अभाज्य-गणना फलन: Difference between revisions

Revision as of 13:56, 11 July 2023

गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करता है।^[1]^[2] द्वारा दर्शाया जाता है $π$ (x) (pi|number से असंबंधित $π$ ).

के मान

π

(एन) पहले 60 सकारात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्रधान-गणना समारोह का स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है।^[3]^[4] 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए।

{\frac {x}{\log(x)}}

जहाँ log प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में कि

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.

यह कथन प्रधान संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1

जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डी ला वल्ली पुसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा पेश किए गए रीमैन जीटा फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फ़ंक्शन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के आसपास एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।^[5]

अधिक सटीक अनुमान

1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वल्ली पुसिन | डे ला वल्ली पौसिन ने साबित किया कि ^[6]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए

a

. यहाँ,

O (...)

बिग ओ नोटेशन है|बड़ा

O

अंकन।

का अधिक सटीक अनुमान $\pi (x)\!$ अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह साबित कर दिया^[7]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).

Mossinghoff और Trudgian साबित हुए^[8] के बीच के अंतर के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा

\pi (x)

और

\operatorname {li} (x)

:

{\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)

के लिए

x\geq 229

.

के मूल्यों के लिए $x$ जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$ से बड़ा है $\pi (x)$ . हालाँकि, $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ अनगिनत बार राशि बदलने के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए Skewes' number देखें।

सटीक रूप

के लिए $x>1$ होने देना $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ कब $x$ प्रमुख संख्या है, और $\pi _{0}(x)=\pi (x)$ अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर में यह साबित किया $\pi _{0}(x)$ के बराबर है^[9]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),

कहाँ

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),

μ (n)

मोबियस समारोह है,

li(x)

लघुगणक समाकल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और

li(x ρ/n)

शाखा कटौती के साथ मूल्यांकन नहीं किया जाता है बल्कि इसके बजाय माना जाता है

Ei(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ρ/n log x)

कहाँ

Ei(x)

घातीय अभिन्न है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल गैर-तुच्छ शून्यों ρ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के ऊपर लिया जाता है, तो

\pi _{0}(x)

द्वारा अनुमानित किया जा सकता है^[10]

\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.

रीमैन परिकल्पना बताती है कि ऐसा हर गैर-तुच्छ शून्य साथ में होता है

Re(s) = 1 / 2

.

की तालिका $π$ (एक्स), एक्स / लॉग एक्स, और ली (एक्स)

तालिका दिखाती है कि तीनों कैसे कार्य करते हैं $π$ (एक्स), एक्स / लॉग एक्स और ली (एक्स) 10 की शक्तियों की तुलना करें। यह भी देखें,^[3]^[11] और^[12]

x	$π$ (x)	$π$ (x) − x / log x	li(x) − $π$ (x)	x / $π$ (x)	x / log x % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
10²	25	3	5	4.000	13.14%
10³	168	23	10	5.952	13.83%
10⁴	1,229	143	17	8.137	11.66%
10⁵	9,592	906	38	10.425	9.45%
10⁶	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
10⁷	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
10¹⁸	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
10²¹	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
10²²	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
10²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
10²⁴	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
10²⁵	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
10²⁶	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
10²⁷	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
10²⁸	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
10²⁹	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़

π

(x) इसके दो अनुमानों के लिए, x/log x और Li(x)। जैसे ही x बढ़ता है (ध्यान दें x अक्ष लॉगरिदमिक है), दोनों अनुपात 1 की ओर झुकते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे अभिसरित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से अभिसरित होता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, $π$ (x) स्तंभ अनुक्रम है OEIS: A006880, $π$ (x) − x/log x अनुक्रम है OEIS: A057835, और li(x) − $π$ (x) अनुक्रम है OEIS: A057752.

के लिए मूल्य $π$ (10²⁴) मूल रूप से जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे द्वारा गणना की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए।^[13]

इसे बाद में डीजे प्लैट द्वारा गणना में बिना शर्त सत्यापित किया गया था।^[14]

के लिए मूल्य $π$ (10²⁵) जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग।^[15] के लिए मूल्य $π$ (10²⁶) की गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।^[16] इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10 का मान²⁷ की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क ने की थी।^[17]

10 का मान²⁸ की घोषणा 2020 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।^[18]

10 का मान²⁹ की घोषणा 2022 में डेविड बॉ और किम वालिश ने की थी।^[19]

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम $π$ (एक्स)

खोजने का सरल तरीका $\pi (x)$ , अगर $x$ बहुत बड़ा नहीं है, एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करने के लिए कम या उसके बराबर अभाज्य संख्या का उत्पादन करने के लिए है $x$ और फिर उन्हें गिनने के लिए।

खोजने का और विस्तृत तरीका $\pi (x)$ एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (शामिल-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $x$ , अगर $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर है $x$ जो संख्या से विभाज्य हैं $p_{i}$ है

\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots

(कहाँ $\lfloor {x}\rfloor$ फर्श समारोह को दर्शाता है)। यह संख्या इसलिए के बराबर है

\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1

जब संख्याएँ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ के वर्गमूल से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ हैं $x$ .

