ||
<math display="block">u(\mathbf{p}) = \begin{pmatrix} \sqrt{\sigma^\mu p_\mu}\xi \\ \sqrt{\bar\sigma^\mu p_\mu}\xi \end{pmatrix}</math> | <math display="block">u(\mathbf{p}) = \begin{pmatrix} \sqrt{\sigma^\mu p_\mu}\xi \\ \sqrt{\bar\sigma^\mu p_\mu}\xi \end{pmatrix}</math> | ||
जहाँ <math>\sigma^\mu = (I_2, \sigma^i), \bar\sigma^\mu = (I_2, -\sigma^i)</math> और <math>\sqrt{\cdot}</math> हर्मिटियन आव्यूह वर्गमूल है। | |||
ये समतल-तरंग समाधान विहित परिमाणीकरण के लिए | ये समतल-तरंग समाधान विहित परिमाणीकरण के लिए प्रारंभिक बिंदु प्रदान करते हैं। | ||
=== लैग्रेंजियन सूत्रीकरण === | === लैग्रेंजियन सूत्रीकरण === | ||
डिराक समीकरण और | डिराक समीकरण और संलग्न डिराक समीकरण दोनों को विशिष्ट लैग्रेन्जियन घनत्व के साथ क्रिया से (बदलते हुए) प्राप्त किया जा सकता है जो निम्न द्वारा दिया गया है: | ||
<math display="block">\mathcal{L} = i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - mc^2\overline{\psi}\psi</math> | <math display="block">\mathcal{L} = i\hbar c\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - mc^2\overline{\psi}\psi</math> | ||
यदि कोई इसके संबंध में बदलता है <math>\psi</math> किसी को संयुक्त डायराक समीकरण मिलता है। इस बीच, यदि कोई | यदि कोई इसके संबंध में बदलता है <math>\psi</math> किसी को संयुक्त डायराक समीकरण मिलता है। इस बीच, यदि कोई इसे <math>\bar\psi</math> के संबंध में बदलता है तो उसे डिराक समीकरण प्राप्त होता है। | ||
प्राकृतिक इकाइयों में और स्लैश | प्राकृतिक इकाइयों में और स्लैश अंकन के साथ, क्रिया तब होती है | ||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
|title=''' | |title='''डिराक एक्शन''' | ||
|indent=: | |indent=: | ||
|equation = <math>S = \int d^4x\,\bar\psi\,(i\partial\!\!\!\big / - m)\,\psi</math> | |equation = <math>S = \int d^4x\,\bar\psi\,(i\partial\!\!\!\big / - m)\,\psi</math> | ||
| Line 132: | Line 130: | ||
}} | }} | ||
इस क्रिया के लिए, संरक्षित धारा <math>J^\mu</math> | इस क्रिया के लिए, उपरोक्त संरक्षित धारा <math>J^\mu</math> क्षेत्र सिद्धांत के लिए नोएदर के प्रमेय के माध्यम से वैश्विक <math>\text{U}(1)</math> समरूपता के अनुरूप संरक्षित धारा के रूप में उत्पन्न होती है। समरूपता को स्थानीय, स्पेसटाइम बिंदु पर निर्भर में बदलकर इस क्षेत्र सिद्धांत का आकलन करने से गेज समरूपता (वास्तव में, गेज अतिरेक) मिलती है। परिणामी सिद्धांत [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|क्वांटम विद्युत्गतिकी]] या क्यूईडी है। अधिक विस्तृत चर्चा के लिए नीचे देखें। | ||
=== लोरेंत्ज़ | === लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | |||
<math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> सम्मिश्र आव्यूह <math>S[\Lambda]</math> द्वारा दिया गया है। संबंधित <math>S[\Lambda]</math>को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है। | |||
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह | अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | ||
<math display="block">(M^{\mu\nu})^\rho{}_\sigma = \eta^{\mu\rho}\delta^\nu{}_\sigma - \eta^{\nu\rho}\delta^\mu{}_\sigma.</math> | <math display="block">(M^{\mu\nu})^\rho{}_\sigma = \eta^{\mu\rho}\delta^\nu{}_\sigma - \eta^{\nu\rho}\delta^\mu{}_\sigma.</math> | ||
जब दोनों <math>\rho,\sigma</math> सूचकांकों को बढ़ाया या घटाया जाता है, ये केवल | जब दोनों <math>\rho,\sigma</math> सूचकांकों को बढ़ाया या घटाया जाता है, ये केवल प्रतिसममित आव्यूह का 'मानक आधार' हैं। | ||
ये लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं | ये लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं | ||
<math display="block">[M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = M^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho} - M^{\nu\sigma}\eta^{\mu\rho} + M^{\nu\rho}\eta^{\mu\sigma} - M^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}.</math> | <math display="block">[M^{\mu\nu}, M^{\rho\sigma}] = M^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho} - M^{\nu\sigma}\eta^{\mu\rho} + M^{\nu\rho}\eta^{\mu\sigma} - M^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}.</math> | ||
[[डिराक बीजगणित]] पर लेख में, यह भी पाया गया है कि | [[डिराक बीजगणित]] पर लेख में, यह भी पाया गया है कि प्रचक्रण जनरेटर | ||
<math display="block">S^{\mu\nu} = \frac{1}{4} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]</math> | |||
लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करें। | लोरेंत्ज़ बीजगणित रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करें। | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के रूप में लिखा जा सकता है | |||
<math display="block">\Lambda = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)</math> | <math display="block">\Lambda = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)</math> | ||
जहां घटक <math>\omega_{\mu\nu}</math> | जहां घटक <math>\omega_{\mu\nu}</math>, <math>\mu,\nu</math> में प्रतिसममित हैं | ||
प्रचक्रण समष्टि पर संबंधित परिवर्तन है | |||
<math display="block">S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).</math> | <math display="block">S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\ | ||