वृत्ताकार फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 13:57, 3 August 2023

सम्मिश्र विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में वृत्ताकार फलन एक विशेष प्रकार के मेरोमोर्फिक फलन फलन होते हैं, जो दो आवधिकता नियमो को पूरा करते हैं। इन्हें वृत्ताकार फलन नाम दिया गया है क्योंकि ये वृत्ताकार समाकलन से आते हैं। मूल रूप से वे अभिन्न अंग एक दीर्घवृत्त की चाप लंबाई की गणना पर घटित हुए थे।

महत्वपूर्ण वृत्ताकार कार्य जैकोबी वृत्ताकार कार्य और वीयरस्ट्रैस ℘\wp -फलन हैं।

इस सिद्धांत के आगे विकास से हाइपरलिप्टिक वक्र और मॉड्यूलर रूप सामने आते है।

परिभाषा

एक मेरोमॉर्फिक फलन को वृत्ताकार फलन कहा जाता है, यदि दो $\mathbb {R}$ -रैखिक स्वतंत्र सम्मिश्र संख्याएं $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ हों जैसे कि

f(z+\omega _{1})=f(z)

और

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

.

अतः वृत्ताकार फलनों के दो आवर्त होते हैं और इसलिए वे दोहरे आवर्त फलन होते हैं।

अवधि जालक और मौलिक डोमेन

File:Torus from rectangle.gif

समांतर चतुर्भुज जहां विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है

यदि $f$ आवर्त $\omega _{1},\omega _{2}$ वाला एक वृत्ताकार फलन है तो यह भी माना जाता है कि

f(z+\gamma )=f(z)

प्रत्येक रैखिक संयोजन के लिए $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ साथ $m,n\in \mathbb {Z}$ .

एबेलियन समूह

\Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}

आवर्त जालक कहलाता है।

$\omega _{1}$ और $\omega _{2}$ द्वारा उत्पन्न समांतर चतुर्भुज है।

\{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}

$\Lambda$ का एक मौलिक डोमेन $\mathbb {C}$ पर कार्य कर रहा है।

ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इस कारण से हम वृत्ताकार फलन को भागफल समूह $\mathbb {C} /\Lambda$ के साथ उनके डोमेन के रूप में देख सकते हैं। इस भागफल समूह को, जिसे वृत्ताकार वक्र कहा जाता है, एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहाँ विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक टोरस है।^[1]

लिउविले के प्रमेय

निम्नलिखित तीन प्रमेयों को जोसेफ लिउविले के प्रमेय (1847) के रूप में जाना जाता है।

पहला प्रमेय

एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन स्थिर होता है।^[2]

]यह लिउविल प्रमेय (सम्मिश्र विश्लेषण) का मूल रूप है|लिउविल प्रमेय और इसे इससे प्राप्त किया जा सकता है।^[3] एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन परिबद्ध है क्योंकि यह मौलिक डोमेन पर अपने सभी मान लेता है जो कॉम्पैक्ट है। तो यह लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है।

दूसरा प्रमेय

प्रत्येक वृत्ताकार फलन के $\mathbb {C} /\Lambda$ में परिमित रूप से कई ध्रुव होते हैं और इसके अवशेषों का योग शून्य होता है।^[4]

इस प्रमेय का तात्पर्य यह है कि मौलिक डोमेन में ऑर्डर एक के बिल्कुल एक ध्रुव या ऑर्डर एक के बिल्कुल एक शून्य के साथ शून्य के समान कोई वृत्ताकार फलन नहीं है।