मीसेल-लेहमर एल्गोरिथम

1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन का व्यावहारिक दहनशील तरीका वर्णित (और उपयोग किया) $\pi (x)$ . होने देना $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ पहले रहो $n$ primes और द्वारा निरूपित करें $\Phi (m,n)$ से अधिक नहीं प्राकृतिक संख्या की संख्या $m$ जो संख्या से विभाज्य हैं $p_{i}$ कहाँ $i\leq n$ . तब

\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).

प्राकृतिक संख्या दी गई है $m$ , अगर $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$ और अगर $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$ , तब

\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मेसेल ने गणना की $\pi (x)$ , के लिए $x$ 5 के बराबर×10⁵, 10⁶, 10⁷, और 10⁸.

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की विधि का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तविक के लिए परिभाषित करें $m$ और प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ और $k$ , $P_{k}(m,n)$ क्योंकि संख्याओं की संख्या m से अधिक नहीं है, ठीक k अभाज्य कारकों के साथ, सभी से अधिक $p_{n}$ . इसके अलावा, सेट करें $P_{0}(m,n)=1$ . तब

\Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)

जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना $y$ पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि ${\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}$ , और सेट करें $n=\pi (y)$ . तब $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ और $P_{k}(m,n)=0$ कब $k\geq 3$ . इसलिए,

\pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)

की गणना $P_{2}(m,n)$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right),

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $\Phi (m,n)$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

$\Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor$
$\Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)$

अपनी पद्धति और IBM 701 का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था $\pi \left(10^{9}\right)$ और का सही मान चूक गए $\pi \left(10^{10}\right)$ द्वारा 1.^[20]

इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलिग्लिस और रिवाट द्वारा किए गए थे।^[21]

प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र

प्राइम-गिनती कार्यों के सूत्र दो प्रकार में आते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग किया गया था। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन) के रूप में जाने जाते हैं।^[22]

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),

कहाँ

\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.

यहाँ ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में Riemann zeta फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहाँ ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त अभिसरण है, और काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम वापस लेना देता है।

के लिए $\Pi _{0}(x)$ हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.

जीटा फ़ंक्शन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्यों का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र

फिर से, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित जीटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्य पर श्रृंखला के बराबर है:

\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})

पहला शब्द ली (एक्स) सामान्य लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन है; अभिव्यक्ति ली (एक्स^ρ) को दूसरे टर्म में Ei(ρ log x) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei पॉजिटिव रियल के साथ ब्रांच कट के साथ नेगेटिव रियल से कॉम्प्लेक्स प्लेन तक एक्सपोनेंशियल इंटीग्रल फंक्शन का विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस उलटा सूत्र हमें देता है^[10]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})

x> 1 के लिए मान्य है, जहाँ

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}

रीमैन का आर-फंक्शन हैCite error: Closing </ref> missing for <ref> tag^[23] जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी शून्य सरल हैं,^{[note 1]} वह

\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}

कहाँ $\rho$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों पर चलता है और $t>0$ .

के लिए सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य पर योग $\pi _{0}(x)$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $\pi _{0}(x),$ जबकि शेष शर्तें प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का सहज भाग देती हैं,^[24] तो कोई उपयोग कर सकता है

\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})

अच्छे अनुमानक के रूप में $\pi (x)$ x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 की ओर अग्रसर होता है $x\to \infty$ , जबकि शोर वाले हिस्से का आयाम अनुमान के अनुसार है ${\sqrt {x}}/\log x,$ आकलन $\pi (x)$ द्वारा $\operatorname {R} (x)$ अकेला ही उतना ही अच्छा है, और प्राइम्स के वितरण के उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

{\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.

असमानताएं

यहाँ कुछ उपयोगी असमानताएँ हैं $π$ (एक्स)।

{\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}

एक्स ≥ 17 के लिए।

बाईं असमानता x ≥ 17 के लिए मान्य है और दाईं असमानता x > 1 के लिए मान्य है। स्थिरांक 1.25506 है ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$ x = 113 पर इसका अधिकतम मान है।^[25]

2010 में पियरे डसार्ड ने साबित किया:

{\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)

के लिए

x\geq 5393

, और

\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}

के लिए

x\geq 60184

.^[26]

यहाँ nवें अभाज्य, p के लिए कुछ असमानताएँ हैं_n. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,^[27] द लोअर टू डसार्ट (1999):^[28]

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ एन ≥ 6 के लिए।

n ≥ 2 के लिए बाएँ असमिका लागू होती है और n ≥ 6 के लिए दाएँ असमिका लागू होती है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए सन्निकटन है

p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).

श्रीनिवास रामानुजन^[29] असमानता को सिद्ध किया

\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)

के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है $x$ .

में ^[26] दुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए $n\geq 688383$ ,

p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),

और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए

n\geq 3

,

p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).

अभी हाल ही में, दुसार्ट^[30]

सिद्ध किया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $x>1$ ,

\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)

,

और वह, के लिए $x\geq 88789$ ,

\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बाध्यता से है $\pi (x)$ , और इसलिए अभाज्य संख्याओं के अधिक नियमित वितरण के लिए,

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).

विशेष रूप से,^[31]

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.

यह भी देखें

फोआस स्थिर
बर्ट्रेंड का अभिधारणा
ओपरमैन का अनुमान
रामानुजन प्राइम

संदर्भ

↑ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5.
↑ Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function". MathWorld.
↑ ^3.0 ^3.1 "How many primes are there?". Chris K. Caldwell. Archived from the original on 2012-10-15. Retrieved 2008-12-02.
↑ Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.
↑ Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
↑ See also Theorem 23 of A. E. Ingham (2000). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39789-8.
↑ Kevin Ford (November 2002). "Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function" (PDF). Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655. S2CID 121144007.
↑ Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). "Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function". J. Number Theory. 157: 329–349. arXiv:1410.3926. doi:10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID 117968965.
↑ Hutama, Daniel (2017). "Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage" (PDF). Institut des sciences mathématiques.
↑ ^10.0 ^10.1 Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970). "Some calculations related to Riemann's prime number formula" (PDF). Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 24 (112): 969–983. doi:10.2307/2004630. ISSN 0025-5718. JSTOR 2004630. MR 0277489.
↑ "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)". Tomás Oliveira e Silva. Retrieved 2008-09-14.
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↑ Baugh, David (Oct 26, 2020). "New confirmed pi(10^28) prime counting function record". OEIS.
↑ Baugh, David (Feb 28, 2022). "New confirmed pi(10^29) prime counting function record". OEIS.
↑ Lehmer, Derrick Henry (April 1, 1958). "ON THE EXACT NUMBER OF PRIMES LESS THAN A GIVEN LIMIT". Illinois J. Math. 3 (3): 381–388. Retrieved February 1, 2017.
↑ Marc Deleglise; Joel Rivat (January 1996). "कम्प्यूटिंग $π$ [[Category: Templates Vigyan Ready]](x): मीसेल, लेह्मर, लागरियास, मिलर, ओडलिज़को विधि" (PDF). Mathematics of Computation. 65 (213): 235–245. doi:10.1090/S0025-5718-96-00674-6. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)</रेफरी>
अन्य प्राइम-गिनती कार्य

अन्य प्राइम-गिनती कार्यों का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि वे काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं। एक रीमैन का प्राइम-पॉवर काउंटिंग फंक्शन है, जिसे आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $\Pi _{0}(x)$ या $J_{0}(x)$ . इसमें प्राइम पावर पी के लिए 1/एन की छलांग हैⁿ, जिसमें यह असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते पर मान लेता है। उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फ़ंक्शन को व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $\Pi _{0}(x)$ द्वारा

$\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)$

जहां पी एक प्रमुख है।
हम भी लिख सकते हैं

$\Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}$

कहाँ $\Lambda (n)$ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है और

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : $\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.$

मोबियस उलटा सूत्र तब देता है

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}$

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन के बीच संबंध को जानना $\Lambda$ , और हमारे पास पेरोन सूत्र का उपयोग करना

$\log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx$

चेबीशेव समारोह प्राइम्स या प्राइम पॉवर्स पी को वेट करता हैⁿ by log(p):

$\theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

$\psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).$

चेबिशेव समारोह के साथ संबंध

के लिए $x\geq 2$ ,
$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}dt$ और
$\pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (x)}{t\log ^{2}(t)}}dt$ .<ref>Apostol, Tom M. (2010). Introduction to Analytic Number Theory. Springer.
↑ Titchmarsh, E.C. (1960). The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford University Press.
↑ Weisstein, Eric W. "Gram Series". MathWorld.</ रेफ> क्योंकि $\log(x)<x$ सभी के लिए $x>0$ , यह श्रृंखला के लिए श्रृंखला के साथ तुलना करके सभी धनात्मक x के लिए अभिसरण करती है $e^{x}$ . गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए $\rho \log x$ और नहीं $\log x^{\rho }$ . लोकमार बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<ref>Bornemann, Folkmar. "Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel" (PDF).
↑ "The encoding of the prime distribution by the zeta zeros". Matthew Watkins. Retrieved 2008-09-14.
↑ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois J. Math. 6: 64–94. doi:10.1215/ijm/1255631807. ISSN 0019-2082. Zbl 0122.05001.
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↑ Dusart, Pierre (1999). "The $k$ th prime is greater than $k(\ln k+\ln \ln k-1)$ for $k\geq 2$ ". Mathematics of Computation. 68 (225): 411–415. doi:10.1090/S0025-5718-99-01037-6.
↑ Berndt, Bruce C. (2012-12-06). Ramanujan's Notebooks, Part IV (in English). Springer Science & Business Media. pp. 112–113. ISBN 9781461269328.
↑ Dusart, Pierre (January 2018). "Explicit estimates of some functions over primes". Ramanujan Journal. 45 (1): 225–234. doi:10.1007/s11139-016-9839-4. S2CID 125120533.
↑ Schoenfeld, Lowell (1976). "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 30 (134): 337–360. doi:10.2307/2005976. ISSN 0025-5718. JSTOR 2005976. MR 0457374.

बाहरी संबंध

Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.

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[Dickson-4] Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.

[Ireland-5] Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.

[6] See also Theorem 23 of A. E. Ingham (2000). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39789-8.

[Ford-7] Kevin Ford (November 2002). "Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function" (PDF). Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655. S2CID 121144007.

[8] Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). "Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function". J. Number Theory. 157: 329–349. arXiv:1410.3926. doi:10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID 117968965.

[9] Hutama, Daniel (2017). "Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage" (PDF). Institut des sciences mathématiques.

[RieselGohl-10] 10.0 ^10.1 Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970). "Some calculations related to Riemann's prime number formula" (PDF). Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 24 (112): 969–983. doi:10.2307/2004630. ISSN 0025-5718. JSTOR 2004630. MR 0277489.

[Silva-11] "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)". Tomás Oliveira e Silva. Retrieved 2008-09-14.

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[PlattARXIV2012-14] Platt, David J. (2012). "Computing $π$ (x) Analytically)". arXiv:1203.5712 [math.NT].

[Buethe-15] "How Many Primes Are There?". J. Buethe. Retrieved 2015-09-01.

[Staple-16] Staple, Douglas (19 August 2015). The combinatorial algorithm for computing pi(x) (Thesis). Dalhousie University. Retrieved 2015-09-01.

[17] Walisch, Kim (September 6, 2015). "New confirmed pi(10^27) prime counting function record". Mersenne Forum.

[18] Baugh, David (Oct 26, 2020). "New confirmed pi(10^28) prime counting function record". OEIS.

[19] Baugh, David (Feb 28, 2022). "New confirmed pi(10^29) prime counting function record". OEIS.

[lehmer-20] Lehmer, Derrick Henry (April 1, 1958). "ON THE EXACT NUMBER OF PRIMES LESS THAN A GIVEN LIMIT". Illinois J. Math. 3 (3): 381–388. Retrieved February 1, 2017.

[pix_comp-21] Marc Deleglise; Joel Rivat (January 1996). "कम्प्यूटिंग $π$ [[Category: Templates Vigyan Ready]](x): मीसेल, लेह्मर, लागरियास, मिलर, ओडलिज़को विधि" (PDF). Mathematics of Computation. 65 (213): 235–245. doi:10.1090/S0025-5718-96-00674-6. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)</रेफरी>
अन्य प्राइम-गिनती कार्य

अन्य प्राइम-गिनती कार्यों का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि वे काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं। एक रीमैन का प्राइम-पॉवर काउंटिंग फंक्शन है, जिसे आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $\Pi _{0}(x)$ या $J_{0}(x)$ . इसमें प्राइम पावर पी के लिए 1/एन की छलांग हैⁿ, जिसमें यह असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते पर मान लेता है। उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फ़ंक्शन को व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $\Pi _{0}(x)$ द्वारा

$\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)$

जहां पी एक प्रमुख है।
हम भी लिख सकते हैं

$\Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}$

कहाँ $\Lambda (n)$ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है और

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : $\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.$

मोबियस उलटा सूत्र तब देता है

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}$

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन के बीच संबंध को जानना $\Lambda$ , और हमारे पास पेरोन सूत्र का उपयोग करना

$\log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx$

चेबीशेव समारोह प्राइम्स या प्राइम पॉवर्स पी को वेट करता हैⁿ by log(p):

$\theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

$\psi (x)=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).$

चेबिशेव समारोह के साथ संबंध

के लिए $x\geq 2$ ,
$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}dt$ और
$\pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (x)}{t\log ^{2}(t)}}dt$ .<ref>Apostol, Tom M. (2010). Introduction to Analytic Number Theory. Springer.

[Titchmarsh-22] Titchmarsh, E.C. (1960). The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford University Press.

[mathworld_gram-23] Weisstein, Eric W. "Gram Series". MathWorld.</ रेफ> क्योंकि $\log(x)<x$ सभी के लिए $x>0$ , यह श्रृंखला के लिए श्रृंखला के साथ तुलना करके सभी धनात्मक x के लिए अभिसरण करती है $e^{x}$ . गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए $\rho \log x$ और नहीं $\log x^{\rho }$ . लोकमार बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<ref>Bornemann, Folkmar. "Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel" (PDF).

[Watkins-25] "The encoding of the prime distribution by the zeta zeros". Matthew Watkins. Retrieved 2008-09-14.

[26] Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962). "Approximate formulas for some functions of prime numbers". Illinois J. Math. 6: 64–94. doi:10.1215/ijm/1255631807. ISSN 0019-2082. Zbl 0122.05001.

[Dusart2010-27] 26.0 ^26.1 Dusart, Pierre (2 Feb 2010). "Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.". arXiv:1002.0442v1 [math.NT].

[28] Rosser, Barkley (1941). "Explicit bounds for some functions of prime numbers". American Journal of Mathematics. 63 (1): 211–232. doi:10.2307/2371291. JSTOR 2371291.

[29] Dusart, Pierre (1999). "The $k$ th prime is greater than $k(\ln k+\ln \ln k-1)$ for $k\geq 2$ ". Mathematics of Computation. 68 (225): 411–415. doi:10.1090/S0025-5718-99-01037-6.

[30] Berndt, Bruce C. (2012-12-06). Ramanujan's Notebooks, Part IV (in English). Springer Science & Business Media. pp. 112–113. ISBN 9781461269328.

[31] Dusart, Pierre (January 2018). "Explicit estimates of some functions over primes". Ramanujan Journal. 45 (1): 225–234. doi:10.1007/s11139-016-9839-4. S2CID 125120533.

[32] Schoenfeld, Lowell (1976). "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 30 (134): 337–360. doi:10.2307/2005976. ISSN 0025-5718. JSTOR 2005976. MR 0457374.

[24] Montgomery showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.

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 <math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math>
 जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में [[जैक्स हैडमार्ड]] और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डी ला वल्ली पुसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में [[बर्नहार्ड रीमैन]] द्वारा पेश किए गए [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फ़ंक्शन या [[जटिल विश्लेषण]] का उपयोग 1948 के आसपास [[एटले सेलबर्ग]] और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।<ref name="Ireland">{{cite book | first=Kenneth | last=Ireland |author2=Rosen, Michael | year=1998 | title=A Classical Introduction to Modern Number Theory  | edition=Second | publisher=Springer | isbn=0-387-97329-X }}</ref>
 === अधिक सटीक अनुमान ===
 में, चार्ल्स जीन डे ला वल्ली पुसिन | डे ला वल्ली पौसिन ने साबित किया कि
@@ Line 25: / Line 23: @@
 का अधिक सटीक अनुमान <math>\pi(x)\!</math> अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, [[केविन फोर्ड (गणितज्ञ)]] ने यह साबित कर दिया<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function |journal=Proc. London Math. Soc. |date=November 2002 |volume=85 |issue=3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007 }}</ref>
 <math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right).</math>
-Mossinghoff और Trudgian साबित हुए<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff  | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function | journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref> के बीच के अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math>:
+Mossinghoff और Trudgian साबित हुए<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff  | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function | journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref> के बीच के अंतर के लिए  स्पष्ट ऊपरी सीमा <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math>:
 <math display=block>\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)</math>
 के लिए <math>x \ge 229</math>.
@@ Line 33: / Line 31: @@
 === सटीक रूप ===
-के लिए <math>x>1</math> होने देना <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> कब <math>x</math> एक प्रमुख संख्या है, और <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम [[किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर]] में यह साबित किया <math>\pi_0(x)</math> के बराबर है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref>
+के लिए <math>x>1</math> होने देना <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> कब <math>x</math>  प्रमुख संख्या है, और <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम [[किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर]] में यह साबित किया <math>\pi_0(x)</math> के बराबर है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref>
 <math display=block>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math>
 कहाँ
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 के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>24</sup>) मूल रूप से जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे द्वारा गणना की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए।<ref name="Franke">{{cite web |title=Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>) |url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html |publisher=Chris K. Caldwell |access-date=2010-08-03}}</ref>
 इसे बाद में डीजे प्लैट द्वारा गणना में बिना शर्त सत्यापित किया गया था।<ref name="PlattARXIV2012">{{cite arXiv |title=Computing {{pi}}(''x'') Analytically) |eprint=1203.5712|last1= Platt|first1=David J.|class=math.NT|year=2012}}</ref>
 के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>25</sup>) जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग।<ref name="Buethe">{{cite web |title=How Many Primes Are There? |url=http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html |publisher=J. Buethe |access-date=2015-09-01}}</ref> के लिए मूल्य {{pi}}(10<sup>26</sup>) की गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।<ref name="Staple">{{cite thesis |title=The combinatorial algorithm for computing pi(x) |date=19 August 2015 |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |publisher=Dalhousie University |access-date=2015-09-01|type=Thesis |last1=Staple |first1=Douglas }}</ref> इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।
 का मान<sup>27</sup> की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क ने की थी।<ref>{{cite web|website=Mersenne Forum|first=Kim |last=Walisch|title=New confirmed pi(10^27) prime counting function record|date=September 6, 2015|url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473}}</ref>
 का मान<sup>28</sup> की घोषणा 2020 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Oct 26, 2020 |title=New confirmed pi(10^28) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
 का मान<sup>29</sup> की घोषणा 2022 में डेविड बॉ और किम वालिश ने की थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Feb 28, 2022 |title=New confirmed pi(10^29) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>
 == मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम {{pi}}(एक्स) ==
-खोजने का एक सरल तरीका <math>\pi(x)</math>, अगर <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है, [[एराटोस्थनीज की छलनी]] का उपयोग करने के लिए कम या उसके बराबर अभाज्य संख्या का उत्पादन करने के लिए है <math>x</math> और फिर उन्हें गिनने के लिए।
+खोजने का  सरल तरीका <math>\pi(x)</math>, अगर <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है, [[एराटोस्थनीज की छलनी]] का उपयोग करने के लिए कम या उसके बराबर अभाज्य संख्या का उत्पादन करने के लिए है <math>x</math> और फिर उन्हें गिनने के लिए।
-खोजने का एक और विस्तृत तरीका <math>\pi(x)</math> एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (शामिल-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, अगर <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर है <math>x</math> जो संख्या से विभाज्य हैं <math>p_i</math> है
+खोजने का  और विस्तृत तरीका <math>\pi(x)</math> एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (शामिल-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, अगर <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर है <math>x</math> जो संख्या से विभाज्य हैं <math>p_i</math> है
 :<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math>
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 {{main|Meissel–Lehmer algorithm}}
-और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की एक श्रृंखला में, [[अर्न्स्ट मीसेल]] ने मूल्यांकन का एक व्यावहारिक दहनशील तरीका वर्णित (और उपयोग किया) <math>\pi(x)</math>. होने देना <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> पहले रहो <math>n</math> primes और द्वारा निरूपित करें <math>\Phi(m,n)</math> से अधिक नहीं प्राकृतिक संख्या की संख्या <math>m</math> जो संख्या से विभाज्य हैं <math>p_i</math> कहाँ <math>i\leq n</math>. तब
+और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की  श्रृंखला में, [[अर्न्स्ट मीसेल]] ने मूल्यांकन का  व्यावहारिक दहनशील तरीका वर्णित (और उपयोग किया) <math>\pi(x)</math>. होने देना <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> पहले रहो <math>n</math> primes और द्वारा निरूपित करें <math>\Phi(m,n)</math> से अधिक नहीं प्राकृतिक संख्या की संख्या <math>m</math> जो संख्या से विभाज्य हैं <math>p_i</math> कहाँ <math>i\leq n</math>. तब
 : <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).</math>
-एक प्राकृतिक संख्या दी गई है <math>m</math>, अगर <math>n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)</math> और अगर <math>\mu = \pi\left(\sqrt{m}\right)-n</math>, तब
+प्राकृतिक संख्या दी गई है <math>m</math>, अगर <math>n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)</math> और अगर <math>\mu = \pi\left(\sqrt{m}\right)-n</math>, तब
 :<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right).</math>
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 :<math>\Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)</math>
-जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना <math>y</math> एक पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि <math>\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}</math>, और सेट करें <math>n=\pi(y)</math>. तब <math>P_1(m,n)=\pi(m)-n</math> और <math>P_k(m,n)=0</math> कब <math>k \geq 3</math>. इसलिए,
+जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना <math>y</math>  पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि <math>\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}</math>, और सेट करें <math>n=\pi(y)</math>. तब <math>P_1(m,n)=\pi(m)-n</math> और <math>P_k(m,n)=0</math> कब <math>k \geq 3</math>. इसलिए,
 :<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)</math>
@@ Line 304: / Line 304: @@
 #<math>\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor</math>
 #<math>\Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)</math>
-अपनी पद्धति और एक [[IBM 701]] का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था <math>\pi\left(10^{9}\right)</math> और का सही मान चूक गए <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> द्वारा 1.<ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=April 1, 1958 |title=ON THE EXACT NUMBER OF PRIMES LESS THAN A GIVEN LIMIT |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |access-date=February 1, 2017 }}</ref>
+अपनी पद्धति और  [[IBM 701]] का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था <math>\pi\left(10^{9}\right)</math> और का सही मान चूक गए <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> द्वारा 1.<ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=April 1, 1958 |title=ON THE EXACT NUMBER OF PRIMES LESS THAN A GIVEN LIMIT |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |access-date=February 1, 2017 }}</ref>
 इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलिग्लिस और रिवाट द्वारा किए गए थे।<ref name="pix_comp">{{cite journal |author1 = Marc Deleglise |author2 = Joel Rivat |title=कम्प्यूटिंग {{pi}}(''x''): मीसेल, लेह्मर, लागरियास, मिलर, ओडलिज़को विधि|journal=Mathematics of Computation |date=January 1996 |volume=65 |issue=213 |pages=235–245  |doi = 10.1090/S0025-5718-96-00674-6 |url=https://www.ams.org/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf |doi-access=free }}</रेफरी>
-== अन्य प्राइम-गिनती कार्य ==
+==अन्य प्राइम-गिनती कार्य==
 अन्य प्राइम-गिनती कार्यों का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि वे काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक होते हैं। एक रीमैन का प्राइम-पॉवर काउंटिंग फंक्शन है, जिसे आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है <math>\Pi_0(x)</math> या <math>J_0(x)</math>. इसमें प्राइम पावर पी के लिए 1/एन की छलांग है<sup>n</sup>, जिसमें यह असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते पर मान लेता है। उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फ़ंक्शन को व्युत्क्रम मेलिन रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\Pi_0(x)</math> द्वारा
@@ Line 333: / Line 334: @@
 = \sum_{n \le x}\Lambda(n).</math>
+==चेबिशेव समारोह के साथ संबंध==
-== चेबिशेव समारोह के साथ संबंध ==
 के लिए <math>x\geq 2</math>,
@@ Line 340: / Line 340: @@
 और
-<math>\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_2^x \frac{\vartheta(x)}{t\log^{2}(t)}dt</math>.<ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer |year=2010}}</ref>
+<math>\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_2^x \frac{\vartheta(x)}{t\log^{2}(t)}dt</math>.<nowiki><ref></nowiki>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=Introduction to Analytic Number Theory |publisher=Springer |year=2010}}</ref>
 == प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र ==
 प्राइम-गिनती कार्यों के सूत्र दो प्रकार में आते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग किया गया था। वे रीमैन और [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर [[स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन)]] के रूप में जाने जाते हैं।<ref name="Titchmarsh">{{cite book |first=E.C. |last=Titchmarsh |year=1960 |title=The Theory of Functions, 2nd ed. |publisher=Oxford University Press}}</ref>
 हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:
@@ Line 352: / Line 351: @@
 : <math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.</math>
-यहाँ ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में Riemann zeta फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहाँ ρ का वास्तविक भाग शून्य और एक के बीच है। सूत्र एक से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त अभिसरण है, और काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम [[वापस लेना]] देता है।
+यहाँ ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में Riemann zeta फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहाँ ρ का वास्तविक भाग शून्य और  के बीच है। सूत्र  से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त अभिसरण है, और काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम [[वापस लेना]] देता है।
-के लिए <math>\Pi_0(x)</math> हमारे पास एक अधिक जटिल सूत्र है
+के लिए <math>\Pi_0(x)</math> हमारे पास  अधिक जटिल सूत्र है
 :<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.</math>
@@ Line 376: / Line 375: @@
 </math>.
-लोकमार बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<ref>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी शून्य सरल हैं,<ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> वह
+लोकमार बोर्नमैन ने परीक्षण किया,<nowiki><ref></nowiki>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> जब यह अनुमान लगाया जाता है कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी शून्य सरल हैं,<ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> वह
 :<math>\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}</math>
 कहाँ <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों पर चलता है और <math>t>0</math>.
@@ Line 383: / Line 382: @@
 :<math>\operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}(x^{-2m})</math>
-एक अच्छे अनुमानक के रूप में <math>\pi(x)</math> x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 की ओर अग्रसर होता है <math>x\to\infty</math>, जबकि शोर वाले हिस्से का आयाम अनुमान के अनुसार है <math>\sqrt{x}/\log x,</math> आकलन <math>\pi(x)</math> द्वारा <math>\operatorname{R}(x)</math> अकेला ही उतना ही अच्छा है, और प्राइम्स के वितरण के उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है
+अच्छे अनुमानक के रूप में <math>\pi(x)</math> x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 की ओर अग्रसर होता है <math>x\to\infty</math>, जबकि शोर वाले हिस्से का आयाम अनुमान के अनुसार है <math>\sqrt{x}/\log x,</math> आकलन <math>\pi(x)</math> द्वारा <math>\operatorname{R}(x)</math> अकेला ही उतना ही अच्छा है, और प्राइम्स के वितरण के उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है
 :<math>\bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.</math>
 == असमानताएं ==
 यहाँ कुछ उपयोगी असमानताएँ हैं {{pi}}(एक्स)।
@@ Line 395: / Line 392: @@
 बाईं असमानता x ≥ 17 के लिए मान्य है और दाईं असमानता x > 1 के लिए मान्य है। स्थिरांक 1.25506 है <math display="inline">\frac{30 \log 113}{113}</math> 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे <math display="inline">\frac{\pi(x) \log x}{x}</math> x = 113 पर इसका अधिकतम मान है।<ref>{{Cite journal | author-link = J. Barkley Rosser | last1 = Rosser | first1 = J. Barkley | last2 = Schoenfeld | first2 = Lowell | title = Approximate formulas for some functions of prime numbers | journal = Illinois J. Math. | year = 1962 | volume = 6 | pages = 64–94 | doi = 10.1215/ijm/1255631807 | zbl = 0122.05001 | issn = 0019-2082 | url = https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807 | doi-access = free }}</ref>
 में [[पियरे डसार्ड]] ने साबित किया:
 :<math> \frac {x} {\log x - 1} < \pi(x)</math> के लिए <math>x \ge 5393</math>, और
-:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\log x - 1.1}</math> के लिए <math>x \ge 60184</math>.<ref name = "Dusart2010">{{cite arXiv  |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |eprint=1002.0442v1 |title = Estimates of Some Functions Over Primes without R.H. |class = math.NT |date = 2 Feb 2010 }}</ref>
+:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\log x - 1.1}</math> के लिए <math>x \ge 60184</math>.<ref name="Dusart2010">{{cite arXiv  |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |eprint=1002.0442v1 |title = Estimates of Some Functions Over Primes without R.H. |class = math.NT |date = 2 Feb 2010 }}</ref>
 यहाँ nवें अभाज्य, p के लिए कुछ असमानताएँ हैं<sub>''n''</sub>. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,<ref>{{cite journal
 | author-link=J. Barkley Rosser
@@ Line 431: / Line 429: @@
 n ≥ 2 के लिए बाएँ असमिका लागू होती है और n ≥ 6 के लिए दाएँ असमिका लागू होती है।
-nवें अभाज्य संख्या के लिए एक सन्निकटन है
+nवें अभाज्य संख्या के लिए  सन्निकटन है
 :<math> p_n = n (\log (n \log n) - 1) + \frac {n (\log \log n - 2)} {\log n} +
 O\left( \frac {n (\log \log n)^2} {(\log n)^2}\right). </math>
@@ Line 438: / Line 436: @@
 के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है <math>x</math>.
-में <ref name = "Dusart2010" />दुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए <math>n \ge 688383</math>,
+में <ref name = "Dusart2010" /> दुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए <math>n \ge 688383</math>,
 :<math>p_n \le n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} \right),</math> और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए <math>n \ge 3</math>,
 :<math>p_n \ge n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2.1}{\log n} \right) .</math>
 अभी हाल ही में, दुसार्ट<ref>{{cite journal |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |title = Explicit estimates of some functions over primes |journal = Ramanujan Journal |volume = 45 |issue = 1 |pages=225–234 |date = January 2018 |doi = 10.1007/s11139-016-9839-4|s2cid = 125120533 }}</ref>
 सिद्ध किया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए <math>x > 1</math>,
 :<math>\pi(x) \le \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} + \frac{7.59}{\log^3 x} \right)</math> ,
 और वह, के लिए <math>x \ge 88789</math>,
 :<math> \pi(x) > \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} \right) .</math>
 == रीमैन परिकल्पना ==
@@ Line 455: / Line 452: @@
 विशेष रूप से,<ref>{{Cite journal | last1=Schoenfeld | first1=Lowell |author-link=Lowell Schoenfeld| title=Sharper bounds for the Chebyshev functions ''θ''(''x'') and ''ψ''(''x''). II | doi=10.2307/2005976 | mr=0457374  | year=1976 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=30 | issue=134 | pages=337–360 | jstor=2005976 | publisher=American Mathematical Society}}</ref>
 :<math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{\sqrt{x}}{8\pi} \, \log{x}, \qquad \text{for all } x \ge 2657. </math>
 == यह भी देखें ==
 * फोआस स्थिर

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की तालिका $π$ (एक्स), एक्स / लॉग एक्स, और ली (एक्स)

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम $π$ (एक्स)

मीसेल-लेहमर एल्गोरिथम

प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र

असमानताएं

रीमैन परिकल्पना

यह भी देखें

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अन्य प्राइम-गिनती कार्य

चेबिशेव समारोह के साथ संबंध

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मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम π(एक्स)

मीसेल-लेहमर एल्गोरिथम

प्राइम-गिनती कार्यों के लिए सूत्र

असमानताएं

रीमैन परिकल्पना

यह भी देखें

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अन्य प्राइम-गिनती कार्य

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