डिराक समीकरण: Difference between revisions
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[[कण भौतिकी]] में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | [[कण भौतिकी]] में, डिराक समीकरण 1928 में ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[पॉल डिराक]] द्वारा प्राप्त सापेक्षतावादी तरंग समीकरण है। अपने स्वतंत्र रूप या विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं सहित, यह सभी प्रचक्रण-½ बड़े कणों का वर्णन करता है, जिन्हें "डायराक कण" कहा जाता है, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]] और [[क्वार्क]] जिनके लिए [[समता (भौतिकी)]] [[समरूपता (भौतिकी)]] है। यह [[क्वांटम यांत्रिकी]] के सिद्धांतों और [[विशेष सापेक्षता]] के सिद्धांत दोनों के अनुरूप है,<ref>{{cite book|title = Quanta: A handbook of concepts|author = P.W. Atkins|publisher=Oxford University Press | page=52 | year = 1974|isbn = 978-0-19-855493-6}}</ref> और क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में विशेष सापेक्षता को पूरी तरह से ध्यान में रखने वाला पहला सिद्धांत था। इसे पूरी तरह से दृढ़ तरीके से [[हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला]] की बारीक संरचना का लेखा-जोखा करके मान्य किया गया था। | ||
समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|समिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल समिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके | समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, [[ antimatter |''प्रतिद्रव्य'']] के अस्तित्व को भी दर्शाया, जो पहले से संदेहास्पद और अवलोकित था और जिसकी कई वर्षों बाद प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी। इसने [[वोल्फगैंग पाउली]] के संवृतिशास्त्र (कण भौतिकी) [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] सिद्धांत में कई घटक तरंग फलन के आरम्भ के लिए सैद्धांतिक औचित्य भी प्रदान किया। डिराक सिद्धांत में तरंग फलन चार [[जटिल संख्या|समिश्र संख्या]]ओं ([[बिस्पिनोर]] के रूप में जाना जाता है) के सदिश हैं, जिनमें से दो गैर-सापेक्षतावादी सीमा में [[पाउली समीकरण]] से मिलते जुलते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के विपरीत जो केवल समिश्र मान के तरंग फलन का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, शून्य द्रव्यमान की सीमा में, डिराक समीकरण [[वेइल समीकरण]] में कम हो जाता है। | ||
हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | हालाँकि डिराक ने पहले तो अपने परिणामों के महत्व को पूरी तरह से नहीं समझा, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता के मिलन के परिणामस्वरूप प्रचक्रण की विस्तृत व्याख्या - और [[पोजीट्रान]] की अंतिम खोज - [[सैद्धांतिक भौतिकी]] की महान अभिभूत में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। इस उपलब्धि को उनसे पहले [[आइजैक न्यूटन]], [[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] के फलन के बराबर बताया गया है।<ref>{{cite book|title=द न्यू क्वांटम यूनिवर्स|author=T.Hey, P.Walters|publisher = Cambridge University Press|year=2009|page = 228|isbn = 978-0-521-56457-1}}</ref> [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के संदर्भ में, प्रचक्रण-{{1/2}} कण के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए डिराक समीकरण की पुनर्व्याख्या की गई है। | ||
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== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> समिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी | क्षेत्र सिद्धांत के लिए अपने आधुनिक सूत्रीकरण में, डिराक समीकरण को [[डिराक स्पिनर]] क्षेत्र के संदर्भ में लिखा गया है <math>\psi</math> समिश्र सदिश समष्टि में मान ले रहा है जिसे ठोस रूप से <math>\mathbb{C}^4</math> वर्णित किया गया है, समतल स्पेसटाइम ([[मिन्कोवस्की स्थान|मिन्कोवस्की समष्टि]]) <math>\mathbb{R}^{1,3}</math> पर परिभाषित किया गया है। इसकी अभिव्यक्ति में [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] और पैरामीटर <math>m > 0</math> भी सम्मिलित है जिसे द्रव्यमान के साथ-साथ अन्य भौतिक स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है। | ||
क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | क्षेत्र <math>\psi: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}^4</math>के संदर्भ में, डिराक समीकरण तब है | ||
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जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के | जहाँ <math>\eta^{\mu\nu}</math> मिन्कोव्स्की मीट्रिक तत्व और सूचकांक <math>\mu, \nu</math> 0,1,2 और 3 पर ज़ारी है। इन आव्यूह को प्रतिनिधित्व के विकल्प के अनुसार स्पष्ट रूप से महसूस किया जा सकता है। दो सामान्य विकल्प डिराक प्रतिनिधित्व हैं | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
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स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | स्लैश अंकन कॉम्पैक्ट अंकन है | ||
<math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | <math display="block">A\!\!\!/ := \gamma^\mu A_\mu</math> | ||
जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है ( | जहाँ <math>A</math> चार-सदिश है (अधिकांशतः यह चार-सदिश अंतर ऑपरेटर <math>\partial_\mu</math>होता है), सूचकांक पर योग <math>\mu</math> निहित है। | ||
=== डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | === डिराक संलग्न और संलग्न समीकरण === | ||
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इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | इस एन्सैट्ज़ के लिए, डिराक समीकरण <math>u(\mathbf{p})</math>के लिए समीकरण बन जाता है : | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu p_\mu - m\right) u(\mathbf{p}) = 0.</math> | ||
गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का | गामा आव्यूह <math>\gamma^\mu</math> के लिए प्रतिनिधित्व चुनने के बाद, इसे हल करना रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का स्थिति है। यह गामा आव्यूह की प्रतिनिधित्व-मुक्त गुण है कि समाधान समष्टि द्वि-आयामी है (देखें)। | ||
उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | उदाहरण के लिए, चिरल प्रतिनिधित्व में <math>\gamma^\mu</math>, समाधान समष्टि को <math>\mathbb{C}^2</math> सदिश <math>\xi</math> द्वारा परिचालित किया गया है | ||
| Line 136: | Line 136: | ||
=== लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | === लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता === | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के | लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार डिराक समीकरण अपरिवर्तनीय है, अर्थात लोरेंत्ज़ समूह <math>\text{SO}(1,3)</math> या सख्ती से <math>\text{SO}(1,3)^+</math> की कार्रवाई के अनुसार, तत्समकसे जुड़ा घटक है। | ||
<math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के | <math>\mathbb{C}^4</math> में मान लेने के रूप में ठोस रूप से देखे जाने वाले डिराक स्पिनर के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन <math>\Lambda</math> के अनुसार परिवर्तन <math>4\times 4</math> समिश्र आव्यूह <math>S[\Lambda]</math> द्वारा दिया गया है। संबंधित <math>S[\Lambda]</math>को परिभाषित करने में कुछ सूक्ष्मताएं हैं, साथ ही संकेतन का एक मानक दुरुपयोग भी है। | ||
अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | अधिकांश उपचार लाई बीजगणित स्तर पर होते हैं। अधिक विस्तृत उपचार के लिए लोरेंत्ज़ समूह लाई बीजगणित देखें। लोरेंत्ज़ समूह <math>4 \times 4</math> ''वास्तविक'' आव्यूह <math>\mathbb{R}^{1,3}</math>अभिनय कर रहे हैं छह आव्यूह <math>\{M^{\mu\nu}\}</math> के समुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है घटकों के साथ | ||
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यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित | यह अंकन का दुरुपयोग है, लेकिन मानक है। इसका कारण यह है कि <math>S[\Lambda]</math>, <math>\Lambda</math> का अच्छी तरह से सुपरिभाषित फलन नहीं है, क्योंकि घटकों <math>\omega_{\mu\nu}</math> के दो अलग-अलग समुच्चय हैं (समतुल्यता तक) जो एक ही <math>\Lambda</math> देते हैं लेकिन अलग-अलग <math>S[\Lambda]</math> देते हैं। व्यवहार में हम स्पष्ट रूप से इनमें से <math>\omega_{\mu\nu}</math> चुनते हैं और फिर <math>S[\Lambda]</math> है <math>\omega_{\mu\nu}.</math>के संदर्भ में अच्छी तरह से परिभाषित | ||
लोरेंत्ज़ परिवर्तन के | लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुसार, डिराक समीकरण | ||
<math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | <math display="block">i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)</math> | ||
बन जाता है | बन जाता है | ||
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}} | }} | ||
लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि रूपांतरण के | लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि रूपांतरण के अनुसार समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं <math>T^{\mu\nu}</math> का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अतिरिक्त तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है। | ||
== ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | == ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | ||
| Line 185: | Line 185: | ||
पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | पॉल डिराक द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित रूप में डिराक समीकरण है:<ref>{{cite book |last=Dirac |first=Paul A.M. |title=क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत|edition=4th |page=255 |publisher=Oxford University Press |series=International Series of Monographs on Physics |orig-year=1958 |year=1982 |isbn=978-0-19-852011-5}}</ref> | ||
<math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | <math display="block">\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t} </math> | ||
जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} स्पेसटाइम निर्देशांक {{math|''x'', ''t''}} के साथ निश्चर द्रव्यमान {{math|''m''}} के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है। {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>}} संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। इसके | जहाँ {{math|''ψ''(''x'', ''t'')}} स्पेसटाइम निर्देशांक {{math|''x'', ''t''}} के साथ निश्चर द्रव्यमान {{math|''m''}} के इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन है। {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>}} संवेग के घटक हैं, जिन्हें श्रोडिंगर समीकरण में संवेग संचालक समझा जाता है। इसके अतिरिक्त, {{math|''c''}} [[प्रकाश की गति]] है, और {{math|''ħ''}} घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। ये मौलिक [[भौतिक स्थिरांक]] क्रमशः विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को दर्शाते हैं। | ||
इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | इस समीकरण को बनाने में डिराक का उद्देश्य सापेक्ष रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन के व्यवहार को समझाना था, और इस प्रकार परमाणु को सापेक्षता के अनुरूप तरीके से व्यवहार करने की अनुमति देना था। उनकी मामूली आशा यह थी कि इस तरह से पेश किए गए सुधारों का [[परमाणु स्पेक्ट्रा]] की समस्या पर असर पड़ सकता है। | ||
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जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | जो कहता है कि इस चार-सदिश की लंबाई शेष द्रव्यमान {{math|''m''}} के समानुपाती होती है, श्रोडिंगर सिद्धांत से ऊर्जा और गति के ऑपरेटर समकक्षों को प्रतिस्थापित करने से क्लेन-गॉर्डन समीकरण उत्पन्न होता है जो सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय वस्तुओं से निर्मित तरंगों के प्रसार का वर्णन करता है, | ||
<math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | <math display="block">\left(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi </math> | ||
तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: समिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी कार्यानुकूल में समान संख्यात्मक मान होता है। समष्टि और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम अक्रमतः से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को | तरंग फलन के साथ {{math|''ϕ''}} सापेक्ष अदिश राशि होना: समिश्र संख्या जिसका संदर्भ के सभी कार्यानुकूल में समान संख्यात्मक मान होता है। समष्टि और समय व्युत्पन्न दोनों दूसरे क्रम में प्रवेश करते हैं। समीकरण की व्याख्या के लिए इसका स्पष्ट परिणाम है। चूँकि समीकरण समय व्युत्पन्न में दूसरे क्रम का है, इसलिए निश्चित समस्याओं को हल करने के लिए किसी को तरंग फलन और उसके पहले समय-व्युत्पन्न दोनों के प्रारंभिक मान निर्दिष्ट करने होंगे। चूंकि दोनों को अधिक या कम अक्रमतः से निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए तरंग फलन गति की दी गई स्थिति में इलेक्ट्रॉन को खोजने की संभाव्यता घनत्व फलन को निर्धारित करने की अपनी पूर्व भूमिका को निरंतर नहीं रख सकता है। श्रोडिंगर सिद्धांत में, संभाव्यता घनत्व घनात्मक निश्चित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है | ||
<math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | <math display="block">\rho = \phi^*\phi </math> | ||
और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | और यह घनत्व संभाव्यता धारा सदिश के अनुसार संवहित होता है | ||
| Line 225: | Line 225: | ||
निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता विद्युत प्रवाह और घनत्व के संरक्षण के साथ: | निरंतरता समीकरण से निम्नलिखित संभाव्यता विद्युत प्रवाह और घनत्व के संरक्षण के साथ: | ||
<math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | <math display="block">\nabla\cdot J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0~.</math> | ||
तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई निश्चित प्रांत पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घनत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और विद्युत प्रवाह की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए | तथ्य यह है कि घनत्व घनात्मक-निश्चित फलन है और इस निरंतरता समीकरण के अनुसार संवहन का अर्थ है कि कोई निश्चित प्रांत पर घनत्व को एकीकृत कर सकता है और कुल 1 पर समुच्चय कर सकता है, और यह स्थिति [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] द्वारा बनाए रखी जाएगी। संभाव्यता घनत्व धारा के साथ उचित सापेक्षतावादी सिद्धांत को भी इस सुविधा को साझा करना चाहिए। संवहित घनत्व की धारणा को बनाए रखने के लिए, किसी को घनत्व और विद्युत प्रवाह की श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को सामान्य बनाना चाहिए जिससे कि समष्टि और समय व्युत्पन्न फिर से अदिश तरंग फलन के संबंध में सममित रूप से प्रवेश कर सकें। श्रोडिंगर अभिव्यक्ति को विद्युत प्रवाह के लिए रखा जा सकता है, लेकिन संभाव्यता घनत्व को सममित रूप से गठित अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए | ||
