बेथ संख्या: Difference between revisions

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गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' एक निश्चित अनंत गणनीय संख्या सिरणी हैं (जिन्हें 'ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ' भी कहा जाता है), जिन्हें सामान्यतः निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>, जहाँ <math>\beth</math> दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं (<math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math>) से संबंधित होती हैं, लेकिन यदि 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे अंक होते हैं जिन्हें <math>\aleph</math> के द्वारा नहीं चिह्नित किया गया हो।
गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, ''''बेथ संख्याएँ'''' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित अनुक्रम होते हैं, जो परम्परागत रूप से इस तरह लिखे जाते हैं: <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>, यहाँ  <math>\beth</math> दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करते है।जबकि  बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं (<math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math>) से संबंधित होते हैं, परंतु यदि सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत सत्य न हो, तो ऐसे संख्याओं का सूचकांक <math>\aleph</math> से जुड़ा हुआ होता है जो <math>\beth</math> से जुड़ा नहीं होता है।




== परिभाषा==
== परिभाष==
बेथ संख्याओं को [[ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषित किया गया है:
बेथ संख्याओं को [[ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषित किया गया है:


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यहाँ <math>\alpha</math> एक  क्रमसूचक और <math>\lambda</math> एक सीमा क्रमसूचक हैं।  
यहाँ <math>\alpha</math> एक  क्रमसूचक और <math>\lambda</math> एक सीमा क्रमसूचक हैं।  


गणित में, <math>\beth_0=\aleph_0</math> कोई भी गिनती योग्य अनंत समुच्चय की परिमाणता होती है, जैसे <math>\mathbb{N}</math> का समुच्चय, जिससे  <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>हो।
गणित में, <math>\beth_0=\aleph_0</math> किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय <math>\mathbb{N}</math> इसीलिए  <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>है।


यदि <math>\alpha</math> एक क्रमसूचक हो, और <math>A_\alpha</math>गणनांक के साथ एक समुच्चय  <math>\beth_\alpha=|A_\alpha|</math> हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:
यदि <math>\alpha</math> एक क्रमसूचक हो, और <math>A_\alpha</math>गणनांक के साथ एक समुच्चय  <math>\beth_\alpha=|A_\alpha|</math> हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:
*<math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math> को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का <math>A_\alpha</math>समुच्चय ,
*<math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math> को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का <math>A_\alpha</math>समुच्चय ,
*समुच्चय  <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> से सभी कार्यों के समुच्चय <math>A_\alpha</math>को दर्शाता है {0,1} तक,
*यहां, हम एक समुच्चय  <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> को दर्शाते हैं जो सभी फलन समुच्चय <math>A_\alpha</math>से  {0,1} के मध्य ,
*गणन <math>2^{\beth_\alpha}</math> [[कार्डिनल घातांक|गणन घातांक]] का परिणाम है, और
*गणन <math>2^{\beth_\alpha}</math> [[कार्डिनल घातांक|गणन घातांक]] का परिणाम है, और
*<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}=|2^{A_\alpha}|=|\mathcal{P}(A_\alpha)|</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math>की  गणनांक है।  
*<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}=|2^{A_\alpha}|=|\mathcal{P}(A_\alpha)|</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math>का गणनांक है।


इस परिभाषा को देखते हुए,
इस परिभाषा को देखते हुए,
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==एलेफ़ संख्याओं से संबंध==
==एलेफ़ संख्याओं से संबंध==
पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनैलिटी कुल क्रम हैं; कोई भी दो प्रमुखताएँ तुलनीय होने में असफल नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, चूँकि परिभाषा के अनुसार कोई भी अनंत कार्डिनैलिटी बीच में नहीं है <math>\aleph_0</math> और <math>\aleph_1</math>, यह इस प्रकार है कि
चयन के अभिगृहीत को ध्यान में रखते हुए, अनंत परिमाणताएँ रेखांकित होती हैं; कोई भी दो परिमाणताएँ पूर्वानुमानित नहीं हो सकती हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, कोई भी अनंत परिमाणता <math>\aleph_1</math>और <math>\aleph_0</math>के बीच नहीं हो सकती है,
 
इससे निम्नलिखित परिणाम होता है: 
:<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
:<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
इस तर्क को दोहराने से ([[अनंत प्रेरण]] देखें) परिणाम मिलता है
इस तर्क को पुनरावृत्ति करते हुए
  <math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math> सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.
  <math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math>  
सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.सातत्य परिकल्पना समतुल्य है
:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>
सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत  कहता है कि बेथ नंबर्स का यह अनुक्रम उसी अनुक्रम के समान होता है जो आलेफ संख्या  के लिए है, अर्थात्
<math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> 
सभी आदेशिकों <math>\alpha</math>.के लिए ।
 
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सातत्य परिकल्पना समतुल्य है
:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>
सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना कहती है कि इस प्रकार परिभाषित बेथ संख्याओं का अनुक्रम एलेफ़ संख्याओं के अनुक्रम के समान है, अर्थात,
<math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.


==विशिष्ट  गणन्स==
==विशिष्ट  गणन्स==


===बेथ शून्य===
===बेथ शून्य===
चूँकि इसे परिभाषित किया गया है <math>\aleph_0</math>, या [[एलेफ़ नल]], कार्डिनैलिटी के साथ समुच्चय  होता है <math>\beth_0</math> शामिल करना:
चूँकि इसे <math>\aleph_0</math>परिभाषित किया गया है, या [[एलेफ़ नल|एलेफ़ शून्य]], कार्डिनैलिटी के साथ समुच्चय  <math>\beth_0</math> होता है:


*प्राकृतिक संख्याएँ N
*प्राकृतिक संख्याएँ N
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*[[बीजगणितीय संख्या]]एँ
*[[बीजगणितीय संख्या]]एँ
*गणनायोग्य संख्याएँ और संगणनीय समुच्चय
*गणनायोग्य संख्याएँ और संगणनीय समुच्चय
*[[पूर्णांक]]ों के परिमित समुच्चय का समुच्चय
*पूर्णांकों  के परिमित समुच्चयो का समुच्चय
*पूर्णांकों के [[मल्टीसेट|मल्टीसमुच्चय]] का समुच्चय  
*पूर्णांकों के बहु[[मल्टीसेट|समुच्चय]] का समुच्चय
*पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का समुच्चय
*पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का समुच्चय


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{{main|cardinality of the continuum}}
{{main|cardinality of the continuum}}


कार्डिनैलिटी के साथ समुच्चय  <math>\beth_1</math> शामिल करना:
गणनांक के साथ समुच्चय  <math>\beth_1</math>सम्मिलित करना:


*[[पारलौकिक संख्याएँ]]
*[[पारलौकिक संख्याएँ]]
*[[अपरिमेय संख्या]]एँ
*[[अपरिमेय संख्या]]एँ
*वास्तविक संख्या आर
*वास्तविक संख्या R
*संमिश्र संख्या C
*मिश्रितसंख्या C
*[[अगणनीय वास्तविक संख्या]]एँ
*[[अगणनीय वास्तविक संख्या]]एँ
*[[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन स्थान]] आर<sup>n</sup>
*[[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन स्थान]] R<sup>n</sup>
*प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के सभी उपसमूहों का समुच्चय)
*प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय  
*पूर्णांकों के [[अनुक्रम]]ों का समुच्चय (अर्थात् सभी फ़ंक्शन 'एन' → 'जेड', जिसे अक्सर 'जेड' कहा जाता है)<sup>न</sup>)
*पूर्णांकों के [[अनुक्रम|अनुक्रमो]] का समुच्चय अर्थात् सभी फ़ंक्शन ' '''N''' → '''Z''',', जिसे प्रायः ''''Z<sup>N</sup>''' कहा जाता है
*वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का समुच्चय, R<sup>एन</sup>
*वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का समुच्चय, '''R<sup>N</sup>'''
*आर से आर तक सभी [[वास्तविक [[विश्लेषणात्मक कार्य]]]]ों का समुच्चय  
*'''R''' से '''R''' तक सभीवास्तविक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] का समुच्चय  
*आर से आर तक सभी निरंतर कार्यों का समुच्चय  
*'''R''' से '''R'''  तक सभी निरंतर कार्यों का समुच्चय  
*वास्तविक संख्याओं के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय
*वास्तविक संख्याओं के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय
*सी से सी तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का समुच्चय ([[ होलोमार्फिक | होलोमार्फिक]]  फ़ंक्शन)
*'''C''' से '''C''' तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का समुच्चय  


