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{{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}}
{{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}}


[[Image:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|[[एनुलस (गणित)]] पर परिभाषित हार्मोनिक फ़ंक्शन। हार्मोनिक फ़ंक्शंस वास्तव में वे फ़ंक्शंस हैं जो [[लाप्लास ऑपरेटर]] के [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] में स्थित हैं, जो महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटर है।]]गणित में, डिफरेंशियल ऑपरेटर [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, संकेतन के मामले में, विभेदीकरण को अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना ​​सहायक होता है जो [[फ़ंक्शन (गणित)]] को स्वीकार करता है और अन्य फ़ंक्शन ([[कंप्यूटर विज्ञान]] में उच्च-क्रम फ़ंक्शन की शैली में) लौटाता है।
[[Image:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|[[एनुलस (गणित)]] पर परिभाषित हार्मोनिक फलन । हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन हैं चूंकि [[लाप्लास ऑपरेटर]] के [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] में स्थित हैं, जो महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटर है।]]गणित में, '''डिफरेंशियल ऑपरेटर''' [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। सर्व प्रथम अंकन के स्तिथियों में, विभेदीकरण को अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना ​​सहायक होता है चूंकि [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] को स्वीकार करता है और अन्य फलन ([[कंप्यूटर विज्ञान]] में उच्च-क्रम फलन की शैली में) लौटाता है।


यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालाँकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी मौजूद हैं, जैसे कि [[श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न]]।
इस प्रकार से यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। चूंकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी उपस्तिथ किये गये हैं, जैसे कि [[श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न]] आदि ।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, क्रम-<math>m</math> लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर मानचित्र है <math>P</math> [[कार्य स्थान]] से <math>\mathcal{F}_1</math> किसी अन्य फ़ंक्शन स्थान पर <math>\mathcal{F}_2</math> जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
इसमें ऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है,यह क्रम-<math>m</math> लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर मानचित्र <math>P</math> है इसमें [[कार्य स्थान]] <math>\mathcal{F}_1</math> से किसी अन्य फलन स्थान <math>\mathcal{F}_2</math> पर जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है |


<math display="block">P = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,</math> कहाँ <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]]ों का बहु-सूचकांक है, <math>|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>, और प्रत्येक के लिए <math>\alpha</math>, <math>a_\alpha(x)</math> एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ खुले डोमेन पर फ़ंक्शन है। परिचालक <math>D^\alpha</math> के रूप में व्याख्या की गई है
<math display="block">P = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,</math> जहाँ <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांक <math>|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>]] का बहु-सूचकांक है, और प्रत्येक के लिए <math>\alpha</math>, <math>a_\alpha(x)</math> एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ विवर्त डोमेन पर फलन है। इसमें परिचालक <math>D^\alpha</math> के रूप में व्याख्या की गई है |


<math display="block">D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> इस प्रकार समारोह के लिए <math>f \in \mathcal{F}_1</math>:
<math display="block">D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> इस प्रकार फलन के लिए <math>f \in \mathcal{F}_1</math>:


<math display="block">P f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math>
<math display="block">P f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता|दूसरे व्युत्पन्न की समरूपता]] के कारण अंकन <math>D^{\alpha}</math> उपयुक्त है (अर्थात , विभेदीकरण के क्रम से स्वतंत्र) हैं।
संकेतन <math>D^{\alpha}</math> [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]] के कारण उचित है (यानी, भेदभाव के क्रम से स्वतंत्र)।