<math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | <math display="block">\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .</math> | ||
जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-विद्युत प्रवाह घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-विद्युत प्रवाह घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | ||
<math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | <math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | ||
निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार ऋणात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस धारणा के | निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार ऋणात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस धारणा के अनुसार श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है। | ||
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व समझा जाता है। | यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व समझा जाता है। | ||
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साथ | साथ | ||
<math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | <math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | ||
डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से | डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से सम्मिलित था, तुरंत समझ गया कि इन शर्तों को पूरा किया जा सकता है यदि {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} और {{math|''D''}} आव्यूह हैं, इस निहितार्थ के साथ कि तरंग फलन में कई घटक होते हैं। इसने पॉली के प्रचक्रण (भौतिकी) के घटनात्मक सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन की उपस्थिति को तुरंत समझाया, कुछ ऐसा जो तब तक रहस्यमय माना जाता था, यहां तक कि खुद पॉली के लिए भी। हालाँकि, किसी को कम से कम चाहिए {{nowrap|4 × 4}} आवश्यक गुणों के साथ प्रणाली स्थापित करने के लिए आव्यूह - इसलिए तरंग फलन में चार घटक थे, दो नहीं, जैसा कि पाउली सिद्धांत में था, या एक, जैसा कि अरक्षित श्रोडिंगर सिद्धांत में था। चार-घटक तरंग फलन भौतिक सिद्धांतों में गणितीय वस्तु के नए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जो यहां पहली बार दिखाई देता है। | ||
इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत समीकरण लिख सकता है | इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत समीकरण लिख सकता है | ||
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}} | }} | ||
जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मान पर [[आइंस्टीन संकेतन]] है {{math|''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}, और {{math|∂<sub>''μ''</sub>}} 4-प्रवणता है। व्यवहार में कोई | जहां दो बार दोहराए गए सूचकांक के मान पर [[आइंस्टीन संकेतन]] है {{math|''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}, और {{math|∂<sub>''μ''</sub>}} 4-प्रवणता है। व्यवहार में कोई अधिकांशतः गामा आव्यूह को पाउली आव्यूह और 2 × 2 तत्समकआव्यूह से लिए गए 2 × 2 उप-आव्यूह के संदर्भ में लिखता है। स्पष्ट रूप से गामा आव्यूह आधार है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad | ||
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<math>{\partial\!\!\!/} \mathrel{\stackrel{\mathrm{def}}{=}} \gamma^\mu \partial_\mu</math> (<math>{\partial\!\!\!\big /}</math> इसका उच्चारण डी-स्लैश है) का उपयोग करते हुए,<ref>{{cite book |last=Pendleton |first=Brian |url=http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/qt/rqt.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/qt/rqt.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=क्वांटम सिद्धांत|year=2012–2013 |at=section 4.3 "The Dirac Equation"}}</ref> फेनमैन स्लैश अंकन के अनुसार, डिराक समीकरण बन जाता है: | <math>{\partial\!\!\!/} \mathrel{\stackrel{\mathrm{def}}{=}} \gamma^\mu \partial_\mu</math> (<math>{\partial\!\!\!\big /}</math> इसका उच्चारण डी-स्लैश है) का उपयोग करते हुए,<ref>{{cite book |last=Pendleton |first=Brian |url=http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/qt/rqt.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/qt/rqt.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=क्वांटम सिद्धांत|year=2012–2013 |at=section 4.3 "The Dirac Equation"}}</ref> फेनमैन स्लैश अंकन के अनुसार, डिराक समीकरण बन जाता है: | ||
<math display="block">i \hbar {\partial\!\!\!\big /} \psi - m c \psi = 0 \,.</math> | <math display="block">i \hbar {\partial\!\!\!\big /} \psi - m c \psi = 0 \,.</math> | ||
व्यवहार में, भौतिक विज्ञानी | व्यवहार में, भौतिक विज्ञानी अधिकांशतः माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं जैसे कि {{math|''ħ'' {{=}} ''c'' {{=}} 1}}, प्राकृतिक इकाइयों के रूप में जाना जाता है। तब समीकरण सरल रूप ले लेता है | ||
{{Equation box 1 | {{Equation box 1 | ||