===बेथ दो===
===बेथ दो===
<math>\beth_2</math> (दो के साथ उच्चारित) को '2' भी कहा जाता है<sup>c</sup>' (उच्चारण में c की घात दो होती है)।
<math>\beth_2</math> को ''''2<sup>''c''</sup>''' भी कहा जाता है' उच्चारण में c की घात दो होती है।


कार्डिनैलिटी के साथ समुच्चय  <math>\beth_2</math> शामिल करना:
गणनांक के साथ समुच्चय  <math>\beth_2</math> सम्मिलित करना:


*वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
*वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
*प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के घात समुच्चय का घात समुच्चय
*प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चयो के घात समुच्चय
*आर से आर (आर) तक सभी [[फ़ंक्शन (गणित)]] का [[सबसेट|सबसमुच्चय]] <sup>आर</sup>)
*'''R''' से '''R''' तक सभी फलन का [[सबसेट|सबसमुच्चय]]  
*आर से सभी कार्यों का समुच्चय <sup>म</sup> से 'R'<sup>n</sup>
*'''R'''<sup>''m''</sup> से '''R'''<sup>''n''</sup> सभी कार्यों का समुच्चय
*प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से सभी कार्यों के समुच्चय की शक्ति समुच्चय , इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के समुच्चय की संख्या है
*प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से सभी कार्यों के समुच्चय की शक्ति समुच्चय, इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के समुच्चय की संख्या है
*'आर', 'क्यू' और 'एन' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
*''''R''', '''Q'''<nowiki/>' और ''''N'''<nowiki/>' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
*'आर' में नियतात्मक [[भग्न]] का समुच्चय <sup>n</sup> <ref name=":3">{{Cite journal|title= नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण|year=2021 |doi=10.3390/math9131546 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=9 |issue=13 |page=1546 }}</ref>
*''''R'''<sup>''n''</sup>' में नियतात्मक फ्रैक्टल का समुच्चय  <ref name=":3">{{Cite journal|title= नियतात्मक भग्न के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का एक सामान्यीकरण|year=2021 |doi=10.3390/math9131546 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=9 |issue=13 |page=1546 }}</ref>
*आर में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का समुच्चय <sup>n</sup> <ref name=":4">{{Cite journal|title= रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण|year=2022 |doi=10.3390/math10050706 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=10 |issue=5 |page=706 }}</ref>
*'''R'''<sup>''n''</sup> में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का समुच्चय  <ref name=":4">{{Cite journal|title= रैंडम फ्रैक्टल्स के लिए हॉसडॉर्फ आयाम प्रमेय का दूसरा सामान्यीकरण|year=2022 |doi=10.3390/math10050706 |doi-access=free |last1=Soltanifar |first1=Mohsen |journal=Mathematics |volume=10 |issue=5 |page=706 }}</ref>




===बेथ ओमेगा===
===बेथ ओमेगा===
<math>\beth_\omega</math> (उच्चारण बेथ ओमेगा) सबसे छोटी, [[बेशुमार]] [[मजबूत सीमा कार्डिनल|मजबूत सीमा गणन]] है।
<math>\beth_\omega</math> को बेथ ओमेगा कहते हैं, जो सबसे छोटी अगणित सबल सीमा संख्या होती है।


==सामान्यीकरण==
==सामान्यीकरण==
अधिक सामान्य प्रतीक <math>\beth_\alpha(\kappa)</math>, ऑर्डिनल्स α और  गणन्स κ के लिए, कभी-कभी उपयोग किया जाता है। इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:
कभी-कभी, बेथ संख्या  <math>\beth_\alpha(\kappa)</math>,को अधिक सामान्य चिह्न  α के रूप में उपयोग किया जाता है जहां κ एक गणन है जिसे परिभाषित किया गया है
:<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>
:<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>
:<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)},</math>
:<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)},</math>
:<math>\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{ \beth_\alpha(\kappa):\alpha<\lambda \}</math> यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है।
:<math>\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{ \beth_\alpha(\kappa):\alpha<\lambda \}</math>  
:यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है। तो


