राउंड-ऑफ़ एरर

For अक्रोबेटिक गतिविधि, राउंडऑफ़, see राउंडऑफ़.

कंप्यूटिंग में, एक राउंडऑफ़ एरर, जिसे राउंडिंग एरर भी कहा जाता है, सटीक अंकगणित का उपयोग करके दिए गए एल्गोरिथम द्वारा उत्पादित परिणाम और परिमित-सटीक, राउंडेड अंकगणित का उपयोग करके उसी एल्गोरिथम द्वारा उत्पादित परिणाम के मध्य का अंतर है। राउंडिंग एरर वास्तविक संख्याओं के निरूपण और उनके साथ की गई अंकगणितीय संक्रियाओं में अशुद्धि के कारण होती हैं। यह क्वान्टिजेशन एरर का एक रूप है। सन्निकटन समीकरणों या कलन विधियों का उपयोग करते समय, विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं (जिनमें सिद्धांत रूप में अनंत रूप से कई अंक होते हैं) का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित कई अंकों का उपयोग करते समय, संख्यात्मक विश्लेषण का एक लक्ष्य गणना एररों का अनुमान लगाना है। कम्प्यूटेशन एरर, जिन्हें न्यूमेरिकल एरर भी कहा जाता है, जिनमें ट्रंक्शन एरर और राउंडऑफ़ एरर दोनों सम्मिलित हैं।

जब किसी राउंडऑफ एरर वाले इनपुट के साथ गणना का क्रम बनाया जाता है,तो एरर संचित हो सकता हैं, जो कभी-कभी गणना पर बाध्यकारी हो जाता हैं। कुगठित वाली समस्याओं में, महत्वपूर्ण एरर संचित हो सकता है।

संक्षेप में, संख्यात्मक गणना में सम्मिलित राउंडऑफ़ एररों के दो प्रमुख दृष्टिकोण हैं:

1. संख्याओं के परिमाण और सटीकता दोनों का प्रतिनिधित्व करने की गणक क्षमता स्वाभाविक रूप से सीमित है।
2. कुछ संख्यात्मक प्रकलन राउंडऑफ़ एररों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं। यह गणितीय विचारों के साथ-साथ गणक द्वारा अंकगणितीय संचालन करने के तरीके दोनों के परिणामस्वरूप हो सकता है।

रिप्रजेंटेशन एरर

अंकों की एक सीमित श्रृंखला का उपयोग करके किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास करने से उत्पन्न एरर राउंडऑफ़ एरर का एक रूप है जिसे रिप्रजेंटेशन एरर कहा जाता है। यहां दशमलव निरूपण में रिप्रजेंटेशन एरर के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

नोटेशन	निरूपण	सन्निकटन	एरर
1/7	0.142 857	0.142 857	0.000 000 142 857
ln 2	0.693 147 180 559 945 309 41...	0.693 147	0.000 000 180 559 945 309 41...
log10 2	0.301 029 995 663 981 195 21...	0.3010	0.000 029 995 663 981 195 21...
3√2	1.259 921 049 894 873 164 76...	1.25992	0.000 001 049 894 873 164 76...
√2	1.414 213 562 373 095 048 80...	1.41421	0.000 003 562 373 095 048 80...
e	2.718 281 828 459 045 235 36...	2.718 281 828 459 045	0.000 000 000 000 000 235 36...
π	3.141 592 653 589 793 238 46...	3.141 592 653 589 793	0.000 000 000 000 000 238 46...

किसी प्रतिनिधित्व में अनुमत अंकों की संख्या बढ़ाने से संभावित राउंडऑफ़ एररों की आपत्तिजनकता कम हो जाती है, परन्तु सीमित संख्या में कई अंकों तक सीमित कोई भी प्रतिनिधित्व अभी भी अनगिनत वास्तविक संख्याओं के लिए कुछ हद तक राउंडऑफ एरर का कारण बनेगा। गणना के मध्यवर्ती चरणों के लिए उपयोग किए जाने वाले अतिरिक्त अंकों को गार्ड अंक के रूप में जाना जाता है।

कई बार पूर्णांकन करने से एरर संचित हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 9.945309 को दो दशमलव स्थानों (9.95) तक पूर्णांकित किया जाता है, फिर एक दशमलव स्थान (10.0) तक पूर्णांकित किया जाता है, तो कुल एरर 0.054691 होता है। एक चरण में 9.945309 को एक दशमलव स्थान (9.9) तक पूर्णांकित करने पर कम एरर (0.045309) आता है। यह तब हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब सॉफ़्टवेयर एक्स86 80-बिट चल बिन्दु में अंकगणित करता है और फिर परिणाम को आईईईई 754 द्विचर 64 चल बिन्दु पर राउंड करता है।

चल बिन्दु संख्या प्रणाली

चल बिन्दु संख्या प्रणाली की तुलना में, चल बिन्दु संख्या प्रणाली वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कुशल है, इसलिए आधुनिक कंप्यूटरों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जबकि वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ अनंत और सतत हैं, एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली $F$ परिमित और असतत है। इस प्रकार, रिप्रजेंटेशन एरर, जो राउंडऑफ़ एरर की ओर ले जाती है, चल बिन्दु संख्या प्रणाली के अंतर्गत होती है।

चल बिन्दु संख्या प्रणाली की नोटेशन

एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली $F$ द्वारा पूर्णांक $4$ चित्रित है:

• $\beta$: आधार या मूलांक,
• $p$: परिशुद्धता,
• $[L,U]$: घातांक सीमा, जहाँ $L$ निचली सीमा है और $U$ ऊपरी सीमा है।

कोई $x\in F$ का निम्नलिखित रूप है:

$$x=\pm (\underbrace {d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}} _{\text{mantissa}})_{\beta }\times \beta ^{\overbrace {E} ^{\text{exponent}}}=\pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots +d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}$$

जहाँ $d_{i}$ एक पूर्णांक ऐसा $0\leq d_{i}\leq \beta -1$ है, $i=0,1,\ldots ,p-1$ और $E$ के लिए, एक पूर्णांक $L\leq E\leq U$ है।

सामान्यीकृत चल-संख्या प्रणाली

• एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली को सामान्यीकृत किया जाता है यदि अग्रणी अंक $d_{0}$ जब तक संख्या शून्य न हो, तब तक सदैव शून्येतर होता है।चूंकि अपूर्णांश $d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}$ है, एक सामान्यीकृत प्रणाली में एक गैर-शून्य संख्या का अपूर्णांश $1\leq {\text{mantissa}}<\beta$ संतुष्ट होता है। इस प्रकार, एक गैर-शून्य आईईईई चल बिन्दु संख्या $\pm 1.bb\ldots b\times 2^{E}$ का सामान्यीकृत रूप है, जहाँ $b\in {0,1}$ है। द्विचर में, अग्रणी अंक सदैव $1$ होता है इसलिए इसे लिखा नहीं जाता है और इसे अंतर्निहित बिट कहा जाता है। यह अतिरिक्त सटीकता देता है ताकि रिप्रजेंटेशन एरर के कारण होने वाली राउंडऑफ़ एरर कम हो जाए।
• चूंकि चल बिन्दु संख्या प्रणाली $F$ परिमित और असतत है, यह सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जिसका अर्थ है कि अनंत वास्तविक संख्याओं को केवल पूर्णांकन नियमों के माध्यम से कुछ सीमित संख्याओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। किसी दी गई वास्तविक संख्या का चल बिन्दु सन्निकटन $x$ द्वारा $fl(x)$ को निरूपित किया जा सकता है।
  • सामान्यीकृत चल बिन्दु संख्याओं की कुल संख्या है;
    $$2(\beta -1)\beta ^{p-1}(U-L+1)+1,$$
    जहाँ
    • $2$ धनात्मक या ऋणात्मक होने पर संकेत के चयन की गणना की जाती है।
    • $(\beta -1)$ अग्रणी अंक के चयन की गणना की जाती है।