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इसके अपरिवर्तनीय होने के लिए, [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] को [[ टेन्सर |टेन्सर]] होना चाहिए, और इसलिए इसमें एक कारक होना चाहिए {{math|{{sqrt|''g''}}}}, जहाँ {{math|''g''}} [[मीट्रिक टेंसर]] का निर्धारक है। चूँकि यह ऋणात्मक है, वह बात काल्पनिक है। इस प्रकार | इसके अपरिवर्तनीय होने के लिए, [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] को [[ टेन्सर |टेन्सर]] होना चाहिए, और इसलिए इसमें एक कारक होना चाहिए {{math|{{sqrt|''g''}}}}, जहाँ {{math|''g''}} [[मीट्रिक टेंसर]] का निर्धारक है। चूँकि यह ऋणात्मक है, वह बात काल्पनिक है। इस प्रकार | ||
<math display="block">V = i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .</math> | <math display="block">V = i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .</math> | ||
इस आव्यूह को विशेष चिन्ह दिया गया है {{math|''γ''<sup>5</sup>}}, इसके महत्व के कारण जब कोई समष्टि-समय के अनुचित परिवर्तनों पर विचार कर रहा है, | इस आव्यूह को विशेष चिन्ह दिया गया है {{math|''γ''<sup>5</sup>}}, इसके महत्व के कारण जब कोई समष्टि-समय के अनुचित परिवर्तनों पर विचार कर रहा है, अर्थात, जो आधार सदिश के अभिविन्यास को बदलते हैं। मानक प्रतिनिधित्व में, यह है | ||
<math display="block">\gamma_5 = \begin{pmatrix} 0 & I_{2} \\ I_{2} & 0 \end{pmatrix}.</math> | <math display="block">\gamma_5 = \begin{pmatrix} 0 & I_{2} \\ I_{2} & 0 \end{pmatrix}.</math> | ||
यह आव्यूह अन्य चार डिराक आव्यूह के साथ एंटीकम्यूट के लिए भी पाया जाएगा: | यह आव्यूह अन्य चार डिराक आव्यूह के साथ एंटीकम्यूट के लिए भी पाया जाएगा: | ||
<math display="block">\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0</math> | <math display="block">\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0</math> | ||
जब ''समता'' (भौतिकी) के प्रश्न उठते हैं तो यह अग्रणी भूमिका निभाता है क्योंकि निर्देशित परिमाण के रूप में आयतन तत्व समष्टि-समय प्रतिबिंब के | जब ''समता'' (भौतिकी) के प्रश्न उठते हैं तो यह अग्रणी भूमिका निभाता है क्योंकि निर्देशित परिमाण के रूप में आयतन तत्व समष्टि-समय प्रतिबिंब के अनुसार संकेत बदलता है। इस प्रकार ऊपर घनात्मक वर्गमूल लेने का मतलब स्पेसटाइम पर हैंडनेस परंपरा को चुनना है। | ||
== संबंधित सिद्धांतों के साथ तुलना == | == संबंधित सिद्धांतों के साथ तुलना == | ||
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{{See also|पाउली समीकरण}} | {{See also|पाउली समीकरण}} | ||
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को प्रारंभ करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को मजबूत अमानवीय [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो परमाणुओं के आंतरिक कोणीय गति के आधार पर {{math|''N''}} भागों में विभाजित हो जाता है। यह पाया गया | आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को प्रारंभ करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को मजबूत अमानवीय [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो परमाणुओं के आंतरिक कोणीय गति के आधार पर {{math|''N''}} भागों में विभाजित हो जाता है। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए मूल अवस्था [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}}। निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति {{frac|1|2}} होती है। वोल्फगैंग पाउली ने सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-चिरसम्मत युग्मन को लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में [[यूक्लिडियन सदिश]] दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की समष्टि [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] {{math|''A''<sub>''μ''</sub>}} को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>A_\mu = (\phi/c,-\mathbf A)</math>।) | ||
<math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | <math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | ||
यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ | यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | ||
<math display="block">H = \frac{1}{2m}\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 + e\phi - \frac{e\hbar}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B} ~.</math> | <math display="block">H = \frac{1}{2m}\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2 + e\phi - \frac{e\hbar}{2m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B} ~.</math> | ||
यह हैमिल्टनियन अब एक | यह हैमिल्टनियन अब एक {{nowrap|2 × 2}} आव्यूह है, इसलिए इस पर आधारित श्रोडिंगर समीकरण को दो-घटक तरंग फलन का उपयोग करना चाहिए। बाहरी विद्युत चुम्बकीय 4-सदिश क्षमता को डायराक समीकरण में समान तरीके से पेश करने पर, जिसे [[न्यूनतम युग्मन]] के रूप में जाना जाता है, यह रूप लेता है: | ||
<math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | <math display="block">\left(\gamma^\mu(i\hbar\partial_\mu - eA_\mu) - mc\right) \psi = 0 ~.</math> | ||
डिराक ऑपरेटर का दूसरा अनुप्रयोग अब पाउली शब्द को बिल्कुल पहले की तरह पुन: पेश करेगा, क्योंकि स्थानिक डिराक आव्यूह को | |||