अवकल संकारक: Difference between revisions
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{{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}} | {{Short description|Typically linear operator defined in terms of differentiation of functions}} | ||
[[Image:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|[[एनुलस (गणित)]] पर परिभाषित | [[Image:Laplace's equation on an annulus.svg|right|thumb|300px|[[एनुलस (गणित)]] पर परिभाषित हार्मोनिक फ़ंक्शन। हार्मोनिक फ़ंक्शंस वास्तव में वे फ़ंक्शंस हैं जो [[लाप्लास ऑपरेटर]] के [[कर्नेल (रैखिक बीजगणित)]] में स्थित हैं, जो महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटर है।]]गणित में, डिफरेंशियल ऑपरेटर [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, संकेतन के मामले में, विभेदीकरण को अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना सहायक होता है जो [[फ़ंक्शन (गणित)]] को स्वीकार करता है और अन्य फ़ंक्शन ([[कंप्यूटर विज्ञान]] में उच्च-क्रम फ़ंक्शन की शैली में) लौटाता है। | ||
यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालाँकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी मौजूद हैं, जैसे कि [[श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न]]। | यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालाँकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी मौजूद हैं, जैसे कि [[श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न]]। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, | एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, क्रम-<math>m</math> लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर मानचित्र है <math>P</math> [[कार्य स्थान]] से <math>\mathcal{F}_1</math> किसी अन्य फ़ंक्शन स्थान पर <math>\mathcal{F}_2</math> जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
<math display="block">P = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,</math> कहाँ <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]]ों का | <math display="block">P = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,</math> कहाँ <math>\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)</math> गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]]ों का बहु-सूचकांक है, <math>|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math>, और प्रत्येक के लिए <math>\alpha</math>, <math>a_\alpha(x)</math> एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ खुले डोमेन पर फ़ंक्शन है। परिचालक <math>D^\alpha</math> के रूप में व्याख्या की गई है | ||
<math display="block">D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> इस प्रकार समारोह के लिए <math>f \in \mathcal{F}_1</math>: | |||
<math display="block">P f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> | <math display="block">P f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}</math> | ||
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कहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}.</math> प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्, | कहाँ <math>\xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}.</math> प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्, | ||
:<math>\sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math> | :<math>\sigma(x, \xi) = \sum_{|\alpha|= m}a_\alpha(x) \xi^\alpha</math> | ||
''P'' का प्रमुख प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं है, मुख्य प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित है (यानी, यह कोटैंजेंट बंडल पर | ''P'' का प्रमुख प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं है, मुख्य प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित है (यानी, यह कोटैंजेंट बंडल पर फ़ंक्शन है)।<ref>{{harvnb|Schapira|1985|loc=1.1.7}}</ref> | ||
अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर [[वेक्टर बंडल]] हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर | अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर [[वेक्टर बंडल]] हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर | ||
:<math> P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) </math> | :<math> P: C^\infty(E) \to C^\infty(F) </math> | ||
ऑर्डर का | ऑर्डर का विभेदक ऑपरेटर है <math> k </math> यदि, X पर [[स्थानीय निर्देशांक]] में, हमारे पास है | ||
:<math> Pu(x) = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{lower-order terms}</math> | :<math> Pu(x) = \sum_{|\alpha| = k} P^\alpha(x) \frac {\partial^\alpha u} {\partial x^{\alpha}} + \text{lower-order terms}</math> | ||
