बेथ संख्या

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित क्रम हैं, परंपरागत रूप से लिखा गया $\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots$, जहाँ $\beth$ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं ($\aleph _{0},\aleph _{1},\dots$) से संबंधित हैं, परंतु जब तक सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सत्य नहीं होती तब तक संख्या $\aleph$ को अनुक्रमित किया जाता है और 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे संख्या $\beth$ को अनुक्रमित नहीं किया जाता है

परिभाष

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

• $\beth _{0}=\aleph _{0},$
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
• $\beth _{\lambda }=\sup {\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda },$

यहाँ $\alpha$ एक क्रमसूचक और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक हैं।

गणित में, $\beth _{0}=\aleph _{0}$ किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb {N}$ इसीलिए $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$है।

यदि $\alpha$ एक क्रमसूचक हो, और $A_{\alpha }$गणनांक के साथ एक समुच्चय $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:

• ${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$ को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का $A_{\alpha }$समुच्चय ,
• यहां, हम एक समुच्चय $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ को दर्शाते हैं जो सभी फलन समुच्चय $A_{\alpha }$से {0,1} के मध्य ,
• गणन $2^{\beth _{\alpha }}$ गणन घातांक का परिणाम है, और
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$का गणनांक है।

इस परिभाषा को देखते हुए,

$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$

क्रमशः की गणनात्मकताएं हैं

$\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})),\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})$