इसलिए
<math>\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0).</math>
:<math>\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0).</math>
 
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) में, किसी भी गणन κ और μ के लिए, एक क्रमिक α होता है जैसे:
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) में, किसी भी गणन κ और μ के लिए, एक क्रमिक संख्या α होता है जैसे:


:<math>\kappa \le \beth_\alpha(\mu).</math>
:<math>\kappa \le \beth_\alpha(\mu).</math>
और ZF में, किसी भी गणन κ और ऑर्डिनल्स α और β के लिए:
और ZF में, किसी भी गणन κ और गणनांक α और β के लिए:


:<math>\beth_\beta(\beth_\alpha(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).</math>
:<math>\beth_\beta(\beth_\alpha(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).</math>
नतीजतन, ZF में किसी भी  गणन κ और μ के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना यूआर-तत्व अनुपस्थित हैं, समानता
परिणाम स्वरूप, ZF में अभाव में या चयन के अभिगृहीत के साथ, किसी भी परिमाणों κ और μ के लिए निम्नलिखित समानता होती है:


:<math>\beth_\beta(\kappa) = \beth_\beta(\mu)</math>
:<math>\beth_\beta(\kappa) = \beth_\beta(\mu)</math>
सभी पर्याप्त रूप से बड़े ऑर्डिनल्स β के लिए मान्य है। अर्थात्, एक क्रमसूचक α है, जो प्रत्येक क्रमसूचक β ≥ α के लिए समानता रखता है।
सभी पर्याप्त रूप से बड़े गणनांक β के लिए मान्य है। अर्थात्, एक क्रमसूचक α है, जो प्रत्येक क्रमसूचक β ≥ α के लिए समानता रखता है।


यह उर-तत्वों (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत में भी लागू होता है, बशर्ते कि उर-तत्व एक समुच्चय बनाते हैं जो एक [[शुद्ध सेट|शुद्ध समुच्चय]]  के साथ समतुल्य होता है (एक समुच्चय  जिसका सकर्मक समुच्चय  #ट्रांसिटिव क्लोजर में कोई उर-तत्व नहीं होता है)। यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो उर-तत्वों का कोई भी समुच्चय  शुद्ध समुच्चय के साथ समतुल्य है।
यह स्थिति जर्मेलो-फ्रैंकल समुच्चय सिद्धांत में भी सत्य है जहां यूर-तत्व  के साथ और उनके बिना भी अभिग्रहण के साथ, प्राय टूटे समुच्चय के साथ समान संख्या की जा सकती है। यदि अभिग्रहण के उपदान काम आता है, तो किसी भी यूर-तत्वों की समूह प्राय टूटे समुच्चय के साथ समान संख्या की होती है।


==[[बोरेल निर्धारण]]==
==[[बोरेल निर्धारण]]==
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*अनंत संख्या
*अनंत संख्या
*[[बेशुमार सेट|बेशुमार समुच्चय]]  
*[[बेशुमार सेट|अगणनीय समुच्चय]]


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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   | publisher = [[Virginia Commonwealth University]]
   | publisher = [[Virginia Commonwealth University]]
   | isbn = 978-0-9824062-4-3 }} See page 109 for beth numbers.
   | isbn = 978-0-9824062-4-3 }} See page 109 for beth numbers.
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Latest revision as of 13:36, 3 August 2023

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित अनुक्रम होते हैं, जो परम्परागत रूप से इस तरह लिखे जाते हैं: , यहाँ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करते है।जबकि बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं () से संबंधित होते हैं, परंतु यदि सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत सत्य न हो, तो ऐसे संख्याओं का सूचकांक से जुड़ा हुआ होता है जो से जुड़ा नहीं होता है।


परिभाष

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

यहाँ एक क्रमसूचक और एक सीमा क्रमसूचक हैं।

गणित में, किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय