राउंड-ऑफ़ एरर: Difference between revisions

{{For|अक्रोबेटिक गतिविधि, राउंडऑफ़|राउंडऑफ़}}

[[ कम्प्यूटिंग |कंप्यूटिंग]] में, एक राउंडऑफ़ एरर,<ref>{{citation |title=Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB |author-first=Rizwan |author-last=Butt |publisher=Jones & Bartlett Learning |date=2009 |isbn=978-0-76377376-2 |pages=11–18 |url=https://books.google.com/books?id=QWub-UVGxqkC&pg=PA11}}</ref> जिसे राउंडिंग एरर भी कहा जाता है,<ref>{{citation |title=Numerical Computation 1: Methods, Software, and Analysis |author-first=Christoph W. |author-last=Ueberhuber |publisher=Springer |date=1997 |isbn=978-3-54062058-7 |url=https://books.google.com/books?id=JH9I7EJh3JUC&pg=PA139 |pages=139–146}}</ref> सटीक [[अंकगणित]] का उपयोग करके दिए गए [[कलन विधि|एल्गोरिथम]] द्वारा उत्पादित परिणाम और परिमित-सटीक, राउंडेड अंकगणित का उपयोग करके उसी एल्गोरिथम द्वारा उत्पादित परिणाम के मध्य का अंतर है।<ref name="Forrester_2018">{{cite book |title= गणित/Comp241 संख्यात्मक विधियाँ (व्याख्यान नोट्स)|author-first=Dick |author-last=Forrester |publisher=[[Dickinson College]] |date=2018}}</ref> राउंडिंग एरर [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के निरूपण और उनके साथ की गई अंकगणितीय संक्रियाओं में अशुद्धि के कारण होती हैं। यह [[परिमाणीकरण त्रुटि|क्वान्टिजेशन एरर]] का एक रूप है। सन्निकटन [[समीकरण|समीकरणों]] या कलन विधियों का उपयोग करते समय, विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं (जिनमें सिद्धांत रूप में अनंत रूप से कई अंक होते हैं) का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित कई अंकों का उपयोग करते समय, [[संख्यात्मक विश्लेषण]] का एक लक्ष्य गणना एररों का [[त्रुटि विश्लेषण (गणित)|अनुमान]] लगाना है। कम्प्यूटेशन एरर, जिन्हें [[संख्यात्मक त्रुटि|न्यूमेरिकल एरर]] भी कहा जाता है, जिनमें ट्रंक्शन एरर और राउंडऑफ़ एरर दोनों सम्मिलित हैं।

जब किसी राउंडऑफ एरर वाले इनपुट के साथ गणना का क्रम बनाया जाता है,तो एरर संचित हो सकता हैं, जो कभी-कभी गणना पर बाध्यकारी हो जाता हैं। कुगठित वाली समस्याओं में, महत्वपूर्ण एरर संचित हो सकता है।

संक्षेप में, संख्यात्मक गणना में सम्मिलित राउंडऑफ़ एररों के दो प्रमुख दृष्टिकोण हैं:<ref name="Chapra_2012">{{cite book |author-last=Chapra |author-first=Steven |title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए MATLAB के साथ संख्यात्मक पद्धतियाँ लागू की गईं|publisher=[[McGraw Hill Education|McGraw-Hill]] |date=2012 |isbn=9780073401102 |edition=3rd}}</ref>

# संख्याओं के परिमाण और सटीकता दोनों का प्रतिनिधित्व करने की गणक क्षमता स्वाभाविक रूप से सीमित है।

# कुछ संख्यात्मक प्रकलन राउंडऑफ़ एररों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं। यह गणितीय विचारों के साथ-साथ गणक द्वारा अंकगणितीय संचालन करने के तरीके दोनों के परिणामस्वरूप हो सकता है।

== रिप्रजेंटेशन एरर ==

अंकों की एक सीमित श्रृंखला का उपयोग करके किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास करने से उत्पन्न एरर राउंडऑफ़ एरर का एक रूप है जिसे रिप्रजेंटेशन एरर कहा जाता है।<ref name="Laplante_2000">{{cite book |title=कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग और प्रौद्योगिकी का शब्दकोश|first=Philip A. |last=Laplante |publisher=[[CRC Press]] |date=2000 |isbn=978-0-84932691-2 |page=420 |url=https://books.google.com/books?id=U1M3clUwCfEC&pg=PA420}}</ref> यहां दशमलव निरूपण में रिप्रजेंटेशन एरर के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

! नोटेशन

! एरर

किसी प्रतिनिधित्व में अनुमत अंकों की संख्या बढ़ाने से संभावित राउंडऑफ़ एररों की आपत्तिजनकता कम हो जाती है, परन्तु सीमित संख्या में कई अंकों तक सीमित कोई भी प्रतिनिधित्व अभी भी अनगिनत वास्तविक संख्याओं के लिए कुछ हद तक राउंडऑफ एरर का कारण बनेगा। गणना के मध्यवर्ती चरणों के लिए उपयोग किए जाने वाले अतिरिक्त अंकों को गार्ड अंक के रूप में जाना जाता है।<ref name="Higham_2002">{{cite book |title=संख्यात्मक एल्गोरिदम की सटीकता और स्थिरता|edition=2 |author-first=Nicholas John |author-link=Nicholas Higham |author-last=Higham |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM) |date=2002 |isbn=978-0-89871521-7 |pages=43–44 |url=https://books.google.com/books?id=epilvM5MMxwC&pg=PA43}}</ref>

कई बार पूर्णांकन करने से एरर संचित हो सकता है।<ref name="Volkov_1990">{{cite book |title=संख्यात्मक तरीके|author-first=E. A. |author-last=Volkov |publisher=[[Taylor & Francis]] |date=1990 |isbn=978-1-56032011-1 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=ubfrNN8GGOIC&pg=PA24}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि 9.945309 को दो दशमलव स्थानों (9.95) तक पूर्णांकित किया जाता है, फिर एक दशमलव स्थान (10.0) तक पूर्णांकित किया जाता है, तो कुल एरर 0.054691 होता है। एक चरण में 9.945309 को एक दशमलव स्थान (9.9) तक पूर्णांकित करने पर कम एरर (0.045309) आता है। यह तब हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब सॉफ़्टवेयर एक्स86 80-बिट चल बिन्दु में अंकगणित करता है और फिर परिणाम को [[डबल-परिशुद्धता फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप|आईईईई]] 754 द्विचर 64 चल बिन्दु पर राउंड करता है।

[[निश्चित-बिंदु अंकगणित|चल बिन्दु]] संख्या प्रणाली की तुलना में, चल बिन्दु संख्या प्रणाली वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कुशल है, इसलिए आधुनिक कंप्यूटरों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जबकि वास्तविक संख्या <math>\mathbb{R}</math> अनंत और सतत हैं, एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> परिमित और असतत है। इस प्रकार, रिप्रजेंटेशन एरर, जो राउंडऑफ़ एरर की ओर ले जाती है, चल बिन्दु संख्या प्रणाली के अंतर्गत होती है।

=== चल बिन्दु संख्या प्रणाली की नोटेशन ===

एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> द्वारा पूर्णांक <math>4</math> चित्रित है:

*<math> \beta </math>: आधार या मूलांक,

*<math>p</math>: परिशुद्धता,

*<math> [L, U] </math>: घातांक सीमा, जहाँ <math>L</math> निचली सीमा है और <math>U</math> ऊपरी सीमा है।

कोई <math>x \in F</math> का निम्नलिखित रूप है:

<math display="block"> x = \pm (\underbrace{d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}}_\text{mantissa})_{\beta}  \times \beta ^{\overbrace{E}^\text{exponent}} = \pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots+ d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}</math>

जहाँ <math>d_{i}</math> एक पूर्णांक ऐसा <math>0 \leq d_{i} \leq \beta-1</math> है, <math>i = 0, 1, \ldots, p-1</math> और <math>E</math> के लिए, एक पूर्णांक <math>L \leq E \leq U</math> है।

* एक चल बिन्दु संख्या प्रणाली को सामान्यीकृत किया जाता है यदि अग्रणी अंक <math>d_{0}</math> जब तक संख्या शून्य न हो, तब तक सदैव शून्येतर होता है।<ref name="Forrester_2018"/>चूंकि अपूर्णांश <math>d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}</math> है, एक सामान्यीकृत प्रणाली में एक गैर-शून्य संख्या का अपूर्णांश <math>1 \leq \text{mantissa} < \beta</math> संतुष्ट होता है। इस प्रकार, एक गैर-शून्य [[इंस्टीट्यूट ऑफ़ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स|आईईईई]] चल बिन्दु संख्या <math>\pm 1.bb \ldots b \times 2^{E}</math> का सामान्यीकृत रूप है, जहाँ <math>b \in {0, 1}</math> है। द्विचर में, अग्रणी अंक सदैव <math>1</math> होता है इसलिए इसे लिखा नहीं जाता है और इसे अंतर्निहित बिट कहा जाता है। यह अतिरिक्त सटीकता देता है ताकि रिप्रजेंटेशन एरर के कारण होने वाली राउंडऑफ़ एरर कम हो जाए।