D को चरों से प्रतिस्थापित करने पर बहुपद p प्राप्त होता है <math>\xi</math> में P को P का 'कुल प्रतीक' कहा जाता है; यानी, उपरोक्त P का कुल प्रतीक है:
''P'' में ''D'' को वेरिएबल <math>\xi</math> से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त बहुपद ''p'' को ''P'' का कुल प्रतीक कहा जाता है; अर्थात, उपरोक्त ''P'' का कुल प्रतीक है |
<math display="block">p(x, \xi) = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math>
<math display="block">p(x, \xi) = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math>
कहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}.</math> प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्,
जहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}.</math> प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्,
:<math>\sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math>
:<math>\sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math>
''P'' का प्रमुख प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं है, मुख्य प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित है (यानी, यह कोटैंजेंट बंडल पर फ़ंक्शन है)।<ref>{{harvnb|Schapira|1985|loc=1.1.7}}</ref>
इसको P का मुख्य प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक को आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, यहाँ मुख्य प्रतीक को आंतरिक रूप से परिभाषित किया गया है (अर्थात, यह कोटैंजेंट बंडल पर फलन होता है)। <ref>{{harvnb|Schapira|1985|loc=1.1.7}}</ref>


अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर [[वेक्टर बंडल]] हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर
अधिक सामान्यतः मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] हैं। फिर यह रैखिक ऑपरेटर होते हैं


:<math> P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) </math>
:<math> P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) </math>
ऑर्डर का विभेदक ऑपरेटर है <math> k </math> यदि, X पर [[स्थानीय निर्देशांक]] में, हमारे पास है
क्रम का डिफरेंशियल ऑपरेटर <math> k </math> है यदि, X पर [[स्थानीय निर्देशांक]] में, यह हमारे समीप होता है |


:<math> Pu(x)  = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{lower-order terms}</math>
:<math> Pu(x)  = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{lower-order terms}</math>
जहां, प्रत्येक बहु-सूचकांक α के लिए, <math> P^\alpha(x):E \to F</math> [[बंडल मानचित्र]] है, जो सूचकांक α पर सममित है।
जहां, प्रत्येक बहु-सूचकांक α के लिए, <math> P^\alpha(x):E \to F</math> [[बंडल मानचित्र]] है, जो सूचकांक α पर सममित है।


कश्मीर<sup>P के वें क्रम गुणांक [[सममित टेंसर]] के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं
P के ''k''<sup>th</sup> क्रम के गुणांक [[सममित टेंसर]] के रूप में परिवर्तित होते हैं |


:<math> \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F </math>
:<math> \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F </math>
जिसका डोमेन k का [[टेंसर उत्पाद]] है<sup>ई के साथ एक्स के [[कोटैंजेंट बंडल]] की [[सममित शक्ति]], और जिसका कोडोमेन एफ है। इस सममित टेंसर को पी के 'प्रमुख प्रतीक' (या सिर्फ 'प्रतीक') के रूप में जाना जाता है।
जिसका डोमेन ''E'' के साथ ''X'' के [[कोटैंजेंट बंडल]] की ''k''<sup>th</sup> [[सममित शक्ति]] का [[टेंसर उत्पाद]] है, और जिसका कोडोमेन ''F'' है। इस सममित टेंसर को ''P'' के प्रमुख प्रतीक (या सिर्फ प्रतीक) के रूप में जाना जाता है।


समन्वय प्रणाली x<sup>i</sup>निर्देशांक अंतर dx द्वारा कोटैंजेंट बंडल के स्थानीय तुच्छीकरण की अनुमति देता है<sup>i</sup>, जो फाइबर निर्देशांक निर्धारित करता है ξ<sub>''i''</sub>. फ़्रेम के आधार के संदर्भ में ई<sub>μ</sub>, एफ<sub>ν</sub> क्रमशः E और F का, विभेदक संचालिका P घटकों में विघटित हो जाता है
इस प्रकार से समन्वय प्रणाली x<sup>i</sup>, समन्वय अंतर d''x<sup>i</sup>'' द्वारा कोटैंजेंट बंडल के स्थानीय तुच्छीकरण की अनुमति देती है, जो फाइबर निर्देशांक ξ<sub>''i''</sub> निर्धारित करती है। क्रमशः ''E'' और ''F'' के फ्रेम ''e''<sub>μ</sub>, ''f''<sub>ν</sub> के आधार के संदर्भ में, अंतर ऑपरेटर P घटकों में विघटित हो जाता है |


:<math>(Pu)_\nu = \sum_\mu P_{\nu\mu}u_\mu</math>
:<math>(Pu)_\nu = \sum_\mu P_{\nu\mu}u_\mu</math>  
ई के प्रत्येक अनुभाग यू पर। यहां पी<sub>νμ</sub> द्वारा परिभाषित अदिश विभेदक संचालिका है
यह ''E'' के प्रत्येक खंड ''u'' पर होता हैं। यहां ''P''<sub>νμ</sub> द्वारा परिभाषित अदिश अंतर संचालिका है |


:<math>P_{\nu\mu} = \sum_{\alpha} P_{\nu\mu}^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}.</math>
:<math>P_{\nu\mu} = \sum_{\alpha} P_{\nu\mu}^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}.</math>
इस तुच्छीकरण के साथ, मुख्य प्रतीक अब लिखा जा सकता है
इस तुच्छीकरण के साथ, मुख्य प्रतीक अब लिखा जा सकता है  


:<math>(\sigma_P(\xi)u)_\nu = \sum_{|\alpha|=k} \sum_{\mu}P_{\nu\mu}^\alpha(x)\xi_\alpha u_\mu.</math>
:<math>(\sigma_P(\xi)u)_\nu = \sum_{|\alpha|=k} \sum_{\mu}P_{\nu\mu}^\alpha(x)\xi_\alpha u_\mu.</math>
X के निश्चित बिंदु x पर कोटैंजेंट स्थान में, प्रतीक <math> \sigma_P </math> डिग्री k के [[सजातीय बहुपद]] को परिभाषित करता है <math> T^*_x X </math> मूल्यों के साथ <math> \operatorname{Hom}(E_x, F_x) </math>.
''X'' के निश्चित बिंदु ''x'' पर कोटैंजेंट स्थान में, प्रतीक <math> \sigma_P </math> डिग्री ''k'' के [[सजातीय बहुपद]] <math> T^*_x X </math> को परिभाषित करता है | यह मूल्यों के साथ <math> \operatorname{Hom}(E_x, F_x) </math>. तथा मूल्यों के साथ होता हैं |


== फूरियर व्याख्या ==
== फूरियर व्याख्या ==
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर पी और उसका प्रतीक फूरियर ट्रांसफॉर्म के संबंध में स्वाभाविक रूप से निम्नानुसार दिखाई देते हैं। मान लीजिए कि यह [[श्वार्ट्ज फ़ंक्शन]] है। फिर व्युत्क्रम [[फूरियर रूपांतरण]] द्वारा,
इस प्रकार से डिफरेंशियल ऑपरेटर ''P'' और उसका प्रतीक फूरियर ट्रांसरूप के संबंध में स्वाभाविक रूप से निम्नानुसार दिखाई देते हैं। मान लीजिए कि यह [[श्वार्ट्ज फ़ंक्शन|श्वार्ट्ज फलन ƒ]] है। अथार्त फिर व्युत्क्रम [[फूरियर रूपांतरण]] द्वारा,