जहां, प्रत्येक बहु-सूचकांक α के लिए, <math> P^\alpha(x):E \to F</math> | जहां, प्रत्येक बहु-सूचकांक α के लिए, <math> P^\alpha(x):E \to F</math> [[बंडल मानचित्र]] है, जो सूचकांक α पर सममित है। | ||
कश्मीर<sup>P के वें क्रम गुणांक | कश्मीर<sup>P के वें क्रम गुणांक [[सममित टेंसर]] के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं | ||
:<math> \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F </math> | :<math> \sigma_P: S^k (T^*X) \otimes E \to F </math> | ||
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:<math>(\sigma_P(\xi)u)_\nu = \sum_{|\alpha|=k} \sum_{\mu}P_{\nu\mu}^\alpha(x)\xi_\alpha u_\mu.</math> | :<math>(\sigma_P(\xi)u)_\nu = \sum_{|\alpha|=k} \sum_{\mu}P_{\nu\mu}^\alpha(x)\xi_\alpha u_\mu.</math> | ||
X के | X के निश्चित बिंदु x पर कोटैंजेंट स्थान में, प्रतीक <math> \sigma_P </math> डिग्री k के [[सजातीय बहुपद]] को परिभाषित करता है <math> T^*_x X </math> मूल्यों के साथ <math> \operatorname{Hom}(E_x, F_x) </math>. | ||
== फूरियर व्याख्या == | == फूरियर व्याख्या == | ||
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर पी और उसका प्रतीक फूरियर ट्रांसफॉर्म के संबंध में स्वाभाविक रूप से निम्नानुसार दिखाई देते हैं। मान लीजिए कि यह | एक डिफरेंशियल ऑपरेटर पी और उसका प्रतीक फूरियर ट्रांसफॉर्म के संबंध में स्वाभाविक रूप से निम्नानुसार दिखाई देते हैं। मान लीजिए कि यह [[श्वार्ट्ज फ़ंक्शन]] है। फिर व्युत्क्रम [[फूरियर रूपांतरण]] द्वारा, | ||
:<math>Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.</math> | :<math>Pf(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}} \int\limits_{\mathbf{R}^d} e^{ ix\cdot\xi} p(x,i\xi)\hat{f}(\xi)\, d\xi.</math> | ||
यह P को [[फूरियर गुणक]] के रूप में प्रदर्शित करता है। कार्यों का | यह P को [[फूरियर गुणक]] के रूप में प्रदर्शित करता है। कार्यों का अधिक सामान्य वर्ग p(x,ξ) जो ξ में अधिकांश बहुपद वृद्धि स्थितियों को संतुष्ट करता है जिसके तहत यह अभिन्न अंग अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, इसमें छद्म-अंतर ऑपरेटर शामिल होते हैं। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
*विभेदक संचालिका <math> P </math> यदि इसका प्रतीक उलटा है तो यह अण्डाकार विभेदक संचालिका है; यह प्रत्येक अशून्य के लिए है <math> \theta \in T^*X </math> बंडल मानचित्र <math> \sigma_P (\theta, \dots, \theta)</math> उलटा है. [[कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड]] पर, यह अण्डाकार सिद्धांत से निम्नानुसार है कि पी | *विभेदक संचालिका <math> P </math> यदि इसका प्रतीक उलटा है तो यह अण्डाकार विभेदक संचालिका है; यह प्रत्येक अशून्य के लिए है <math> \theta \in T^*X </math> बंडल मानचित्र <math> \sigma_P (\theta, \dots, \theta)</math> उलटा है. [[कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड]] पर, यह अण्डाकार सिद्धांत से निम्नानुसार है कि पी [[ फ्रेडहोम संचालक |फ्रेडहोम संचालक]] है: इसमें परिमित-आयामी [[कर्नेल (बीजगणित)]] और कोकर्नेल है। | ||
*अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, मुख्य प्रतीक के शून्य आंशिक अंतर समीकरण की [[विशेषताओं की विधि]] के अनुरूप होते हैं। | *अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, मुख्य प्रतीक के शून्य आंशिक अंतर समीकरण की [[विशेषताओं की विधि]] के अनुरूप होते हैं। | ||
* भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं। | * भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं। | ||
* [[ विभेदक टोपोलॉजी ]] में, [[बाहरी व्युत्पन्न]] और लाई व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है। | * [[ विभेदक टोपोलॉजी | विभेदक टोपोलॉजी]] में, [[बाहरी व्युत्पन्न]] और लाई व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है। | ||
* [[अमूर्त बीजगणित]] में, [[व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)]] की अवधारणा अंतर ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर ऐसे सामान्यीकरण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में नियोजित होते हैं। [[जेट (गणित)]] भी देखें। | * [[अमूर्त बीजगणित]] में, [[व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)]] की अवधारणा अंतर ऑपरेटरों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए कैलकुलस के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर ऐसे सामान्यीकरण [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में नियोजित होते हैं। [[जेट (गणित)]] भी देखें। | ||