* चूंकि चल बिन्दु संख्या प्रणाली <math>F</math> परिमित और असतत है, यह सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जिसका अर्थ है कि अनंत वास्तविक संख्याओं को केवल पूर्णांकन नियमों के माध्यम से कुछ सीमित संख्याओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। किसी दी गई वास्तविक संख्या का चल बिन्दु सन्निकटन <math>x</math> द्वारा <math>fl(x)</math> को निरूपित किया जा सकता है।

** सामान्यीकृत चल बिन्दु संख्याओं की कुल संख्या है; <math display="block">2(\beta -1)\beta^{p-1} (U-L+1)+1,</math> जहाँ

*** <math>2</math> धनात्मक या ऋणात्मक होने पर संकेत के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>(\beta -1)</math> अग्रणी अंक के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>\beta^{p-1}</math> शेष अपूर्णांश की गणना की जाती है।

*** <math>U-L+1</math> घातांकों के चयन की गणना की जाती है।

*** <math>1</math> संख्या होने पर स्थिति <math>0</math> की गणना की जाती है।

आईईईई मानक में आधार द्विचर है, अर्थात <math>\beta = 2</math>, और सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है। आईईईई मानक एक चल बिन्दु शब्द के अलग-अलग क्षेत्रों में संकेत, प्रतिपादक और अपूर्णांश को संग्रहीत करता है, जिनमें से प्रत्येक की एक निश्चित चौड़ाई (बिट्स की संख्या) होती है। चल बिन्दु संख्याओं के लिए परिशुद्धता के दो सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्तर एकल परिशुद्धता और दोहरी परिशुद्धता हैं।

! परिशुद्धता

! अपूर्णांश (बिट्स)

|दोहरी || 1 || 11 || 52

== मशीन ईपीएसलॉन ==

चल बिन्दु संख्या प्रणाली में राउंडऑफ़ एरर के स्तर को मापने के लिए मशीन ईपीएसलॉन का उपयोग किया जा सकता है। यहां दो अलग-अलग परिभाषाएं हैं।<ref name="Forrester_2018"/>

* मशीन ईपीएसलॉन, निरूपित <math>\epsilon_\text{mach}</math>, चल बिन्दु संख्या प्रणाली में एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या <math>x</math> प्रतिनिधित्व करने में अधिकतम संभव पूर्ण सापेक्ष एरर है।<math display="block">\epsilon_\text{mach} = \max_{x} \frac{|x-fl(x)|}{|x|}</math>

* मशीन ईपीएसलॉन, निरूपित <math>\epsilon_\text{mach}</math>, सबसे छोटी संख्या <math>\epsilon</math> है जैसे कि <math>fl(1+\epsilon) > 1</math> है। इस प्रकार, <math>fl(1+\delta)=fl(1)=1</math> जब भी <math>|\delta| < \epsilon_\text{mach}</math> है।

== विभिन्न पूर्णांकन नियमों के अंतर्गत राउंडऑफ़ एरर ==

पूर्णांकन के दो सामान्य नियम: राउंड-बाय-चॉप और राउंड-टू-नियरेस्ट हैं। आईईईई मानक राउंड-टू-नियरेस्ट का उपयोग करता है।

* राउंड-बाय-चॉप: आधार-<math>\beta</math> का विस्तार <math>x</math> के बाद <math>(p-1)</math>-वाँ अंक छोटा कर दिया गया है।

** यह पूर्णांकन नियम अभिनत है क्योंकि यह परिणाम को सदैव शून्य की ओर ले जाता है।

* राउंड-टू-नियरेस्ट: <math>fl(x)</math> को निकटतम चल बिन्दु संख्या <math>x</math> पर व्यवस्थित किया गया है। जब कोई टाई होती है, तो चल बिन्दु संख्या जिसका अंतिम संग्रहीत अंक सम है (साथ ही, अंतिम अंक, द्विचर रूप में, 0 के बराबर है) का उपयोग किया जाता है।