:<math>Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.</math>
:<math>Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.</math>
यह P को [[फूरियर गुणक]] के रूप में प्रदर्शित करता है। कार्यों का अधिक सामान्य वर्ग p(x,ξ) जो ξ में अधिकांश बहुपद वृद्धि स्थितियों को संतुष्ट करता है जिसके तहत यह अभिन्न अंग अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, इसमें छद्म-अंतर ऑपरेटर शामिल होते हैं।
यह ''P'' को [[फूरियर गुणक]] के रूप में प्रदर्शित करता है। यह कार्यों का अधिक सामान्य वर्ग ''p''(''x'',ξ) हैं जो ξ में अधिकांश बहुपद वृद्धि स्थितियों को संतुष्ट करता है जिस प्रकार यह अभिन्न अंग सही प्रकार से व्यवहार किया जाता है, इसमें छद्म-अंतर ऑपरेटर सम्मिलित होते हैं।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
*विभेदक संचालिका <math> P </math> यदि इसका प्रतीक उलटा है तो यह अण्डाकार विभेदक संचालिका है; यह प्रत्येक अशून्य के लिए है <math> \theta \in T^*X </math> बंडल मानचित्र <math> \sigma_P (\theta, \dots, \theta)</math> उलटा है. [[कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड]] पर, यह अण्डाकार सिद्धांत से निम्नानुसार है कि पी [[ फ्रेडहोम संचालक |फ्रेडहोम संचालक]] है: इसमें परिमित-आयामी [[कर्नेल (बीजगणित)]] और कोकर्नेल है।
*डिफरेंशियल संचालिका <math> P </math> यदि इसका प्रतीक विपरीत है तो यह वृत्ताकार डिफरेंशियल संचालिका है | यह प्रत्येक अशून्य <math> \theta \in T^*X </math> के लिए है बंडल मानचित्र <math> \sigma_P (\theta, \dots, \theta)</math> विपरीत होता है | [[कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड]] पर, यह वृत्ताकार सिद्धांत से निम्नानुसार है कि ''P'' [[ फ्रेडहोम संचालक |फ्रेडहोम संचालक]] है | इसमें परिमित-आयामी [[कर्नेल (बीजगणित)]] और कोकर्नेल है।
*अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, मुख्य प्रतीक के शून्य आंशिक अंतर समीकरण की [[विशेषताओं की विधि]] के अनुरूप होते हैं।
*अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, मुख्य प्रतीक के शून्य आंशिक अंतर समीकरण की [[विशेषताओं की विधि]] के अनुरूप होते हैं।
* भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
* भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और समाधान करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
* [[ विभेदक टोपोलॉजी | विभेदक टोपोलॉजी]] में, [[बाहरी व्युत्पन्न]] और लाई व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है।
* [[ विभेदक टोपोलॉजी | डिफरेंशियल टोपोलॉजी]] में, [[बाहरी व्युत्पन्न]] और लाई व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है।
* [[अमूर्त बीजगणित]] में, [[व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)]] की अवधारणा अंतर ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर ऐसे सामान्यीकरण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में नियोजित होते हैं। [[जेट (गणित)]] भी देखें।
* [[अमूर्त बीजगणित]] में, [[व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)]] की अवधारणा अंतर ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। सदैव ऐसे सामान्यीकरण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में नियोजित होते हैं। [[जेट (गणित)]] भी देखें।
* एक [[जटिल चर]] z = x + i y के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] के विकास में, कभी-कभी जटिल फ़ंक्शन को दो वास्तविक चर x और y का फ़ंक्शन माना जाता है। [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]] का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अंतर ऑपरेटर हैं: <math display="block"> \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .</math> इस दृष्टिकोण का उपयोग [[कई जटिल चर]] के कार्यों और [[मोटर चर]] के कार्यों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।
* [[जटिल चर|सम्मिश्र वेरिएबल]] z = x + i y के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के विकास में, कभी-कभी सम्मिश्र फलन को दो वास्तविक वेरिएबल ''x'' और ''y'' का फलन माना जाता है। [[विर्टिंगर डेरिवेटिव|विर्टिंगर व्युत्पन्न]] का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अंतर ऑपरेटर हैं |<math display="block"> \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .</math> इस दृष्टिकोण का उपयोग [[कई जटिल चर|अनेक सम्मिश्र वेरिएबल]] के कार्यों और [[मोटर चर|मोटर वेरिएबल]] के कार्यों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।
*डिफ़रेंशियल ऑपरेटर डेल, जिसे नाबला भी कहा जाता है, महत्वपूर्ण [[यूक्लिडियन वेक्टर]] डिफरेंशियल ऑपरेटर है। यह भौति[[की]] में मैक्सवेल के समीकरणों के विभेदक रूप जैसी जगहों पर अक्सर दिखाई देता है। त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, डेल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
*डिफ़रेंशियल ऑपरेटर डेल, जिसे नाबला भी कहा जाता है, यह महत्वपूर्ण [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] डिफरेंशियल ऑपरेटर है। यह भौति[[की]] में मैक्सवेल के समीकरणों के डिफरेंशियल रूप जैसी जगहों पर सदैव दिखाई देता है। त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, डेल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
:<math display="block">\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x}  + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.</math>
:<math display="block">\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x}  + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.</math>
:डेल [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] को परिभाषित करता है, और विभिन्न वस्तुओं के [[कर्ल (गणित)]], [[विचलन]] और [[लाप्लासियन]] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।
:इस प्रकार से डेल [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] को परिभाषित करता है, और विभिन्न वस्तुओं के [[कर्ल (गणित)]], [[विचलन]] और [[लाप्लासियन]] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।


==इतिहास==
==इतिहास==
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर को कुछ स्वतंत्र रूप से लिखने के वैचारिक कदम का श्रेय 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट को दिया जाता है।<ref>James Gasser (editor), ''A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole'' (2000), p. 169; [https://books.google.com/books?id=A2Q5Yghl000C&pg=PA169 Google Books].</ref>
डिफरेंशियल ऑपरेटर को कुछ स्वतंत्र रूप से लिखने के वैचारिक कदम का श्रेय 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट को दिया जाता है।<ref>James Gasser (editor), ''A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole'' (2000), p. 169; [https://books.google.com/books?id=A2Q5Yghl000C&pg=PA169 Google Books].</ref>
==नोटेशन==
==अंकन ==
सबसे आम अंतर ऑपरेटर व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में पहला व्युत्पन्न लेने के लिए [[विभेदन के लिए संकेतन]] में शामिल हैं:
सबसे समान अंतर ऑपरेटर व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। वेरिएबल ''x'' के संबंध में पसमाधाना व्युत्पन्न लेने के लिए [[विभेदन के लिए संकेतन|विभेदन के लिए अंकन]] में सम्मिलित हैं |


: <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>.
: <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>.


उच्चतर, nवें क्रम के डेरिवेटिव लेते समय, ऑपरेटर को लिखा जा सकता है:
उच्चतर, ''n''th क्रम के व्युत्पन्न लेते समय, ऑपरेटर को लिखा जा सकता है:


: <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>.
: <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>.


किसी फ़ंक्शन x के तर्क के फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी के रूप में दिया जाता है:
किसी फलन x के तर्क के फलन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी के रूप में दिया जाता है:


: <math>[f(x)]'</math>
: <math>[f(x)]'</math>
: <math>f'(x).</math>
: <math>f'(x).</math>
डी नोटेशन के उपयोग और निर्माण का श्रेय [[ओलिवर हेविसाइड]] को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के विभेदक ऑपरेटरों पर विचार किया था
''D'' अंकन के उपयोग और निर्माण का श्रेय [[ओलिवर हेविसाइड]] को दिया जाता है, जिन्होंने रूप के डिफरेंशियल ऑपरेटरों पर विचार किया था


: <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>
: <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>
विभेदक समीकरणों के अपने अध्ययन में।
डिफरेंशियल समीकरणों के अपने अध्ययन में।


सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अंतर ऑपरेटरों में से लाप्लास ऑपरेटर है, जिसे परिभाषित किया गया है
सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अंतर ऑपरेटरों में से लाप्लास ऑपरेटर है, जिसे परिभाषित किया गया है


:<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math>
:<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math>
एक अन्य विभेदक ऑपरेटर Θ ऑपरेटर, या [[थीटा ऑपरेटर]] है, जिसे परिभाषित किया गया है<ref>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/ThetaOperator.html|title=थीटा ऑपरेटर| author=E. W. Weisstein|access-date=2009-06-12}}</ref>
अन्य डिफरेंशियल ऑपरेटर Θ ऑपरेटर, या [[थीटा ऑपरेटर]] है, जिसे परिभाषित किया गया है <ref>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/ThetaOperator.html|title=थीटा ऑपरेटर| author=E. W. Weisstein|access-date=2009-06-12}}</ref>
:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>
:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>
इसे कभी-कभी समरूपता संचालिका भी कहा जाता है, क्योंकि इसके [[eigenfunction]]s ''z'' में [[एकपद]]ी हैं:
इसे कभी-कभी समरूपता संचालिका भी कहा जाता है, क्योंकि इसके एजेंन फलन ''z'' में [[एकपद|पद]] हैं |
<math display="block">\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots </math>
<math display="block">\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots </math>
n वेरिएबल्स में समरूपता ऑपरेटर दिया जाता है
n वेरिएबल्स में समरूपता ऑपरेटर दिया जाता है
<math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math>
<math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math>
जैसा कि चर में होता है, Θ के [[eigenspace]]s [[सजातीय कार्य]]ों के स्थान हैं। (यूलर का सजातीय कार्य प्रमेय)
जैसा कि वेरिएबल में होता है, Θ के [[eigenspace|एजेंनस्पेसेस]] [[सजातीय कार्य]] के स्थान हैं। (यूलर का सजातीय कार्य प्रमेय)


लिखित रूप में, सामान्य गणितीय परंपरा का पालन करते हुए, अंतर ऑपरेटर का तर्क आमतौर पर ऑपरेटर के दाईं ओर रखा जाता है। कभी-कभी वैकल्पिक नोटेशन का उपयोग किया जाता है: ऑपरेटर के बाईं ओर और ऑपरेटर के दाईं ओर फ़ंक्शन पर ऑपरेटर को लागू करने का परिणाम, और दोनों तरफ के फ़ंक्शन पर अंतर ऑपरेटर को लागू करने पर प्राप्त अंतर को दर्शाया जाता है। तीरों द्वारा इस प्रकार:
लिखित रूप में, सामान्य गणितीय परंपरा का पालन करते हुए, अंतर ऑपरेटर का तर्क सामान्यतः ऑपरेटर के दाईं ओर रखा जाता है। कभी-कभी वैकल्पिक अंकन का उपयोग किया जाता है: ऑपरेटर के बाईं ओर और ऑपरेटर के दाईं ओर फलन पर ऑपरेटर को प्रयुक्त करने का परिणाम, और दोनों तरफ के फलन पर अंतर ऑपरेटर को प्रयुक्त करने पर प्राप्त अंतर को दर्शाया जाता है। तीरों द्वारा इस प्रकार:
:<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math>
:<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math>
:<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math>
:<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math>
:<math>f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.</math>
:<math>f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.</math>
क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्यता धारा का वर्णन करने के लिए इस तरह के द्विदिश-तीर संकेतन का अक्सर उपयोग किया जाता है।
क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्यता धारा का वर्णन करने के लिए इस तरह के द्विदिश-तीर अंकन का सदैव उपयोग किया जाता है।


==एक ऑपरेटर का जोड़==
==ऑपरेटर का जोड़==
{{See also|Hermitian adjoint}}
{{See also|हर्मिटियन सहायक}}
एक रैखिक अंतर ऑपरेटर दिया गया है <math>T</math>
 
रैखिक अंतर ऑपरेटर <math>T</math> दिया गया है
<math display="block">Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>
<math display="block">Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>
इस ऑपरेटर के [[हर्मिटियन सहायक]] को ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है <math>T^*</math> ऐसा है कि
इस ऑपरेटर के [[हर्मिटियन सहायक]] को ऑपरेटर <math>T^*</math> के रूप में परिभाषित किया गया है ऐसा है कि
<math display="block">\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle</math>
<math display="block">\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle</math>
जहां अंकन <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> [[अदिश उत्पाद]] या आंतरिक उत्पाद के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए यह परिभाषा अदिश उत्पाद (या आंतरिक उत्पाद) की परिभाषा पर निर्भर करती है।
जहां अंकन <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> [[अदिश उत्पाद]] या आंतरिक उत्पाद के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए यह परिभाषा अदिश उत्पाद (या आंतरिक उत्पाद) की परिभाषा पर निर्भर करती है।


=== एक चर में औपचारिक जोड़ ===
=== वेरिएबल में औपचारिक जोड़ ===


[[वास्तविक संख्या]] अंतराल पर वर्ग-अभिन्न कार्यों के कार्यात्मक स्थान में (गणित) {{open-open|''a'', ''b''}}, अदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित किया गया है
[[वास्तविक संख्या]] अंतराल पर वर्ग-अभिन्न कार्यों के कार्यात्मक स्थान में (गणित) {{open-open|''a'', ''b''}}, अदिश गुणनफल द्वारा परिभाषित किया गया है
<math display="block">\langle f, g \rangle = \int_a^b  \overline{f(x)} \,g(x) \,dx , </math>
<math display="block">\langle f, g \rangle = \int_a^b  \overline{f(x)} \,g(x) \,dx , </math>
जहां f(x) के ऊपर की रेखा f(x) के जटिल संयुग्म को दर्शाती है। यदि कोई इसके अलावा यह शर्त जोड़ता है कि f या g गायब हो जाता है <math>x \to a</math> और <math>x \to b</math>, कोई T के संलग्नक को इसके द्वारा भी परिभाषित कर सकता है
जहां ''f(x)'' के ऊपर की रेखा ''f(x)'' के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाती है। यदि कोई इसके अतिरिक्त यह नियम जोड़ता है कि ''f'' या ''g'' विलुप्त हो जाता है <math>x \to a</math> और <math>x \to b</math>, कोई ''T'' के संलग्नक को इसके द्वारा भी परिभाषित कर सकता है
<math display="block">T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].</math>
<math display="block">T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].</math>
यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश उत्पाद की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी सहायक ऑपरेटर की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। कब <math>T^*</math> इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया गया है, इसे ''टी'' का औपचारिक जोड़ कहा जाता है।
यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश उत्पाद की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी सहायक ऑपरेटर की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। जब <math>T^*</math> इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया गया है, इसे ''T'' का औपचारिक जोड़ कहा जाता है।


ए (औपचारिक रूप से) [[ स्व-सहायक संचालिका |स्व-सहायक संचालिका]] |सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर अपने स्वयं के (औपचारिक) एडजॉइंट के बराबर ऑपरेटर है।
A (औपचारिक रूप से) [[ स्व-सहायक संचालिका |स्व-सहायक संचालिका]] सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर अपने स्वयं के (औपचारिक) एडजॉइंट के समान ऑपरेटर है।


=== अनेक चर ===
=== अनेक वेरिएबल ===


यदि Ω R में डोमेन है<sup>n</sup>, और P Ω पर विभेदक संचालिका है, तो P का जोड़ Lp space|L में परिभाषित किया गया है<sup>2</sup>(Ω) अनुरूप तरीके से द्वैत द्वारा:
यदि Ω'''R'''<sup>''n''</sup> में डोमेन है, और ''P Ω'' पर विभेदक संचालिका है, तो ''P'' का जोड़ ''L''<sup>2</sup>(Ω) में समान विधि से द्वैत द्वारा परिभाषित किया गया है:


:<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math>
:<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math>
सभी चिकनी एल के लिए<sup>2</sup>फ़ंक्शन f, g. चूंकि एल में सुचारु कार्य सघन हैं<sup>2</sup>, यह L के सघन उपसमुच्चय पर जोड़ को परिभाषित करता है<sup>2</sup>: पी<sup>*</sup> [[सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर]] है।
सभी सुचारू ''L''<sup>2</sup> फलन ''f'', ''g'' के लिए। चूँकि ''L''<sup>2</sup> में सुचारु कार्य सघन होते हैं, यह ''L''<sup>2</sup> के सघन उपसमुच्चय पर जोड़ को परिभाषित करता है: P<sup>*</sup> [[सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर]] है।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत|स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर औपचारिक स्व-सहायक ऑपरेटर का प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अंतर ऑपरेटर एल को फॉर्म में लिखा जा सकता है
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर औपचारिक स्व-सहायक ऑपरेटर का प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अंतर ऑपरेटर ''L'' को रूप में लिखा जा सकता है


: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math>
: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math>
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