* एक [[जटिल चर]] z = x + i y के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] के विकास में, कभी-कभी | * एक [[जटिल चर]] z = x + i y के [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] के विकास में, कभी-कभी जटिल फ़ंक्शन को दो वास्तविक चर x और y का फ़ंक्शन माना जाता है। [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]] का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अंतर ऑपरेटर हैं: <math display="block"> \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .</math> इस दृष्टिकोण का उपयोग [[कई जटिल चर]] के कार्यों और [[मोटर चर]] के कार्यों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है। | ||
*डिफ़रेंशियल ऑपरेटर डेल, जिसे नाबला भी कहा जाता है, | *डिफ़रेंशियल ऑपरेटर डेल, जिसे नाबला भी कहा जाता है, महत्वपूर्ण [[यूक्लिडियन वेक्टर]] डिफरेंशियल ऑपरेटर है। यह भौति[[की]] में मैक्सवेल के समीकरणों के विभेदक रूप जैसी जगहों पर अक्सर दिखाई देता है। त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, डेल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math display="block">\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.</math> | :<math display="block">\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.</math> | ||
:डेल [[ ग्रेडियेंट ]] को परिभाषित करता है, और विभिन्न वस्तुओं के [[कर्ल (गणित)]], [[विचलन]] और [[लाप्लासियन]] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। | :डेल [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] को परिभाषित करता है, और विभिन्न वस्तुओं के [[कर्ल (गणित)]], [[विचलन]] और [[लाप्लासियन]] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। | ||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
एक डिफरेंशियल ऑपरेटर को कुछ स्वतंत्र रूप से लिखने के वैचारिक कदम का श्रेय 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट को दिया जाता है।<ref>James Gasser (editor), ''A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole'' (2000), p. 169; [https://books.google.com/books?id=A2Q5Yghl000C&pg=PA169 Google Books].</ref> | एक डिफरेंशियल ऑपरेटर को कुछ स्वतंत्र रूप से लिखने के वैचारिक कदम का श्रेय 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट को दिया जाता है।<ref>James Gasser (editor), ''A Boole Anthology: Recent and classical studies in the logic of George Boole'' (2000), p. 169; [https://books.google.com/books?id=A2Q5Yghl000C&pg=PA169 Google Books].</ref> | ||
==नोटेशन== | ==नोटेशन== | ||
सबसे आम अंतर ऑपरेटर व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। | सबसे आम अंतर ऑपरेटर व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में पहला व्युत्पन्न लेने के लिए [[विभेदन के लिए संकेतन]] में शामिल हैं: | ||
: <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>. | : <math>{d \over dx}</math>, <math>D</math>, <math>D_x,</math> और <math>\partial_x</math>. | ||
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: <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>. | : <math>{d^n \over dx^n}</math>, <math>D^n</math>, <math>D^n_x</math>, या <math>\partial_x^n</math>. | ||
किसी फ़ंक्शन x के तर्क के फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी | किसी फ़ंक्शन x के तर्क के फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी के रूप में दिया जाता है: | ||
: <math>[f(x)]'</math> | : <math>[f(x)]'</math> | ||
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विभेदक समीकरणों के अपने अध्ययन में। | विभेदक समीकरणों के अपने अध्ययन में। | ||
सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अंतर ऑपरेटरों में से | सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अंतर ऑपरेटरों में से लाप्लास ऑपरेटर है, जिसे परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math> | :<math>\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.</math> | ||
| Line 92: | Line 91: | ||
n वेरिएबल्स में समरूपता ऑपरेटर दिया जाता है | n वेरिएबल्स में समरूपता ऑपरेटर दिया जाता है | ||
<math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math> | <math display="block">\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.</math> | ||
जैसा कि | जैसा कि चर में होता है, Θ के [[eigenspace]]s [[सजातीय कार्य]]ों के स्थान हैं। (यूलर का सजातीय कार्य प्रमेय) | ||
लिखित रूप में, सामान्य गणितीय परंपरा का पालन करते हुए, | लिखित रूप में, सामान्य गणितीय परंपरा का पालन करते हुए, अंतर ऑपरेटर का तर्क आमतौर पर ऑपरेटर के दाईं ओर रखा जाता है। कभी-कभी वैकल्पिक नोटेशन का उपयोग किया जाता है: ऑपरेटर के बाईं ओर और ऑपरेटर के दाईं ओर फ़ंक्शन पर ऑपरेटर को लागू करने का परिणाम, और दोनों तरफ के फ़ंक्शन पर अंतर ऑपरेटर को लागू करने पर प्राप्त अंतर को दर्शाया जाता है। तीरों द्वारा इस प्रकार: | ||