** आईईईई मानक के लिए, जहां आधार <math>\beta</math>, <math>2</math> है, इसका अर्थ है कि जब कोई टाई होता है तो इसे पूर्णांकित किया जाता है ताकि अंतिम अंक <math>0</math> के बराबर हो।

** यह पूर्णांकन नियम अधिक सटीक है परन्तु अभिकलनीयतः अधिक बहुमूल्य है।

** पूर्णांकन ताकि अंतिम संग्रहीत अंक एक समान हो जब कोई टाई हो, यह सुनिश्चित करता है कि इसे व्यवस्थित रूप से ऊपर या नीचे पूर्णांकित नहीं किया गया है। इसका उद्देश्य केवल अभिनत पूर्णांकन के कारण लंबी गणनाओं में अवांछित धीमे विस्थापन की संभावना से बचना है।

* निम्नलिखित उदाहरण दो पूर्णांकन नियमों के अंतर्गत राउंडऑफ़ एरर के स्तर को दर्शाता है।<ref name="Forrester_2018"/>पूर्णांकन नियम, राउंड-टू-नियरेस्ट, सामान्य तौर पर राउंडऑफ़ एरर को कम करता है।

! राउंड-बाय-चॉप

! राउंडऑफ़ एरर

! राउंड-टू-नियरेस्ट

! राउंडऑफ़ एरर

=== आईईईई मानक में राउंडऑफ़ एरर की गणना ===

मान लीजिए कि राउंड-टू-नियरेस्ट और आईईईई दोहरी परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है।

* उदाहरण: दशमलव संख्या <math>(9.4)_{10}=(1001.{\overline{0110}})_{2}</math> में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: <math display="block">+1.\underbrace{0010110011001100110011001100110011001100110011001100}_\text{52 bits}110 \ldots \times 2^{3}</math> चूँकि द्विचर बिंदु के दाईं ओर 53-वां बिट 1 है और उसके बाद अन्य गैर-शून्य बिट्स आते हैं, राउंड-टू-नियरेस्ट नियम के लिए एकत्र करने की आवश्यकता होती है, अर्थात 52-वें बिट में 1 बिट जोड़ें। इस प्रकार, आईईईई मानक 9.4 में सामान्यीकृत चल बिन्दु प्रतिनिधित्व है:

* अब प्रतिनिधित्व करते समय राउंडऑफ़ एरर <math>9.4</math> के साथ <math>fl(9.4)</math> की गणना की जा सकती है।

यह निरूपण अनंत पश्चभाग को त्यागकर प्राप्त किया गया है: <math display="block">0.{\overline{1100}} \times 2^{-52}\times 2^{3} = 0.{\overline{0110}} \times 2^{-51} \times 2^{3}=0.4 \times 2^{-48}</math> पूर्णांकन चरण में,दाहिने पश्चभाग से और फिर <math>1 \times 2^{-52} \times 2^{3}=2^{-49}</math> जोड़ा गया है।

:तब <math>fl(9.4) = 9.4-0.4 \times 2^{-48} + 2^{-49} = 9.4+(0.2)_{10} \times 2^{-49}</math> है।

:इस प्रकार, राउंडऑफ़ एरर <math>(0.2 \times 2^{-49})_{10}</math> है।

===मशीन ईपीएसलॉन का उपयोग करके राउंडऑफ़ एरर को मापना ===

मशीन ईपीएसलॉन <math>\epsilon_\text{mach}</math> ऊपर दिए गए दो पूर्णांकन नियमों का उपयोग करते समय राउंडऑफ़ एरर के स्तर को मापने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। नीचे सूत्र और संबंधित प्रमाण दिए गए हैं।<ref name="Forrester_2018"/>मशीन ईपीएसलॉन की पहली परिभाषा का उपयोग यहां किया गया है।

# राउंड-बाय-चॉप: <math>\epsilon_\text{mach} = \beta^{1-p}</math>

मान लीजिए कि <math>x=d_{0}.d_{1}d_{2} \ldots d_{p-1}d_{p} \ldots \times \beta^{n} \in \mathbb{R}</math> जहाँ <math>n \in [L, U]</math> और <math>fl(x)</math> का चल बिन्दु प्रतिनिधित्व <math>x</math> है। चूंकि राउंड-बाय-चॉप का उपयोग किया जा रहा है, इसलिए यह है

इस मात्रा का अधिकतम निर्धारण करने के लिए, अंश का अधिकतम और हर का न्यूनतम ज्ञात करने की आवश्यकता है। तब से <math>d_{0}\neq 0</math> (स