तीसरा प्रमेय

एक गैर-स्थिर वृत्ताकार फलन प्रत्येक मान को बहुलता के साथ गिनने पर

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 30: / Line 30: @@
 <math>\Lambda</math> का एक मौलिक डोमेन <math>\C</math> पर कार्य कर रहा है।
-ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इस कारण से हम वृत्ताकार  फलन को भागफल समूह <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> के साथ उनके डोमेन के रूप में देख सकते हैं। इस भागफल समूह को, जिसे वृत्ताकार  वक्र कहा जाता है, एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहाँ विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक टोरस है।<ref>{{citation|surname1=Rolf Busam|title=Funktionentheorie 1|edition=4., korr. und erw. Aufl|publisher=Springer|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;259|isbn=978-3-540-32058-6|date=2006|language=German
+ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इस कारण से हम वृत्ताकार फलन को भागफल समूह <math>\mathbb{C}/\Lambda</math> के साथ उनके डोमेन के रूप में देख सकते हैं। इस भागफल समूह को, जिसे वृत्ताकार वक्र कहा जाता है, एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहाँ विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक टोरस है।<ref>{{citation|surname1=Rolf Busam|title=Funktionentheorie 1|edition=4., korr. und erw. Aufl|publisher=Springer|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;259|isbn=978-3-540-32058-6|date=2006|language=German
 }}</ref>
 == लिउविले के प्रमेय                                                                                                         ==
@@ Line 60: / Line 60: @@
 इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है कि इसके प्रत्येक जाली बिंदु पर क्रम दो का एक खंभा है। शृंखला को अभिसरण बनाने के लिए शब्द <math>-\frac1{\lambda^2}</math> उपस्थित है।
-<math>\wp</math> एक सम वृत्ताकार  फलनहै जो <math>\wp(-z)=\wp(z)</math> है।<ref name=":0">{{citation|surname1=K. Chandrasekharan|title=Elliptic functions|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;28|isbn=0-387-15295-4|date=1985|language=German
+<math>\wp</math> एक सम वृत्ताकार फलनहै जो <math>\wp(-z)=\wp(z)</math> है।<ref name=":0">{{citation|surname1=K. Chandrasekharan|title=Elliptic functions|publisher=Springer-Verlag|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;28|isbn=0-387-15295-4|date=1985|language=German
 }}</ref>
@@ Line 75: / Line 75: @@
 : <math>\wp'^2(z)=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3.</math>
-जहां <math>g_2</math> और <math>g_3</math> स्थिरांक हैं जो <math>\Lambda</math> पर निर्भर करते हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, <math>g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2)</math> और <math>g_3(\omega_1,\omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2)</math>, जहां  <math>G_4</math> और <math>G_6</math> तथाकथित आइज़ेंस्टीन श्रृंखला हैं।<ref>{{citation|surname1=Rolf Busam|title=Funktionentheorie 1|edition=4., korr. und erw. Aufl|publisher=Springer|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;276|isbn=978-3-540-32058-6|date=2006|language=German
+जहां <math>g_2</math> और <math>g_3</math> स्थिरांक हैं जो <math>\Lambda</math> पर निर्भर करते हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, <math>g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2)</math> और <math>g_3(\omega_1,\omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2)</math>, जहां <math>G_4</math> और <math>G_6</math> तथाकथित आइज़ेंस्टीन श्रृंखला हैं।<ref>{{citation|surname1=Rolf Busam|title=Funktionentheorie 1|edition=4., korr. und erw. Aufl|publisher=Springer|publication-place=Berlin|at=p.&nbsp;276|isbn=978-3-540-32058-6|date=2006|language=German
 }}</ref>
@@ Line 128: / Line 128: @@
 == इतिहास ==
-कैलकुलस के विकास के तुरंत बाद वृत्ताकार कार्यों का सिद्धांत इतालवी गणितज्ञ गिउलिओ डि फागनानो और स्विस गणितज्ञ [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा प्रारंभ किया गया था। जब उन्होंने लेम्निस्केट की चाप लंबाई की [[गणना]] करने की  प्रयाश की तो उन्हें अभिन्नों से जुड़ी समस्याओं का सामना करना पड़ा जिसमें डिग्री 3 और 4 के बहुपदों का वर्गमूल सम्मिलित था।<ref name=":1">{{Cite book|last=Gray|first=Jeremy|url=https://www.worldcat.org/oclc/932002663|title=Real and the complex : a history of analysis in the 19th century|date=2015|isbn=978-3-319-23715-2|location=Cham|pages=23f|oclc=932002663}}</ref> यह स्पष्ट था कि उन तथाकथित वृत्ताकार अभिन्नों को प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। फाग्नानो ने वृत्ताकार इंटीग्रल्स के बीच एक बीजगणितीय संबंध देखा, जिसे उन्होंने 1750 में प्रकाशित किया था।<ref name=":1" /> यूलर ने तुरंत फाग्नानो के परिणामों को सामान्यीकृत किया और वृत्ताकार अभिन्नों के लिए अपने बीजगणितीय जोड़ प्रमेय को प्रस्तुत किया था।<ref name=":1" />