:<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math> | :<math>f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f</math> | ||
:<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math> | :<math>f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g</math> | ||
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यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश उत्पाद की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी सहायक ऑपरेटर की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। कब <math>T^*</math> इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया गया है, इसे ''टी'' का औपचारिक जोड़ कहा जाता है। | यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश उत्पाद की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी सहायक ऑपरेटर की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। कब <math>T^*</math> इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया गया है, इसे ''टी'' का औपचारिक जोड़ कहा जाता है। | ||
ए (औपचारिक रूप से) [[ स्व-सहायक संचालिका ]]|सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर अपने स्वयं के (औपचारिक) एडजॉइंट के बराबर | ए (औपचारिक रूप से) [[ स्व-सहायक संचालिका |स्व-सहायक संचालिका]] |सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर अपने स्वयं के (औपचारिक) एडजॉइंट के बराबर ऑपरेटर है। | ||
=== अनेक चर === | === अनेक चर === | ||
यदि Ω R में | यदि Ω R में डोमेन है<sup>n</sup>, और P Ω पर विभेदक संचालिका है, तो P का जोड़ Lp space|L में परिभाषित किया गया है<sup>2</sup>(Ω) अनुरूप तरीके से द्वैत द्वारा: | ||
:<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math> | :<math>\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}</math> | ||
सभी चिकनी एल के लिए<sup>2</sup>फ़ंक्शन f, g. चूंकि एल में सुचारु कार्य सघन हैं<sup>2</sup>, यह L के सघन उपसमुच्चय पर जोड़ को परिभाषित करता है<sup>2</sup>: पी<sup>*</sup> | सभी चिकनी एल के लिए<sup>2</sup>फ़ंक्शन f, g. चूंकि एल में सुचारु कार्य सघन हैं<sup>2</sup>, यह L के सघन उपसमुच्चय पर जोड़ को परिभाषित करता है<sup>2</sup>: पी<sup>*</sup> [[सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर]] है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत|स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर औपचारिक स्व-सहायक ऑपरेटर का | स्टर्म-लिउविल सिद्धांत|स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर औपचारिक स्व-सहायक ऑपरेटर का प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अंतर ऑपरेटर एल को फॉर्म में लिखा जा सकता है | ||
: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math> | : <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math> | ||
इस संपत्ति को उपरोक्त औपचारिक सहायक परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।<ref> | इस संपत्ति को उपरोक्त औपचारिक सहायक परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।<ref> | ||
: <math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\ | L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\ | ||
& {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\ | & {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\ | ||
| Line 139: | Line 138: | ||
& {} = Lu | & {} = Lu | ||
\end{align}</math></ref> | \end{align}</math></ref> | ||
यह ऑपरेटर स्टर्म-लिउविले सिद्धांत का केंद्र है जहां इस ऑपरेटर के [[eigenfunctions]] ([[eigenvectors]] के अनुरूप) पर विचार किया जाता है। | यह ऑपरेटर स्टर्म-लिउविले सिद्धांत का केंद्र है जहां इस ऑपरेटर के [[eigenfunctions]] ([[eigenvectors]] के अनुरूप) पर विचार किया जाता है। | ||
| Line 147: | Line 147: | ||
:<math>D(f+g) = (Df)+(Dg),</math> | :<math>D(f+g) = (Df)+(Dg),</math> | ||
:<math>D(af) = a(Df),</math> | :<math>D(af) = a(Df),</math> | ||
जहाँ f और g फलन हैं, और a | जहाँ f और g फलन हैं, और a स्थिरांक है। | ||
फ़ंक्शन गुणांक के साथ डी में कोई भी [[बहुपद]] भी | फ़ंक्शन गुणांक के साथ डी में कोई भी [[बहुपद]] भी अंतर ऑपरेटर है। हम नियम के अनुसार कंपोजीशन डिफरेंशियल ऑपरेटर्स भी कार्य कर सकते हैं | ||
:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).</math> | :<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).</math> | ||
तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है: सबसे पहले ऑपरेटर डी में कोई फ़ंक्शन गुणांक<sub>2</sub> D के अनुप्रयोग जितनी बार हो उतन | |||