+कैलकुलस के विकास के तुरंत बाद वृत्ताकार कार्यों का सिद्धांत इतालवी गणितज्ञ गिउलिओ डि फागनानो और स्विस गणितज्ञ [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा प्रारंभ किया गया था। जब उन्होंने लेम्निस्केट की चाप लंबाई की [[गणना]] करने की प्रयाश की तो उन्हें अभिन्नों से जुड़ी समस्याओं का सामना करना पड़ा जिसमें डिग्री 3 और 4 के बहुपदों का वर्गमूल सम्मिलित था।<ref name=":1">{{Cite book|last=Gray|first=Jeremy|url=https://www.worldcat.org/oclc/932002663|title=Real and the complex : a history of analysis in the 19th century|date=2015|isbn=978-3-319-23715-2|location=Cham|pages=23f|oclc=932002663}}</ref> यह स्पष्ट था कि उन तथाकथित वृत्ताकार अभिन्नों को प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। फाग्नानो ने वृत्ताकार इंटीग्रल्स के बीच एक बीजगणितीय संबंध देखा, जिसे उन्होंने 1750 में प्रकाशित किया था।<ref name=":1" /> यूलर ने तुरंत फाग्नानो के परिणामों को सामान्यीकृत किया और वृत्ताकार अभिन्नों के लिए अपने बीजगणितीय जोड़ प्रमेय को प्रस्तुत किया था।<ref name=":1" />
 [[जॉन लैंडेन]] की एक टिप्पणी को छोड़कर<ref>John Landen: ''An Investigation of a general Theorem for finding the Length of any Arc of any Conic Hyperbola, by Means of Two Elliptic Arcs, with some other new and useful Theorems deduced therefrom.'' In: ''The Philosophical Transactions of the Royal Society of London'' 65 (1775), Nr. XXVI, S.&nbsp;283–289, {{JSTOR|106197}}.</ref> उनके विचारों को 1786 तक आगे नहीं बढ़ाया गया, जब एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने आर्क्स ऑफ एलिप्से द्वारा एकीकरण पर अपना पेपर मेमोयर्स प्रकाशित किया गया था।<ref>Adrien-Marie Legendre: [https://books.google.com/books?id=rIYlBNp4oiIC&pg=616 ''Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse.''] In: ''Histoire de l’Académie royale des sciences Paris'' (1788), S.&nbsp;616–643. – Ders.: [https://books.google.com/books?id=rIYlBNp4oiIC&pg=644 ''Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs.''] In: ''Histoire de l’Académie royale des sciences Paris'' (1788), S.&nbsp;644–683.</ref> लीजेंड्रे ने बाद में वृत्ताकार इंटीग्रल्स का अध्ययन किया और उन्हें वृत्ताकार कार्य कहा। लिजेंड्रे ने तीन प्रकार का वर्गीकरण प्रस्तुत किया - जो उस समय के अपेक्षाकृत सम्मिश्र सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण सरलीकरण था। लिजेंड्रे की अन्य महत्वपूर्ण कृतियाँ हैं: मेमोइरे सुर लेस ट्रान्सेंडैंटेस इलिप्टिक्स (1792),<ref>Adrien-Marie Legendre: [https://books.google.com/books?id=tR3pvoE3HcMC ''Mémoire sur les transcendantes elliptiques''], ''où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral.'' Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung [https://books.google.com/books?id=vNULAAAAYAAJ&pg=347 ''A Memoire on Elliptic Transcendentals.''] In: Thomas Leybourn: ''New Series of the Mathematical Repository''. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S.&nbsp;1–34.</ref> इंटीग्रल कैलकुलस में अभ्यास (1811-1817),<ref>Adrien-Marie Legendre: ''Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures.'' 3 Bände. ([https://books.google.com/books?id=riIOAAAAQAAJ Band 1], [https://books.google.com/books?id=6yIOAAAAQAAJ Band 2], Band 3). Paris 1811–1817.</ref> वृत्ताकार कार्यों पर ग्रंथ (1825-1832)।<ref>Adrien-Marie Legendre: ''Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en faciliter le calcul numérique.'' 3 Bde. ([https://books.google.com/books?id=0iAOAAAAQAAJ&pg=PR3 Band 1], [https://books.google.com/books?id=UZIKAAAAYAAJ Band 2], [https://books.google.com/books?id=2ZIKAAAAYAAJ&pg=PR3 Band 3/1], Band 3/2, Band 3/3). Huzard-Courcier, Paris 1825–1832.</ref> 1826 तक लिजेंड्रे का काम ज्यादातर गणितज्ञों द्वारा अप्रभावित रहा था।
@@ Line 164: / Line 164: @@
 {{Algebraic curves navbox}}
 {{Authority control}}
-[[Category: अण्डाकार कार्य| अण्डाकार कार्य]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 maint]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates]]
+[[Category:Commons category link is locally defined]]
 [[Category:Created On 13/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:अण्डाकार कार्य| अण्डाकार कार्य]]

Anonymous

Search

वृत्ताकार फलन: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions